Ações exoticas de grupos ciclicos sobre espaços euclidianos - Boldrini JoseLuiz M

AÇOES EXÕTICAS DE GRUPOS CICLICOS
SOBRE ESPAÇOS EUCLIDIANOS
J-OSE
LUIZ BOLDRINI
Dissertação apresentada ao Instituto
de Matemitica, Estat!stic& e CiGnci~
da Computação da Universidade
Esta-
dual de Campinas como requisito par-
cial para obtenção do titulo de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof.Dr. Hugo Horacio Torriani
ESTE TRABALHO FOI REALIZADO COM O AUXÍLIO FINANCEIRO DA FUNDA-
ÇÃO DE AMPARO Ã PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO.
Cam-pinas,
15 de
julho de 1976.
Para Lena
CAPÍTULO 5.
O Cilindro de uma Aplicação Simplicial.
5.1. O Cilindro de uma Aplicação Sirnplicial •
75
5.2.
83
O Cilindro Iterado de uma Aplicação Simplicial
PARTE l i
AÇÕES EXÓTICAS
CAPÍTULO 6.
DE GRUPOS CÍCLICOS SOBRE ESPAÇOS EUCLIDIANOS
AçÕes sem Pontos Fixos
de Grupos CÍclicos sobre Espaços
Compactos.
6.1.
91
A aplicação fog.
6. 2. AçÕes sem Pontos Fixos de Grupos CÍc1icos sobre Esferas
104
6. 3. AçÕes sem Pontos Fixos de Grupos CÍclicos sobre Espaços Compactos 106
CAPÍTULO 7.
AçÕes Exóticas de Grupos
CÍclicos sobre ~s_l2_a~~-Eu~_lí.~-~-~-
nos.
7. 1. AçÕes Simpliciais de Grupos CÍclicos sobre Complexos Simplicias
00
7 . 2. AçÕes
c
7. 3. AçÕes
c
Bibliografia.
00
de Grupos CÍclicos sobre Variedades
00
c
de Grupos CÍclicos sobre Espaços Euclidianos
112
1 25
134
137
INTRODUÇKO
Um dos cêlebres resultados obtidos por P.A. Smith por volta de
1939 diz que o conjunto dos pontos fixos
dica primário de
mm
e- nao
•
vaz~o.
de um difeomorfismo
per~o-
Por difeomorfismo peri~dico primá-
rio de uma variedade diferenciável entendemos aqui um autodifeomorfismo periÓdico dessa variedade, de
-
primo e n e algum numero natural;
'
per~odo
p n , onde p e um numero
p~
a noçao de (auto)homeornorfismo
riÔdico primário de um espaço topológico ê análoga.
Srnith foi entao
levado a conjecturar que todo difeomorfismo periódico (primário
não)
de
mm
ou
tem pelo menos um ponto fixo.
Em 1958 P.E.
Conner e E.E. Floyd construiram um espaço compac-
to (de dimensão finita)
v
e acÍclico em relação ã homologia de
Ce c h
sobre os inteiros, e um autohomeomorfismo periódico não primârio des
se espaço sem pontos fixos. Utilizando a noçao de cilindro iterado
de uma aplicação simplicial, eles conseguiram também ''deformar"
seu exemplo e obter um complexo simplicial localmente finito,
o
de di
mensão 4 e contrâtil, e uma aplicação simplícial e periÓdica
primâria desse complexo nele mesmo sem ponto~ fixos.
nao
Em seguida,eles
lançaram mao da teoria das vizinhançss regulares de J.H.C. Whitehead
e modificando o exemplo precedente obtiveram uma variedade topolOgi
ca contrátil e um autohomeomorfismo periódico não primário dessa va
riedade, sem pontos fixos.
Este exemplo forneceu fortes indicações de que a conjetura
Smith seria finalmente respondida na negativa,
de
faltando demonstrar
ainda que a variedade construída por Conner e Floyd era realmente
(difeomorfa a) mm, para algum m. Esta parte da conscrução foi com
pletada··poucos anos mais
J.
vro
tarde por D.R.J. McMillan, E.C.
Zeeman
e
Stallings. Por outro lado, G.E. Bredon observou no seu recente li
11
Introduction to Compact Transformation Groups 11 que ê possÍvel
fi
inserir nas construçoes de Conner e Floyd um complexo simplicial
nito L de tal maneira que o autohomeomorfismo peri5dico nio primi rio em questao tenha como conjunto de pontos fixos um subespaço
po~
suindo o mesmo tipo de homotopia que L. Em particular, se L for vazio, recupera-se o resultado principal de Conner e Floyd.
Outra observação interessante feita por Bredon e que o primeiro dos espaços construidos por Conner e Floyd serve tambêm para assinalar limites para o campo de validade de uma das consequências do
ê
famoso teorema de ponto fixo de Lefschetz •. Tal consequincia
toda autoaplicação contÍnua de um espaço compacto,
contrâtil tem (pelo menos)
um
pon~o
fixo.
que
triangulâvel
e
m~n
Utilizando o espaço
cionado no inÍcio do segundo parâgrafo desta Introdução podemos ver
que esse resultado deixa de ser válido se omitirmos a hipÓtese
êe
triangulabilidade e substituirmos a hipÕtese de contratibilidade
p~
v
la de aciclicidade com relação ã homologia de Ce c h.
Resumindo, podemos dizer que o nosso tema principal e o
lamento de limites para o campo de validade dos teoremas de
fixos de Smith e de Lefschetz. Pareceu-nos que o tema,
ass~na
pontos
alêm de
sua
importância específica na teoria dos grupos de transformaçÕes, pod~
ria ser de muito interesse a alunOs que desejam iniciar-se nesse ou
em outros ramos da topologia algêbrica e,
talvez ainda, a
ativas em algum campo da geometria ou da topologia.
pessoas
A apresentação
feita por Conner e Floyd no seu artigo original ê contudo muito con
cisa, e, alêm dis·so, por assim diz~r íucomple.ta)
jã que o Último elo
da
ccnst~uçao
~uatro
so veio ser forjado por McMillan,
anos mais
tarde. No seu
liv~o,
Stalling~
Zeeman c
Dredon faz uma apresentaçio J 8
conjunto, incluindo nio somente a sua id~ia de introduzir nas construçoes o complexo simplicial L ac1-ma relacionado, mas também mencionando contribuiçÕes posteriores devidas a J.M. Kister,
Montgomery e especialmente a
w.-c.
Hsiang e W•...:lf. Hsíang.
Conner, D.
Contudo
o
objetivo principal de Bredon nao foi fazer uma anâlise detalhada do
exemplo de Conner e Floyd, mas o de preven1-r o leitor das difículda
des que surgem no estudo dos grupos de transformaçÕes,
limitando-se
a esboçar, em três páginas, os passos mais importantes da construçao.
-
O objetivo
desta tese e , en t ao,
apresentar,
de um modo que es-
peramos seja considerado acessfvel pelos leitores, os resultados de
Conner, Floyd e Bredon mencionados acima,
Como o nosso desejo
produzir um texto que pudesse ser lído sem muitas dificuldades
foi'
por
pessoas que se iniciam no estudo da topologia, optamos pela inclu sio de todos os detalhes das construções. A organização do trabalho
responde também a esse desejo.
Assim, na primeira parte desta
tese
fazemos um resumo de alguns conceitos e resultados básicos sobre com
plexos, homotopia, e grupos de transformaçÕes. Na segunda parte co~
m~todos
de construçio de espaços, principalmente 1!
colagens~
Junçoes, e cilindros de aplicaçÕes simpli_
sideramos alguns
mites inversos,
ciais. Finalmente, a terceira parte contêm uma exposiçao detalhada
do exemplo de Conner e Floyd. Nossa apresentaçio culmina com os
remas
(6.3.4),
(7.1.10),
(7.2.7) e (7.3.2). Neles, os espaços sobre
os quais existem autohomeomorfismos peri5dicos nio primirios
pontos fixos sao,
teo
sem
resumidamente (para os- enunciados precisos cf.loc.
cit.). os seguintes:
(6.3.4): Espaço topol5gico compacto e acrclico em relaçio
•
a
v
homologLa de Cech sobre os inteiros;
(7.1.10):
vêrtices,
Complexo simplicial com uma quantidade enumerável de
localmente finito,
00
(7.2.7): Variedade C
contrátil, e de dimensão_:::. 4;
sem bordo,
contrátil, e de dimensão > 4·
'
(7.3.2): Espaço euclidiano:rn.m.
Quero externar aqui meu agradecimento ao Prof. Hugo H.Torriani
pela proposição do trabalho e pela orientação. Agradeço ainda
ao
Prof. Antonio Conde, que me orientou em 1974, e aos colegas Antonio
Carlos do Patrocrnio e Sueli !rene Rodrigues Costa pelas
sugestoes
e incentivo.
Agradeço o apoio da Fundaçao de Amparo a Pesquisa do Estado de
São Paulo (FAPESP) atravês da concessão de bolsa de estudos, sem as
quais este trabalho não teria sido realizado.
PARTE I
RESUMO DE ALGUNS CONCEITOS
E RESULTADOS BASICOS
CAPITULO
'i
· COMPLEXOS
1 .1. Complexos Simpliciais.
Referências principais: Eilenberg-Steenrod,
Glaser,
Cap.
(1.1.1)
Definições. Seja E um espaço vetorial real.
i)
Cap.
II;
I.
Um conjunto finito {v~ .•. ,v} de pontos de E e dito
o
n
estar em posição geral se os vetores v -v ,v -v , ... ,v -v sao
2
1
o
o
n
o
linearmente independentes.
os
ponto v
i i)
o
,v
1
, ,, . ,v
(pos abuso de linguagem diremos que
estao em posição geral)
n
Sejam num numero natural > O e v .v ,.
o
1
.. v
n
n
+ 1
pontos de E em posiçao geral. Então o conjunto
n
[v o, • •. ,vn]
=
{veE: v =
I a.v.
i=O
l.
l.
n
I a.
' i=O
l.
1
O<a.<l}
1-
e chamado o n-simplexo em E gerado pelos pontos v
A dimensão de um n-simplexo
- -
e o numero n,
0
,v , ... ,vn
1
Por convençao o con
junto vazio sera considerado como um n-simples em E, com n=-1,
e portanto de dimensão -1.
Nas definiçÕes
seguintes a expressao ''Seja
A=[yo , ...
,v.]
.
n
um n-simplexo 11 significa ''Seja A o n-simplexo em E gerado
pe-
los pontos v, ... ;v de E ~m posiçio geral''.
o
n
iii) Sejam A
=
[v o , ... , v n ] um n-simplexo e v um ponto
A. Deduz-se de (ii) que v pode ser expresso (de modo
mo v= a v +,,.+a v
o o
n n
~nico)
de
co
com a +a + ••• +a
= 1 e O<a.<l .. Os numeras
o
1
n
- ~-
s:!o chamadas as coordPnadas
-2-
b~ri~~ntri~as
de v.
- j-
i v)
Seja A =
r
LV o '
~
• • • >
v J
um n-simplexo .
n
to associado a A ~ ~ conjunto dos pontos de A que t~m todas as
suas coorde~adas baric~ntricas estritamente positivas.
o
s~m
plexo aberto associado a A ser a denotado com <A> ou com <v , , , , ~v >.
o
Note que se A
v)
~
um 0-simplexo entao <A>
Sejam A =
[v,
... ,v]
o
n
n
A.
=
n-simplexo e k um nÚmero na
U\[1
tural tal que O<k<n. Então o k-simplexo em E gerado por um su~
ê dito uma k-face de A.
corrjunto de k elementos de {v , ... ,v}
o
n
As O-faces de um simplexo sao chamadas vêrtices. Convencionase que o conjunto vazio e a (-1)-face de qualquer simplexo.
ra indicar que A é face de A escreveremos A ~ A
2
1
2
1
ê face
indicar que A
1
A
2
,
propr~a
de A ? isto e, que A
2
distinta de A , escreveremos A
2
1
1
<
P~
para
e
e face
de
Az
{1.1.2)
Ob~ervação.
plexo e
um conjunto V= {A , ... ,A} de n+l
Segundo Eilenherg-Steenrod, p.54, um n-s1m
o
chamados
objetos
n
vértices, juntamente com o conjunto de todas aplicaçÕes ~:v+~
n
satisfazendo
I
i=O
~(a.)
~
=
1 e o:(A.)
1
>o para
Esta definição ê equivalente
{v , ..• ,v}-+ R definida por
o
n
~:
o, ... ,n.
à apresentada em
associando a cada ponto v de um n-simplexo
caçao
todo~=
(1.1.1),
[v , ... , v ]
~cv.)
1
o
=
n
a ap 1 i-
coordenada
ba~i
cêntrica de v em relação a v.,
1
Dessa forma,
as de~onstraçÕes feitas em Eilenberg-Stee~
rod, com a modificação acima,
se aplicam
ã terminologia
deste
trabalho.
(1.1.3) Definições. Seja E um espaço vetorial real.
i) Um complexo simplicial em E
é um conjunto K de sim
plexos em E tais que:
a) Se A i
de
faces
A
K;
pertencem a
b)
um simple~o Je K entao todas as
sirnplexos de K tais que <A>
Se A e B
n <B>
entao A = B.
(ii) Seja K corno em (i).
(respe~
Se o conjunto K é finito
tivamente infinito), o complexo sirnplicial e chamado complexo
sirnplicial finito
(respectivamente complexo simplicial infini
to) .
(iii) Seja K um complexo simplicial. A dimensão de K
-e
o
supremo das dimensões de seus sirnplexos. Denotaremos a dimensão de K com dim K. Notemos que dimensão de K pode ir de
-1
ate +oo
(iv) Seja K um complexo simplicial. Segundo o ftem
K não ê um subconjunto de .E, mas
(i) '
podemos associar a K o segm.!!
te subeonjunLo de E:
IKI
Pode-se demonstrar que
ço associado a
(v)
)K).
=
IKI
u
AEK
=
A
U<A>
AsK
.
IK I
Chamaremos
de espa-
Um subcomplexo de um complexo simplicial K e um
plexo simplicial ~ tal que L C K.
(Note que
(vi) Se K ê um complexo simplicial e r
r-esqueleto de K, denotado
Kr
=
{AcK: dim A
<
r}
~
r
)L)
C
com
]K).)
ê um numero intei-
.
, e- o conJunto
Prova-se que Kr
e- um subcomplexo de K c que dim Kr
< dim K.
(1 .1 .4) Definicões.
(i) Sejam A e B simplexos em E com
v~rtices
distintos
e
tais que a totalidade de seus vértices estão em posição geral.
-
O simplexo em E gerado por estes vértices e , chamado a junção
• • 11)
( " ]o~n
de A e B e seri denotado A.B.
-
Note que se A e um p-sirnpl_exo e B e um q-simplexo entao A.B e
um (p+q+l)-simplexo.
j
(ii)
Sejam K e L complexos simpliciais em E tais que paLa
quaisquer A
v~rtices
e:
K e
BEL~
os vértices de A,
juntamente
com
os
de B estão em posição geral, EILtão a junção de K e L
é o complexo simplicial K.L em E definido por:
K.L
=
{A.B; ACK, BEL}
(1.1.5) Definições.
Seja K um complexo simplícial.
(i) Se Ae:.K entao a estrela, St(A,K), de A em K e
o
sub
complexo de K·definido por:
St(A,K)
isto
= {CEK: existe BEK com A<B e C,SB},
ê, St(A,K) ê o subcomplexo de K constituido de todos
simplexos de K.tendo A como face,
simplexos.
mais
todas as faces
os
desses
·-6-
(ii) A estrela aberta, S~(A,K), de um simplexo A de K
-o
2
conjunto
S~(A,K)
=
U <B>,
onde BESt(A,K), B
ê chamado localmente finito
(iii) Um complexo simplicial K
se para qualquer vértice v de K,
n <A> f 0 •
St(v,K) é formada por um nu-
(Note que todo complexo finito ê lo
mero finito de simplexos.
calmente finito).
(iv) Se A é um simplexo de K entao o elo
( 11 linK
11
)
de
A
--"---=-"----'-'
em K e o subcomplexo:
H(A,K)
(1 .1.6) Definição.
que L
= {CcSt(A,K)
Sejam
ê uma subdivisão
Ke L
AnC
0}
complexos simpliciais. Dezemos
de Kt e escrevemos L
o::K,
se:
(i i) Para todo AsL , existe BsK tal que AC B.
(1.1.7) Definições.
(i)
Seja A um siroplexo de um complexo simplicial K.
O
complexo complementar de A em K ê o complexo simplicial definido por:
Q = K- {BcK : <B> C S~(A,K)}
.
(ii) Seja A o subcomplexo de K cujos simplexos sao as
ces próprias de A e seja P
(A, P) U Q
=
K e
=
ik(A,K). Pode-se demonstrar
que
(A. P (\ Q = A. P.
(iii) Sejam aE<A> e L= a.(À.P)VQ. A mudança de K para
~
fa
chamada uma estrelaç;o elementar de K em a.
(Vide
L
figura).
_, I --
Pode-se demonstrar que L ê uma subdivisão de K. Uma subdivisão
estrelada de K ~qualquer subdivisio de K obtida por uma
se
quência finita de estrelaçÕes elementares. Uma subdivisão es-
-
trelada de K ser a denotada com oK
K
L
<
~tem
Nas definiçÕes abaixo o
-
(iii) na o foi
e_ncontrado
nas referências.
(1.1 .8) Definições
(i) Seja A = [a
0
, .. ,
,aK~
um k-sirnplexo
(k f- - 1), O ·bar i
centro de A ê o ponto:
k
I
b (A)
i=O
(íí)
a.
L
Sejam K um complexo sirnplicial e Sd(K)
o complexo
s~m
plicial cujos simplexos são do tipo:
B = [b (A ) , •.. , b (A ) ]
o
r
onde r e um numero inteiro satisfazendo -l<r<dim Ke A <A < ... <A
- o 1
r
são simplexos de K. Sd(K) ê chamado a primeira subdivisão baricêntrica de K ,
Definimos, indutivamente,
a n-êsima subdivisão baricên
trica de K, como o complexo sirnplicial:
- B-
com
Só
(iii)
Sejam 1
1 (K)
1
e 1..
= Sd (K)
2
sub complexos de K tais
Consideremos Sd(L ) e, para cada At:L ,
1
1
que 1
1
2
~
2
==
f/J.
seja:
A pr1me1ra subdivisio ba~ic~ntrica de K relativa a 1
1
(\ 1
m5dulo
1
a subdivisio de K definida por:
U
(Sd(A).B)U{DeK:
existe CoK-
aELl
IJ
(A.B)
AELl
BES
. A
tal que n::;c}
Indutivamente~
K relativa a 1
definimos a
1
mÓdulo 1
2
-
.
n-f'$l_m_n
t:tubdivis;o
Por:
com
e
Note que esta subdivisão não altera 1 2 (vide figura)
Sd
n
(~
1)
/Ll),
~//,
"
~
e 1
2
n
sao
subcomplexos de Sd (K,L ,L ),
1
2
>
L2
;
I'
L2
~
.f
.
'
"~~
uu',"'-•'-'1•'-'zl'
... :s
~
~
L2
J
'Lz-''
que
-9-
vet~
A partir de agora consideraremos E como um espaço
rial real normado,
com norma
[I
IJ
(e portanto E
é
um
espaço
métrico).
(1 .1.9) Definiçio.
mo em
Sejam
K um complexo simplicial e jKj
top~
(1.1.3 (i v))). A topologia induzida sobre jKj pela
logia de
E
será chamada a ~~9logi_a métrica de
abuso de linguagem,
jKj
por
de E, munido des
-
m
ser a
. Ã topologia que considera como aberto
um
jKj se. e somente se a intersecção dele com ca-
subconjunto de
da simplexo de K é aberto em
aberto de A
[Ki
(ou,
é então um subespaço topolÔgico de E, que
sa topologia,
denotado com
d-e K). O subconjunto
[K[
(c~
co~
jAj m (isto e, a intersecção ê um
a topologia induzida de E)
chamamos topologia
fraca de K (ou, por abuso de 1inettaeem, de K). Daqui para fren
te,
ao escTevermos
jKj, estaremos entendendo o conjunto
~-K.j rnu
nido da topologia fraca.
{1.1.10) Proposição.
Seja K um complexo simplicial em E (esp.
vetorial real normado).
(i) A aplicação identidade i:
e,
a topologia fraca
ê
jKj
+
jKj m é contÍnua, isto
mais fina que a métrica.
(ii) A topologia fraca e a métrica coincidem se e somente
s.e K é localmente. finito
K
é
finito).
(iii)
(iv)
ê
(em particular elas coincidem quando
Se K e finito entao
Seja
fechado em
L
j K_j
=
/K!•m é compacto.
um subcomplexo de K. Ent~o o subconjunto
]Kj e em /K/ m •
]Lj
-·1 o-
(v)
e em
Seja v um vértice de L.
Então S~(v.K)
aberto em !K!
IK Im .
Alêm disso a família {sf(v,K): v~K 0 }
ê
e
uma cobertura aberta
de
)K)
e de
(onde K0
Q~inisão.
o o-esqueleto)
IK Im .
Ver Eilenberg-Steenrod, p.
(l. l. ll)
e
75.
Seja K um complexo simplicial.
A malha
(''mesh'') de K e defiriida por:
mesh(K) = sup {diametro de A}
AsK
Note que se K
(1.1 .12)
e
finito entao mesh(K) < oo
Proposiç~o.
Seja K um complexo simplicial de
sao nem E. Então mesh(Sd(K)) ~ n:l mesh(K). Se K é
mesh(K) < oo entao lim mesh~Sdr(K))
Demonstração.
Ver
dimental
que
O.
Eilenberg-Steenrod~
p.
63
(1.1.13) Definições
(i)
Seja X um espaço topológico. Uma triangulacão de X
um par (K,h) onde K
e
um complexo simplical num espaço
ê
veto-
rial normado e h:iK) -+X ê um homeomorfismo. Quando K é finito
X ê chamado poliedro.
(ii)
Seja A um subespaço de X. O par (X,A) é dito triang~
lâvel se existe uma triangulação
L de K tal que o par
(K,h) de X e um ~s.ubco_mplexo
(L,g), onde g e a restrição de h a
e uma triangulação de A. O par
)L)
(X,A) ê finitamente trianguli-
-ll-
se existe uma triangulação (K,h)
xo simplicial ~ finito.
como acima tal que o complc-
(Note que um espaço triangulivel ~ fi
nita.mente triangulâvel se e somente se ele
(1.1 .14) Proposição. S
Demonstração.
0
ê compacto.)
~ triangul~vel
Ver Maunder, p. 36
[0,1]
(1.1.15) Proposição. O pa.r (I, di), onde I
3I
e
{o' 1},
ê triangulivel.
Demonstração. Basta considerarmos o complexo simplicial
em
]~
gerado pelos pontos O e 1 e tomaremos h como a identidade.
(1.1.16) Definição. Sejam E um
E'.S!JBÇO
vetoriA.1
e Sum suh-
reRJ
conjunto de E. S ~ chamado um n-plano se S =a +H onde
um ponto de E e H
a
-
e
ê um subespaço n-dimensional de E.
Introduzimos agora uma estrutura simplicial em B 0
,
con
veniente para os nossos propÓsitos posteriores.
(1.1.17) Estrutura Simplicial Regular em 1Rn. Sejam dum numero real estritamente positivo e v
JRn tais que llv.-v.ll
L
J
0
,v , . . . ,vn
1
= d para todo par (i,j)
n+l pontos
tal que o::::i<j::::n .
Pode-se provar que estes pontos estao em posição geral e
tão determinam um n simplexo em R 0
.
em
en-
Fixemos n+l pontos nestas
(O~k<n)
determina-
dos por estes pontos e todos os pontos obtidos por
reflexão
condiçÕes e consideremos todos os k-planos
dos pontos iniciais nestes planos, Indutivamente, consideremos
os k-planos
(O~k<n)
determinados pelos pontos jâ obtidos e to
-12-
dos os pontos que provem dos anteriores por reflexão
planos. Temos entio,
constru{da indutivamente, uma
nestes
sequencia
de pontos em·~n. Ao complexo síruplicial CUJos vértices sao os
pontos assim determinados e cujos simplexos sio aqueles gerados por vértices que estão dois a dois à distância d,
mos estrutura simplicial regular de ffi 0
\
chama-
•
I
' ' ''
\ I
'
'
(1.1.18) Proposição. Seja l'.
==
l
,w-'
n
trutura simplicial regular de ~n e B ==
de A.
um n-simplexo da es
r
L'" o '.
uma k-face
Entio o conjunto C, obtido de A por reflexio no k-plano
deterMinado por B, ~ um tl-simplexo da estrutura regular de
tal que
Anc
mn
= B.
Demonstração. Se refletirmos os vértices de A no k-plano mencionado obtemos n+l pontos que estao dois a dois a
__ distância
d, pois reflexão preserva distâncias; os pontos refletidos g~
ram um n-simplexo de
m0
,
que pertence ã estrutura
simplicial
regular de JRn por definiçãO. A segunda afirmação ê Õbv.ia.
(1.1.19) Definiçõo.
aplicação f:
L
[KI
-+ [L[
Sejam K e L complexos simpliciais.
Uma
é dita uma aplicação simplicial de K em
(e denotada geralmente por f:K-+L,
a nao ser quando quiser-
mos r2ssaltar os espaços associados, quando entao
!LI.)
mos explicitamente f: ]K[ -+
escrevere-
se as condiçÕes abaixo forem
satisfeitas:
(i) Para cada vértice v
f(v)
de K'
(i i) Para cada simpJexo A de K,
-
v
""
L a.v.
' '
entao f(y)
=
I
a.f(v.)
l.
-e
f(A)
(iii) Se v e um ponto do simplexo
[v
vértice de L.
e
o
simplexo de L •
, .•. , v
(isto e,
J
n
de K
e
e linear
f
nos
'
simplexos),
(1.1.20) Prooosição. Sejam K e L complexos simpliciais.
(i)
Seja f
urna aplicação sirnplicial de K em L. Então f
contínua tanto se considerarmos
]K]
e
]L]
ambos
é
com a topolo-
gia fraca quanto se c:onsiderarmos ambos com a topologia mâtri
c a.
(Ver (1.1.3(vi))) pode
ser
estendida por linearidade nos simplexos a uma função contínua
(tanto na topologia métrica quanto na topologia fraca)
f:
[K]-+]1[.
Se, além disso,
f
1
leva vêrtices de um simplexo de
K em vértices de um simplexo de L,
então f
ê simplicial.
Demonstração. Para (i) ver Eilenberg-Steenrod, p. 75
(ii), ver op. cit, Teor.
4.4, p. 58.
(1.1.21) Proposição. Sejam K e L complexos
f:
para
s~mpliciais
K +L uma aplicação simplicial injetora. Então f
e
preserva a
dimensão dos simplexos e leva baricentras em baricentros.
".,. <"".j....,_.,..,::;:
DCHIDn.:.
.... oxuO.
A
1:!..
:prim.::i;:a
trivial.
Para demonstrar
[v 0 ~··•;vn] é- um simplexo
de
K
e~tao:
n
I
f(_1_
n+1
i=O
1
pois f (v ) •••• ,f (v )
o
L.
1
n+l
v.)
n
n
L f (v.)
b([f(v ) , , , , ,f(v )])
o
n
1
i=O
sao vértices
distintos de um sirnplexo
-
(Notú que a segunda asserçao pode ser expressa pela
f(b(A))
(1.1.22) Proposição. Sejam K e
e
L
complexos
e
(7.2.2).
simpliciais
K.-+-L uma aplicação simplicial injetora. Então f:Sd(K)
.-+-
e
Sd(L)
urna aplicação simplicial.
Pela proposição anterior f
leva vértices
Sd(K) em vértices de Sd(L). Seja agora x = t
um ponto de um simplexo
A
relação
• b(f(A)),).
- usada em (7.1.6)
A proposiçio seguinte sera
f:
de
o
.an
J'
=
[b (A
o
) , . . . , b (A
[ao, . . . ,ak
)
J
de
-
onde
Sd(K)
1
An " [a o ' .. • 'ak
sao sirnplexos de K com O < k
b(A )+ ••. +t b(A)
o
n
n
o
, •.. ,ak ] , . . . ,
o
o
n
o <kl< ••• <kn
' . • • 'ak ' • .. 'ak
1
o
e
n < k
n
n
sa forma
f(x)
+ ••• +
+ ••. +
=
f[(k::l + ... +
=
f __o_
)+
+,. '+ ___n_)çf~
k +l'- ·-o' ' • '
'k +l
t
t
o
n
de
t
+(---n-\f(
)
k +l'
ak '
n
n
J
. Des-
-15=
t
o
(,---:;1)
,,
o
.
h
,,
t
= t
Assim f~
n
f(a.)+, •. +(k +1)
l
I
o
o
I
xos de L pois f
o
n
=
simplexos de Sd(L)
(1.1.23) Def~nis_~-~·
jKj-+ jLj
do x em
I
+1
f (a.))
l
o
o
<A
1.
< ... <A
n
-
sao simplexos de K.
são simplexos de L pois f
ê
sirnpl~
[f(b(A )), ••• ,f(b(A ))]
o
um simplexo de Sd(L).
K+L
n
n
é simplicial e injetora e portanto
f[b(A ), ••• ,b(A )]
g:
1
(~k
linear nos sirnplexos. Além disso sc [b(A ) , •.• ,b(A )] é
o
n
Dessa forma f(A )< .. ,<f(An)
1
f:
l
b(f(A ))+ ... +t b(f(A )) > t f(b(A ))+ ... +t f(b(A )).
o
n
no
o
n
n
um simplexo de Sd(K) então a
ê
f (a. )
o
h
o
1
f(a.))+ . . . +t
o k +1
1
n
o
o
(
11
~
n
h
=
k
t
Assim í
n
leva simplexos de Sd(K)
e portanto f:Sd(K)
-+Sd(L)
Sejam K e L complexos
uma aplicação contÍnua.
em
é simplicial.
simplic.iais
e
Uma aplicação simplicial
é chamada uma aproximação simplicial de f se para to-
jKj
e todo simplexo A de L, o fato de f(x)z<A> impli-
car que g(x)~A.
(Note que se v é vértice de K tal que f(v)
vértice de L, então g(v)
Além disso,
=
f(v).
se definirmos d(f,g)
mos que d(f,g)
e
=
sup{d(f(x),g(x)): XEjK]} te
< rnesh(L) ,)
A proposição seguinte será utilizada em (2.3.5).
(1.1.24) Proposição. Se K ê um complexo simplicial e v , ... ,vn
0
são v2rtices distiütos de
se
c .so.:::.ente
-i6n
se
li
i=O
o
st{v. ,K)
,
Demonstração·. Ver Eilenberg-Steenrod, Lema 3.7, p. 57
(1.1.26) Teorema da Ap_roximação Simplicia_l
K
xos simpliciais tal que
e finit9 e f:
[Kj
Sejam K e L
+
!LI
compl~
uma aplicação
continua. Entio existem nEN e uma aplicação simplicial
g:S-d-~(K) +L que
ê uma aproximação simplicial de f.
Demonstração. Ver Eilenberg-Steenrod. Cor. 7.4, p. 65
(l .l .27) Definição
aberto N(L,K)
Seja L um subcomplexo de K. O subcon'junto
U
=
voL
gular rl"' L em K.
S~(v,K) de
0
Se k
-
-
IKI
-
ê
chamado a vizinhança
r~
e um numero natural, a k-êsima vizinhan
ça regular de L em K e o
~ubconjunto
aberto
(note que No (L,K)
::: N (L,K).
(1.1.28) Definição. Seja L um subcomplexo de K . L e chamado um
subcomplexo total
("full subcomplex 11 )
de K se L contem cada s1.m
plexo de K cujos vértices estão todos em L.
(1.1.29) Proposição. Sejam K um complexo simplicial e L um
complexo de L. Entio Sd(L)
su~
e um subcomplexo total de Sd(K).
Demonstração. Ver·Eilenberg-Steenrod, Lema 9.4, p.71
(1.1 .3D) Proposição. Sejam K e L complexos simpliciais e f:K+L
uma aplicação simplicial tal que f: IKI
-1
mo. Entao
f
:
-+
ILI
e
L +K ê uma aplicação simplicial.
um homeomorfis-
-17-
Demor:2...1.I_~Ç-~.Q·
Ver Eilcnherg-Stecnrod, Teor.
4.7, p.59
1 .2. Complexos Celulares
Referências: Glaser, p. 9
(1.2.1) Definições.
e
Munkre5
, p. 71
Sejam E um espaço vetorial real normado
e
S um subconjunto de E,
(i) Se para quaisquer dois pontos x e y em S, o
segmento
de reta unindo x a y está cortado em S, dizemos que S
xo.
(ií) Se S é um conjunto convexo, a dimensão de S ê o menor
n tal que existe um n-plano de E contando S.
(1.2.2) Definição.
Seja E um espaço vetorial real normado. De-
finimos u~a c~lula em E por inc1tJÇ~O nR dimensão. Uma c~lulirlc
dimensão
zero em E e um ponto de E,
Se K~l,
são k em E ê um subconjunto compacto,
uma cêlula de dimen
convexo e de dimensão
k
-
de E, cuja fronteira topolÓgica (que chamaremos de bordo da c e
~)
ê a união de um nÚmero finito (não nulo) de células de di
mensão k-1 com interiores disjuntos
(estas são
. (k-1)-faces da célula). Ainda indutivamente,
-
(k-i)-face de uma célula de dimensão k e uma
chamadas
se 1 <i < k
uma
(k-i)-face de uma
(k-i+l)-face da célula considerada. As O-faces são chamadas ver
tices.
(Note que se k~O, um k-simplexo
é uma célula).
(1.2.3) Definições. Seja E um espaço vetorial normado.
(i) Um complexo celular em E
E satisfazendo:
ê
uma coleção K de células em
-18-
a)
Se
b) Se
8E K entao
Be DEK
todas as faces de
então .Bt1D ~ 0 ou
B estao em K.
BI]D
é face
de Bf>
de
D.
(ii)
conjunto
(iii)
Seja K um complexo celular em E. Associamos a K o sub
jKj de E definido por:
Seja K como em (i i). A dimensão de K , denotada dimK,
ê o supremo das dimensÕes
(i v)
de
suas células.
ê complexo
Seja K como em (ii). Um sub complexo de K
ce
lular L em E tal que LC K.
(v)
-
um numero natural. O r-esque-
Seja K corno em (ii) e r
leto de K (denotado com KT)
e- o subcomplexo de K for:;w_do pel.r,s
céluL:ts de K de dim;;;nsão T!lene>r rln
(1.2.4) Definição. Sejam K· e
L
ou i e;nal
(!.UP
él
r,
complexos celulares em espaços
vetoriais reais normados E e F, respectivamente. O produto car
tesiano de K por L
é o 'complexo celular K x L em Ex F, defini
do por
KxL
{AxB c ExF
(1.2.5) Definição.
vértices.
At:K
,
Bt:F}.
Sejam A uma cêlula em E e v , ... ,vn os seus
1
O baricentro de A é o ponto b(A) de A definido por:
b(A)
1
n
(1.2.6) Proposição. Sejam A e B
1
n
v
n
c~lulas
em espaços
vetóriais
reais normados E e F respectivamente. Então b(AxB) ~ (b(A),b(B))
-19-
v~rtices
de B.
" n.m
m
1
m
L
(v·
i=l
'
l.
AxE tent w.n
v~rtices
m,n
1
b (AxB)
"
Ent~o
-
1
n
L
(v. ,w.)
'
J
i ' j "'1
n
L
w.
j "1 J
l "
1
1
"
m
que sao
m
L
i=l
1
n
os
·pontos
n
L
j ::::1
(v. ,>r.)
~
J
m
L
m i=l
(v. , b (B))
'
m
" (_1_
m
L
,
v.
'
i =1
(1.2.7) Definição.
E
~
b (B))
"
(b(A) , b(B))
Uma subdivisão de um complexo celular K em
um complexo celular L em E tal que:
(ii) Para cada cêlula
AeL existe uma cêlula BcK.
(1.2.8) Proposição. Sejam K e L complexos celulares em E
tais
Então K e L têm uma subdivisão comum.
Demonstraçio. Ver Munkres, Lema 7.7, p.74 ,
(1.2.9) Proposição. S.eja K um complexo celular de dimensão finita. Então K admite uma subdivisão chamada primeira subdivisão
baricentrica que
ê um complexo símplicial.
Esta demonstração é um caso particular daquela que
encontra em Munkres, Lema 7.8.
de loc..
c.it.)
serd ir,.::luÍJa a.yui
A demonstração
se
(que é análoga ã
pol'<.{\.18 pvstt!dorm~::n.te".(Ve:.·
(7.2.2))
- ;_c
necessitaremos saber exatamente como escrever um simplexo des
sa subdivisão (Ver (1.2.10)).
Demonstração. Procederemos por indução sobre a dimensão
m de
K. Se m•O ou m•l, K ji ~ um complexo simplicial. Seja L a pri
m-1
me ira subdivisão baracentrica de K
; entao
-
e um
L
complexo
simplicial. Se C e uma m-cêlu1a qualquer de K, o bordo
m-1
estâ contido em K
;
que recobrem esse bordo.
tamos a L os simplexos A
Se b(C)
2
.b (C)
(onde
de
L
indica
junção). Fazendo isto para todas as m-c~lulas de K,
complexo simplicial que
C
é o caricentro de C, acresceE_
• b (C), ..• ,A
1
de
temos
a
um
é uma subdivisão de K.
(1.2.10) Observação. Da demonstração anterior deduzimos que os
simplexos da primeira subdivisão baric~ntrica do complexo celular K sao de forma [b(C .), ••. ,b(Ck)], onde C <C.< .•. <Ck sao
o
células de K e a notaçao
o
c. <c. indíca
'
de
J
c.
que C.
'
-
'
e face
piÕpria
J
1.3. Complexo!;_i__l>!
Referencia: Spanier
1
pp. 145 e 401.
Para cada número natural n>l escreveremos Bn=:{xt:JRn:llxii:S:l}
(1.3.1) Definição. Sejam X um espaço
to~olÔgico
e A um subes-
paço fechado de X. Dizemos que X ê obtido de A por adjunção de
n-células {e~}
J-
, onde n_:::O, se:
-Li-
(i) Para cada
f:.
t.:,
J
- er:nA.
J
(i i) Se
para J
_n ""
e um subconjunto de X.
i,
n
entao e.
J
-
-
.n
e. e
J
,n
disjunto de e,n - e.
1
1
1.
cada J hi uma aplicaç~o
(iii) Para
n
f.
(e.
J
J
,
, n)
e.
J
n
(chamada a"p~l=Í~c~a~ç=ã~o:__c=a~r~a=c-'Ct e r .í s t _i c~) ta 1 que
f.
e.
J
J
n
.
Bn
Sn
h
f·
b
n
·
n
ap 1 1ca
omeomor 1camente so re e.-e. e e. tem a topolo-
J
J
J
e a aplicação inclusão ê~ C e.n
J
J
J
g1.a conduzida por f.
(iv) X =A U{U. e~}, e a topologia de
J
(isto ê, um subconjunto \L de X
R.hP.rto
some.nte
X
J
r;>.fl1
.A
e
-
e
·coerente com
ê aberto em "v
abert0
!'>JTl
3e
c~
J
to-
do j).
(1.3.2) Definições.
.\
( 1,
Um complexo CW relativo
(X,A)
consiste num espaço to
pologico X, um subespaço fechado A e uma
>O
de subespaços fechados de X tais que:
a)
(X,A)
0
é obtido de A por adjunção de O-células.
b) Para k_l,
(X,A)k e obtido de
(X,A)
k-1
por adjunção de
k-cêlulas.
c)
X
=IJ
(X,A)k
k
d) A topologia de X
um subconjunto
'U
ê coerente com { (X,A) k }k
(isto
é,
de X é aberto em X se e somente se '\l.(\(X,A)k
- LL-
~aberto em (X,A)k para todo k).
Sejam X e { (X.A)k}_
(i i)
K
chamado o
k-esquel~to
como na parte (i). Então (X:A)k 0
de X relativo a A.
(iii) Sejam X e {(X,A)k}k como na parte (i). Se X= (X,A)n
para algum n dizemos que a dimensão de X-A
~
igual a n e escrevemos dim(X-A)
e
um complexo CW relati-
e
deno
e um par simplicial (isto ê,
Se
vo (X,0). O k-esqueleto de um complexo CW (absoluto) X
k
tado X
ou
n
Um complexo CW (absoluto) X
(iv)
ê menor do que
.
(1.3.3) Observação. Se
(K,L)
L é um subconplexo de um complexo simplicial K) entao
complexo CW relativo
(jKj,jLj)
com (jKj,jLj)k
particular se K é um complexo simplicial então
plexo CW (absoluto).
(Ver Spanier, p.401.)
-----------::::::::::::::::::::::::::::::::::::
----------------------
~
hâ
jKkULj.
\KI
e um
um
Em
com-
CAPITULO 2
1·1Di·:OTOPIA
2.1. Definições e Propriedades Fundamentais
Rcferincias principais:
Milnor,
Conde, Eilenberg-Steenrod, Hu,
Lima,
Spanier.
(2.1.1) Definições. Sejam X e Y espaços topolÕgicos e
f
e
g
aplicaçÕes contínuas de X em Y.
(i) Dizemos que
é homotÕpíca a g (notação:
f
existe uma aplicação contínua H:
Xxl +Y (chamada
tal que H(x)O)
g(x)
-
f(x)
e
H(x,l)
=
Sejam A um subespaço de X e f
(ii)
para todo a
E:
A.
a A (notação:
f
faz H(a,t)
=
~ g
f(a)
rel A)
= g(a)
se a
Se denotarmos por Y
-
.
se
homotopia)
x em X.
homotÕpica a g relativamente
aplicação H do Ítem (í)
todo
satis
tE I.
o conjunto das aplicaçÕes
tÍnuas de X em Y então as relações "::::"e" :::: rel A" são
.
g)
e g tais que f(a)=g(a)
para todo a EA e
X
(iií)
~
Dizemos que f
para todo
~
f
con-
relaçÕes
X
de equLvalencLa em Y
(2.1.2) Proposição. Sejam
f:
IKI + ILI
f
K+L
uma aproximação
e A o seguinte conjunto:
A=
~
e L complexos simpliciais,
uma aplicação contínua e g:
simplicial de f
Então g
K
{x
O /K/:
g(x)
=
f(x)}
rel A.
Demonstração. Ver
Eilenberg~Steenrod,
nLer, Lema 2, p.126
-23-
Teor. 7.6, p.65
Spa-
(2.1.3) Definições.
(i) Sejam X e Y espaços topolÔgicos, A e B subespaços de
X e Y,
respectivamente,
zemos que f
F: Axi+Y
~
e
f:
A +Y uma aplicação contínua. Di-
deformivel a B em Y se existe uma honotopia
tal que F(
,O)= f
e F(A,l)CB.
A aplicação F ~ chamada uma deformaçio de f
a B em Y.
(ii) Sejam X um espaço topológico e A e B subespaços de X.
Dizemos que A ~ deform5vel
jA: A+ X
a B em X se a aplicação
inclusão
ê deformâvel a B em X. Dizemos que A ê contrâtil
se
B se reduz a um ponto e A ê deformâvel a B em X (e portanto a
inclusão anterior é homotópica a uma aplicação constante). Em
particular o espaço X é dito contritil se a aplicação identidade em X
é homotÓpica a alguma aplicação constante.
(2.1 .4) Definição.
ter o mesmo
f:
•
t~po
;I
~e
Dois
e_spaços
•
homotcp~a
X -+Y e g: Y -+X tais que g 0 f
s~
:::
•
ex~stc~
idx e
~p
~0g
1.1caçocs
::: idy
idy sio as aplicaç~es identidade em X e em Y,
A aplicação
f
(ou g)
ditos
topolÕgicos X e Y
•
cont~nuas
, onde idX e
respectivamente.
ê chamada uma equivalência de homotopia.
(2.1.5) Proposição. Sejam A,B e c espaços
top01Õgicos
tais
que A tem o mesmo tipo de homotopia que B e B tem o mesmo ti-
po de homotopia qüe
C.
Entio A tem o mesmo tipo de homotopia
f:
A-+B, g: B+A tais que
que C,
Demonstração. Sejam
g0 f
~
idA e p:
B -+C e q:
C -+B tais que p 0 q :::ide
e
-25-
Então Pof:
A-+ C e
g 0 q:
f_roposiçã.Q_.
(2.1.6)
C+ A
tais qnf'_
sall
(p 0 f) o (e 0 q)
topológico é"
Um espaço
=
contrátil se e
so-
mente se ele tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto.
Demonstração.
Ver Spanier, Teor.
10, p.26
A proposição seguinte será usada em (5.1.7)
(2.1.7)
Proposição.
subespaços
Sejam X um espaço topolÔgico e A,
de X tais
que BCC, A
ê'
deformãvel a
B, C e D
B em X e C
-
e
deformâvel a D em X.
Então A ê deformável a D em X.
p~mon~j:_t:_!Ç_ão.
inclusão
Seja F: Axi -+X a homotopia tal que F(
jAde A em X e
f(A,l)c.B.
tal que G( ,O) e a inclusão j
c
Seja G:
,0)
Cxi-+X a
homotopia
de C em X e G(C,l)CD. Difini-
mos uma aplicação H: Axl +X por:
F(a,2t)
fi(a,t)
= J
c
1
=z
(F(a,1))
E:
A e
O,::;t::; .;
=
{
Seja t
para a
G(F(a,l),
Zt,l) para aE:A e
Como F(a,l) E C para asA,
= G(F(a,1),
1
2
~t.:::l
1
temos F(a,2. T)""F(a,l)>=
1
2 . 2 - 1 ) . Segue daÍ que H ê contÍnua.
Alêm disso
H( ,O)
H (A, 1)
F( ,O)
=
jA
= G (F (A, 1) , 1) C. G ( B, 1) C
Portanto R e uma deformação de A a D em X.
G (C, 1) C. D
-1.6-
{2. -1.8} Q~LI__ Q_i_ç_q~-~.· Sejam um espaço topolÓgico X, A um subsp~_
jA a indusãü Ue ;.._ em X,
ço de X,
cidades em A e em X,
idA e
idX as aplic::~.çÕes
icien
respectivamente.
(i) D izemos que A c um retrato de X se existe uma aplicaçsao continua f:
para todo x
E:
A).
X+A tal que f
A aplicação f
0
jA =idA (isto ê,
f (x)
~~-~ação de X em A.
ê chamada uma
(ii) A ê chamado um retrato de deformação de X se
uma retraçao f
de X a A tal que jA 0 f
~
""' x
existe
idX . Neste caso
-
f
e
chamada uma retraçio de deformaçio.
(iii) A é chamado um retrato de deformação forte de X
existe uma retraçao f de X a A tal que jA 0 f
te caso f
(2.1.9)
~
se
idx rel A. Nes-
ê chamada uma retraçao de deformação forte.
Pto~osiydo.
Sejam X um espaço topológico e
A um retra
to de deformaçio de X. Entio A tem o mesmo tipo de homotopia
que X.
Demonstração. Segue das definiçÕes acima.
(2.1.10) Proposição. Sejam K um complexo simplicíal, L
complexo total de K e N(L,K) a vizinhança regular de
(Ver
(1.1.27).
Para cada xeN(K,L)
temos x: =
I
j
a.v.
J J
um sub
L em
K
vêrti
cede N(L,K)), Definimos entao
v (x)
~
L a.1
i
l'(x)
~
l:
i
Em cada caso a soma
1
v (x)
a.v.
1
1
ê tomada sobre os vêrtíces
de~--· Então f(x)E:jLj
--2 i-
e f
h:
e uma retraçao de N(L,K)
ILi.
em
Al~m disso
a
homotopia
N(L.K)xJ -+N(L,K) definida ror
h(x,t)
mostra q~e
ltl
taf(x) + (1-t)x
:o
~um retrato
Demonstração.
de deformaç~o forte de N(L,K).
Ver Eilenberg-Steenrod, Lema 9.3, p.70
(2.1.11) Definição. Sejam X e Y espaços topológicos, A um sub
espaço de X e f:
X-+Y
uma aplicação contÍnua.
(i) Uma homotopia parcial de f
~
tal que F(x,O)
f{x)
e uma homotopia F:Axl-+ Y
para todo XEA.
(ii) A ê dito ter a
pro;e_::~_edade
da extensao de
homoto-pi~
em X com respeito a Y se toda homotopia parcial H; Axi -7Y
contÍnua f:
toda aplicação
H:
Xxi +Y
tal que H(x,O)
X -+Y
tem
extensao
=- f(x) para todo
de
contÍnua
xsX.
(iii) A ê dito ter a propriedade absoluta de extensao
de
homotopia em X se A tem a propriedade de extensão de homotopia
em X com respeito a qualquer espaço Y.
(2.1.12) Proposição.
vel
(Ver
Se (X,A) i
um par finitamente triangul~
(1.1.12 (ii))) então A tem a propriedade absoluta da
extensao de homotopia em X.
Demonstração.
Ver Hu, Prop. 9.2, p.l4
00
(2.1 .13) Definição. Sejam M e N variedades C
g apli"caç~es
aplicação
eco
00
C
F;
00
de M em N, Uma homotopia C
Hxi -+N
tal
qu.~
sem bordo e f
entre f
F(x,O) '"".f(.x)
e
D
e
e uma
=- g ( x)
para todo xcH.
00
Se existe uma homotopia C
-
•
•
entre f
e g diz-se que f
-
sao
g
e
00
homotoplcas C .
Pode-se provar (Ver Lima, p.23) que a relaçio ''f
00
mot5pica C
a
00
aplicaç(;es C
(2.·1~14)
~
ho-
g'' ~ uma relaçio de equival~ncia no conjunto das
de M em N.
Proposição.
00
Sejam M e N variedades C ,
sem
bordo,
compactas.
(i) Toda aplicação contínua de M em N e homotÓpica a uma
-
00
aplicaçao C
de M em N.
00
(ii) Se duas aplicaç~es C
são homotÓpica,:;
c
-
de M em N s ao homotÔpicas, elas
00
Demonstração. Ver Lima, p.25
2.2. Grupos de Homotopia
Referências principais: Hu, Spanier.
Se n e um numero natural n~l, denotaremos com In o cubo
unitário o-dimensional e com âln o bordo de In.
paço topolÓgico e x
aplicaç~es
o
continuas
c X. Sejam
~:
o conjunto quociente de
I
rn
n·
(X,x ) o conjunto de todas as
o
n
+X tais que a:(âi )
r n (X,x o )
''homotopia relativa a arn''.
Sejam X um es
•
X
o
e
TI·
n
(X,x )
o
pela relação de equivalência
r
1
'-"(2tl;t2' •. '}tn) (O < tl -< 2
(o:*f3)
(tl'' • •, tn)
~
c
l~(2t1-1' t2 •... ,tn)
Se
E f
o:
~
n
(X,x )
o
-1
(t
definimos
t
1' · · · ' n
tt*S
o
o:1*f31
(iii)
(i v)
~
~· re1
o
n
< t1 < 1,
-·
-
t?' •••• t
o -<
-
n
< l)
t2 • ... , tn < 1)
-
+X por:
13 '
e
81
~
-1
0::
s
e
elementos de
r n (X, X o ).
E: f ( X , x ) .
o
n
11
y
B1 e
1
s'
o
rel
arn
entao
arn.
rel
(~*S)
I
Sejam ""
(i) ~•s E: fn(X,x )
0
Se
-1
2
o<
)
(2.2.1} l'_rooosicão.
(i i)
~
'
(.~.
'
*Y
o
~•(S*y)
rel
arn.
= x
Seja f ; c f ( X , x )
n
o
o
para to-
do
(v) o:*o:
-1
~
Demonstração.
Se
p1a rel di
[8] •
o:
n
[~•s].
~
o:
-1
*o:
rel di
n
,
Ver Hu, p.l08
E f
de
~
n
CC
(X,x ) denotaremos por
o
em
Entio,
1T
n
(X,x )
o
a classe de homoto
se:r n (X,x o ) '
e se
j
[o:]
pelas propriedades acima,
r~]
L
definimos
(rrn(X,x ),
0
•
.)
torna-se um grupo.
(2.2.2) Definição.
O grupo
TI
n
(X,x) ê chamado o grupo de hoo
. Pa-
to base x
=-==-=---'
o
- J(j-
(:2.2.3) ~__e_ç:_e__s>_~--~S.â"~~- Sejam X, Y e Z espaços topolÓgicos
um vonto
(i)
de
e
x
o
X.
Seja f:
e par.a coda n
~
definida por
f
uma aplicação contÍnua
X -+Y
1 seja
-<tf ,n
f,.
-,r,n
tal que f(x ) "'y
o
o'
:1f CX,x) -+Tf(Y,y) a ap1icaçâo
n
o
n
o
<[ ocj.l = [fouJ
. Então
f
é um homornorfis-
--tj:,n
mo ele grupos.
(íi)
Se id:
aplicação id..
ê o homeormorfismo identidade,
X+X
1T
,n
n
(X,x ) +1r (X,x )
o
n
o
ê
entao
a
automorfismo identida
o
de para todo n.
(iii)
e
fê
Se g:
ê
Y -+Z
uma aplicação'continua tal
{i), ent~o
como na parte
(g 0 f)l,n = g#,n o f#,n
todo n.
(i v)
Se f , f ' :
X+Y sao aplicaçÕes
~
f(x ) :: g(x ) e f
o
o
(v)
(vi)
rel {x
0
}
-
então f
n
Se
n~2,
I - II,
ra (iv); p.
rr
n
(X,x )
o
Ver Hu,
~.114
109~
,
o
=
para todo n.
O para todo n.
Prop. 5.2, p.ll3 , para (i);
para
que
e um grupo comutativo.
(ii) e
(
para (v); e Prop.
(2.2.4) Proposição.
= f'tt-,n
if,n
para
tais
cont~nuas
Se X ê contrátil, então 7f (X, x )
Demonstração.
ties
f'
que g(y )::z
o
o
... ) ;
~~~
2.1,
Property V,
Properp.ll7,
p~
p.109, para (vi)
-
Sejam n e X como no começo desta secçao e
I+ X um caminho em X ligando
a induz um isomorfismo a n :
1T
n
X
o
a(O)
a x
(X,x ) -+71" (X,x )
n
o
1
1
~
cr(l).
Então
que depende
so
··31-
A demonstraçio completa pode ser encontrada em Hu, p.p
126-128.
MosttA.remos
aç~ni
ClfH·'fl'lS
como
ê
feita
g
constru<;ão do
isomorfismo posto que precisaremos explicitamente dele na prop.
(2.2.7)
abaixo.
Demonstração.
~.
presentante de
x E {)1° nos
e
leva a
todo t E I, Agora,
gulivel,
x - o(l-0)
para
de-finir uma homotopia parcial <ll:df
(Ver (2.1.11 (i))
de f
=
O fato de ser f(x)
por ~(x~t)
)
como
(1°,
= o(l-t)
-e
3In)
0
todo
x
I-+X
todo xcdr
para
um par finitamente
n
tria~
31° tem a propriedade absoluta da extensio da homoto
pia em In (Ver (2.1.12)), Portanto~ pode ser estendida a uma
aplicação continua F:
xci
0
e F(dln,t)
:o
I
0
xi +X tal que F(x,O)
cr(l-t)
para todo
SeJ'a agora g: (I n ,di n ) .-+ ( X,x)
o
g (x)
F (x, 1)
~
entao cr («)
n
Pode-se demonstrar
a aplicação definida por
TI
n
(X,x ).
Definamos
o
(Ver loc.
cit.) que
pende somente ~ e da classe de homotopia rel{x ,x }
- depende de
B nao
particular,
0
f
para todo
tsl.
e sejaS a classe de g em
B.
= f(x)
nem de F),
1
de a
e que crn e um
B
de(em
iso-
morfismo.
Sejam X um espaço topo16gico conexo por caminhos e x e
y dois pontos ,de
~·
Então existe um caminho a: I +X ligando x
a y e pela proposição anterior temos um isomorfismo
~
n
(X,y)
~
~
n
(X,x). Portanto, se X
é
conexo por caminhos, pod~
mos omitir a referência aos pontos base e falar simplisrnente
no grupo de
de no ta do
'11'
n
ho~otopia
-(X),
(absoluto)
n-dimensional de X, que.sejn
=-JL·~
(2.2.5) Def·in·ição.
~
Sejam X c Y espaços
topol~gi.cos
conr:xos
uma equival~ncia fraca de homotopia se o homomorfismo indu-
zido
f•
, n
:
rr
e um isomorfismo para
(2.2.6) Proposição.
n
(X,x) +rr
n
(Y,f(x))
todo n > 1.
Uma aplicação continua entre complexos
CW ~ uma equivalincia fraca de homotopia se e somente
uma equival~ncia de homotopia
Demonstração.
se
e
(Ver (2.1.4)).
Ver Spanier, Cor.
24 , p.405
O resultado seguinte nao foi encontrado nas referências.
Ele serâ utilizado em (5.2.4).
(2.2.7) Proposição.
Sejam X um espaço topológico e {X.}.
J J
T
Sv
uma família de subespaços de X indexada por um conjunto díri-
gido J. Suponhamos que a famÍlia satisfaça:
(i) X.
J
(ii)
X =
~
conexo por caminhos para todo j
V.J
E~1
X.
J
(iii) Para cada j
X·. C A. CXk para
J
J
(iv)
em J.
em J existe um aberto A. de
J
s
tal
k~j
e X.
que
tOdo k>j
Para todo j
em J existe k em J
trãtil a um ponto de Xk
(Ver
(2.1.3(ii))
Então X ê conexo por caminhos e rr (X)
n
=
tal que
).
O para todo n>l
J
e con
- j
Se x
x
0
t:
Xj
e
x
t:
1
ü
ex~
logo x
I
o
E X.
•
J
,
x
e
X
-
Se
o
Então XjC
t>k,
Como X.Q. e
t: XX,.
1
e
ta~s
que
x. 2 e
conexo por cami-
e
ix,
um caminho em X ligando
X
a
inclusão de
. Por-
o
conexo por caminhos.
Sejam x
X
y
0
0
Lal que i::j
ligando
-+ X.Q,
XX, em X então Íx,
tanto X e
l'Stao e;m X existem .1. kt:J
Seja X, t: J
Xk'
nhos existe y:
3-
o:
o
um ponto qualquer
uma classe em ~
n
de X,
J
e f: (I
(X,x )
o
n
t:
J
um Índice
tal que
um re-
,
presentante de cc, Pelas hipóteses
(ií)
bertura aberta {A.}. J
J J t:
como I n e- compacto e f e- eou
de f(In)
e
e
(iii)
podemos escolher uma subfamÍlia finita
tÍnua,
tal que f(I
n
Como J e um conjunto dirigido
)c:A.
Jl
existe kE:J ta.l que k>i.,
...•. k>i
--l_
--r
,
X.CA.CXk
Jl
Jl.
portanto f(I
(iv)
e.
e .Q.~k;
)C X
Seja
n
e
contrátil
a
um
ponto
X.Q,xi-+ Xm deformando a
in
ã aplicação <y>: XX,-+ Xm que leva todo ponto
xEXx, no ponto yEXm (Ver
(2.1.3
(ii)) ).
nho em X definido em X definido por cr(t)
e
minha
n
Pela hipÕt~
ysXm . Logo existe uma homotopia F.Q,:
X,Q.,-+ Xm
(iií)',
hipótese
entao
existe rnEJ tal que rn~X, e XX,
clusão i.Q.:
pela
.
, ••• ,X.C
Jr
tEJ tal que .Q.~j
se
existe urna co-
a liga y a x o
mo induzido por a(Ver
Seja Cí
n
:
Fn (x
J<.
'!T
n
o
• O)
Seja cr:
=
F
=
in (X )
~
)'.,
(x
cam~-
I +X o
, 1-t)
o
=
o
(X,x) +TI (X,y)
o
n
o
x
o
,
o ca
-
isomorfis-
(2.2.4)).
Definimos ago-ra uma
po:r
=
F~(f(x)
=
,t).
Então F é contínus, F(x,O)
0
ra todo xEI
F(ar 0 ,tl
e
-- Ft(f(x),O)
=
-
11
Fi(f(3I ).t)
l
=
(f(x))
0
--
"'f(x)
F (x ,t)
1
0
~
pa
a(l-tl
para todo tsl, pela definição de a.
Pela definição de a
CY
n
,1)] .
[F(
(")
D··c
e portanto
~
fismo temos
Mas para todo xsi
.1l]
= O,
(Ver fim da proposição
n
= O, Assim o
n
(cc)
donde TI (X, x )
n
minhos concluÍmos que TI
n
(X)
o
=O
11
(2.2.4))
vale F(x,l)=Fp_,(f(x),l) =y
O e como
o.
=
temos
-
a
n
-e
isomor-
Como X e conexo por ca
para todo n>l
2.3. O grau de uma A__e_l_!_cação
Refer~ncias
principais: Conde, Lima, Milnor.
~
Sejam M e N variedades C ,
sao,
e suponhamos que H e
-
ro
uma aplicaçao C
teorehlB de SarJ.)
e • se xsf-
1
orientadas e de mesma dimen
compacta e sem bordo.
e ysN um valor regular de f
Bnt~o
f-
1
(y)
tehl
Sejam i: M+ti
(que existe pelo
um n~mero finito de pontos,
(y) a derivada Df(x) estabelece um isomorfismo en-
tre o espaço tangente a M em x e o espaço tangente a N
em y.
Seja n a dimensão comum de M e N.
Dizemos que f
preserva a orientação em xsf
mamas cartas <fl:'\.L+JR
11
,
com xs\J.., e lJJ:V+JRn,
w
que dão as estruturas de variedade C
em xsf
-1
(y)
(x)
se quando to-
com yrz.-V, dos âtlas
orientada de M e N,
pectivamente, então o jacobiano de W 0 f 0 ~
minante positivo. Dizemos que f
-1
-1
inverte f
em <fl(x)
re~
tem deter-
inverte a orientação
se esse determinante é negativo.
Prova-se facilmente que as definiçÕes acima não dependem
das
-3'1-
se
x
>O c
sig(x):::-1
se
x<O
e
s:l.[;(ll)::: O ) defiram" ent:=.io:
"" [ l se f preserva a orier.taç::lc c:r: x.
sig D f(x)=sig (dct
onde det(J(t/Jcfo~
to
l -1
-)
se f
inverte a orientação em x.
)q-,(x)) indica o determinante jacobiano no poE_
$(x).
00
(2.3.1) Definição.
mesma dimP-nsão,
f: M+N uma
de f
Sejam H e N variedades C
e suponhamos queM ê compacta e sem bordo. Seja
•
-
00
apllcaçao C
-
e
ycN um valor regular de f.
Então o grau
-
em y e o numero:
deg(f,y)
L
=
xf.f
N0te que a
somal~ria
(2.3.2) Proposição.
são,
orientadas e de
-1
sig D
f(x)
(y)
tem ;;;eni.:iclo pois f
-1
( y)
t:
f.Lnito.
Sejam M e N variedades Cro de mesma dimen-
orientadas e sem bordo. Suponhamos que M é compacta e N
e
conexa. Sejam f:M-+N uma aplicação C00 e yE:e z N valores regulares de f. Então
deg(f,y)
Demonstração.
Ver Conde, p.
(2.3.3) Definição.
são,
= deg(f,z).
83.
00
Sejam M e N variedades C
orientadas e sem bordo. Suponhamos que M
de mesma dimen-
e
compacta e N
e
conexa. Sejam f :M->-N uma aplicação C00 e yc:N um valor regular de
f. Então o grau de f é o nÚmero:
deg(f,y)
deg(f)
peia proposiçio anterior,
(Note que,
(2.3.4)
~~opo~~ção.
s1
Sejam
a definiçio
tem sentido).
a circunfcr~ncia unit~ria no pl~
no complexo e k um número inteiro. Então a aplicação
c•
•
dexLnLda
por f( z ) =z k
Demons-tração.
Se k"'Ü entao f
regular um ponto de
deg(f)=O.
dada por h
f
Se k
hl: (O, 211)-->S
2
1
,
tem grau k ,
O,
s1
e constante,
e tomando corno valor
distinto de 1, por definição7
parametriz.s.çÕes
as
consideremos
temos
dada por hl (t)=exp(t)=cost .+isente h :(-l,l)-+s
2
(t)
=
r-·:r
11-t
1
1
cujas imagens h (D,21r)=S -{l}
+it,
e
1
h (-l,l)={cose+i
2
Al~m
disso h
-1
1
oh (t)=arc
2
todo -l<t<l. Dessa forma t
Observemos agora que
==sen[k(arc sen t)].
e h
1
2
-1
ofoh (t)=sen k
•
1
h~
mos f- 1 (1)={cos8+i sen9:9=ü,21(/.k
~
-1
'
Entao
(h
ofoh )
2
2
t
e
tomamos y:l na definição
Se
s 1.
sao cartas coerentes de
. . .'
(2.3.1),
obte-
2TI (k-1) /k} •
(o)""k e
k,
.
(k; 1 of h ~ (2n(k~l))~k. Se k>O, em todos os pontos de
1
f-
1 (1) ,f
preserva a orientação e portanto deg(f)=l+ ... +l=k. Se k<ü,
todos os pontos de f
-1
(1),
f
inverte a orientação e
em
portanto
deg(f)=(-1)+ .•• +(-Í)~(-1) lki=k.
(2.3.5) Proposição.
Sejam M e N variedades C
00
da mesma dimen-
são, orientadas e sem bordo. Suponhamos que M é compacta e N
conexa. Sejam f
-
e g aplicaçoes C
tópicas C00 então ambas
00
de M em N. Se f
têm o mesmo grau.
Demonstração. Ver Conde, p. 85.
ê
e g são homo
-37-
(2.3.6) Teorema {llopf). SejaM uma variedade c"" de dimensão m,
compacta,
conexa, orientada e sem bordo. Então duas aplicaç;es
00
sao homotópicas C
se e somente se elas
têm o mes
mo grau.
Demonstração. Ver Conde, p. 126.
00
(2.3.7) Definição.
Sejam M e N variedades C
orientadas e sem bordo.
sao, compactas,
de mesma dimen-
Suponhamos que N
~
co-
nexa. Sejam f:H-+N uma aplicaç.ão contÍnua e g:M-+N um2. aplicação
00
C
ltomotÔpica a f.
Ent~o o grau de f ~ o n~mero:
deg (f)
Note que,
dada f,
(2.1.14(i))
sitividade da homotopia,
tem que deg(f)
~deg
( g)
garante a existência de g; a tra.E:_
junto com (2.l.l4(ii))
e
(2.3.5) garaE_
está bem definido.
(2.3.8) Teorema.
00
Seja H uma variedade C
de dimensão m,
com
pacta, conexa, orientada e sem bordo. Então duas aplicaçÕes con
<
t~nuas
de M em S m sao
-
•
homotop~cas
"'
se e somente se elas tem
o
mesmo grau.
Demonstração. O resultado segue da transitividade da homotopia,
de (2.1.14) e de (2.3.6)
---------------------------------------
CA?lTU~O
GRUPOS DE
Refer~ncia
3
TRANSFOR~iAÇOES
principal: Bredon, p.p. 1 e 32.
(3."1.1) Definição.
Um grupo
topolÓgico e um espaço de l-lausdorff
G com uma multiplicação contÍnua
e
.
tal que a apl1caçao
G~G
a qual torna G um grupo,
""
que leva gEG em g -1 EG e- cont1nua.
elemento identidade de G será
separaçao,
GxG~G,
denotado por e.
o
(Pela hipÓtese de
todo grupo topolÓgico finito necessariamente tem a to
pologia discreta. Por outro lado, qualquer grupo pode ser considerado um grupo topolÓgico,
Um gru~o topolÕgieo de
(3.1.2) Definição.
uma terma (G,X,6),
(ii)
transformaçÕes
onde G ê um grupo topolÓgico, X ê um
de Hausdorff e e:cxx~x
(i)
tomando nele a topologia discreta).
e
espaço
ê uma aplicação contínua satisfazendo:
8(g,B(h,x))=B(g.h,x)
para todo g,hsG e xsX;
6(e,x)=x para todo xsX.
A aplicação 6 ê chamada uma ação de G (ou uma G-ação)so~
bre
X.
O espaço X munido de uma G-açio ~ chamado um G-espaço (i
esquerda). Usualmente escrevemos gx em vez de 9(g,x).
(3.1.3) Proposição.
Seja (G,X,8)
um grupo topolÓgico de trans
formaçÕes. Então para todo g em G~ a aplicação eg.:x~x
por~
(x)=gx e- um homeomorfismo de X (com
Demonstração .. Ver Bredon, p.
33.
-38-
inverso~
-1
definida
).
(3.1.4) Defi11içdo.
Um homcomorfi smo h: X-+X ê chamado periÕdi-
co se existe um nGrnero natural n>l
posiçio n vezes)
tal que f
n
=fofo ... of:X-+X(co.!!!
e a aplicaçio identidade e fm i
identidade para todo rn<n.
diferente
da
O nÚmero n e chamado perÍodo de h.
-
Seja Z o grupo dos inteiros e n um numero natural
> 2.
Usualmente denotaremos o grupo quociente Z/nZ por Z ,
n
(3.1 .5) Proposição.
(i) Se h nao
(i i)
Seja h:X-}-X um homeomorfismo. Entao
ê periÓdico, h induz uma açao deZ sobre X.
Se h ê periódico, de perÍodo n, h induz uma ação de Z
n
_P.emonstração.
m
f:l(m,x) ==h (x),
No caso (i), definiremos uma açao 8:ZxX-+X
onde h
da m vezes de h,
h-l se m<l.
sobre X.
o
(~
se m2_1~
No caso (ii)
(3.1.6) Definiçio.
a identidade,
por
11'-
h- e a composiçao i ter a-,
e ê a composição iterada
lml
vezes de
ciefine-se uma aç~o de WdiLeica an~lug~.
Sejam X e Y G-espaços e f:X-+Y uma
ção continua. Dizemos que f
aplic~
e G-equivariante se f(gx)=gf(x)
p~
ra todo gEG e xEX.
(3.1. 7) Definição.
G-Õrbita de
X
e
Sejam X um G-espaço e x um ponto de X. A
o conjunto G(x)={gx:gEG}.
-
Um ponto xEG e um pon-
to fixo da G-ação se G(x)={x}. O conjunto dos pontos fixos
da
ação de G sobre X seri denotado por F(G,X).
(3.1.8) Proposição.
Sejam h:X-+X um homeomorfismo e Fix(h)
o
conjunto dos pontos fixos de h. Entio a G-ação induzida po~
h
-ti u-
(vpr (3.1.5))
peri6dico e
F(G,Y)~Fix(ll).
satisfaz
c~z
se h
n
6
Col.oquemos
G'O" Z
R
e
-
h nan e
peri6dico de perrodo n.
~monstraç~.-SJ_.Notamos que se h(x)~x então flr(x)~x para todo rE.Z;
portanto Fix(h)
para todo r f Z,
estâ contido no conjunto dos pontos fixos
de h r
:Cntão:
Fix(h)~{x(..X:h(x)~x}=
n
{xEX:h r (x)=x}={xsx:h r (x)=x}para todo
r<Z
rczl~ F(G,x).
3.2. Ações Simpliciais
Referências principais: Brerlon) p.
~ejam G um grupo
(3.2.1} üefinição.
po com a
topologia discreta),
paço normado E (Ver
\K\
(1.1.9)).
(Ver
(1.1.3))
K
discreto
e
eg \K\-+\K)
é uma
ê, um
gr~.
é
uma aç~o de G sobre
~ão
simplicial se pa-
definida por
simplicial (Ver (1.1.19)).
munido de uma G-ação simplicial
(isto
um complexo simplicial num es-
e 8:Gx\K\+\K\
Dizemos que
ra cada gsG a aplicação
aplicaç~o
115.
8g (x)=gx é
Um conjunto simplicial
uma
K
chamado um C-complexo simpli-
c i a 1.
(Como, para cada gsG,
fistpo,
8
g
s
g
é
simplícia1 e também é um
homeomor-
leva simplexos de K, preservando a dimensão).
(3.2.2) Proposição. Seja K um C-complexo simplicial. Então
aç~o
a
simplicia1 de G sobre K induz uma ação simplicia1 de G so
bre a primeira subdivisão baricêntrica Sd(K).
Demonstração.
Consequência imediata de (1.1.22).
~·
t: 1-
xo simplicial.
(I)
Entao as
afirmaçÕes
e
(I)
comp1_~
ll6). Seja IC um G
ll.)
(li)
sâo equivalentes.
Para qualquer gcG e qualquer ::>Ímplcx.o At:Kj
deixa
g
AngtA)Eixo ponto a ponto.
(li)
gc:G e
Se
v
ê
de K tais que v e
um vértice
gv pertencem
a um mesmo símplexo entio v=gv.
Demonstt~açâo.
Suponhamos
tice
de K tais que v e
[v,gv
J EK
(I)
e portanto g
A(\g(P.):=~,
(I)
simplexo de K.
gvcg(A)
por
logo v e
(II).
(3.2.4) Proposição.
isto
é,
gv""V.
Sejam gEG e AEK.
g(A).
Se
e um
Então
[v,g·vJ é
Assim
um mesmo simplexo,
f a-
donde
qualquer vêrtice de A_ng(A) ,e
fixo
ponto a ponto.
1.1, p.
116).
Seja
(e portanto a afirmação
(Ver (3.2.2))
(II))
satisfaz a
da proposição
afirmação
(3.2.3).
Demonstração. Sejam gsG e AsSd(K), e consideremos Nlg(A).
(I)
estâ satisfeita.
um simplexo de Sd(K).
tão gwsg(A)
e
Se AJl_g(A)+Ql então A(\g(A)
Seja w um vêrt.ice qualquer de A{1g(A).
portanto w e
K
Então a ação induzida na primeirasuE_
divisão baricêntrica Sd(K)
Ang(A)=Ql então
r-~
g(A)=[v,gv] .Por
de K contido em Ang(A).
(Ver Bredon, Prop.
um C-complexo simplicial.
(I)
-
v um v e
Se A(lg(A)+~ então Af\g(A)
gv pertencem a
Então g deixa fixo
At-;K e
ponto,
gv perter:;c.:::.m a
linearidade g deixa Ang(A)
=
verdadeira.
um vértice
e
v,v ]
fixo ponto a
trivi:ümente.
Seja v
Sejam geG c
gv pertencem a um mesmo simplexo. Entio
agora (II)
e portarito v
ce de g(A),
v=gv por
vale
verdadeira,
-] [v,gv
. J ~ [g -1
g deixa Ang(A)={v}
Suponhamos
(I)
gw pertencem a
g(A).
Assim
[w,gw]
Se
-
e
En
e
c como
centro ê um ponto do interior do simplexo,
da,
como g mantêm a dimensão dos
temos A ==g(A ).
1
2
simplexos e
Ain
:5.. A =g(A ) va-
A
1
1
2
le A =g(A )=A c portanto w=b(A )=b(A )=gw. Entio g deixa fixo
1
1
1
2
2
todos os vértices de Ang(A)
e,
g deixa Ang(A)
por linearidade,
fixo ponto a ponto,
3.3
_Q__J:.eor~~
da Aproximaç~o Simplicial_Equivariante.
Refcr~ncia principal:
Bredon, p. 68.
-
O resultado seguinte, que e
uma variaçao de uma asser-
çao que aparece no Exercício 6 de Bredon, p. 68,
recebe o nome
de Teorema da Aproximaçio Siwplicial Equivariante,
Sejam K e L complexos simpliciais
(3.3.1) Teorema.
flni-
tos e G um grupo discreto agindo símplicialmente sobre K e so-
IKI-+ILI
bre L. Seja f:
uma aplicação contínua G-equivariante,EE!_
tao existem um n~mero natural r
cial
tjl:
tjl:Sdr(K)-+Sd(L)
IKI-+ILI
de
f
que
ê homotÓpica
a
f.
Demonstração.
uma
o
Entêo f
tal
G-equivariante
.
.
simplique
w e vértice de Sd(L)}
-1
(U)={f
-1
o
(St(v,Sd(L)): w e
uma cobertura aberta do espaço compacto
Sejam 2E > O o
-
.
aprox~maçao
Consideremos Sd(L) e a cobertura aberta
U={St(w,Sd(L))
de
e
> 1 e
.
n~mero
de Lebesque de f
-1
v~rtice
de Sd(L)}
é
IK I
(Ver (1.1.13(ii)).
(U)
e
r
um numero natu
-43tal que: iilesh (Sd r (K))
rsl > l
<
"
Como ernSd'"(K)
(Ver (1.1.12)).
t:
v~rtices,
existe apenas um numero finito de
n~mero finito de G-6rbitas em [sdr(K)]
0
existe apenas
um
Escolhamos um v;rtice
•
vi para cada Ürbita e chamamos V ao conjunto {v , •.• ,vn}
1
des-
ses vértices.
Se A ê um simplexo qualquer de Sdr(K), o seu diimetro5
menor que E pela escolha de r
(Ver (1.1.11)). Portanto, se
ê a bola aberta de
e um vértice qualquer de V e B (v.)
v.
e
~
raio c,
o
temos
St(v. ,Sd
r
].
existe um vértice u.
o
Escolhe mos um desses u.
Pela escolha de
v]_
tal que B (v.)Cf
E
-1
l
~(v.)=u,,
e definimos
'
'
centro
'
(K))CB, (v.).
de Sd(L)
l
v.
'
'
2s
o
(St(u. ,Sd(L))).
1.
A seguir
vamos
definir~ para qualquer vértice v de Sdr(K). Para isso necessi
taremos das
Cf
-1
consideraç;es seguintes.
o
o
(St(u. ,Sd(L))),
Como v pertence a uma das
r
o
ternos f(St(v. ,Sd (K)))C:St(u.,Sd(L))
1
1
.
o
r
o
gf(St(v. ,Sd (K)))CgSt(u. ,Sd(L)).
'
'
~
e
1
é
f
Como
portanto
equivariante obtemos
o
r
o
f(gSt(v. ,Sd (K)))CgSt(u. ,Sd(L))
'
Se agora colocamos A
:gu.eB} temos
'
g A
u.
~{gA
'
={AeSd(L) :u. eA} e A
1
'
'
'
ui
Sd(L) :u.
A},
e
'
como ·gu. EB implica que u. sg
portanto
A
'
u.
Dessa forma
'
u.
'
u.
'
U g <B > = \.)<gB > = \.) <C>
BEA
g
'
A
BEA
u.
"
gui
={BsSd(L):
como u. sA implica
P or outro 1 a d o g -lA
gu. sgA então gA C A
1
u.
gu.
:gu.sB}, e
( 1)
'
-1
=A
'
gu.
'
B
--{g- 1 B Sd(L)
temos
gu.
'
,
que
g-
donde
1A
C A
gui
ui
e
-44-
~U<B>~
Com.o s'L(u. ,SU(L))
'
o1te111os
o
gSt(u. ,Sd(L))
'
Analogamente
o
St(gu. ,Sd(L))
"
deduzimos que:
o
St(gv. ,Sdr(K))
"
Assim,
de
( 2)
1
(2)
(1),
e
(3)
obtemos
r
o
( 3)
1
o
.
f(St(gv.,Sd
(K))lCSt(gu.
,Sd(L))
J.
.
J.
.
.
que v=gvi
trar que
e
que
<P(v.)=u ..
1
1
Então
í(l está bem definida,
definimos
( 4)
cfJ(v)~gu .•
1
Para demons
suponhamos que v=g v =g vi. Por (4),
1 1 2
o
f(St(v,Sdr(K))) "
e
donde
<j>
+f (S ot( v, Sdr (K)) )CS ot (g 1 ui, Sd(L) )(\S o
t (g
Por (1.1. 24),
-
çao por
-1
o
oz
(g 1 ui,
ui, Sd(L))
ê simplexo de Sd(L). Como a transla
g ui]
2
é s:i-rnplicíR1
2
e
p
r~
R
e. r v a climensÕes,
-45-
simplcxo de Sd(L). Pela prcposiç~o
donde
g
1 u.~g,u ..
Portanto$
].
]_
est~
ifl por linearidade aos simplexos
(3.2,4)
bem definida. Agora es tendei!lOS
de Sdr(K).
aplicação simplicial ~:Sdr(K)-+Sd(L)
Entao pela proposiçao
plicial de
f.
Além disso,
tão gJ--qr(v):-g' (gu.)
l
de
e,
uma
por cons-
~
-
e
de
uma aprox1maçao s1m
vê um vértice de Sdr(K) e g'c G en
portanto
v=gv.,
enquanto
que
l
g'~(v)=t(g'v).
Assim,
por
li
'
e
entao
G-invariante. A afirmação de que ~ ê homotÓpica a f
s e'gue
nearidade,
~é
assim
para cada vértice v
(1.1. ~5),
p.:1ra um gcG tal que
~(g'v)=~(g'gv.)=(g'g)u.;
l
se.
Obtemos
bem definida,
o
r
o ,
truçao f(St(v,Sd (K))):=stC,!;(v),Sd(L))
Sdr(K).
vem que
g'<jJ(x)=rjJ(g'x) para todo -ponto x em
(2.1.2).
:::::::::::::::====:::::::::
--------------::::::::::::::::::::::::::
--------
ISdrKI,
PARTE 11
ALGUNS METODDS
DE CONSTRUÇAD DE ESPAÇOS
CAPITULO 4
LUiiTES INVERSOS,
4.1
CGL1;Gti~S
E JUNÇOES
Limites Inversos
Referências princÍlJais;
p.
212; We_llace, pp.
Dugundji,
182 e
(4.1.1) Definição.
p.
427; Eilenberg-Steenrod
217.
~
Um conjunto preordenado
munido de uma relação binária, denotada >, que
um conjunto
ê reflexiva
A
e
transitiva.
Um sistema inverso de grupos ê uma famí-
(4.1.2) Definição.
lia de
grupos
ordenado A,
abelianos
TI
(i i)
TI
indexada por um conjunto pre-
tal que para todo par de Índices o:,
nas=
existe um homomorfismo
(i)
{GIY. }aE:A'
aa
Sc::A com
GB+Ga satisfazendo as condiç~es:
é a identidade para todo acA;
0 oTI 0
~y
a~
=TI
quando y > S >a.
ay
.
Tal sistema será denotado {G ,
a
naS' A},
(4.1.3) Definição.
O limite inverso do sistema inverso
grupos {G ,
o subgrupo, denotado lim G ,
a
•-
XG
a
do
de
produto
={{g} EA:g EG } subgrupo este
a cr
a
a
formado
pelos elementos {ga}aSA s )(A Ga cujas coordenadas ga
ac
zem a relação ga~naS gS sempre que S > a.
satisfa-
cartesiano (forte)
(4.1.4)
Definição.
uma famÍlia de
ctEA a
Um sistema inverso de .espaços topolÓgicos ê
espaços
junto preordenado A,
6 >a,
existe
topolÓgicos
{E
}
a asA
,
indexada por um con
-
tal que para todo par de Índices a,6cA,com
uma aplicação contínua TI a:E ~E
a~-'
-47-
a
a
satisfazendo as
condiç:.Ões:
(i) TI
o: o;
~
a identidade para todo ~sA;
naB~nGY
(ii)
~ 1raS quando y
> B > a.
Tal sistema será denotado {E a'
(4.1.5) Definição.
paços
to-polÓgicos
·rraf?>'
O limite inverso do sistema inverso de es
{Ea'
do produto cartesiano
lTaB'
é
A}
(forte)
o subespaço,
X•
aEt-'-
este formado pelos elementos
ÇO
denotado l..im Ea
E ={{x }
:x c:E },
a
a ac:A a
a
{x }
a at::
das satisfazem a relação xa=TTaf3(x )
13
X
A}.
Ea ê dada a topologia produto e
A
E:
X
at.A
E
a
sempre que
em
l...i!P-
Ea
subespa-
cujas
coordena
S 2_ a.
Em
é. dada a topolo-
aEA
gia induzida como subespaço.
~~finição.
(4. 1.6)
Um conjunto dirigido é um conjunto preo2:.
denado A tal que para qua1squer a,
tal que
G E A existe YEA
y>aey>S.
(4.1 .7) Proposição.
espaços
topológicos.
(i) Se E
X
asA
em
(ii)
E
a
é
Seja {Ea,naB'
Ha~sdorff
para todo at::A entao limE
+--
a
e
fechado
a
Se Ea. e compacto (neste trabalho um espaço compacto
Se A
ra todo O:EA,
para todo aEA,
então lim E
+
a
ê um cbnjúnto dirigido e Ea ê compacto e
é
e
compacto,
Ea+<~> pa-
então Jim Ea+<P.
Demonstração. Ver Dugundji, Prop.
pp.
de.
Então
por definiçio llausdorff)
(iii)
A} um sistema inverso
216-217, Wallace,
p.
2.4, p.
429, Eilenberg-Steenrocl,
218.
O resultado seguinte é um caso particular do Teorema da Conti-
-49-
auida~c
,·
na teoria de ltomologio de
(4.1.8) Teor·e111J.
Ce ch.
Sejam A um conjuulo dirigidu e{~
um sistema inverso de espaços
induzido em homologia por TI S' e
a
{iÍ (E )
a
p
,1r
0 .. ,
0:1-'''
a
P
grupo de homologia de Cech de E ,ír
a a )(
de grupos
,11 0 ,
a:f.-'
topológicos compactos,H• (E )
s·
p-~simo
a
v
lim H (E )
+-----
p
a
.
;
"I
o
o homomorfismo
o limite
1nverso
A}. Então, para todo pEN,H (limE )
p
+---
a
~
v
=limH(E).
•-
P
a
Demonstração. Ver Hallace, Teor. 6-·16, p. 227; Eilenberg-Steenrod,
Thcor.
4.2
3.1, p.
261.
I.o_lagens
Refer~ncia principal:
Dugundji,
p.
127.
{4.2.1) nefiniçi:ío.
16gicos indexados por um conjunto de indices A. Para cada aEA,
damos a Xax{a} a topologia produto da topologia de Xa com a to
pologia discreta de
I
aEA
{X }
a
{a}. Então a união disjunta
=
da
U (Xa. x{a})
aEA
Z {X o. }
com a seguinte topologia: UC
o. EA
aberto para todo acA.
(4.2.2) Definição.
familia
Sejam {X } uma fami:-lia de espaços
a
e
topol.§.
gicos indexados por um conjunto A, B um subconjunto de AxA uma
familia de funç~es contfnuas (chamadas funç~es de colagem) sa-
-50-
d.sfa?.endo;
3
8
8
(i) Para todo (a.B) B então fu :A~ ~x
do
de x
Para
todo
(a, S)
Para todo (a, S)
(iii)
(i v)
e um fecha
3
·
a'
(i i)
onde Aa
Para todo
(a,i3)
+ (a,y) sE
+
+ (y,a)sB
~;
então AaS (\ Aay •
(y,S)cB entao
f
aJ.J0
(A
a.:p0
)nf
entao AaS (\ faS
,(A
y,_,
Yf->0
)
(Aya)
~-
@
Seja R a relação de equivalência definida na união
"Se
(x,a),
2 {Xa.}
(y,S) E
entao
disjunta
(x,a)R(y,i3)
(x,a) •
acA
~(y,S)
ou faB(x)
=
y."
Entao o espaço de colagem da famÍlia de espaços
{X }
a ac
Apela
fa
mÍlia de funç~es {faB}(a,B)sB e o espaço quociente
l:
U·
(faSl
(A fim
-
de na o
carregar
(X }
a
acA
R
demais
as no taçoes,
identificamos{x }x{a}
a
com Xa e um ponto xt:Xa com a classe de equivalência que corresponde a
em
L/ }
(f
aS
{X }) .
a
ele
-Si-
(4.2.3) -·-~--"Definição.
çoes
condi
da definição (4.:(.2), Y um espaço topolÓgico,
e
F
;
~
Xa
·*
(isto
Y (aEA)
uina famÍlia de
funçÕes
é, as funçÕes da família {F } A coincidem nos pontos que
a as
sao identificados pela colagem.)
{F
lia ele funçÕes
como sendo a
\.)
{F
dada por (
u
{F } )
( x)
a
{f aS}
a
u
),
a colagem da
Definimos
}
a ar.A
{faB 1
4.3
satisfazendo:
funç~o
{X
{f aS}
" F a ( x)
famí-
a
}
se xcX
+ y
a
.
Junções de Espaços Topológicos
Refer~ncia principal:
Bredon,
(4.3.1) Definição.
Sejam A e B espaços
zios e I
=
(o, 1]
1R.
pp.
(ii)
a= a 1
,
t""
topolÓgicos nao
va-
SE:ja R a J.:elação de equivalência em Axüxi
definida por (a,b,t)R(a',b',t')
(i)a'"'a',b
58-59.
b
1
se e
, t = t 1 set
t',
se
(iii)b=b',t=tset
Então a junçã.o ("join")
t
somente se
O e 1
=O
1.
de A ·e B
é o espaço topológico
A«B = AxBxl
'R
Denotaremos com TI a aplicação canônica de AxBxi sobre A*B.
•. 5 L.-
l
'
'
''
IJ,<~:;;~>/
~
A -----:;,.
A*B
Damos a
a
topologia quociente.
Observações
(a)
Seja
(S:-b;-t)
a
c1as.o:;e de equivalência de
A*B. Para simplificar as
notaç~es,
(a,b,t)
adotaremos
as
Axbxi
E>-m
seguintes con•
vençoes.
Para todo trdO,l),
(i)
mos
(a,b,t)
(ii)
Se
crevemos
(iii)
t
=O,
(a,*,O)
Se
crevemos
em vez de
t
=
1,
(*,b,l)
como
como
(~b-;t")
=
{(a,b,t)}.
escreve-
(a,b,t).
(a,b,O)
em vez de
para todo bE:B},
es-
"'{(a,b,l), para todo aE:A},
es-
(a,b,O).
como (a,b,l)
em vez de
= {(a,b,O),
(a,b,l).
(b)'Notemos que A*B.contém cOpias naturalmente homeomorfas
A e B,
a saber {(a,*,O):
as quais sio fechadas
(4.3.2)
aE:A} e {(*,b,l): bE:B}
a
respectivamente,
em A*B.
Obtêm-se ·uma sub-base para a topologia de A*B
t oma.nd o
uma sub-base de AxHxl e passando ao quociente pela relaçio
cquival-;;:ncia R,
tos
Tomando a sub-base de AxBxl
formada pelos abeE
do tipo A1 xB xr
onde A ~ um aberto de A,
1
1
1
de B e r
1
R
"
B
1
~ um
aberto
é um aberto de I e passando ao quociente obtemos
Al xB xll se {O, 1}
1
A xn xr
1 1 1
de
Il
n 11
" ~
A xB x(I -{0})
1 1
1
U
{(a,*,O): aE:A } se Dd e Ur
1
1
1
A xR x(I -{l})
1
1 1
U
{(*,b,l): bcB } se lEll e 0ri
1
1
A xB x(I -{0,l})
1
1 1
U
{(a,*,O): acA }
1
U {(*,b,l):bsB } se
1
{O,l)Cr
1
{4.3.3) Definição. Sejam A e B espaços topolÓgicos nao vazios. En
tao definimos
~*B
"
{(*,b, 1): bcB}
A*cjl = {(a,'",8):
Damos
a ~*B e A*~ as
meomorfos
e
~*B
at:A}
topologias que os
a B e A respectivamente.
e A•~<P s ao exatamente as
tornam naturalmente ho-
Ainda,
~*BC
cópias homeomorfas
pectivamente, mencionadas na observação (b)
(4.3.4) Definição.
S·ej am A, B,
vazios e
g: A+ B e h:
tão g*h:
A*C ~ B*D por
(g*h)
onde asA,
c E C,
tE!.
(a,c,t)
de B e A,
r e~
topolÕgi c os na o
contÍnuas.
'"'· (g(a) ,h(c) ,t)
A*<P CA'>'•B,
de definição (4.3.1).
C e D espaços
c+ D aplicaçÕes
A*B e
Definimos en
- s it -Proposi~çao.
(4.3.5)
r.,
S"'jam
C,
D, E e F egpaços topolúgi_
cos nao va?.l.OS.
Se g:
(i)
g*h:
A*C
(íi)
A -* B e h:
h:
B
+
entao
-* B*-D é continua,
Se g
1
;A-* B,
g
:
2
B -)C,
h
1
:
D -rE·c h
então (g *-h )·(g *h )
2
2
1
1
caçÕes contínuas,
(iii)
C -·r D são .aplicaçÕes continuas
Sejam A e B espaços
"'(g
2
2
:
E "*F sao apli:_
·g )*(h •h ).
1
1
2
topolÓgicos não vazios e g: A +A,
-
B aplicaçÕes contlnuas e Fix(g), Fix(h) e Fix(g*h)
conjuntos dos pontos fixos de g,
tão Fix(g*h)
*
Fix(g)
:=
Demonstração. (i)
h e g*h,
respectivamente,
os
En-
Fix(h).
Sejam
-rr :
1
lT
A*C
l'~xCxl
: BxDxl
2
+
B*D
as projeçÕes canônicas. Temos cn ta o um diagrama comutativo.
gxhxid
AxCxi
TI
1
l
Ai!
Como lfl==7T o(gxhxid)
2
'
BxDxi
' '
gl~h
c
e
gia co-induzida ~or n
1T
'•, 'f
2
'
....
B1:D
contÍnua, ljJ==(g>~h) ,n
1
1
, e A*C tem a topolo-
segue que g*h ~ continua.
-55-
.Cii) Se (a,d,t)cA*D
(iii)
entd0
Temos
(a,l>;t") "(g(a),h(b),t)}-
Fix(g*h)"{(a,b;-iC)sA'B:
1..'(c.., b-,,
'\..} 0.: A•B·
••
•
U{
u{
(·a, b
(a,*,o)sA*B:
")
1 \..
(a,*,o)
(*,b,l) c.A*B:
(*,b,l)
={(a,b,t)t:A*B:
a=g(a),
u{(a,*,o)EA*B:
(g(a),h(b),t)paí~a t{O,l}
-
a=g(a)}
:= (g(a),*,o)}
(*,h(b),l)} :=
b=h(b)
se tfO,l}
{(*,b,l)sA*B:
b==h(b)}
Por outro,lado
Fix(g)*Fix(h)"{aoA:
U{(a,*,o)c:A*B:
a"g(a) }*(bcB: b"h(b) }"
a"';;(a)}
{(*,b,l)sA·*B:
b:=h(b)}
Portanto Fix(g*h)
o FÍ"(e)"F'v(l')
.,
o
-'
(4.3.6) Observação.
(X·~.y
zios e
observação
Sejam U
1
3ejaw A e B
1 ,t 1 )E:A*B
C A,
U C
2
B e
u
3
(!1.3.1)
C
e como {0,1}{1
-
u
1
xu 2 xu 3
tínua f:
=~podemos
u3
(Ver (4.3.2)).
(-;z~~~).
vizinhança de
u xu xu
2
1
bém contÍnua,
2
-+
3
topolGgicos uao
3
(x
1
,y
1
da
, t ) =(xl'y ,t ).
1
1 1
x
1
,
y
e
1
vizinha~ de
(x ,y , t ),
a
identificação
u1 xu xu
u1 xu 2 xu 3 é
1
1
1
2
identificada a
3
~
uma
Segue daÍ que qualquer aplicação con
X induz uma aplicação f:
u xu xu -+ X, tam2
1
3
que pode ser identifi-cada com f.
Existe
11m
Para
simplificar
-
a notaçao escrevemos nesse caso f
(4.3.7) Proposição.
v a-
é :.ema
fazer
Então
temos
vizinhanças de
(O.l)
respectivamente. Então U xu xu
1
~spaçus
t =fü,l. Pelas identificaçÕes
1
tal que
da definição
(a)
•
~
em lugar de f.
homenmorfi.smo de Sn*Sm
:3
obre
su+w+l
Demonstração. A
figura abaixo indica o que deve ser feito
caso em que n=m=O.
Denotamos
os
dois exemplares
+
nica e
~
-
~:S
o
+
s1
o homeomorfismo
a
de
com
o
o
.
~
S *S
a apl1caçao cano-
ser construÍdo.
deve levar os segmentos nos arcos.)
so
no
(Na
figura
-57-
Consideremos
&gora o caso geral,
n
ja então
m
S
: S xS xi
n+m+l
utilizando a mesma idEia.
Se-
, [ . .
ue ·unda por
~(x,y,t)~ [(l,t) (x,O, .•. ,O)+t(O, . . . ,O,y)
L~
'--~J
. 2 -1/2
J ·(l-2t+2t)
m+ 1 coordenadas 1 n +1 coorde-nadas
anel. e xcS
Entio
n
,
ycS
cp
é
e
~ est~ bem
Jl(jl(x,y,t) li
(i)
m
tcl.
2
definida para 1-2t+2t >0 para todo
1..
=
Além
disso~ tem as seguintes propriedades
ê contínua (Obvio!); (iQ A restriçao
de
injetora e valem <jl(x ,y ,0)
1
1
y ,y cs
1
2
m
, e cp(x ,y ,1)
1
1
Com efeito,
~(x
=
=
ql(xl'y
cp(x ,y ,1)
2
1
sejam (x ,y , t )
1
1
1
2 ,y 2 ,c 2 ).
2
,0)
(x ,y , t )
2
2
2
L:
( O, . . • , O, y
aS
n
m
xS x(O,l)
todo
para
para todo y
e
cjJ
1
cs
m
e
tais que <P(x ,y , t )=
1
1 1
Ent~o
..
[ ( l-
1- t
Logo
e
t
1
) (x
1
A-zr 1 +zri
1
, O , . . . , O) .;
1-t
,xl
~
!Í.-2r
t1
A-zr 1 +zr{
2
1
2
-1/Z
2
) ] • ( 1- 2 t +- Z t. )
1
1
1
x2
+t;
t2
y1
~
h-2t2+2t~
'
Y2
Tomando as normas euclidianas das igualdades
acima e
lembrando
vem que
1- t
2
-h-2t 2 +2/2
(1)
t
1
=
Das igualdades
t
1
""1
t -fl.
2
anteriores vem que
se e sô se t
2
=1.
Então t
Seja então t fü,l
1
1
=fo
t
1 ~o
se e
2
sô se t =o~ e
-
se
(e portanto
que
e 'o
+o, 1).
Dividindo (1)
mem
Então (l-t )x :eo(l-t )x e t y =t y . Assim, para t(i-0,1 vem que y =y
1 2
1 1
1 2
1 1 1 2
e
x =x . Para t =0 vem que (x ,o, ... ,O)=~(x ,y ,o)~cp(x ,y ,o)=(x ,o, ••. ,O)
1
1 1
2 2
1 2
1
2
e
t
2
bro a membro vem que
temos
t
1
""tz em todos os
casos.
Temos portanto
portanto x =x e y e Yz são quaisquer. Para t =1 vem que (O, ..• ,O,y )
1
1 2
1
1
=cp(x ,y ,l)=tjl(x ,y ,1)=(0, ... ,O,y )
1
2
1
2
2
são quaisquer
(íii)
temos
j
<jJ
=
e portanto y =y
e x
e x
2
1
1
2
.
é sobr.eje!:ora. Com efeito, seja z=(z 1 , ... ,.z n.,zn+· , ..• ,
1
[w 2 j
]=1, o que implica z=(O,,,
.,w )
2
Tomando
entao w'ESn+l arbitrariamente obtemos tjl(w' ,w ,1) :::(O, ••. ,O,w ).=z.
2
2
-59-
Se
'"z:::(O, ...
w ES
1
11
•
,0)
temos
llw 1 ll'""l,
o que implica z=(,.,
Tomando então W11 ESm aTbitrariamente,
1
,o, ...
,O) com
obtemos ~('"l'w",O)
=
= (w 1 ,o, ... ,o) = z. Se w1 f(O, . . . ,O) e w2fco, ... ,O) então llw 1 l!+o
"J
e llw 2 11+o. Podemos escrever z=llw 1 11·(---·-,o,
... ,O)
+
w
llw 1 ll
2
+ llw ll
0, ... , 0 , - - -- . Fazendo
2
llw 2 11
1-t
t
c
;--2
(l-Zt+2t
A-2t+2t
2
obtemos
t
o [o, 1]
=
f_ wl
Entao <jl\
z. Assim 1:
llwl li
sobrejo2tora.
Considermos agora o digrama comutativo.
onde TI
ê
(jl(x,y,t).
a aplicação canônica e
Então
4>
-
ê definida por <f>(x,y,
4> estã bem definida pois
={(x,y,t)}. Se t=O e
(x ,y ,0)
1
1
=
se
(x ,y ,o)
2
2
finição de R e, p,ela propriedade (ii)
de <!J,
t+O,l vale
t)
""
(x,y,t)=
vem que x =x
por de
2
1
-6 0·-
Se t=l e
(x
1 ,yi,l)~(x 2 ,y 2 ,1)
vem que y =y pela
1
2
definiç~o
de
R
e pela propriedade (ii) de rp temos,
Ainda-p-Dr (ii)
cp
ê injetora c por
rp e
(iii)
sobrejeto~·a.
Como
n m
,
S *S
tem a topologia co-induzida por TI e ~ ~ cont1nua entio
n
m
S xS xi e
ê contínua. Como Sn, Sm e I sio compactos
..
como TI e- cont1nua
S n *S m e compacto.
c orno
- n m
ê bijetora e contínua segue que cp:s *S
cp
compacto, e
sn+m+l e- Hausdorff· e rp
-+
s
n+m+l
e
um homeomor-
fismo.
(4.3.8) Concluiremos esta secçao analisartdo a estruturA de
va-
·1 em S n.xs m. Corno cn+m+l
riedade d 1' f·ercnc1ave
~
e uma variedade
conexa,
fismo,
00
C
compacta e orientâvel, e ~:Sn*Sm
n
podemos dar a S *S
conexa,
m
-+
sn+m+J
e um homeomor
variedade
uma estrutura natural de
compacta e orientâvcl pela composição de
cf>
com
as
cartas de sm+n+l. Com esta estrutura cp torna-se um difeomorfis00
mo C
n
m
uma orientaçao
que posVamos agora escolher para S *S
sua como cartas coerentes (isto e,
cartas cujas mudanças
coordenadas tenham determinante jacobiano positivo)
d as
d e mo d o natura 1 a
•
part~r
d e cartas
de
carttiS obti
coeren t es de sn e sm.
Então (Ver (4.
Se
3.6))exi~
-6 _\_-
tivamen te;
tas
id
2
c a :r. tas
coerentes,
:c 2
+
c2
as
identificaçÕes
n
3
eoe:rente.s
:u 3
+
IRm e
TI :Hf; _,. JRrn.
4
aplicaçÕes identidrrdc.
(lt.3.2)
de
temos
ss
Sejam
Corno
t
seguintes
1
id
,
t
2
:C
-+
1
'fü,l,
cartas
c
1
e
usando as
de Sn*Sm.
III)
mn+m+l ,
I V)
+
V)
+
VI)
+
m
...;-
""'n+m+l
li<.
=
n+m+l
VII)
V I ll )
-mn+m+l
,,
'd
"-z!.?=Tf')XTf;,X~
·-
-
.
-
,1 :
\'
-
n
,,
-
J')Xu;,'Xv')
.
+
,
'
TT',a·lm.+l
u'
-
Os domínios dessas cartas na o cobrem pontos do tipo (a,*.O)
(*,b,l), mas elas são suficientes para os propósitos
res
(V e r
e
posterio-·
6 • l . 5) •
Estas cartas sao coerentes pois se, por exemplo, u nu f~, entao
1
-1
com !231 o.t'.l31 (x,y, t)
=
(TI
2
<>'\-1 (x),y,t),
e portanto
o
n
Lo
2
-· 6 2-
Daí,
4.4.
'-='
det(J(1r
2
-1
·11
))>0 pois
Tiz
1
rentes,
Analogamente pura os Otitros casos.
~nções
de Complexos Simpl·iciais
e
Nesta seçao generalizamos a construçao feita em (1.1.4(ii)).
(4.4.1) Proposiç.ão.
tao &
0
, •••
Sejam E e F espaços vetoriais reais.
,xq}cr.: estâ em posiçao geral
(Ver (l.l.l(i))
En-
se e
so
{(x ,O,O), ..• ,(x ,O,O)}C.ExFxlR es tã em posição geral. Analog.~
o
q
se
{(O,y
mente {y , ... ,y }CF estã em posiçio geral se e so
o
r
... ,(O,y
r
,1),
,l)}C::ExFxiRestâ em posição geral.
Trivial.
Demonstração.
(4.4.2) Proposição.
Sejam E e F espaços vetoriais
{x , ... ,x }CE está em posição geral e
c
o
q
{y
, ...
0
rea~s.
Se
,y1CF está em pof:
sição geral, entao {(x o ,O,O)l, .. ,(x q ,0,0), ... ,(O,y o ,l)
... ,
(O,y ,l)}CExFxiRestã em posição geral.
r
Consideremos os vetores (x ,D,O)-(x
o ,0,0),
1.
Demonstração.
(x ,0,0)-(x ,O,O),(O,y
q
o
o
,1)-x ,O,O), . . . ,(O,y
o
o
,1)-(x ,0,0).
o
... ,
Se
a (x -x ,O,O)+ ... +a (x -x ,O,O)+b (-x ,y ,1)+ .. ,+b (-x ,y ,1) ""(0,0,0)
qqo
ooo
ror
1 1 o
entao
r
a (x -x )+ ..• +a (x -x )q
q
o
1
1 o
b
y
o o
+ ..• +b y
r r
r
I
j =O
b. =
J
o
= o
I
b.
j=O J
X
o
=
Ü
.. 6 3 •
Lembrando que
(x -x ) , .. , , (x -:;-: )
1
o
q
o
sao :;_j_nearmente independentes)
da primeira e da terceira igualdades vem que a =a?= ...
1 ..
~a
q
~O.Por
--
tanto
b
o
(-x
o
,y
o
,l)+ . . . +'J
r
(--x
o
,y
r
,1)
"'
(0,0,0)
na r
b
r
(-x ,y ,1)+ .. .+b (-x ,y ,1)b.(-x ,y ,1)=(0,0,0),
o
o
o
r
o
r
j=O J
o
o
L
o que implica
b
o
(O,O,O)+b
1
(o,y -y
1
o
,0)+ .•. +b
r
(O,y -y ,0)=(0,0,0)
r
o
b
Agora; de
Í
=
o •
b =O.
b .=0 1 vem que
o
j=O J
(4.4.3) Definição.
c
Sejam K e L complexos simpliciais nos es-
paços vetoriais reaLs E e F, respectivamente. Então a junção de
K e L,
denotada K>'•L,
-
e
o complexo simplicial de ExFxlR definido
assim:
(i) Os vértices de K*L sao exatamente as triplas em
ExFxlli
de forma (ai,O,O) onde a. e um vértice de K, e (O,b.,l) onde b.
J
L
J
e um vértice de L;
(ii) Os simplexos de K*L tem a forma
onde A =(a ,O,O), •.. ,A ~(a.,O,O)
o
[a , ... ,a
o
q
o
J
q
q
rA , ..• ,A ,B , ... ,B]
~ o
q
o
r
s~o virtices
de K*L tais
ê um simplexo de K (que em particular pode ser
que
va-
-61:-
zio), e E '-(Ü,b ,l), . . . ,B ""'(Ü,b ,1)
o
o
r
r
rb
~
o
·1 -e
, ••• , b
r-
um
simp lexo cie L (que
sao vértices de K*L taisqu2
~m
particular pode ser
v a-
zi o) .
Para verificar que esta ~ uma boa definiç~o imponhamos que
A
[ (v o ,O,O), .•• ,(v q ,O,O),(O,w o ,l), .•. ,(O,w r ,1)]
B
[C v~ , O , O)
, • , • , (v~~ O , O) , (O , w ~ , 1) , ••• , (O, w m, 1)
-
estao nas
condições da definiçao e que
J
~~ B
:'1;-6".,
. Jd"'
<A>n<B><f't'.
e
vc<A>
Se
<E>
podemos escrever
v""a (v ,O,O)+ . . . +a (v ,O,O)+b (O.w ,l)+ . . . +b
o
o
q
q
o
- o
r
(0,~1
.1)
r'
-=a'a(v'
,0,0)+ . . . +a' (v' ,ü,O)+b '(0,w', 1)+ .•. +b' (O,w', 1)
o
mm
o
n
r
0
q
a~,
onde a.,
m
bk, b~>O para todo i,j.k e
J
l.n
I ak+ I b'=l,
h ~o
-t.
.t,
e
r
L a.+ L b.~l
i:eoü
e
j=O J
l.
donde
.t~o
r
n
L b . = L b • ~cfo
j~o '
.t~o
a v + ••. +a v
qq
oo
b q
oo
Então y
~
.
a 1 v'+ ... +a 1 v
oo
1
mm
+ ••• +b w
= b 1 w 1 + ... +b'w'
rr
oo
nn
1
---(b
w
c
e
ao
+ . . . +b w)
rr
1
- --(b 1 w 1 + ••• +b 1 w 1 )
c
o o
n n
E:
<w , ••• , w >{'!
o
r
-6 5-·
e portanto
r"'":n e,
1
.+a v )=--d--(a'v'+ . . . +a'v')s<V , ... ,v >r1
Por outro lado
m
apos
oo
qc)
(\<v', . . . ,v'> e portanto
o
reordeP.ação '""k~w{,
após conveniente
mm
l. .
[-v o ' . •. ,v }"" v' •, .. ,v'
q
- o
n
Assim
conveniente
J,
o
Q'•
donde q ""m
c'
e portanto K*L
A~B
e
complexo sirnplicial.
(4.4.4) Proporção.
(i)
Sejam
K e L complexos simpliciais.
Se K e um suhcomplexo de K e L ~ um subcomplexo de
1
1
-
e
então K *L
1
1
um subcomplexo de JU<L,
Em particular K*L admite co
a saber, K*!$ e
cOpias de K e L,
mo subcomplexos
L
respectiv_~
cfl*L,
mente.
(ii)
(iii)
IK*LI
"" dim K + dim L + 1.
dim(K'kL)
(4.4.3).
Ak,B
Brl
3.o
e conexo por caminhos.
Demonstrar:ão . .t.,s
Brj
en t
Se K e L sao complexos simpliciais nao vazios
propriedades
Demonstremos
apenas
0
, ••. ,Br]
e
convexo,
por um caminho
seguem imediatamente df'
(ii)
(iii). Sejam xc[A
a
yE [A~, ... ,AÍ,B;, ... ,B;)
e
e
(i)
dois pontos
IK*LI.
de
x pode ser ligado a
linear.
Como
[A',
...
o
,A~,B
-t..
, ...
0
Como
um ponto
o
, ...
,Ak,B
,B]
r
, ... ,
0
LA
0
, ••• ,
z E[B , ... ,
1
0
e
um
s~m
plexo de K*L e ê convexo e corno z s [A~, ... ,A_t,B , .•• ,BrJ, z 1 po1
0
de ser ligado a um ponto z 2 E [A' • · · · ' A']
· l
1·~near.
t
por
um
cam1.n1o
0
que
do a y por um caminho
tr;~
caminhos,
temos
linear,
Se f
tao definimos
f
1
:iK
+
jL
1 ~f 2 :\K 1 *K 2 \
1
pode ser liga-
j
+
e
estes
L , L complexos simpliciais
1
2
2
1
\
2
ligando x a y.
Sejam K , K ,
1
z
convexo,
Compondo convenientemente
um caminho
(4.4.5) Definição.
nao vazios.
e
f
2
:\K
\L 1 *L
2
2
i
+
jL
2
\ são aplicaçÕesen
\ por
(f *f ) </t. (v. ,ü,Dl+It!(O,w.,1))~Lt. (f (v.) ,o,O)+)t!(D,f (w.),l)
2 J
1
1
2;~1.
.J
J
-~
1.
.J
~
J
~
J
-GG~
l
h•.}
e
J
O<t.,
-
Como
e
um conjunto
f
l
(f (vi) ,0,0)
e
1
de vêrtict:s
de vértices
de
= 1.
~ J
J
1
pode ser vazio)
(que pode ser vazio)
\'t.+)t~
t'.<l e
J-
1
(q~te
"é um coniunto
onde {v.}
(O,f
2
podem nao ser vértices
C"-'j), 1)
L *Lz devemos demonstrar que
1
a imagem da aplicaçio f
realmente contida em
1
de
*f
está
2
entao,
onde
f. ( w . )
l
.1
"' I
njlb f.•
sao vértices
onde os b
2
de 1 ~ O<n . .e,<l e\' n.
1
-
J -
J~0
L
f_
ta o
=1, En
't.(f.(v.),O,O)+' t'.(O,f (w.),l)
Llll
f,J
J
2
i
J
=
I
t ~ n
J
i, k
onde O<t.À.
-
+
<1,
1 1{--
1
O<t~
J,
J.e-
~ ri (fi (vi)
J
J
,o,o)+z r;co,f 2 Cwi)
(4.4.6). Definiçio.
Sejam K e
uma aplicação qualquer.
por (f*f) (v,O,O)
=
(O,b
,1)
=/
'<
L
Definimos
complexos simpliciaisf:jK]4!LI
(f(v) ,0,0).
e K
Entao a notação f*g: jK *K
1
]K*<Jl]-+ ]U:rjlj
a aplicação f*<jl:
Sejam
e 1
+
,l)s [L 1 •L [
2
(4.4.7) Observação.
1
t.('À.k)
1
L
1
k
Portanto
J
l
e
' t) )
t '. n.
J
J .e. i
t.À.k+'
L l
.L
i' k
t~=l.
t.+[
l
.
J
J
I
n. (1 e
J
-
j
(O, b
nao vaz1os.
K1 , K2 , 1 1 , 1 2
entendida no sentido da aplicação
-.vazios e no sentido da definição
complexos
1
(4.4.5)
2
j-+
quando K
(4.4.6) quando K
2
2
simpliciais
]L *L j serâ
1
2
e
e 1
1
2
-
2
-o
s ao na
são va-
Zl8S.
(4.4.8) .!:_!'oposiçilo.
[K[
[K[
zios e
f:
Fix(g)
c Fix(f>'<g)
-r
respectivamente.
Sejam K e L complexos simpliciais nao vae
g:
[L[ -t-[L[
aplicaçÕes
quaisquer e
os conjuntos dos pontos fixos
de
Fix(f) ~
g e f:\:g
f,
,
Entio,
~
(i)
Fix(f>'g)
"
se Fix(f)
(ii)
Fix(f*g)
"Fix(f)xüxO se Fix(f)T~
(iii)
Fix(f*g)
OxFix(g)xl se Fix(f)
(iv)
Fix(f*g)
"'U
"Fix(g)
~
"
=
~
e Fix(g)
<P
e
Fix(g)
+
<P
{(1-t)(F'ix(f)xOxO)+t(OxFix(g)xl)}
se
tE I
Fix(f)to
c
Fix(g)f$.
Demonstração. Basta notar que
L,)_
t. (v. ,O ,O) +)t! (D,w., 1) "(f"g) <2 t. (v., 0,0) +Lt:(o,w., 1))
)_
.J
J
,)_
•J
J
)_
l.
J
J
1-
= It.(f(v.),O,O)+L<(o,g(w.),1)
{l.
jJ
)_
J
Se e somente se v.~f(r.)
)_
(4.4.9) Proposição.
zios e f:
=
K
+
L
para
l.
t.+o
l.
e w.=g(w.)
J
J
para
t.to.
J
Se.jaro K e L complexos simpliciais nao va~ma aplicaçio qualquer.
Entio
Fix(f)xOxO.
Demonstração. Basta notar que (v,O,O)=(f*!f>) (v,O,O)=(f(c) ,0, O)
(Ver (4.4.6))
se e somente se f(v)
=v.
-hB-
(4.4.10) Proposj_ção.
zios e f:k
Sejam K c
Demonstração.
não vazios c fi:
K
1
Então a aplicação fl
Sejam K , K ,
1
1
-+
:l:f
2
e f
1
(i)
usar a
notaçao
K
2
-}->
L(' 1
1
jL
*f z··K 1 *K 2
complexos simpliciais
aplicaçÕes
2
1
2
~lL
0-
2
j
simpliciais
é simplicial.
(Porta.!!.
L 1 *L 2 )
de K *K .
2
1
Se V""(v,D,O),
Como
1
1
Assim f
1
*fz
leva vértices
Seja A um simplexo de K *K .
1
2
on-
(L (v),O,O).
(f *f ) (v)
1
2
é um vértice de 1 , e portanto (fl
simplicial,
(i i)
1
temos
1
2
:
Seja V um vértice
um vértice de K ,
vértice de K .
2
2
pz 1 :<K 2 j
:
usar a notaçao f
Qemonstraçãt?_.
de v e
(Portanto podemos
Trivial.
~oposição.
to podemos
tiÍrnpliciais nao va-
Então f)~<IJ: K*~-+ L*cp é
L urna aplicação simplicial.
0-
uma aplicação simplicial.
(4.4. 11)
L conlple&ob
de K *K
1
2
*
f
Então A= JA *A ] onde A
1
1
2
{(f *f )(L t.(v. ,0,0) + Lt'.{O,w.,1))
1 2
l.l.
J
J
O<t.,t!<l, It.+Lt~=l,
-I.J-
[w o , •.. ,w rJ
It!(O,f (w.) ,1)
2 J
J
=
o<t .• t~ _:1,
-
A ,
1
l.-J
l
J
I
t. +
1
L t'.J
""1,
)
em vértice de
um simplexo de K e A ê um simplexo de K . Então
1
2
2
=
l
A' } =
2
-
e
-69-
{}~t.(a.,O,O)
JL
L
+I
t!(O,b.,l)
]
J
O<t. ,t '.<1,
[ t . + " t) ' .
L'-'J
-LJ~
Como f
~
c
1
f
s ao
2
é um simplcxo de
L
1 '~L 2 .
Assim
(f
1
L
2
,
*f )
2
if 1 (A 1 )*f 2 (A 2 ) I
e portanto
leva simplexos em simplexos.
m
'i
Então x =
À.
i"'Ü
]
v.1
onde O<À. <1 e
]-
==
==(O,wk
onde
0
,1), . . . ,V =(Ü,\V ,1)
m
ser vazio)
vazio)
de
m
v~rtices
de vértices
de K
=
À •
1
{v . } e_ um conjunto (que
1
{w.}
J
& um
I
k
I
conjunto
m
I
À.(O,w.,l)) =
1
Í=k+l
m
À.(f (v.),O,O) +
1
í=O
1
1
I
Ài (O,f (wi) ,1)
2
i=k+l
m
m
I
i:=k+l
Assim t
1
*f
1
2
À.
1
(fl*f2) (0,\..r. ,1) =
e linear nos simplexos.
(4.4. 12) Proposição.
1
I
í=O
Vk+l=
pode
(que pode se~
de K • Então
2
k
(f *f Hiic.v.)=(f *f )(
ic.(v.,O,O) +
1 2
1 2 i=O 1 l.
L 1
=
Reordenando convcnie~
1.
0
e
1
I
(v ,0,0), .•. ,Vk = (vk,O,O),
temente podemos escrever V
+1
é um símplexo de
-70-
pemonstr~ção.
Temos
ICgl*gz)o(fl*fz) I
cz
ti(vi,O,O)
L
+?
ti(g of )(vi),O,O)
1
1
I
para v.
vértice
L
f:
=
K
1
J
J
1
+I
•
J
t 1.(0,w.,l))
J
J
vêrti c e
e w.
J
(4.4.13) Proposição.
t_(v.,O,O)
•
L
t!(O,w.,l))
tj(O,(g ,f )(wi),l)
2
2
J
ci
+ (
J
L
Sejam K~
e
M complexos simpliciais
e
g: L~ M aplicaç;es simpliciais. Ent~o
+L e
(g''4•) o (f*~).
Demonstração. Temos
ICg*~)o(f*~) I
(v,O,O)
((gof) (v) ,0,0)
(4.4.14} Proposição.
não vazio, e h
que h :
IKI
1
Então h *h
1
2
+
1
=
e h
(g*~)(f(v),O,O)
((gof)*~)
=
(v,O,O)
Sejam K e L complexos simpliciais,
: K-+ K e h
IKI
=
2
:
2
:
com
L-+ L aplicaçÕes simpliciais
IL\-+
IL\
K
tais
são homeomorfismos periódicos.
: K*L-+ K*L e uma aplicação simplicial (Ver (4.4.11)
tal que hl*h2;
IK*LI
+
IK*L\
e
um homeomorfismo periódico
perÍodo é o mÍnimo mÚltiplo comum dos perÍodos de b
Demonstração.
Segue de (4.4.12)
1
se L=f<fl e de (4.4.13)
cujo
e h .
2
se L=qJ.
--71-
Sejam A e H ~spaços
veis
(Ver (L Li3))
triangulação de B.
e
(K,h)
umR.
Seja hl\g:
topol~gicos
triangulação de A e
\K*L
I
-+ A*B
triangul~
(L,g)
a aplicação
uma
definida
por
(h6g)('t.(v.,O,O)+'t!(O,w.,1))=, (h('t.v.), *,O) se
~~~
LJ
J
1
/.l-L
l (*,
onde os
(K1:L,
v.
'
h!Jg)
s ao vértices
uma
e
De~onste?çâo.
-1
e
g
-1
)K \ +A e
.
eY.J..St"'m e
g:
Então
de L.
[L j + B são homeomor-
-
s. a. o cc>ntÍnuas.
a aplicação inversa de hl\g e
(1-t)(h
Lembremos
= 1
Ve
ri fi c amos
.
-1
a aplJ..caçao (h6g)
:
definida por
\K*L\
(Mg)
s ao vértices
o
triangulação de A*B,
.fismos e portento h
A*B +
/t 1'.
g(It!w.), 1) se
J J
de K e os
Sabemos que h:
facilmente que
It! =
J
-1
(a,b,t)
=
-1
-1
(a),O,O)+t(O,g
(a) ,0,0)
se
t=O
(O,g- 1 (b),1)
se
t=l
(h
agora {Ver (4.3.2))
1
B
1
ê
(b),1)setct~,1
que uma subbase para os
A*B ê formada pelos conjuntos do tipo A xB xr
aberto de A,
-1
um aberto de B e 1
1
1
1
,
onde A
abertos de
1
é
um
ê um aberto de I. Observe
-7 ?-
mos também que. os .'3.bertos básieos de
]K*L] sao os abertos do tí
po
lJ
tEil
onde 1
to de
1
2
-
e um aberto de I,
jLj.
+ t(OxH x1)}
{(l-t)(H xoxO)
1
e um aberto
-
de
e M e um aber2
(Ver (4,4.3)). Então
\__)
{(1-t)(h
]K
j
-]
('\)xOxO)+t(Oxg
e g
-1
-
(B )
1
-1
(B )x1)}
1
e um aberto de
pois h e g sao ltomeomorfismos. Assim a imagem inversa por
de
tlm
aherto sub
h~sico
e um
abe~to.
Logo hâg
~
IL I
hAg
continua,
Por outro lado,
Assim
h~g
leva abertos em abertos e portanto h6g ê uma aplica -
ção aberta. Então hAg é homeomorfinmo, e
(K*L,h*g)
ê uma trian-
gulação de A*B.
(4.4.16) Proposiçio.
numero natural
e
similarmente
Sejam K e L complexos simpliciais e n
>1. Então (Ver (l.l.B(iii))
um
- 7 3··
Demonstrac~o.
-·-·---·-·-
Então (K:!..·~)
Ternos que
(~*L)=~ c
K*~~KxOxO e
~*L=OxLxl
tem sentido falar na n-êsima subdivisão ba
relativa a K•'<~mÕdulo
ricêntrica de Ki>L
(Ver (~.4.4(i))).
q1•~L.
Por
(Li~S (iií))
te-
mos
Sd(K*L,K:I.·q,, <fl•'•L)
{Sd(AxOxO) ·E}
U (DsK*L:
cc(K*L)-
u
((AxOxO) •B} com D<C
AEK
AEK
BES AxüxO
BES AxOxO
t
onde o ponto • indica a junção definida em (1.1.4) e SA é o conjunto definido em (l.l.B(iii)).
Mas em K*L,
lk(AxOxO,K*L)
se AEK
:J OxLxl
=
Então, como ~*L ~ disjunto de K~~.
temos
Ql*L
vem que
Daí
(K*L)-
u
C
((AxOxO)•B}
AE K
(K*L)-l){ (AxOxO)· B}
MK
Be. S AxOxO
(K*L)
Portanto
-
(K*L)
(K*L)-
Bf </l *L
~
o
u. (
(AxOxO)• B}
o
cfJ
e entao
A<K
BESAxOxO
Sd(K*L,K*~·~*L)
o
u
{Sd(AxOxO)•B}o
AEK
BEOxLxl
ou
AEK
BfL
[Sd(A)*B)
o Sd(k)*L.
-/4-
- l)'
{Sd(A):':D]
-
Scl(K)'',-L,
At:K
BeL
Por indução (Ver
=
Sll(Sd(n-·1.)
(1.1. 8
(.ÍÍ!j))
teulOs
(K>':J~,lU>ql,<fl*L), Sd(n-l)
-----·-----------·---···---
(K*<(l)
,<(l>~L)
CAPITULO 5
O CILINDRO DE
U~A
APLICAÇAO S!MPLICIAL
5.1. O Cilindro de uma Aplicação Simpljcial
Referência principal;
Conner-Floyd.
Seja K um complexo simplicial finito.
tao os v~rtices
de K podem ser parcialmente ordenados de
forma que os v~rtices
En
tal
de qualquer simplexo fixam totalmente or
de nados.
Demonstração. Seja dirn K~n. Consideremos os simplexos de K
n
,
dimensio n dispostos numa sequenc1a
qua 1 quer S n , . . . 'sk
1
te um nGmero finito k
n
de tais simplexos).
srbitreriamentc umo ordem t0tal a seus v5rtices.
guir S~;
s n1
Tomamos
(exisn
e
iores que
To~nmos
todos
os vértices de
Procedendo por indução,
s~ (i<k )
nham sido ordenados totalmente.
Tomamos entao
ces deste simplexo que nao
pertencem a
S.n
1+ 1
s n1
jã
s n1..
sute-
n
s.n1+1. ;
aos vêrtin
S.
'
damos armaiores
Então os vértices
de
estao ordenados totalmente, e portanto num nu-
mero finito de passos
Sn
k
.. .
todos os vê~tic~s
...
SP
1
bitrariamente uma ordem total, e dizemos que eles sao
1
R
dizemos que eles sao ma-
ponhamos que todos os vértices
sn
damos
aos vértices deste simplexo que não pertencem a S~ da
mos arbitrariamente uma ordem total e
que
de
todos os vértices da sequência
sn
1
estarao ordenados totalmente.
n
Consid-ere·mos agora os símplexos de dimensão n-1 dados
-75-
n-1
_, n· 1
'sk
~.l
- . Tomamos os
vêrticf's
n-1
n-1
de s 1
que
.
nno
a~nda
fcr~~
crdcnada3 e
lhes d3mos
mente uma ordem total considerando-os maiores que
tices
j i ordenados.
todos os ver
Seguimos agora para esta sequ~ncia o mesmo
..._
.
processo que para a sequencla
ordenar todos
arbitrarla-
Sn
,.. n
.:>
11 ... ,.k
terminando cntio por
n
os vértices de simplexos de dimensão n-1 de
K.
(Ver figura)
4
4
Considerando,
rnensao n-2,
sucessivamente as sequencias
n-3,
... ,
1, e
de simplexos dE:
aplicando em cada caso o
di
proccdime~
to anterior terminamos por ordenar totalmente os v;rtices
de
K.
(5.1.2) Definição.
Sejam K e L complexos simpliciais finitos
e f:K -+L uma aplicação simplicial.
nos vértices
Seja < uma ordem
de K que satisfaça a propriedade da
parcial
p rop os içao
(5.1.1), Evtão o cilindro da aplicação simplicial f e
plexo de K*L (Ver (4.3.3))
(i)
(ii)
obtido pela uniao
dos simplexos de K*cjl = KxOxO;
dos simplexos de
~*L
OxLxl;
o subcom
(iii)
dos simplcxos g2rados por
onde v <v < ... <v
são vêrtices de um simplexo de K e O<k<n.No
o
n
1
f(v.)
J
te que se f (v. )
L
lista (1)
(iv)
par<:i
algum i
e
j
a
ter; repctiç;es).
dos
si.mplexos que s:~o faces
dos
simplexos
definidos em
(iii).
K ~ L sera deno-
O cilindro da aplicação simplicial f:
c.io e o fina1
Exempl2_.
do
cilindro, 1:cspectivamente.
complexos
v
figura abaixo,
)
0
-
onde a or-
H •
o.
f (V _)
=t.:~
•
•
i
o'
'
\w
1
'
(Note que Zf(K.L)
depende
da ordem considerada no seu
Observe ainda que se K=Sd(M)
de K:
da
definida nos vértices por f(v
\
entao podemos
e
•
<
~ll~
$*L serão chamados o
subcomplexos
Sejam K e L os
ção simplicial
K*.P
Os
<
l.Ul.Cl.O.
para algum complexo simplicial
M
considerar a seguinte ordem parcial dos vértices
sejam v e w vêrtices de K,
'
então v<w se e sô se v=b(A)
e
-78-
onde A e. 13 sao sir;,plçxos
w:=h(Il)
-
-
dí:'- H tais que A e fer.ec
.
p.r:opr~a
de B. Esta ordem parcial teot a propriedade enunciada em (5.1.1)
e pode ser utilizada para a construçao de cilindros de aplicaçÕes simpliciais.
Tal ordem tcrã papel essencial em (7.1.4)).
(5.1.3) Pr·oposição.
e
f:
-~L
K
Sejam K c
L complexos
uma aplicação simplicial.
simplíciais
finitos
Entao
Demonstração. Trivial.
(5.1.4) Proposição.
tais que
\K\
e
\L[
Sejam K e L complexos simpliciais finitos
são conexos por c.:aminhos;
cação sjr,tplicíal. Então
]Zf(K,L) \
é conexo
por cnminhos.
IK i
fo
a
jLj,
forma,
se
\K~"4>1
entao
z
1
e
z
2
\<P*L\
e
pertencelTI os
um caminho unindo z
1
a
z
2
.
K-+ L uma spli_
f:
-
e
e
homeofHO_s
são conexos por caminhos.
Dessa
\rfl*L\,
existe
dois
"·
ou a
Sejam agora z
1
e
z
2
pontos
de IK,'<L
I
tais que
e
,O,O).(O,f(w ) , l ) , . . . ,(O,f(w ),l)j
m
onde v
O<!<m.
o
, ••. ,v
n
Como os
e w·
o
, ••• ,w
simplexos
m
-
sao como em (5.1.2(iii))
são convexos
caminho, existe um caminho unindo z
1
e
O_Sk_Sn
e portanto conexos
ao virtice (O,f(v),l)
n
e
por
de
-79-
cjl•'>L. Como
(O,f(v ),1)
u (G.f(w ),1)
n
te um caminl1o uninrlo
z
(O,f(v ),1)
e
nho ligando
(O,f(wn),l)
como
(O.f(w ),1), Agora,
-
n
pertencem a um oesmo simplexo existe um cami-
(5.1.5) Proposição.
a z
2
. Então existe um caminho unindo z
Se K ,
1
ciais finitos não vazios e
ç~es
a
r!
(O,f(wn),l)
2
perte:ilcem a <P*L entao exis-
n
K ,
2
1
K
---+
f:
1
e 1
1
L
1
2
1
sao complexos simpli-
e g:
K
2
-~ 1
-
2
são aplica-
e conexo por
sin•pliciais entao
camí-
nhos.
Demonstração. Por (4.4.11), f*g: K1 *K
2
simplicial e
•
- ..··-"-Y'
-- •. -'1-.-,
-
nn,o.•.c,oo
• - " -
-~"
1
*L
2
IL *L
' 1
2
1
1
s~o
~
uma aplicação
conexos por caminhos.
17·-f?g'-'1
(V.
W__.2,-l
. T. *'·\I"·-'
-2'
·
i
'.nl_:-;;o
-""
(4. 4. 4
f*g. Por
tem sentido falar no cilindro de
II K 1 ·"K
.. '2 II .;:•
(iii)),
~ L
cono.v
.. n
Pela
por
pror IH'li --
nhos.
(5.1.6) Qbservação.
tos nao vaz1os e
f*c!J: K*cP
mos
---t-
L*tP
é
f:
Se
-
K e L sao complexos simpliciais fini-
K + L ~ uma aplicaçio simplicial
uma aplicação
simplicial (Ver
então eonstruir Zf*tP(K*4l,L*<P).
é homeomorfo a
Notemos
que
entao
(4.410)
e pode-
-lzf*tjl(K*ljJ,L*ljJ)
l
]zf(K,L)] pelo homeomorfismo h: ]zf*tjl(K>'~t)l,L•~tjl) ]---t-
por
h((v,O,D) ,0,0)
= (v .. O, O) para todo vértice v de K e h(D,(w,O,O),l)
= (O,w,l)
para
todo vértice w de L e por linearidade nos
plexos de
Zf*tjl(K*t)l,L*tjl).
Além disso
meomorficamente o inÍeio e o final
vamente no inícirr e no final
sim-
esse homeomorfismo leva ho
de Zf*!P(K*tJl,L*~),
respe c ti-
de Zf(K,L).
Para não sobrecarregar a
notação,
a partir de agora es
-RU-
crc.vernos Zf*g(I~ ··,K ~iJ 1 ;'<L )
1
sao nao v.sz1os,
7
e
situação em que K
g:
K
=
1
2
tanto pa1·a a l:>i.tuaç:.ão quc:mJo K
7
2
2
L') está: bem definida,
-+
=
<P
e neste
e
2
q•J.anto para
1
2
a
caso f*g representa a apli:_
cação f*tfl.
(5.1. 7) f'roposição.
simpliciais entre complexos simpliciais finitos.
mot6pica a urna constante entio o infcio
( K *K )
1
ser contraÍdo a um ponto do final </l*(L *L )
1
2
2
Entio
*~
de Z.
de
pode
Z
Os mesmos re
sultados valem quando K =L =<P entendendo Zf*g(K *K ,L 1 *L ) . no
1
2
2 2
2
sentido da observaç~o
Demonstração.
(5.1.6).
Consideremos a ordem total nos v~rticcs de Z da-
(i) Nos vértices do tipo (v,O,O).
K *K2.'
1
v1 < v
clef:inimos
2
,
A
ordem (vpO,O)
onde esta Última ordem e
<
onde vê um vértice
(v ,D,O)
2
se e
somente
aquela considerada na
truçio do cilindro da aplicaçio simp1icia1 f*g.
de
sf'
cons-
(Ver (5.1.2)).
(i i) Nos vértices do tipo (O,w, 1), onde w ê um vêrtice
L *L ,
1
2
tomamos uma ordem total qualquer e
definimos
(v,O,O)
para todo vêrtice v de K *K
e todo vêrt~ce w
1
2
< (O,w,l)
de
<
de
Ll*Lz.
No simplexo 1=[0,
1]
e·m IR de vêrtices {O}
e {1},
. damos
a ordem total {O} < {1},
Podemos considerar entao o complexo simp1icial Zxl com
simplexos
de V
0
< V
gerados por V x{O}, ••. ,Vkx{O}, Vkx{l}, ..• ,Vnx{l},
0
1
< •••
< V
n
geram um simrlexo de Z$ e O<k<n.
on
-81-
Definimos
e
\xi -'"
IZ
...., V para todo vértice V deZ,
F(Vx h})
"" V para Lodo vértice. V de
F(Vx{l})
"'(O,f*g(v),l) para todo vértice V=-(v,D,O) de
e- símplici al,
F leva vértices
entao F pode ser estendida a
plexos.
Obtemos
Portanto F deforma
Suponl:,amos
<p >;
IK 1 jxl
\K
j
1
-+
)1
nao vazios
tre f*g e
H
\L
-+
1
i
1
= x e
de
~''(L
contínua F: jzxr
1
F(x,l)E1J*(L ~{L )
2
Se K =L =~,
(4.4.6))
\=
jz
de Z,
sim-
ixi
-+
(Ver (2.1.3)).
1
é
/
a
a homotop~a entre t
imagem de
e
<p>.
<p >)
e
seja
h:
Então,
a homotopia H: jK *K jxl
1
2
jL *L ]
1
2
+
en-
<p>*g definida por
onde os vi
2
)
para todo xE\Z\·
(L t.l .(v.
' o' o) +) t ~ (o , " . ' 1) ,"L) ~L t. (h (v. 'T) 'o 'o) +' t ~ (o 'g ( w • ) ' 1)
l.
'J
J
l.
~
LJ
J
2
2
homotó-pica a uma aplicação constante
\ (onde PE ]L
consideramos
*L
Zxi em vértices
\Z\ ao seu final tjl*(L *L ).
1
2
agora f
1
jzxi \por linearidade nos
assim uma aplicação
\Z\ tal que F(x,O)
+
i;~\ por
F(vx{U})
f.~~
Como
agora F; \zxi \
são vértices
consideramos
de K
1
os w j
e
são vértices
a homotopia entre f*~ e
dada por
H((v,O,C) ,T)
para todo VE: \ K \.
1
=
'
(h(v,T) ,0,0)
<p>*~
(Ver
-8 2-
Em ambos
os
casos
obtctlOS
urnrr. horr.otopia entre f'"g e
<p>*g.
(V::r
(5.1.6)).
Conside-remos agora a
]CK
da anteriormente; a
(K
do vértice V de
do vértice de
(K
restrição F
1 )'~K 2 )*cp)xi.
1 >'<K 2 )•~ql
1 •'<:K 2 )•~qJ.
e I<'
1
Então F
(Vx 1 )
:=
da homotopia F,
1
1
(Vx{O})
"'V para to-
(O,(f*g)(v),l)
Então a apl,icação F
2
obti
1
para tE_
2
: \CK •~K )*cp]xi+IZ\
definida por:
'F
1
((x,O,O) ,2-c)
para
(O,H(x,O,O), 2T-l),l)
O <
< 1/2
T
para
1/2 < T < 1
está bem definida e é contÍnua. Ainda, F (
2
IIK.'\K
em
1
2'~*01
'J
I'
Ou seja,j(K
1
lzl
1-" I
G:
2
*Kz)*4J] é
Ixl) xl
+
deformã~,el,
I
t!
J
1 e
2
ao conjunto Dxjp*L jxl.
2
]xl pode ser contrardo,eru
onde q=(p,O,O)sjp*L
2
j,
pela homotopia
+ \. t~(O,w.,l),l),L)
I
J
J
(0,(1-T)(t(p,O,O)
+
jz j,
em
IZ I dada por
G((O,tC:P,o,o)
onde t
a inclt;são de
-
um ponto (O,q,l),
(Ox IP*L
e
f'
Entretanto o conjunto Ox]p*L
jz], a
,O)
O< t,t 1• < L
J
+I
t~(O,w.,l))+T(p,O,O),l)
J
J
Com efeito,
G(
,O)
é
a inclu-
'
I
IZ; e
Então,
j(K *K )"'rjl\ é cleformâvc.l
1
2
como
sua vez,
contrátil ao ponto
sição (2.1. 7),
a Ox jp*L
(O,q,l) .de
\xl e este é,por
2
I~*(L 1 ''L ) ], pela prop-"
2
é contrátil a esse ponto.
](K •',K )*1(!\
1
2
5.2. O Cilindro Iterado de uma Aplicação Simplicia_l
Referência principal;
(5.2.1)
e g:
r a1. s
Sejam K e
\L\
n
+
)L\
Conner-Floyd
L complexos sírnpliciais
finitos
e
f:
\K)-+'\Ki
aplicaç;es para as quais existem numeras
e m !:<J.is que
-
çoes simpliciais,
f:
Sdn(X)
Pod~mos
1
Zf*g(Sdr (K)*Sdm(L) ,K*L)
K
->
m
eg:Sd(L)~
L
natu-
> '
s ao apj_l_ca
z
entao construir o cilindro
de
f*g.
(Ver (5.1.6)
se L=~).
Então
o início de Z é (Sdn(K)*sdm(L))*~ e o final de Z é ~*(K*L).
Consideremos agora Sdn(Z,cjl•\(K*4J),
[t!J*(cjl1;(~*L)])
cial
z1 .que
(Ver
(1.1.8 )).
tem como inicio
Isto
0
[CSdn(K)*Sdm(L))*cp}LI
fornece
um complexo simpl_i-_
(Sd (K)*Sdm(L))*$ e
como final
por (4.4.16).
Consideremos agora Sdm(z
(tP*(Sdn(K)*<f>)]).
1
0
,<P*(cfl*L), [(Sd (K)*Sdm(L))*(jllU
Isto fornece um complexo simplicial z
2
que
-84-
por (4 .4.16).
Se
\K\
esta em um espaço vetorial E
1
e
\L\
está em
um
espaço vetorial E , entao
2
Consideremos
então S:
ExExiR-+ ExExlli o homeomorfismo de
finido por
S(x,y,t)
Seja 8° a
=
(~y,x,t)
+ (O,O,l)
identidade de ExExiRe coloquemos sP,so ... oS
ção iterada p vezes) para todo nUmero natural P>l•
o complexo simplicial obtido de
simplexos
isto e,
de z
2
z2
2
Seja sP(z )
z 2 pela aplicação de sP
• Então
S leva o início de
(compos_i
sobre o final de z 2 .
nos
-BS-
(c)
De
(a)
r a lp-ql>z e
De
e
2
vem portanto que sP(z )
(b)
)n sP• 1cz 2)
sPcz 2
(a),
(b)
e
(c)
2
sO.(z )
i\
"sP((sdn(K)•'Sdn(L))'·~)
deduzimos que
ro
' '
"u
P"Ü
é
um complexo simplicial.
(5.2.2) Definiçio.
ro
O complexo simplicial
z f-·
~g
construido
aCI
é chamado o cilindro iterado de f*g.
ma
ro
(5.2.3) Proposição.
ro
(i) Z
ru
z
ro
o cilindro iterado Zf*g de f*g
é localmente finito.
tem um n~oncro cont~v~l
jzroj
(iii)
Seja Z
vérL:Í.ces.
é conexo por caminhos se
\z 2 \
=
\zfi•g(Sdn(K)*Sdm(L),
K*L)\ ~ conexo por caminhos.
= dim
00
dim Z
(i v)
Demonstração.
z
2
As partes
= dim
(i)
complexo sirnplicial finito.
sP(z 2 )(\ Sp+l(z 2 )
f~
e
(ii)
vem do fato de ser z
2
A parte (iii) vem do fato de
para todo número natural p
•
um
que
parte
A
(iv) segue trivialmente da construção de Z .
(5.2.4) Proposição.
tos
g:
m e
onde
K=fcp
I
]L
jL
n
+
I
e
jK
I
Sejam K e L complexos simpliciais
ê conexo por caminhos, e f:
\K
I
+
\K \
finie
aplicaçÕes para as quais existem números naturais
tais
simpliciai::>. Se
-+ K
e
g:
+ L
~·
sao
ap li caçOes
-3 6--
~
o espaço do cilindro iterado
z ',_
Seja
f*g e contritil.
I de
1.=~
(Se
f*~)
entendemos que f*g =
Demonstração.
[Z
o complexo simplicial obtido em (5.2.1) e
para cada número natural q>O
cz 2 )
IK I ê cone.xo por caminhos'
Como
[.
L=4J, pois ê homeomorfo a
minhas se
[Sdn(K)>';Sdn(L)
=
I
e
IK*L I
conexo por
IK*L I
se L+cp,
\K I;
ca-
ê conexo por caminhos por (4.4.4(iii)). Pela
cone-
xo por caminhos em qualquer caso.
Sp+l(z 2 )fcp para
cada número natural r2:0, X ê conexo por camiq
nhos.
ro
Temos ainda que
q.
J
+ -;::;-
)
zes
as
l zrol
um aberto de
e-
L
X
para cada q,
Além disso,
'
2
como sPcz ) ; \
D..:-ssa forma,
proposiçÕes
mâvel ao final
de
fê homotÓpica
a
o conjunto A
tal ouc X
-
(5.1.7)
que
e
q
q
r"-
c·(2.1.7),
2
[sq(Z ) \,
X
q
lzrol
q
A
q
c
X
q +1
n
X
4+1
para todo
(ExEx(-oo,q+
Usando q v c
-
deduzimos que X
q
que é o início de
uma constante,
C-
é defor
[sq+l(Z 2 ) [.
Como
este Ú_!_
pela proposição (5,1.7)
timo espaço ~ contrátil a um ponto de
do a proposição (2.1. 7),
to de X
q+ 1
obtemos que
Temos então satisfeitas
•
00
(2.2.7).
Portanto
00
z
Como
00
Iz I
e
m
(
lz 1)
j â que TI
[zoo\
.,,m
ro
m
(Z )
é contrátil a um
pon-
as condições da proposição
para todo m>l.
e um ponto {y} s ao complexos simpliciais entao
-
ta 1 que h
o
=
cw
{y} s ao complexos
aplicação h:
é
TI
Xq
TI
+
{y}
(Z
ro )
m
(Ver
(1.3.3)).
definida por h(x)·""
+TI
m
=O e Tim({y})
({y})
=O.
Por outro lado,
y
para todo
a
xclzool
ê um isomorfismo paru todom_2:l,
Então h
ê uma equivalência fra
-87-
ca _de homotopia e,
usctndo .:1 proposiçao
(2.2.6),
ê uma
h
IZwl ~ homotopicamcntc
- ..
lz_w!e- contrati1
val~ncia de homotopia.·Assim
te a um ponto c portanto
(5.2.5) froposição.
K+~ e
onde
tos
as quais
~
jKj
f'
jK!
e
jLj
g'
n
~
tais que f:
+L são aplicaçõe.s simpliciais.
nalidade
um conjunto A e
k""-:tf (vértices
1
linearmente
(isto
Sejam
00
0
Sdn(K) +K
a cardi
(A)
-#-
(vér-
de f*g pode
ser·
de Sd
de Sdn (L)). Ent~o o cilindro iterado Z
mergulhado
fini-
jLI aplieaçõe, para
e g: Sdm(L)
tices
equival~n-
Sejam K e L complexos simpliciais
existem nfimeros naturais m e
de
+
(K))
existe uma aplicação
c,
simpli-
cial injetora que ~ um homeomorfismo sobre sua imagem)
subcomplexo da estl·utura simplicial
.
Consldere::10s
flemons tração,
gular
(Ver
(1.1.17))
é
um sirnplexo
d.
~~IR
tal que a
Consideremos
~tilizado na construçio de
de vértices do
. '
'
2
2k··l
regulardeiR
2k-1
agora o
'
.o
.
'
l.Ol.Cl-0
qualquer nos vértices do
00
Seja <
de
'e
v.L
J
ti ces
<
v.
e
J
de
r a i< j.
z
Sm(V.) <
L
.
'
1D1.Cl.O
S
0
ser
to tal
d e 2 2. A parti r dessa ordem con
2
de Z ,
(Vj)
do fi.
natural
uma ordem
00
.
numero
pode
para algum numero
sideramos a seguinte ordem total nos vértices de Z
do
z2
complexo simplicial
agora que qual.quer vértice de Z
c~
:c::>-
dois vértices de
Z (Ver (5.2.1). Entio k é o
p>O c algum vértice V do ~. n 1'
são vértices
•
a cstr-::ture. s-im.-p1:i.c:!.a!.
distância entre
escrito de forma ~nica como sP(v),
v.
como um
Z2 e tambêm o nÚmero de vértices
de
~n~cl.O
nal de Z • Notemos
equ~·-
para
se ,V.L
e
o'
ver
entao
todo n>m.
00
dispas tos numa seq uênci a
{w. loo
L
i "'1
Temos
tal
entao
que
w.1
-
< H. pa
J
-88-
agora um (2k-1)-simplcxc,
Consideremos
regular de IR
da estrutura simplícial
Como JR
podemos
considerar o
2k-- 1
tem a
2k-l
e
a
(k-1)-·face
estrutura simplicial
rcgulnr
(2k-l)-simplexo A = [wk+l' · • • ,w k'
2
2
... ,w k] obtido de A 1 por reílexio no (k-1)-plano determinado
3
pelo (k-1)-simplexo
.•• ,w 2 k].
[wk+
1
, . . . ,w k].
2
Notemos
que A
1
n
A =[wk+l'
2
Seja agora A3 =[1J..'zk+l''''''''Jk'wJk+l'''''w 4 k]
-simplexo obtido de A
2
e
(Zk--1)-
por reflexio no (k-1)-plano determinado
pelo (k-1)-simplexo [wzk+l' ... ,w 3 kj.
. . . ,w k]
3
o
A /\ 11 <0<P pois
1
3
Notemos que A2
os vértices de A
1
nA3 =[\"Zk+l'
e.stão a uma distân
cia maior ou igual a d dos v~rtices de A .
3
Indutivamente sejam
A
m
um (Zk-1)-simplexo jâ obtido e
A
m+l
=
[wmk+l' • · ' •'"(m+l)k'w(rn+J.)k-!:1' · · • •l"(m+2)k]
o (Zk-1)-simplexo obtido de A
m
terminado pelo
Am
n
Am+l -
do n tal que
(k-1)-simplexo
por
(k-1)-plano de-
[wmk+l'''''w(m+l)k].
[wmk+l' ••. ,w(m+l)kj e
O<n<m-~,
reflexão no
p.oLs, nestas
que An (\
Am+l
Notemos que
=
tjl para to-
condições os vêrtices de A
n
estao a uma distincia maior do que ou igual a d dos v~rtices de
A •
m
Temos entao uma sequencia de v~rtices
·
1 1c1a
· · ·1 regu 1 ar d e n~~ 2k-l . Definimos
tura s1mp
h:
-+IR 2 k-l por k(\~.)
nos simplexos
w.
{wi}~~l da estru
o
mergulho
para todo i>l e por linearidade
00
00
de Z • Entao, por construçao, h(Z ) e um subcom-
'
=
'
ple:xo da cstrntur,q re.gular da Il/_L.l~-:L,
-------------·------------------------------·------------
PARTE !!!
AÇOES EXOTICAS DE GRUPOS C1CLICOS
SOBRE ESPAÇOS EUCLIDIANOS
CAPiTULO G
6.1. A aplicação fo9_.
Refer~ncia
principal: Bredon, p.
59.
~
O objetivo desta scc.çao sera a construçao de uma aplicação, com propriedades convenientes,
çÕes dadas.
a partir de duas aplica··
Tal aplicação terá papel central nas construçÕes a
segu~r.
Sejam A e B espaços topol~gicos nao vaz~os e
e g: B -+- B aplicaçÕes contÍnuas.
Consideremos as
a famÍlia de espaços
B*A (Ver (Lf.3.1))
e
x3
a colagem desta familia
=
A*B.
Façamos
Xl
=
f:
A
-'>-
A
junçoes A*B e
A*B,
X
2
=
(Ver (4.2.1))
B*A
e
pelas
aplicaçÕes
definida por
c12 C*,b, 1)
c 23 :
definida por
c
cjl*A
=
c._
23 (*,~,1)
=
(b, *,O),
B*A-+- A*$
-
C
A*B
(a,*,O).
Obtemos entao o espaço (A*B)
qual existem as
e
identificaçÕes
(:k,b,l)
(a, *,O) •
Definimos agora a aplicação
~91~
U
cl2.
(B*A)
:::: (b,*,O)
LJI
( A*B) ,
c2 3
e (*,a,l)
no
-9:<-
f\ n
')
.~ ·'·
, •. i\.
r
(a,b,3E)
~----
À(a,b,t)
parG
(b,a,3t-l)
l
O_~t~-
pctra
J
3-
(ã"--;b;Tt·-2) para--~
<t < - 23
<
<-t
1
O espaço obtido p2la colagem e a aplicação À, podem ser
interpretados geometricamente pelas
= [0,1]
e
B=
figuras
abaixo;
onde
A "'
{o}
(--;'>·.a, t)
,
l'l'
~- ' b ~ 1 ,\
- -<----<' --. ·;
l
J_____ ____._..J'
B
A
'
1~MB
L___
(l,!,
-·:
~
A \
'
J
v
'
l/4
!.·----- ---
,,
f;
"
\Ü~i-,
O).
(a,-.J!,O)
\
2/3
1/3
\'-\- --.
À
t
I
(N''8)
U (B>tA) U ( t,AB)
c).z.
"\.
c 23
-9 J ·-
'
'
Se j a alnc.a
L:
definida por t(b,a,t)
B*A
c (a,b,l-I), Usando as figuras anteriures esta aplicaç~o
pode
ser vísualizada
-,~7
lj(A
Definimos entao
e idA*g:
que
A*B -r A*B por (i~A.1'g)(a,b:-t")_"' (-a:-g(b),t)
(f)~idB)(\':,b,l)
""(:~,b,l)
"'l(b,*,O)
=
T(c
12
e
notamos
(i•,b,l)) e ain-
Por (4.2.3) podemos entao definir a aplicaçio
(f*id )
B
{ }
T ( ) (id *g)! (Al''B)
A
12
3
c
Usando as figuras
da assim:
t:;
U
c12
(B*A)
U
(A*B) --> A*B
c23
anteriores, esta aplicação pode ser visuali-
-94-
Chegamos agora a definiçio central desta secçao:
(6.1 .1) Definição.
aplicação f O g: A*B
Com as notaçoes anteriores,
definimos uma
por f O g
-+ A*B
Usando as figuras anteriores, esta aplicação pode ser visualizada.
Fazendo as composiçÕes temos que f O g: A*B ...,_ A*B tem por
ex-
1
se U<t<-·
-- 3 '
=
(a,b,Z 3t)
1
2
se - < t < - e
3 - -3
(fog) (a,b,t)=(a,g(b) ,3t-2)
se
_?_<t <1.
3--
-
(6.1 .2) Proposição.
Demonstração. Sejam
-
A aplicação f O g: A*B -+ A*B e cont1nua.
TI:
AxBxi -+ A*B a projeção canÔnica e
xl " {(a,b,t) s AxBxi: O<
x2 " {(a,b,t)
E:
AxBxi: -
x3 " {(a,b, t)
E:
AxBxi:
1
t
1
<-}
-
3
2
< t <-}
3 -
~ ~t2_1
3
}
uma cobertura fechada finita de AxBxi. Então
-95-
x1
..
{(a,b,~)
x2
x3
1
o ..<t<--}
- 3
c fl*n'
".
l(a,b,t) c Ai<B:
-
l
2
<t < - - } ;
3 3
2
< t < 1}
" {(a,b,t) c A*B' --·3 -
-
e uma cobertura fecltada finita de A*B.
Por outro
-
caçoes
definidas
"'(a,b,2-3t)
e
h
lado sejam h.:
1
por h
3
1
(a,b,t)
(a,b,t)
=
=
X.
AxBxi
+
1
(i"'l,2,3)
as
apli-
(f(a),b,3t);
(atg(b),3t-2).
Então
os
diagramas se
guintes são comutativos.
X. _____h·
__].______ ~ AxBxi
l
Tí IXi
I
t-. :'Cf.2l!c;,__~
(i
S
Como as h.
(i==l,2,3)
1
outro lado o
(fU g)
restriçÕes
" [(f
chada e
i.1 tem
(x)
iXi
A:':I3
sao contÍnuas,
as Tfoh.
1
•
sao contLnuas.
Por
a topologia conduzida pelas 1riX.,
1
são contÍnuas.
para todo
Como
xcX.(\ X.,
J
e
J_ '
finita,
1,2 ,3)
entao f
[CfDg)
a
IXJ
logo
(x)
cobertura {X;} é fe
....
g e continua.
A partir de agora estamos interessados no caso em
A e B sao esferas e,po~tanto variedades
casos A*B
ê
as
que
diferenciiveis. Nestes
homeomorfa a uma esfera (Ver (4.3.7)),
sendo a es-
trutura de variedade diferenciável de A*B·a dada por (4.3.8).
(6.1.3) Proposição_.
c""' então a aplicação fn g:
00
sP*Sq ê C
nos pontos
tais
q uc
t
2
['o'
l.
3'
Demonstra.ç"ilo.
• I
co:n zs
.
1. C!f:'I'"t::..
o
(f(a),b,3t)
fDg(a,b,t)
=
[
i
-
cada coordenada e
< t
<
(1•. 3.6)
temos
1
'3
2
1 < t <-3
3
(a,b,2-3t)
[ (a,g(b) ,Jt--1)
e
de
fJ.. caçoes
se
2
< t < 1
3
ro
C .
(6.1.4) Pt·oposiçãt?_.
Se
f:
sP + sP
e
g:
aplicaçÕes
·uma
Seja lj!:
mo o
desenhado na
nz
·~ m
ro
UDla
aplicaçãü
seguinte fir;ura.
("bump
C
function").
00
e seja u: IR +IR a aplieação C
cujo gráfico ê
cujo gr-áfico
definida por
ê co
-- 9 7 ·~
A
sp+q+l o
(4.3.7)
e
difeomorfismo
00
(4.3.8). Escolhemos um ponto a ESP e
--1
F(x,y~t)=~
r
(1-a(t)
L~o(fOg)]
construÍdo
c '
um ponto bt:Sq
(x y t)+a(t) $(a b _1_)
' '
•
' ' 2
t"'Ü
e
\
\ --------------,-~~~-~-ü-,-,:-~)-j-.2T_u_2_(_l_)________________/
Seja
em
I
1
2
~3'3 ou 1}
u1 =
u2 =
e
Então MCV
1
C
V
2
e vl e
vz
s ao vizinhanças abertas de M.
disso F=fO g em sP*sq-v 2 po1.s a ( t) =0 se t4U2 e F=<i>ca,b,+)
uma aplicação constante em
v,
•
pois
a(t)=l se
tt:U
1
.
Assim F
Além
e
-
e
~
uma aplicaçio C
com f
pois fora de umn vizinhança de M ela coincide
g, é composiçau'· de aplicaçÕes
00
C
em
Além disso Fê hornotÔpica a fOg.
é
2
-v
é
e
1
Com efeito,
constante
a aplic_§l;
contínua e satisfaz G((x,y,t),O)=(fOg)(x,y,t) e G((x,y,t),l)""F(x,y,t).
é uma peça essencial na construçio
O resultado seguinte
do exemplo de
Conner e
(6.1.5) Proposição.
C
v
ro
F'loyd (Ver
Se
f:
Conner-Floyd;
sP-rsP
e
g:
Bredon,
Sq->-Sq s ao
p.
59).
aplicnçÕcs
entRo
deg(fD g)
~monstração.
= deg(f)
+ deg(g)
-
Tem sentido falar em deg(fO g)
1
•
pois
fOg é
conti
nua (Ver (2.3.7)). Seja F a aplicação construÍda na proposição
anterior tomando como a
e b
1
eSq, respectivamente (a
1
1
e g em sP
valores regulares de f
e bl existem pelo teorema de Sard).Na.
construção de F tomamos entio
a~-a
ca a fOg temos deg.f:.deg(fOg)
1
e b=-b . Como F
1
(Ver(2.3.8)). Vamos
~
homot6pi
portanto
calcular deg F.
Tomemos cntac
-
e um valor regular de F. Calculemos
(x,y,t) €
F
-1
1
(a 1 ,b ,2) devemos ter
1
E:
sP*Sq e mos tramas que
que
-99-
terÍamos
Logo
1
(t)
+
1.
donde
t f O,
la relação anterior e
as
1
2
J•-j• 1.
definiçÕes
(Ver figura precedente).P~
de
(jJ e
rjJ (4.3.7)
temos
r----2--r
I (1·-a( t)) +a ( t)
Temos entao as possibilidades:
(a)
1
Para O<t<-3 '
a igualdade(*)
se
torna
(Ver(6.l.l) e
(4.3. 7))
Portanto,
(1- (t)). (1-3t) .f(x)
r
í
2
z
/1-6t+18t ./(l-u (t)) +a (t)
e
(1-a(t)).3t.y
DaÍ vem que
(1-Jt)
~
:-7.
/1-6t+l8t.
a(t)r2a 1
2 /Ú-aCt)) 2 +a 2 (tJ -
Fi
~-
1
a
-100-
3t
Tomando as normas
destas
duas
Últ:imas
llfCxJII= IIYII• lla 1 !1• IIY 1
]_- 3t
3t
membro vem
figura precedente)
~
Portanto,
1
2
< t <-
3
3 '
logo ao anLerLor obtemos
1
Portanto,
=
(f
x"'a ,
(c)
1
ogl (x,y,
y=b
1
e
=
t
1
2 )
1
,
o
(Ver
1
6
-
procedendo de modo totalmente a na
1
2•
.
donde
1 .
2
a
( -)
~O.
Então
~-·--r
--~
=
(x,y,z)
(al,b1'2)
t=z1
5
donde a(-)
6
obtemos
"
Resumindo,
"'
P a r a + < t< 1, procedendo de- modo
logo ao caso (a)
Portanto x=a
t
e
F(x,y,T)
=
1
(f(x) ,y,T)
(fag)(x,y,-})
Para -
1
• - -. Como
6
a
deduzimos que
x
(b)
lembrando que
11•1edividindomembro
e portanto t
= l
igualdades
(x, g(y)
1
•T)
=
totalmente
O. Então
ana-
-101-
Calculemos agoPu o j acoLiano de F nos pontos de
-1 (a ,b ,
Se vEF
1
F
é
ident(ca a
1
fD g.
2
)
existe
r- 1 (a ,b
1
l)
1 '2
uma vizinhança de v na
o
qual
Então nos pontos
biano de F coincide com o jacobiano de fOg.
Calculemos então
estes jacobianos.
(a)
Em pontos
1
,6)
tetr.os
do tipo
1
,b ,2) e podemos tomar (por exemplo) ,ca_!:
1
tipo .t
em {x,b ,. -) e do tipo .t
em (a ,b ,
)(Ver
131
232
1
1 2
1 6
(f O g) (x,b
1
=
(a
1
~--l-
tas
do
(4.3.8)).
Daí
Entao, nestes pontos
o
11.
o
donde
3 de t
311.
-102--
po~s
a
~
1
Ou seja,
.
t~po
(x
1
valor regular de f. Al~m disso
(Ver (2,3))
,b
I
1
orientaç~o
,-6-), onde xcf
po
1
(a ,b ,2)
1
1
t 131
-1
(a ),
1
se e
somente se f
a
Para o ponto
..
e entao podemos
em (a ,b
1
1
1
,--y)
tornar,
(Ver (4.3.8)).
por exemplo,
Daí
Entao,nesse ponto
o
11
11
o
donde
preserva
do
no ponto x.
(b)
=
g preserva a orientação num ponto
f
- 311
J
certas do
ti-
-lO 3-
valor regular de g. Além disso
Ou seJa,
(2. 3) )_.f O g preserva
(Ver
orientação num ponto
a
se, e
se
g preserva
a or1.en
y.
taçao no ponto
Conclu-ímos portanto que
(2.3.1)
so
do
(a
1
,b
1
,
~) e
valor regular de F e,
por
temos:
~
_
pE:F
+
p~(a
yog
1
-1
I
sig
,y,5/6)
(b
1
1
I
(a
__
1
,b
1
sig [det(J(F)p)]
~
,1/2)
[det(J(L 1420 (fOg)
0 L~;l)pl]
)
~
Pela definição
(2.3.3)
e a
relação deg
(f og)
"" deg F,
obtida
no começo desta demonstraç~o,
deduzimos que
+ deg(g)
deg(f)
deg(fOg)
-
l
6.2. Ações sem eantos Fixos de Grupos crclicos sobre Esferas
Neste parigrafo mostraremos que sobre esferas de dimensio
par sempre
~
possivel estabelecer uma açao sem pontos fixos de
um grupo cfclico finito.
Dessa forma concluiremos que sobre es
feras de dimensio rmpar existem autohomeomorfismo
periÓdicos
que nio têm pontos fixos.
(6.2.1) Primeiramente construiremos uma açao sem pontos fixos de um grupo
.,.
ClCilCO
f"">
ol
l!llCO SQ b re::.
Ccnsideremos S
l
como a circunfer~ncia uniiaria no pla-
s1 ~ s 1
no complexo e seJa wn
a aplicaçio definida por w (z)=
n
2ní
=z.e
n
onde n ~ um nGmero natural > 2. Entio temos
(a) w
n
~
um autohomeomorfismo de
inverso ~ dado por w
(b)
w
n
-1
n
(z)
Com efeito,
o
seu
De
f a-
l]ri
z.e n
=
é periÓdico (Ver (3.1.4)), de perÍodo n.
2rri.n
"" (z) ,e----n-
to,
s1 .
identidade para todo
m < n,
.
2TIL
z.e
"
nao tem pontos fixos. Com efeito, se z=w (z)
n
2Tri
e
----rf"""=
, entao
1 e daí n = ±1. o que contraria a nossa
{c)
w
n
-
escolha de n.
Então, por (3.1.5)
pontos
f·
_1XOS
n-e
e
(3.1.8), w
n
-
induz uma açao
sem
-105-
{6.2.2) A seguir construiremos uma açao sem pontos fixos de Z
n
(onde n e como acima) sobre uma esfera de dimensão Ímpar 5 2m+l.
Procederemos por indução.
2ro-l
s1
.,• n *w' .
s1
-+
o
2m-l -
m
sobre
Seja
autohomeomorfismo construÍdo em (6.2.1),
e
5 , 05 2m-l
0
tais açoes
um gerador dessa ação.
n
n
jâ sabemos que
-
2m-1
e que w':S
w :
(6.2.1)
Suponhamos que existe uma açao de Z
existem quando m=O.
S
Por
-+S
e
S 1 *S 2m-l a
··)-
,
-
apl~caçao
definida como em (4.3.4),
Então temos
w *w' -e um autohomeomorfismo de s2m+l.
(a)
1
2m-l
S *S
n
n
Com efeito,
-
é homeomorfo a s2m+l
•
por (4.3. 7). Além disso, w *w' e
n
n
contÍnua por (4.3.5(i)),
e por
(4.3.5(ii))
vale
(w *w')
n
n
-1
=
= w -1.( w ')-1 •
n
n
(b) w
n
*w'n é
vo.lem
(w
n
*w')k =
n
(w
n
('"
'l
"n *T.T
"n'
'
n
n
('4.3.S(iii))
9=
)k*(w')k
w *w'
(c:)
peri~dico
n
="'
de perÍodo n.
\ n
'i'
''n'
n
n
Então, por
pontos fixos de Z
n
Resumindo,
(6.2.3) Proposição.
natural
b re S
> 2.
2m+l
•
"' id*id "' id
Com efeito,
fixos.
por
temos
Fix(w *w')=Fix(w )*Fix(w')
n
por
id*id = id se O< k < n.
não tem pontos
n
1 n
*fT.1
, .. n )
De fato,
(3.1.5)
sobre S
n
e
tP*tP
-
=
tP
(3.1.8), w *w'
2m+l
n
n
induz uma açao sem
,
temos:
-
Sejam m um numero natural e n um numero
Então existe uma açao sem pontos
fixos de z
n
so-
-106--
6.3. Ações sem Püntos Fixos de Grupos Cíclicos sobre Espaços Compactos
Ne3to par5grafo mo3tr~rcmos
que dado um grupo
c[clicc
- -
finito Zr' que nao e um p-grupo, existem um espaço compacto
acfclico X e urna açio sem pontos fixos
de Z
r
sobre X.
forma teremos assinalados limites para possivcis
çÕes dos célebres r~sultados de P.A.
grupo~J
e
Dessa
generaliza-
Srnith sobre açoes de
p-
(Ver (6.3.5)).
(6.3.1) Sejam
p
se]a r
Começaremos por construir uma açao sem pontos fi
= p.q,
xos de z
sobre s 3 .
r
Sejam s
no complexo e
e
1
"' z.. e
p
(a)
w
p
e w
---cr-
\V
e w
(b)
q
e w ( z)
q
:
S
1
-+ S
1
.
aplLcaçoes
as
. .
defLnJ.-
21Ti
= z.e---cr--.
Como em (6.2.1) temos:
s ao autohomeomorfismos
q
e
a circunferincia unitiria no pla-
2 1TÍ
des por w ( z)
2 e primos entre sL,
e q numeras naturais
de
s1 .
sio peri5dicus de perÍodos p e q respecti-
q
vamente.
(c)
Nem w
p
nem w
q
têm pontos
fixos.
1
1
1
1
Então a aplicaç~o T=w *w : S *S
->- S *S
tem as propriedades se
p
q
guintes:
(i)
(ii)
(Íii)
T
ê um autohomeomorfismo de S 3 (Ver (6. 2, 2 (a))).
Te periódico de perÍodo r
T não tem pontos fixos
"'p.q.
(Ver (6.2. 2(b))).
(Ver (6.2.2(c))).
-
Então, novamente por (3.1.5) e (3.1.8), T induz uma açao
.
pontos f Lxos
de
Z
pq
sobre
s 3•
sem
-107--
(6.3.2) A seguir construiremos
h orno-
uma
tópica a uma aplicação constante e que e equivariante com respeito à ação de
(6.3.1).
Como p e q são primos entre si, exis-
tem inteiros me n tais que np+mq=-1.
s1
g:
=
z
s1
-+
mq+ 1
.
aplicaçÕes definidas por f(ll:)
as
Por
Sejam então f:
(2.3.4),
deg(f)
= np+l
e
aplicaçÕes construamos a aplicação fo g:
me
(6.1.1).
Por
(6.1.5)
s
1
temos
-
Se w
e '-I
p
2'1íi
q
1
e
mq+l.
-+
s
1
-+
s
1
g(z)
e
=
Com estas
xsl,
confor
=O
homotÕpica a uma aplica-
que
s3
çno constante c:
*s
=
1
temos
deg(ft:Jg)=deg(f)+deg(g)-1 = np+l+mq+l-1
Por (2.3.8)
znp+l
=
deg(g)
s
-+
são como em (6.3.1)
ternos
2lfi )np+l np+l 2Tfi
(fow )(z)=f(z~e p )= z,e p
,.-=z
.e p =w (f(z))=(w of)(z)
p
p
p
-
Isto e ,
f
(
e wp comutam,
Al~m
2ni
G 2Tií
e q )= z.e q
Isto e,
g e w
q
·Jmq +1
mq +1
=z
2ni
.e q = w (g(z)) = (w og) (z)
q
q
comutam.
Sejam agora"(z
(6.3.1)).
disso
1
,z
2
,t)
1
1
um ponto de S *S
e
T=w *w
p
q
Usando a expressão de fo g obtida (6.1.1)
(Ver (4.3.4))
1
3
(I) Se O <t < -
-:-
-
vemos
(Ver
que
-108-
1
3 :5_
(Il) Se
~~
(III) Se
P ortanto
'T'o(fog)
t <
=
-
t
2
1
(f a g) 0 T, e como T
ri ante. Então h= fCJ g
(ó.3.3)
23
~roposição.
é o gerador da ação,
f Og
ê equiva-
ê a aplicação procurada.
-
Sejam N o conjunto dos numeras naturais e
(6.3.2), Seja {E, TI
W o sistema
n
nm'
3
topol5gicos onde E = S para todo nEN e TI
h a aplicação de
d~
espaços
n
para n > m (Ver
(4.1.4)),
e seja E
-
=
limE
~
n
inverso
mn
o limite
=
-
com-
ã homologia de Cech.
- vazios,
Demonstração. Como En=s 3 , que e nao
Hausdorff
e
pacto, E é não vazio, Hausdorff e compacto por (4.1.6).
h ê homotÕpica a uma aplicação constante por (6.3.2),
•
3
morfismos h*: H.(S )
n-m
inverso
desse sistema inverso. Então E e nao vazio, Hallsdorff,
pacto, e acíclico em relação
h
com-
Como
os homo-
que h induz em homologia são tri
J
viais para todo jsN. Portanto todos os endomorfismos (TI mn )*
-
(onde j,m,nsN e m<n) s ao triviais.
-109-
Po:r; (4.1.3)
temos
"
3
3
v
11m H.(S. )={{x} ,.,r E)(H.(s-):x ""hn.-rn(x)
~
J
mmtJ.'mEN J
m
n
= { {x }
m nlE
N: x
m
n>
m}
= 0} = {0}
. 3
v
v
Por (4.1.7)
para
v
H.(S ) , donde H.(E)=O para to-
vale H.(lim
J ~·
J
J
do jsN. Portanto E ~ acrclico em relaçio ~homologia de ~ech.
Se rEN nao ~ a pot~ncia de um primo, en-
(6.3.4) Teorema.
tao existe um espaço compacto e acÍclico com relação à homolov
-
gia de Cech que admite uma açao sem pontos fixos de Z .
r
Seja E o espaço cornpact~ e
Demonstração.
acÍclico em relação a
v
homologia de Cech construído na proposição (6.3.3),
-
=p.q.
onde p,qEN sa.o
p~imos
remos
a
s 3
: E
E a aplicação definida por
-7
aplicação T:
-+
s3
er.tre si maioret: que 1, c
construída em (6.3.1).
Tl ( {x n } nO N)
Como x =h
n-m
m
(x)
n
(Ver (6.3.2)),
para n
Portanto
>
-
m,
Façamos
c:onsidc:-·
Seja
Tl
{T(x)l_
n
nc..N
vale T(x )=T(h
m
{xn}nt:N t:E
r=
n-m
(x ))=h
n
implica que
n-m
(T(x ))
m
{T(xn)}nEN
E E,
donde a ~magem de Tl estâ efetivamente contida em E. Além dis-
so,
(a)
{T
-1
(x)}
n
no
T
N"
1
possui inversa definida por T
-1
1
A demonstração que a ~magem de T
E é análoga à que acabamos de ver.
portanto comuta com h.
({x }
n no
1
N)
estâ contidaem
Basta notar que T
-1
=T
r-1
e
-110~
_,
Por outro
lado~
T
1
a E das aplicaçÕes
e T -'- sélo ~~outrnlJas,
v
i\
<
c:ont~nuas
r :
n;::N
XE
ncN
respectivamente,
n
~
todo nEN. Portanto T
(b)
T
1
~
1
~
{T
-1
-
po~s
1
X
E
nE ~; n
+
sao as restriç.Ões
X
E
nEN
definidas por
(x
n
) }
nE
e
n
Xr({x}
ncN
]·' onde E
.~
:n
~ S
n
nEN
3
)""
para
um automorfismo de E.
periÓdico, de perÍodo r, pois
cada coordenada
tem perÍodo r.
(c)
=
pois T nao
T
1
nao tem pontos fixos,
{{x n }nE N: x n
t~m
=
Com efeito,
T(x n ) para todo nEN}
~
,
pontos fixos.
Então, por (3.1.5) e (3.1.8), T
pontos fixos de Z
r
sobre E.
1
-
induz uma açao
sem
(Ver Bredon, Teor. 8-2' p. 60)
(6.3.5) Um caso particular de um dos famosos resultados de P.A.
Smith diz que se X ê um espaço compacto (de dimensão finita)
e
acíclico com relação ã homologia de Cecb, e T ê um autohomeo
morfismo periódico de Z,
,.
de perLodo
p n (onde p e- um numero
mo), então Fix(T)+c~J. O teorema (6.3.4),
devido a Conner
pr~
e
Floyd, mostra que esse resultado deixa de ser válido se o
pe-
ríodo de autohomeomorfismo não é uma potência de um número
pr~
mo.
(6.3.6) É interessante observar (Ver Bredon, Remarke, p.
60)
-111-
que corno subproduto das construçoes de Conner e Floyd podem-se
assinalar limites para o campo de validade do célebre teorema
de ponto fixo de Lefchetz. Com efeito, seja E um espaço triangulável compacto (Ver (l.l.l3(ii))) e suponhamos que E é
con-
tritil (donde E é acrclico em relaçio ~homologia singular
e
'
também com relação ã homologia de Cech;
ver Eilenberg-Steenrod,
Teor. 10.1, p.
201, e Teor.
9.3, p.
250).
Uma consequência
do
teorema de ponto fixo de Lefchetz (ver Spanier, Cor. 8, p.196)
diz que toda aplicação contrnua h: E -+E (e, em particular,
do automorfismo periódico)
(6.3.4)
tem (pelo menos)
um ponto fixo.
to
Por
esta asserção deixa de ser vilida se omitimos a hip5t~
se da triangulabilidade sobre E e substituímos a hipÕtese de E
ser contritil pela de ser aciclicn com relação a homologia
'
Cech
(Ver
tamb~m
(7.1.11)).
============
-----------·-
-------::;::::::::==::::::::::::
de
7
CAPÍTULO
ACOES EXOTJCP.S DE GRUPOS CICLICOS SOBRE ESPAÇOS EUCLIDIANOS
7.1. Ações Simpliciais de Grupos Clclicos sobre Complexos Simpliciais
-
> 2
Sejam p e q numeras naturais
JB r=p.q.
pr~mos
entre s1.
Seja K o complexo simplicial em C determinado
e se-
pelos
vértices
2W.
1•
e
CUJOS
e
2rri(r-l)
r
....
_?_l!_i·'k-1)
[e r
iKI
e
r
=
IKI
7
lados inscrito na circunfe
s1
2Tii.k
x/lxl. Notemos que À(e __r_ )
É claro que
(4.4.15).
J
~o polfgono regular de r
rência unitária em C. Seja À:
é, À(x)
r
1-simplexos sao segmentos retilineos da forma
2rri. k
Entao
e
(K, À)
(K*K,
a projeçio radial,
2rri.k
e
r
para todo kcN.
1
e uma triangulação de S . Pela
),~),)
(7.1 .2) Proposição.
-e
isto
proposição
'
1 açao
d e S 1*·S 1
uma trLangu
Sejam r e K como acima. Então existe uma
ação simplicial sem pontos fixos de Zr sobre Sd(K*K)
Demonstração. Sejam'À como acima, T: S 1 *S 1
~
1 1
S *S
o autohomeo
morfismo periódico, de perÍodo r e sem pontos fixos construÍdo
em (6.3.1),
e r
2
:
jK*KI
~
IK*KI
mutativo o diagrama.
-112-
a Única aplicação que torna co
T
2
Ent~o
r
2
~
T
de periodo r~ e sem
um autohomeomorfismo peri5dico,
pontos fixos.
Por (3.1.5)
tos fixos de Z
r
r
(3.1.8)~
e
2
-
gera uma açao sem pon-
sobre o espaço topol5gico )K*K\.
1
Por outro lado, os autohomeomorfismos w
e w de S
de
q
2nik
2ni(k+q)
p
2nik
finidos em (6.2.1) satisfazemw (e r
p
r
Então T=w *w
p
21Ti
--(k+q)
(e
r
satisfaz T(e
q
2'1fi
,*,O)
e T(*,e
r
,1)
=(*,e
) =
q
r
z:i
r
e w (e
2 '!Ti
--k
21ri 'k·+p;.
----·~
= e
r
== e
)
21fi/L, \
-r-~r-.-,
' *' o)
Y.J
(e
,*,0)"'
(k+p)
,1). (Ver (4.3.4)).
2Tiik
Além disso,
os vértices
de K*K que
sao pontos
do
tipo
(e
r
~0,0)
21Tik
ou (O,e r
,1)
(À(e
r
= (e r
),*,O)
(Ver (4.4.5)) nos pon2Tiik
,*,O)
ou(*,À(e
respectivamente (Ver definição de
mutatividade do diagrama T
2
entao
2Tii
---m
T [(1-t) (c r
2
r
acima).
2Tiik
),l)=(*,e
r
,1),
Portanto, pela co-
leva virtices de K*K em v~rtices de
K*K.
Temos
ÀÓÀ
21Tik
2Tiik
tos
são levados por
2Tii
--(m+l)
,O,O)+t(c r
-114-·
21fi (m+l)
r
e
],*,O)
2ni
= CÃ/\À)-
2ní(m+l)
--rn
1
((w 0 \ )
p
[0-t) e r
2ním
( 'v (
p
r
(1-t)e
2ni (m+ l)
2
y'(l-t) +t
r
(1t)
e
(:~~~-~r-
r
+ te
~ 2
•
Zn~(m+q)
+ t e r
) '*,O)
2 .
~(m+q+l)
r
+ ·~t~e:.c------ ,*,0)
/(1-t) +t2ni
2ni
- ( m+q+ 1)
-(m+q)
r
= (1-t) (e r
,0,0) + t(e
,0,0)
Analogamente
__
2ní ,
, 1) + t(O~e
T [(1-t) (O,e r
2
2·1r Í (TJ1+ 1 )
r
.
2rri
"2rri
,1)]
--(m+p+1)
-(m+p)
r
= (1-t)(O,e r
,1) + t(O,e
,1)
Ainda
2Tii
---n
21Ti
-m
T
2
,0,0) + t(O,e r
[0-t)(e r
21Ti
((MÀ)
-1
.o
.
- rm
T) ( À(e
2rri
= ((MÀ)
,1)
2'rn
---n
r
) , À(e
2rn
- 1 T) ( e---r"' ,e""? ,t )
0
)
) ,t
J
J, *,O)
-115-
2 .
.....12:..(n+p)
r
,1)
,0,0) + t(O,e
21TÍ
--(m+l)
=
Portanto T
xos.
(l-t) (e r
leva simplexos em simplexos e ê linear nos
2
Assim T
ê uma aplicação simplicial.
2
ConcluÍmos entao que T
de Zr sobre K*K.
pontos fixos
sirr.ple-
ação simplicial sem pontos
gera uma ação simplicial
2
Por (3.2.2),
fixos
sem
esta ação induz urna
sobre Sd(K*K),
ainda sem pon-
tos fixos.
( 7 . 1. 3 ) f.r_o[J_(l~i ç_ã_~.
uma aplicação y:
existem nsN e
=
IK*K i
Sejam r,
K e
como em (7.1.2).
À
!Sd(K*K)
I
=
IK*K
I
-+
Então
]Sd(K*K)
I
=
tal que:
(i) y e uma homotÓpica a uma aplicação constante;
(ii)
y
ê
equivariante em relação
i
ação de Z
r
sobre Sd(K*K)
construÍda em (7.1.2);
(iii)
y: Sdn(Sd(K*K))
Demonstração.
Seja h:
truÍda em (6.3.2)
e h
torna comutativo. o
\K<•K\
-+
Sd(K*K)
S'*S'
1
:
-+
ê simplicial.
S'*S'
a aplicação sirnplicial cons
IK*K\-+ IK*KI
~iagrama:
s 1 ,,s 1
h'
''
.
IK<•KI
a Única aplicação
s
J:
;';8
que
-i 16-
Corno AAA ~ um homeomorfismo e h ~ hornot~pica a
~
constante, h'
uma
homot5pica a uma ~plicaç~o constante. Al~m dis
so
po1s h~ equivariante.
açao de
(7.1.2), h'
é
Assim,
como h'
comuta com o gerador
Z -equivariante.
r
temos entao uma aplicação contÍnua h':
Como
[K;'<K]
!Sd{K*K)
""I
I-+
da
Sd(K'~K)
I
]Sd{K*K)[quG
é Z -cquivariantc c homotópica a uma aplicação constante.
r
Por (3.3.1)
y:
y_:
Sdn(Sd(K*K))
jSd(K*K) \
-+
-+
existem neN e uma aplicação
Sd(K*K),zr-equivalente, e
jsd(K*K)
\é
homotÕpica a h
1
simplicial
tal
e
que
portanto homotôpi_
ca a uma aplicação constante.
(7.1 .4)
por r
2
Nosso prÓximo objetivo~ construir uma ação
induzida
num cilindro iterado. Para que isto seja feito necessi-
taremos ordenar convenientemente os vértices de Sdn(Sd(K*K))*L
onde K e n são os fornecidos pela proposição {7.1.2) e L é
um
complexo simplicial finito qualquer.
Consideremos em Sdn(Sd(K*K))
a seguinte ordenação:
v e w sao vértices de Sd(Sdn(K*K)) então v < w se e so
-
v=b(A) e w=b(B), _onde A e B s ao simplexos de Sdn(K*K)
A é face prÓpria de B. Esta ordem t.em a propriedade
se
se
tais que
enunciada
-117-
~
(Ver
cm(S.l.l).
obs0rvaç~o
final em (5.1.2) .) Então
definição dos ::;Ímplexos de Sdn(Sd(K..:•K)).
fb(A ), ••• ,b(A )},
o
n
do aqueles do tipo
de Ai+l
(O
L
onde A.
estao to ta lmcn te ordenados.
mos agora aos vértices de L uma relação de ordem pai_
<
(v,O,C)
< (C,u,l) para quaisquer vértices
u
sao
(w,O,O) se e so se v < w;
(v,O,O)
""
aos
vértices de L,
vértices de Sdn(Sd(K*K))
(Sd(K>'<K))
e
se v e w
vértices de Sdn(Sd(K*K))*L a seguinte ordenação:
n
prÓpria
um simplexo qual_
cial satisfazendo a propriedade enunciada em (5.1.1),
Sd
como scn
é face
l.
< i < n-1) , vemos que os vértices de
quer de Sdn(Sd(K*K))
D
(Ver 1.1. 8)
pela
'
(10
de
v
L.
Esta e uma relação de ordem sobre os vértices de Sdn(SD(K*K))*L
tal que os vértices de cada simplexo estao totalmente
ordena-
dos. Temos entao todas as condiçÕes para a construçao do cilin
dro iterado z""' (Ver (5.2.2)) da aplicação Y*id:
+
\Sd(K*K)*L
I
onde y:
\Sd(K*K)
\-t-
\Sd(K*K)
ie
\sd(K*K)*L\
+
a aplicação cons-
truÍda em (7.1.3) e id: L +L é a identidade.
(7.1.5) Proposição.
y*i.d'
!Sd(K*K)*LI
(i)
(ii)
\zoo\ ê
00
dim Z
Demonstração.
00
Seja Z
o cilindro iterado
+· !Sd(K*K)*LI.
de
Então
conexo por caminhos e contrátil
=
S+dim(L) > 4.
(i)· Como K
+
cp entao
\K*KI
e conexo por caminhos
-118-
por (4.4.4(iii)).
meomorfo
a
!zy(Sdn+l(K''tK) ,Sd(K*K))
por (5.1.4).
Sd(K*K)*L)I
quer caso,
4
L·~, izy,, (sdn+l(K*K)•'~,Sd(K*K)*~)
Se
L+<P.
Se
como K>'<K=f-<P,
I
que e conexo por
entao
(5.2.3(iii)).
lzool
IZ
00
ho-
caminhos
Então,
em qual-
ê conexo por caminhos
Como y e homot6pica a
por (7.1.3(i)),
ê
lzt*id(Sdn+l(K*K)i<L)
é conexo por caminhos por (5.1.5)
o cilindro iterado
I
uma
por
constante
aplicaçio
ê contrátil por (5.2.4).
1
00
(ii)
Por (5.2.3(iv))
dim(Sdn+l (K*K) *L) +1
pois dim K='l e
=
e
(5.1.3)
sabemos
dim(K*K) +dirnL+2
2dim(K) +3 "'5+dimL2.4,
dim L>-1.
(7.1 .6) Proposiçio.
Seja T :sd(K*K)
2
ação simp1icial de Zr sobre Sd(K*K)
id: L +L a
=
dim Z
que
o gerador
da
construÍdo em (7.1.2)
e
-+
Sd(K*K)
identidade sobre um complexo simplicial finito
L.
Então
T *id: Sdn+l(K*K)*L
2
+
Sdn+l(K*K)*L
ê uma aplicação simp1icial
que preserva a ordem dos vértices dada em (7.1.4).
T 2 *id
~
Além disso
um autohomeomorfismo peri~dico de perfodo r.
aplicação
(Ver (7.1.2))
é um autohomeomorfismo periódico de perÍodo r.
e
T
-e
Demonstração. A
2
Sd(K*K)
Então, aplicando n vezes a proposição
+
Sd(K*K)
simplicial
(1.1.22) deduzimos
simplicial e
e
que
um autohomeomor -
fis~o periÓdico de perÍodo r. Então, por (4.4.10) e
-
(4.4.11)
e uma aplicaçio &illiplicial e por (4.4.14) T *id e um homeomoL2
-11.9-
fismo perlÔdico de perÍodo r.
Sejam agora (v,O,O) e (w,O,O) vértices de Sd
n+l
(K*K) *L
< (w, O, O). Então v=b(A) e w=b(B), onde A e
tais que (v,O,O)
B
são simplexos de Sdn(K*K) e A ê uma face prÓpria de B. Alêm dis
so T (b(A))
2
= b(T (A)),
2
prÕpria de T (B), pois T
2
T (b(B))
2
2
= b(T (B))
2
e
T (A)
2
e
face
é uma aplicação simplicial injetora.
(Ver (1.1.21)), Então
(T *id) (v,O,O) =(T (b(A)) ,O,O)=(b(T (A)) ,0,0) <(b(T (B)) ,0,0)
2
2
2
2
(T
=
Se (O,
Se
2
u
(b(B)) ,0,0)
1
, 1)
(T *id) (w,O,O)
2
=
< (O, u , 1),
2
onde u
(v,O,O) < (C,u, 1), onde v
-
2
1
e u
2
são vértices de L, entao
-
.
'"'"~
1AJ
um v2rt1co21 Sd n+1( K·
ce
e u
um vértice de L, entao
( T *i d) (v, O , O) = ( T (v) , O , O) < (O , i d ( u) , 1) = ( T *i d) (O, u, 1)
2
2
2
Assim T *id preserva a ordem dos vértices dada em (7.1.4).
2
(7.1.7)
Seja Zro o cilindro iterado de y*id.
Proposiçio.
00
tão existe uma aplicação simplicial T : Z
3
~
00
Z
En-
que é um auto-
homeomorfismo periódico. de perÍodo r.
DemOnstração.
Seja x um ponto de
nÚmero natural me números reais t
O<t.,t.< 1,
-
'
J
l:
t.+It~=l com
'
IZrol• Por (5.2.1) existem um
1
, . . . ,tk,tk•·· .,t~
com
com
simultaneamente nulos
J
tais que x pode ser escrito de modo único na forma
-)20k
x=
l
t.Sm(U. ,0,0)
i.,;:O
~
~
onde os U
n
u
n
< U
n+l
sao
+
v~rtices
de um simplexo de Sdn+l(K*K)*L tais que
< s-1). Seja T *id a aplicação de (7.1.6)
(O< n
2
e
00
definamos
+
z
por
Como as aplicaçÕes y*id e Sm levam vêrtices em vêrtices T
3
le-
va v~rtices em vértices. Seja
00
um simp lexo de Z ,
Lembrando (4.Lr.12),
(7.1.3))
onde os U
sao tais que un < Un+l(O_.:::.n_.:::.s-1).
n
(4.4.13)
e
o fato que y
comuta com r
2
(Ver
temos
'
Como T *id é simplicial, os (T *id)(Un)são vértices. Além disso, por (7.1.6),
2
2
-121·-
v~rti.ces
r *id preserva a ordem das
2
< (T *id) (Un+l)
2
xo de Z
ro
< n
(O
e portanto
< s-1). Daí segue que r
Dassa forma 1'
ro
(A)
é um
simpl~
leva simplexos em simplexos e por de-
3
finição e linear nestes simplexos. Assim r
plicial de Z
3
3
é uma aplicação sim
ro
em Z •
Verifica-se facilmente que a aplicação inversa de r
3
e
a aplicação
-1
s
k
L
T3 (
i=O
Al~m
t. Sm(U. ,0,0)+
l
l.
f
k
J=
.
t! Sm(O,(y*id)(U.),l)) "
J
J
disso demonstra-se de modo inteiramente an~logo ao
rior que r;
1
~ simplicial, donde concluímos que r
IZ 1.
00
meomorfismo sobre
Que T
imediato dos fatos de que r
T~(
k
L t.
i=O
l.
2
3
3
ante-
~ um autoho'
-
ê periÓdico, de perÍodo r,
e
é periódico de perÍodo r e que
s
Sm(U. ,0,0)+ I t! Sm(O,(y*id)(U.),l)) =
J
].
j=k J
s
Sm(Tnz*id)(U.),O,O)+
l
.
fk
J"
(7.1.8) Proposição ..
Z
ro
~
Z
ro
o autohomeomorfismo
proposição anterior. Então o conjunto dos pontos fixos de r
extatamente o cilindro iterado da aplicação
Oemons tração. Se
u.1
<
1
<P*id:
da
3
é
<P*L ~ <P*L,i~
< s) s ao vértices de Sdn+l(K*K)*L,
-122-
temos
Sm(O, (y*id) (U.) ,1)
J
Por (4.4.12),
Tão,
(4.4.13)
y comuta com T . En-
e pelo fato de que
2
como existe um modo Único de escrever um ponto de
(O__:::_ i
mos que U. ""'(T *id) (U.)
2
>
Se U.=(v.O.O),
]_
. - .
onde v
>
é
um vé:rti ce
de Sdn+
é
~*L.
(v),
-
o que
e
onde w
então (T *id)(O,w,1)=(0,id(w),1)=(0,w,l)
2
de T . Assim U.=(T *id)(U.)
3
2
>
>
onde w ê um vértice de L,
tíce de
2
e
L
de L,
ponto fixo
j,t~
então
(K*K),
Se U:=(O,w,l),
•
um vértice
1
donde v=T
não tem pontos fixos.
T'l
00
< s).
(v,O,O)=(T t•id) (v,O,O)=(T (v) ,0,0),
2
2
absurdo pois
IZ
e
Ui
se e só se U.=(O,w,l),
>
ou seja, se e somente se U. é um ver
1
Portanto os pontos fixos
de
T
3
são os pontos
do
tipo
k
I
i
=o
t.
onde Un=(O,w, 1)
=
(O,id(w) ,1)
tos
do tipo
1.
s
Sm(U.,O,O)+.I
t!(O,(y*id)(U.),l)
1.
j =k
J
J
e vértice de ~*L (O
(tP*id)(Un).
< n
< s), DaÍ Ccp *id) (Um) =
Então os. pontos
fixos
de T
3
sãopoE_
-123-
k
.l:
~=o
s
t. Sm(U.,O,O)+ /
1
~
- ,.
(O < n < s)
onde os Un
t; (O, (cjJ*id) (U .) , 1)
J
j~O
são vértices de ~*L. Portanto, o conjun
to dos pontos fixos de T
aplicaçio cjJ*id: cjJ*L
topia que
+
cjJ*L
e
3
coincide com o cilindro
iterado
Seja z;*id o cilindro
da
aplicação
M=\Z;*id\. Entio M tem o mesmo tipo de hemo-
\L j.
Demonstração. Seja E o espaço vetorial real normado
jcp*L\
C
[Sdn+l(K*K)*L\
uma aplicaç~o H: M
+
C
E. Então MCExExiR,
ExExiR por H(Sm(v,O,O))
e podemos definir
(v,O,n)
t~
para
simplcxos de ZcjJ*id'
ê um homeomorfismo sobre sua imagem H(M) e portanto
Então H
M
têm o mesmo tipo de homotopia.
Sejam agora A= [u , ..• , U
o
m
uo < ul < ••.
ces de Sd
to e,
ollde
m
do v~rtice v de **L e por linearidade nos
e H(M)
da
cjJ*L.
+
(7.1.9) Proposição.
cjJ*id: cjJ*L
J
B~
n+l
< um (a ordem
e
I
um simplexo de
<fl*L
a induzida pela ordem nos vêrtí-
(K*K)*L) e B um símplexo de
co
Z~*id
gerado por A,
[ S n( U ,0,0), ... ,S n (Uk,O,O),S n (O,Uk,l), •.. ,S n (O,Um,l)
0
para k,nsN e O<k<m. Então
k
m
H(B)~{L t.(v.,O,n)+
t!(v.,O,n+l):
i=O J. J.
j ,;,k J J
I
donde
u
B gerado
por A
com
H(B)
~
u
O<k<m
{'t. (v. ,O,n)+ )t! (v .• O.n+lll
t,l.l.
'-'Jr--
Ax{O)x lR
i~
J
u
Portanto H(M)
(Ax{O}x lli)
Ac:QJ*L
í
'
E
E
A aplicação F:H{M)xi
-+
H(M)
dada por F((v,O,t),T)=(v,O,t.T)
está bem definida e é uma homotopia entre a identidade de H{M)e
uma retração de H(M) sobre
mesmo tipo de homotopia de
(7.1.10) Teorema.
\L[. Então H(M)
\L\,
Portanto
M tem
tem
o
o mesmo
tipo que
-
uma
-
Sejam r um numero natural que nao e
potência de um primo e L um complexo simplicial finito
(que
em
particular pode ser vazio). Então existem um complexo
simp li-
v~rtices,
localmen-
cial infinito,
te finito,
com quantidade enumerivel de
contrátil e de dimensão maior do que ou igual a 4; e
uma ação simplicial de Zr sobre este complexo cujo conjunto
de
-125-
pontos fixos
tem o mesmo tipo de homotopia que
[1.
I
(se L=q)
a
açio n~o tem pontos fixos).
.
Demonstração. Basta tomar
ro
o complexo simplicial Z
a açio gerada pela aplicaçio T :
3
em (7.1.5),
em (7.1.7). Por (7.1.8) e (7.1.9),
construÍdo
-+ Z
ro
<
cons tru~ da
o conjunto dos pontos fixos
da açao tem o mesmo tipo de homotopia que
IL I·
(7.1.11) Tomando L""cjl vemos que (7.1.10) fornece um exemplo
de
um espaço triangulâvel e contrátil e de uma aplicação contÍnua
h: E -+E (a saber E::=IZ
consequ~ncia
em (6.3.6)
ses de
00
e h::=T ) sem pontos fixos. Portanto, a
3
mencionada
do teorema do ponto fixo de Lebçhetz
1
tambêm deixa de ser válida se, mantendo as
triangulabilidade (localmente finita)
de sobre E,
admitimos
que
-
E se]a nao
hipâte-
contratibilida-
e
com~acto.
00
7.2. Ações Coo de Grupos Clclicos sobre Variedades C
•
(7.2.1) Conservamos as notaçoes de (7.1.10). Seja 4f(A) a car" 1 "1dade d e um conjunto
.
A e
d~na
~(-·
vert~ces
de Sd n+l (K*K) +
k=t~·
.(vêrtices de L) .
Por (5.2.5) existem uma estrutura simplicial em E
00
gulho linear h:
Z
-+ EZk-l que mergulha a
plexo dessa estrutura simplicial. Então h:
z=
2k-l
e um mer
como um
ro
Z
ro
+
h(Z )
aplicação simplicial que é um homeomorfismo e
sub come
uma
p ort an to
uma aplicação simplicial (Ver(l.l.30)).
Seja agora r
ro
4
ro
: h(Z) -+ h(Z )
torna comutativo o diagrama:
a Única aplicação
que
-126-
h
00
z
h(Zro)
'T
T3
zoo
Entao (a)
T
(b)
T
-
4
•'
h
h(z"")
e simplicial pois T3, h e h-l são simpliciais.
4
ê
4
homeomorfismo periódico,
de perÍodo r, po1.s
T3
o e e h ~ homeomorfismo.
(c)
Fix(l )
3
Fix (T )
4
= h(Fix(T )),
3
como h
tem o mesmo tipo de homotopia que
entao Fix (Tt
(d)
[h(Z
00
)
i
é
contrátil pois
um homeomorfismo e
IL[
(Ver
r.(2k-l)
jZ
00
[
(7.1.10))
IL!.
é contrátil (Ver(7,1.5)),
Sejam r, k e T4 como em (7.2.1). Conside
(7.2.2) Proposição.
remos em IR
ê
tem o mesmo tipo de homotopia que
)
1
vezes)
e
=
JR
2k-1
x •• ,x lR
2k-1
(o produto cartesiano
r
a estrutura simplicial dada pela primeira subdivisão ba
ricêntrica da decomposição celular de JRr.(Zk-l),
são A x . . . xAr'
1
aplicação IJJ:
onde A , . . . ,Ar são simplexos
1
Sd(h(Z
00
))
-+IRr. (Zk-l)
r-1
4>(x)=(x,T (x), ••• ,T
(x))
4
4
cujas células
de IRZk-l.
Então
definida
a
por
-
e simplicial e um homeomorfismo so-
bre um sub complexo contrátil .p de IR.r(Zk-l),
Demonstração.
gero pois
Mostremos
Obviamente ~i um homeomorfismo sobre sua
cada coordenada
i ma-
é um homeomorfismo sobre sua imagem •
então que ~e uma aplicação simplicial.
Como
as
-127-
ri:
h(Zro)
-+
h(Zco) (O
meomorfismos,
as
ri:
< j
sao aplicaçÕes simpliciais e h~
< r-1)
Sd(h(Z
00
-+ Sd(h(Z
))
00
))
C Sd(IRZk-l) são apli:_
cações simpliciais (Ver (1.1.22)) e portanto são lineares
em
simplexos
de
(Ver (1.2o6))
como
r
e
é uma aplicação simplicial injetora T (b(A))=b(T 4 (A))
4
4
00
para Ac:Sd(h(Z ))
Daí~
(Ver Cl.L21)),
para cada vértice b(A)
r-1
temos W(b(A))•(b(A) ,T (b(A)),. o o ,T
4
4
(b(A))•(b(A),T
4
(b(A)),ooo,T
de
(b(A)))
r-1
(b(A)))
4
r-1
• ( b (A) , b ( T (A) ) , o o o , b ( T
(A) ) )
4
4
r-1
•b(AxT (A)xoo oxT
(A))
4
4
Mas AxT (A)x ..• xT
4
r-1
4
b(AxT ( A ) x., .xr r-1 (A ) )
4
4
siderada em IRr(Zk-l)
e uma célula de IRr(Zk-l)
(A)
e-
um
o
vert~cc
(Ver (1.2.9))
e
portanto
da estrutura simplícial con
• Assim oJl leva vértices
em
vértices.
00
Mostremos agora que
~
leva simplexos de Sd(h(Z ))
simplexos deiRr(Zk-1)0 Seja A·[b(B ), .. o,b(B )j
o
m
em
um simp lexo
de
-"(A)•<P( [b(B ) , .. o ,b(B l]•ró(b(B )) , .. o ,ó(b(B )) ]
':I!
o
m
o
m
r-1
onde õ(b(Bo))•b(BoxT (Bo)x .. oxT
4
l.
-~
4
l.
uma aplicação simplicial injetora,
(Bo))(O <
1
T,
"
-
i~
m)o
Como T
4
-
e
preserva dimensÕes.As,sim,
-128-
para B. <
L
B.
L+
1
,
temos
r-1
B.xT (B.)x ... xT
L
4
4 L
(B.)<
L
B.
r-1
~+
1
xT (B.
)x ... xT
4 ~+ 1
4
r-1
Chamando C.=B.xT (B.)x., .xT
~
l
l
4
4
(B.)
(O
~
(B.
~+
<i.< m)
õ([b(B ), ... ,b(B l] )=rb(C ), ... ,b(C l}
o
m
L
o
m
r(2k-l)
tem a primeira subdivisão
mo lR
1
)
temos
que
com C <C < ••. <C, e coo
m
1
baric.êntrica,
,
.
r(2k-l)
e um s~mplexo de IR
(Ver (1.2.10)).Daí
00
segue que
(j)
é simplicial e assim P=<P(Sd(h(Z ))) e um subcompl.:::_
IPI
xo d e lR r(2k-l) • Al'
em d'~ s so
00
ê con tráti 1
pois
00
1Sd(h(Z ))1 =lh(Z )1
ê contrátil (Ver (7.2.l(d))) e iP e homeo-
morfismo.
(7.2.3) Proposição.
Suponhamos que IR
simplicial definida em (7.2.2).
Ts'
ê
IRr(Zk-1)
1Rr(2k-l)
r(Zk-1)
tem a estrutura
aplicação'
Então a
1
r
2
r
5
uma aplicação simplicial que
é um autohomeomorfismo periÕdi-
co, de período r.
Demonstração. Obviamente T
5
1
definida por r Cx , ... ,x )=(x , ... ,x ,x)
e um homeomorfismo linear de perí~
do r; basta demonstrar entao que T
5
ê uma aplicação simplicial.
Por (1.2.6) vale
Logo T~ leva vértices em vértices. Por outro lado,
"
seja
-129-
,. , . ,b(C ) J
[b(C)
o
m
.
s~mplexo
um
de 1R
r(2k-1)
,
onde
r(2k-l)
o
r
sao celulas de IR
. Entao C.=B.x .•. xB.
].
B~ < B~ para i
J
1
1.
C <C< •• ,<C
o
1
1n
(O< i < rn)
L
onde
< j, e daÍ
T ([b(C ), ... ,b(C )]J=[T (b(C )), ... ,T (b(C )}]
o
m
5
o
5
m
5
Nas
r
5
( C.)=T
L
5
<
o
r
1
r
o
(B.x ••• xB.)=B.x ••• xB.xB.
L
Ll.
l.l.
B ~x .. , xB :xn~=TS (B?xn !x, .. xB~) =T (C .)
5 J
J
JJ
JJ
J
simplexo
de IR
nalmente
r
5
r(2k-1)
,
donde
r
5
lev.::t simplexos em simplexos.
-.
Fi
é linear nos simplexos, pois e linear em geral.
(7.2.4) Proposição.
Seja r
5
: IRr(Zk-l)._ _..,. IRr(Zk-l)
a aplica-
ção construÍda em (7.2.3), Entao
.
r(2k-l)
Fl.x(T )={(x, . . . ,x)t.:IR
5
!XEJR
r(2k-1)
}
-
e além disso Fix(T ) e o espaço associado a um subcomplexo
5
Q
de JRr(2k-1~
Demonstração.
de T
5
De
fato,
1
r
(x , .•• ,x) EIR
r(Zk-1)
e um ponto
se e s Õ se
(X
1
• ••• , X
r
) =T S (X
1
• , , • , X
r
) = (X
2
~ , • , , X
rl
• X
)
fixo
--130-
-
1
2
r
o que acontece se e so se x '"'X=., .=x , Para demonstrar a
da afirmação,
basta tomar o subcomplexo Q de IRr(Zk-l)
segu_:~
formado
pela primeira subdivisão baricêntrica do c0r.1plexo simplicial
cujos vértices são Cvi,···,vi) (r componentes) e cujos simple-
xos silo do tipo [<vi, ••• ,vi),(vi+l'''''Vi+l)]
onde Vi e vi-l
são tais que [vi,vi+l] é simplexo de m2k-l, .Então Q::= Fix(T ),
5
(7.2.5} Proposição.
(7.2.2)
e
(7.2.3),
Sejam T ,
4
~e
T
00
00
).
definidas
em
•
respectivamente,
~jh(Z ) a restrição de ~a h(Z
5
(7.2.1),
00
e seJam P=1l(h(Z ))
Então T o(~jh(Z ))~1 0 T
5
00
e
4
e
T 5 <lrll·lrl.
Demonstração. Seja xt:jSd(h(Z
00
))
j.
Então
Ainda
(7.2.6} Proposição.·
A aplicação T
5
jP:P
+
P está bem definida,
é simplicial e é um homeomorfismo periódico de período r. Além
disso Fix(T
5
)P)
ê o espaço associado a um subcomplexo P 1 de
e tem o mesmo tipo de homotopia que
)LI.
P
-131-
~monstração.
a aplicação estâ bem definida e
Por (7.2.5)
ilJ e
tão vale a comutatividade do diagrama (onde
en-
a aplicação de
finida em (7.2.2))
V'
p
Por (7.2.1)
simplicial e é um homeomorfismo periôdico de perLodo r.
mutatividade do diagrama vale Fix(T
(7.2.1)
Fix(r
Fix(r
5
5
Fix(T )
4
jP)
tem o mesmo
tem o mesmo
jP)"FÍx(T ) (\
5
(7.2.4),
subcomplexos de IR
(1 P é subcomplexo de lR
=Q
tem uma variedade
00
C
ior do que ou igual
5
e como
por
)L]
entao
Alêm
disso
)"[Q[,
onde
(sem bordo)
a 4,
fixos
e
e
r(2k-1)
r(2k-1)
,
também im
o que
•
-
-
uma açao
00
C
Z
de
r
a estrutura
e
e xis-
sobre M cujo con-
temo mesmo tipo de homotopia que
(7.2.4)
uma
M, contrátil e de dimensão ma
os s u b comp 1 ex os P ,
truÍdos em (7.2.2),
Q
IP) = IQ I
um complexo simplicial finito L,
Consideremos
como em .( 7 • 2 • 2 )
5
Fix(T
e
Pela co
Dados um numero natural r que nao e
potência de um pr~mo e
junto de pontos
]L j.
-
(7 .2.7) Teorema.
Demonstração.
Mas por
• Assim Fix(T
-
1
homotopia que
r(2k-1).
pois Q e P sao ambos
plica que P
tipo de
jP) =(j:l(fix(T ))
4
tipo de homotopia que
[P[.
e um sub complexo de IR
5
-
r 5 ]P
e pela comutatividade do diagrama,
Q
(7.2.6),
si~plicial
e
P
1
de IR
ILI.
de mr(Zk-l)
r(2k-l)
respectivamente.
consPor
-132-
(1.1.29),
Sd(P)
Sd(P )
1
e Sd(Q)
é um subcomplexo total de Sd(Q) e por sua vez
são subc.omplexos
totais de Sd(IRr(Zk-l)),
forma a vizinhança regular M=N(Sd(P);
to d e 1R
r(2k-l)
Sd(IRr(Zk-l)))
(Ver (1.1.27)), e como
ISd(P)
I
Dessa
é um aber-
é um r e trato
de
deformação forte de M (Ver (2.1,10)), M tem o mesmo tipo de ho
rootopia que
ISd(P) I·
Mas
ISd(P) I=IP I
logo M é contrâtil. Assim M
tritil,
ê contrátil (Ver (7.2.2)),
00
ê uma variedade C
,
sem bordo,
con
de dimensão
r.(Zk-1)
.
4\:-
=
>
2k-l > k
( vert1.ces
.
" ( vert1.ces
,
.
de Sd n+l ( K*K ) +-tt"
de
L)
> dim(ZCQ) =5+dim L > 4.
(Ver (7.2.1)
e
(7.1.5)).
Seja agora T
( 1. 1. 2 7)
5
a aplicação definida em (7.2.3).
temos
u
S~(v,Sd(IRr(2k-l)))=
e cpmo T
v
vértice de
vértice de
é
5
IP ll= IP
T
U
v
Sd(P)
T5 (
Por
5
1
Sd(P)
simp-licial e também é um homeomorfismo tal
,vem que
(M)=
u
.w
vértice
Sd(P)
de
que
-133-
Dessa forma
rÍodo
e
M
ê
T
]M:
5
é um difeomorfismo periÓdico, de
pe-·
é uma permutaçao e portanto um difeomorfismo
(pois T
r
M + M
5
um aberto de JR
r(2k-l)
).•
Além disso, por (7.2.4)
Fíx(T
I>~)=Fix(T ) (\
5
5
= lsd(Q)
H=IQ
1 (\
2
N(Sd(P) ,Sd( 1Rr( k-l)))
U
I(I {
v
vértice de
Sd(P)
Como P l =P (\ Q,
Sd(P )
1
- -
se vê vértice de Sd(P) que nao e vértice
de
cn tão
lsu.(Q)
logo
FixCT
=
u
5
Iro =
lsctcoli()[U c:ftcv,sctc
v
vértice de Sd(P )
1
:ftCv,Sd(Q))
v
vértice de SdCP )
1
Mas
jSd(P ) ]=]P
1
1
N(Sd(P ) ,Sd(Q)).
1
pia que
]L j (Ver
pia que
]r
1
mrC 2 k-ll))l}
=
N(Sd(P ), Sd(Q)).
1
j é um retrato de deformação
Po:itanto Fix(T
] que, por sua vez,
(7.2.6)).
Assim Fix(T
5
M)
forte
de
tem o mesmo tipo de homot~
tem o mesmo tipo de hornotopiaque
5
jM)
tem o mesmo
tipo de homoto-
ILI.
Utilizando agora (3.1.5)
e
(3.1.8)
deduzimos que
TS [H
00
c )
induz uma açao
00
r
sobre M,
CUJo
c on j un-
tem o mesmo tipo de homotopia que L.
to de pontos fixos
7.3. Ações C
de Z
de Grupos Cíclicos sobre Espaços Euclidianos.
(7.3.1) Proposição.
pot~ncia
Sejam r
um numero natural que nao ~
uma
de um primo, n um numero natural positivo, I. um
plexo simplicial finito e T
truÍda em (7.2.7).
finida por (idx(T
riÕdico,
5
5
iN:
Então a aplicação idx(T
de período r,
5
jM)y)
5
1M): IRnxM.-+IRnxM,
d~
é um difeomorfismo pe-
cujo conjunto de pontos fixos
mo tipo de homotopia que
cons-
M o gerador da ação
M
1M))(x,y)=(x,(T
com-
tem o mes
JLj.
Demonstração. Que idx(T 5 !M) é um difeomorfismo periódico, de P.~
ê trivial
rÍodo r,
po~s
periÓdico de perrodo r,
e
ide T
5
JM são difeomorfismos e T
por construçao.
a aplicação contÍnua F: JRnxFix(T
nida por F(x,y,'t)=(T.x,y)
IRnxFix(T
5
JM)
a {O}xFix(T
5
(7.3.2) Teorema.
Ainda
jM)xi .-+1RnxFix(T
5
jM).
5
Assim, IRnxFix(T
jM), defi-
\M)
JM)
tem o
mesmo
que, por sua vez,
tem o
mesmo
5
jLj (Ver (7.2.7)).
-
- -
p~
(que
em
Sejam r um numero natural que nao e a
tência de um primo e L um complexo simplicial finito
particular pode ser vazio). Então existem um número natural
00
e uma açao C
-
e
e uma retraçao de deformação forte de
tipo de homotopia que Fix(T
tipo de homotopia que
5
jM
5
de z~ sobre llim cujo conjunto de pontos
fixos
m
tem
-135-
-
IL I·
o mesmo tipo de lJomotupia que
(Se L=~ a açao nao
tem pon-
tos fixos).
Demonstração.
riódico,
Seja idx(T
de perÍodo r,
5
jM): IRnxM -+ffinxM o
difeomorfismo pe -
construÍdo em (7.3.1). IR.n ê uma varieda
00
de
sem bordo,
C
contrátil,
de
dimensão n
> 1 e
Me uma var~e
00
dadc
C ,
sem bordo,
igual a 4.
contrátil,
(Ver (7. 2. 7)).
tado (Ver Stallings,
X e
Se
dimensÕes
x e y
de
dimensão maior do que
ou
Utilizaremos agora o seguinte resul-
5.3, p. 487):
Cor.
Y são variedades
00
C
respectivamente,
,
sem bordo,
contráteis,
onde x > 1 e x+y
> 5,
de
entao
XxY e difeomorfa a IRx+y.
x=n, y=dim Me m=n+dim M temos m>S,
Fazendo X9Rn, Y=M,
concluímos que existe um difeomorfismo h
Seja agora T
6
de IRnxM sobre IRm.
a rrnica aplicação que
torna comutativo d
diagrama
______l_._d_x_C_T~I_r_r)________~ffinxM
h
h
T
IR
Então, pela comutatividade do diagrama e
idx(T
5
jM)
(Ver (7.3.1)),
r6 ê
riodo r, e Fix(T )=h(Fix(T
6
Fix(T
5
jM)
tem o mesmo
tem o mesmo
5
as propriedades
um difeomorfismo periÓdico,
jM)). Como h ê difeomorfismo
tipo de homotopia que
tipo ·de homotopia que
de
dep~
e
jLj, então Fix(T )
6
jLj. Assim,
por (3.1.5)
e
-136-
(3.1.8),
pontos
T
w
c
gera uma açao C
fixos
tem o mesmo tipo
de
Z
r
sobre IR
m
CUJO
de homotopia que
jL
(7.3.3) Um caso particular de um dos
c~lebres
dos por P,ll..
(Ver Smith)
Smith por volta de
1939
eonjunto
de
j.
resultados obtidiz que se
T
. ...
n
ê um difeomorfismo periõdico de llim, de perLodo
p
(onde p e um
nfimero primo), entio Fix(T)
+ *·
Smith conjecturou que todo di
feomorfismo periÕdico de JRm tem (pelo menos)
um ponto fixo.
O
exemplo de Conner e Floyd desenvolvido neste trabalho, e o teo
rema de Stallings mencionado em (7.3.2), vieram (mais de
20
anos depois)
De
fato,
a responder na negativa a conjectura de Smith.
tomamos um nÚmero natural r que não é uma potência de um
nÚmero primo, e suponhamos agora que L=•· Por (7.3.2)
um número natural rn
de periodo r,
> 5
e
um difeomorfismo periódico
tal que Fix(T )
6
=
!j).
------------~---------~-
~----~------
--------
========
existem
r6
de m.m.
-137-
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