Um Modelo de Representação Geométrica da Topologia

Um Modelo de Representação Geométrica da Topologia de 3Variedades
Sóstenes Luiz Soares Lins
[email protected]
Departamento de Matemática
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Universidade Federal de Pernambuco
Emerson Alexandre de Oliveira Lima
[email protected]
Departamento de Matemática
Centro de Ciências e Tecnologia
Universidade Católica de Pernambuco
RESUMO
Uma 3-Variedade é um espaço métrico onde
cada
ponto
tem
uma
vizinhança
topologicamente equivalente a R3.
Um complexo simplicial finito, pode ser visto
como uma abstração combinatorial da
estrutura
de
uma
3-variedade.
Tal
aproximação combinatorial pode tornar os
teoremas mais claros e fáceis de demonstrar.
Neste trabalho, exploramos a possibilidade de
representar, via estruturas de dados, tal
abstração no computador o que permite uma
série de cálculos que, de outra forma, seriam
simplesmente impossíveis.
A estrutura de dados que representa as
propriedades da estrutura simplicial da
topologia das 3-variedades PL estudadas é a
Gem que é o dual propriamente colorido de
uma triangulação própria finita de uma 3variedade compacta, sem bordo e orientável.
Uma gem, como estrutura de dados, é apenas
um grafo 4-regular, 4-propriamente colorido
respeitando uma relação aritmética simples
entre na cardinalidade de seus conjuntos de
resíduos.
Para representar geometricamente a topologia
da 3-variedade codificada na gem, utiliza-se o
algoritmo de Tutte ou Ruber band adaptado
para o posicionamento tridimensional do grafo
associado a gem (o algoritmo original trabalha
apenas no caso de posicionamento planar).
Uma vez que as gems normalmente associadas
as variedades não são 3-conexas (propriedade
fundamental que tem de estar presente para o
funcionamento do algoritmo de Tutte), a gem
original é engrossada (o engrossamento na
gem é o dual da subdivisão baricêntrica do
complexo a ela associada) e um de seus
resíduos correspondentes a um vértice
engrossado é posicionado conforme os
vértices de um permutaedro regular fixo.
Os resultados obtidos para diversas gems
parecem indicar que algumas propriedades
topológicas são transportadas para geometria
do objeto resultante o que é um tema atual de
pesquisa.
Bibliografia
[1] Tutte, W.T., How to Draw a Graph, Proc.
London Math. Soc. 13 (1963) pp 743-768
[2] Lickorish, W.R.R. , Simplicial moves on
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Vol.
2
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