Eletromagnetismo A carga elétrica e o Spin Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 1 O eletromagnetismo como uma das Interações Fundamentais O eletromagnetismo é a ciência que estuda os fenômenos que se originam de dois atributos da matéria, ou dos seus constituintes. Tais atributos têm o nome de carga elétrica e spin. Não temos uma teoria para explicar a origem deles. Por isso dizemos, nesse caso, que estamos lidando com conceitos primitivos. Os atributos básicos dos constituintes da matéria, como a carga elétrica e o spin, dão origem às interações entre eles. E elas são em número bastante reduzido, pois temos apenas quatro interações fundamentais: fraca, forte, eletromagnética e gravitacional. Assim, todos os fenômenos observados no Universo podem ser entendidos à luz dessas poucas interações entre os constituintes. Por exemplo, o ferromagnetismo dos materiais denominados ímãs tem relação com o spin do elétron (Figura 1), a existência do núcleo tem a ver com a força forte (Figura 2) enquanto a radioatividade, associada à transmutação dos elementos (veja Figura 7 do tópico anterior, Eletromagnetismo no nosso mundo e no Universo), resulta das interações fracas. Figura 1: A interação magnética entre os ímãs. Figura 2: Os núcleos se formam por causa da interação forte entre prótons e nêutrons. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 2 Excluindo-se a queda dos objetos, quase todos os fenômenos observados no nosso mundo físico como, por exemplo, a vida no planeta resulta das interações eletromagnéticas. Esse fato seria suficiente para tornar o estudo do eletromagnetismo essencial no estudo das ciências. Interações Fundamentais e os Atributos dos Constituintes As partículas fundamentais, aquelas a partir das quais todas as coisas são feitas, possuem determinados atributos que lhes são próprios. Pode-se dizer que cada uma delas é caracterizada exatamente por esse conjunto de atributos. Esse conjunto de atributos permite estabelecer uma diferenciação entre elas. Vamos tratar, neste tópico, de três desses atributos: a massa da partícula, sua carga elétrica e o spin. Os dois últimos atributos são essenciais para o entendimento das propriedades elétricas e magnéticas dos átomos, das moléculas e de seus compostos. A cada conjunto de atributos podemos associar um tipo de interação. As interações gravitacionais são aquelas que se originam do atributo massa. O eletromagnetismo lida com os fenômenos que têm origem nos atributos denominados carga elétrica e spin. A carga elétrica dá origem a um campo elétrico e, quando em movimento, a um campo magnético. O spin está associado ao magnetismo da matéria. Não temos uma explicação (ou seja, uma teoria convincente) para a origem dos atributos como a massa, a carga elétrica ou o spin das partículas elementares. Assim, como regra geral, podemos dizer que os atributos das partículas elementares são atributos fundamentais. Sabemos, no entanto, que a matéria tem massa e que as partículas elementares têm carga elétrica. Como tomamos conhecimento da existência desses atributos? No caso dos dois primeiros, efetuando medidas. Os atributos que diferenciam as partículas se refletem na forma como elas interagem entre si ou com qualquer aglomerado de partículas. A seguir discutiremos a massa e as cargas elétricas dos objetos que compõem o universo, analisando as características das forças que se originam quando os objetos têm esses atributos. Figura 3: A interação gravitacional resulta do atributo massa. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin O atributo Massa A massa de uma partícula é o atributo que lhe permite atrair outras partículas dotadas do mesmo atributo. Tudo que tem massa é denominado matéria. Essa força, de natureza atrativa, tem o nome de Força Gravitacional, ou seja, um objeto dotado de massa (como o Sol) é capaz de atrair outros objetos, através da força gravitacional. O Sol atrai, entre outros objetos, os planetas (ver Figura 3). Mas não só eles. Como a Terra é dotada de massa, ela atrai outros objetos em direção ao seu centro (a força gravitacional exercida pela Terra), provocando a queda desses objetos. Massa é uma grandeza física que pode ser medida comparando as forças produzidas por um objeto com a força produzida por uma massa padrão. A unidade de massa do sistema internacional de unidades é o quilograma, símbolo kg, que é definido como a massa equivalente à do protótipo internacional depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, na França. Assim queremos comparar, como de resto em todo processo de medida, a massa de um Figura 4: Quilograma-padrão. corpo com a do quilograma-padrão. Os objetos existentes no Universo possuem massas, cujas medidas refletirão uma enorme variação. Isso porque não há limite para se agregar mais átomos a um dado corpo sólido ou líquido. As partículas elementares têm as menores massas entre todos os corpos no Universo. Por exemplo, a massa do elétron é diminuta (ver Quadro 1). A massa do próton, apresentada no Quadro 1 é quase duas mil vezes maior do que a do elétron. Considere agora os casos de massas grandes. A massa da Lua é enorme; no entanto, a massa da Terra é ainda maior. O Sol tem uma massa de cerca de um milhão de vezes a massa da Terra, e tem uma massa de uma estrela típica, enquanto uma galáxia como a nossa é um dos objetos de maior massa do Universo. 3 Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin melétron = 9,10938.10−31 kg mTerra = 5,97.1024 kg 4 mpróton = 1,67262.10−27 kg mSol = 1,988435.1030 kg mlua = 7,35.1022 kg mgaláxia = 1011 mSol Quadro 1: Massas de alguns objetos no Universo. A Força Gravitacional: a Lei de Newton Newton foi capaz de entender as características da força gravitacional. Vamos enumerá-las: 1. A força gravitacional é sempre atrativa. 2. A força gravitacional é diretamente proporcional às massas dos objetos, ou seja, quanto maior a massa de um objeto, maior será a força atrativa exercida por ele. 3. A intensidade da força gravitacional varia de acordo com a distância entre os objetos. Ela é inversamente proporcional ao quadrado da distância dos objetos que se atraem. Portanto, quanto maior a distância entre os objetos, mais débil será a força de atração entre eles. De uma forma resumida a lei de Newton da gravitação universal para objetos puntiformes de massas m1 e m2 se escreve como: F =G m1m 2 d2 (1) ou seja, a força gravitacional é diretamente proporcional às massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância, d, entre elas. A constante G é conhecida como constante da gravitação universal e seu valor é: G = 6, 67 ⋅10 −11 Nm 2 kg 2 (2) Observe que a mesma lei vale também para objetos esféricos como a Terra e a Lua. Nesse caso, a distância se refere à distância entre os centros dos objetos esféricos (veja Figura 5). Figura 5: A lei da gravitação Universal, na forma 1 vale, igualmente, d para objetos esféricos. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 5 O fato de as partículas elementares terem massa está, portanto, intimamente relacionado com a existência da força gravitacional que elas exercem sobre outras partículas. A Carga Elétrica Outra propriedade intrínseca das Partículas Elementares é a carga elétrica. O que caracteriza uma partícula ter uma carga elétrica (aqui representada por q) é o fato de que tais partículas (ou qualquer objeto dotado de carga elétrica) exercem uma força, dita força elétrica, sobre outras partículas ou corpos dotados de carga. A unidade de carga elétrica no SI MSKA é o “Coulomb” – Símbolo: C. Ela é definida em função de corrente elétrica (que será definida mais adiante). Assim, o módulo da carga elétrica do elétron (ou do próton) é: q = e = 1,6 × 10−19 C. A tabela a seguir informa valores de cargas elétricas de outras partículas elementares. Tabela 1: Cargas elétricas das partículas elementares expressas em unidades da carga elétrica e do próton. Nome Símbolo Carga e Nome Símbolo Carga e Nome neutrino do elétron ve 0 up u +⅔ Fóton elétron e− -1 down d −⅓ neutrino do múon vµ 0 charm c múon (mu-minus) µ− -1 strange neutrino do tau vτ 0 tau (tau-minus) τ− -1 Símbolo Carga e Y 0 W Bóson W± ±1 +⅔ Z Bóson Z0 0 s −⅓ Glúon g 0 top t +⅔ Gráviton - 0 bottom b −⅓ Higgs Bóson H0 0 Gostaríamos de frisar que, assim como a massa, o conceito de carga elétrica é um conceito fundamental. Rigorosamente, não temos uma teoria para explicar as cargas elétricas das Partículas Elementares (e, consequentemente, as cargas dos objetos de uma maneira geral). Ou seja, não sabemos explicar por que, por exemplo, o elétron tem a carga elétrica com o valor dado na Tabela 1. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 6 Como a carga elétrica é uma grandeza conservada, todos os aglomerados formados a partir das partículas elementares têm cargas que são o resultado da adição das cargas elementares. Sendo a carga elétrica do elétron e do próton as unidades de carga mais fundamentais é de se esperar que os aglomerados de partículas tenham cargas que sejam um múltiplo inteiro da carga do próton (quando positiva), ou da carga do elétron (quando negativa). Assim, para qualquer corpo carregado (íons, por exemplo), podemos escrever: Q = ± ne (3) onde Q é a carga do corpo e e = 1,6·10−19 Coulombs, é a carga do elétron. Pode-se verificar a quantização da carga elétrica em experiências simples como a experiência de Millikan, quando o número de partículas é pequeno. A Lei de Coulomb Figura 7: Balança de torção: a aproximação de uma terceira bola carregada provoca o deslocamento das outras duas. Figura 8: Esquema do aparato experimental idealizado por Coulomb. De acordo com Coulomb, as características da força elétrica, força essa que surge entre duas partículas de cargas Q1 e Q2, são as seguintes: Figura 6: Robert Millikan. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 7 1. As forças elétricas podem ser atrativas ou repulsivas. Tudo depende de uma característica das cargas elétricas conhecidas como “sinal da carga” elétrica. Conclui-se, assim, que as cargas elétricas existem em duas grandes variedades: cargas positivas e cargas negativas (ou seja, as cargas têm sinal positivo ou sinal negativo). Ressalte-se aqui a grande diferença entre a força gravitacional e a força elétrica. As forças gravitacionais são sempre atrativas. Não faz sentido, portanto, falar em massas positivas e massas negativas. 2. A intensidade da força elétrica é diretamente proporcional às cargas dos objetos (Q1 e Q2), ou seja, quanto maiores as cargas dos objetos em interação, tanto maior será a força de atração (ou de repulsão) experimentada por eles. 3. intensidade da força elétrica varia de acordo com a distância entre os objetos. Ela é inversamente proporcional ao quadrado da distância dos objetos que se atraem (ou se repelem). Portanto, quanto maior a distância entre os objetos, mais débil será a força elétrica entre eles. 4. direção da força é aquela de uma reta que une as duas cargas elétricas. E o sentido depende do sinal das cargas elétricas. Partículas de cargas iguais se repelem. Partículas de cargas diferentes se atraem. De uma forma resumida a lei de Coulomb pode ser enunciada assim: Se dois corpos localizados a uma distância d possuírem cargas Q1 e Q2 respectivamente, então, como resultado da existência dessas cargas, surgirá uma força entre eles. Essa força é dada pela seguinte expressão: F= 1 Q1Q2 4πε 0 d 2 (4) Resumindo: a força elétrica é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. A constante de proporcionalidade é dada por: 1 Nm 2 = R = 9.109 2 4πε0 C (5) A constante ε0 é uma constante fundamental da natureza, conhecida como permissividade do vácuo. Neste texto adotaremos o sistema de unidades MSKA. exercícios resolvidos Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 8 A lei de Coulomb, utilizando vetores A força elétrica tanto pode ser atrativa (se as cargas forem de sinais opostos) quanto repulsiva (cargas de mesmo sinal). A direção da força é a da reta que une as duas cargas. Assim, podemos enunciar a lei de Coulomb de uma forma que incorpora todos esses aspectos, utilizando o conceito de vetores. Seja r1 o raio vetor de posição da partícula 1 e r2 o raio vetor de posição da partícula 2. De acordo com a lei de Coulomb, a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 será dada por: QQ F21 ( r ) = 1 2 4πε0 r1 − r2 3 r1 − r2 (6) De acordo com o principio da ação e reação (a terceira lei de Newton), a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 será dada por: QQ F12 = − F21 ( r ) = 1 2 4πε0 r2 − r1 3 r2 − r1 Figura 9: Forças entre partículas carregadas de mesmo sinal. (7) É importante frisar dois aspectos das leis acima. As duas leis (a de Newton e a de Coulomb) são conhecidas como leis fundamentais da natureza. Elas são fundamentais na medida em que elas não são deriváveis, ou dedutíveis, de nenhuma outra lei. Ambas as leis são leis empíricas, isto é, são leis deduzidas a partir de observações. Figura 10: Elétrons se movimentam como no tubo de um televisor, sob a ação de forças eletromagnéticas. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 9 Força devida a várias Cargas Elétricas Dada uma distribuição discreta de cargas, ou seja, uma situação em que temos um conjunto de cargas Q1, Q2......, QN ocupando as posições caracterizadas pelos vetores de posição r1 , r2 ,........, rN (veja Figura 11), então uma partícula de carga Q experimentará uma força que é dada pela soma das forças devidas a cada uma das cargas da distribuição de cargas. A lei de Coulomb nesse caso se escreve: N QQi r − ri F (r ) = ∑ 3 i =1 4πε 0 r − ri (8) Figura 11: Uma carga Q num ponto r experimenta a ação de forças devidas à existência de cargas Q1, Q2......, QN localizadas nos pontos especificados pelos vetores de posição r1 , r2 ,........, rN . exercícios resolvidos Unidades da Carga Elétrica A unidade de carga no sistema MKSA, ou sistema SI, é o Coulomb. O Coulomb é definido como a quantidade de carga que se acumula ao longo de um segundo quando a corrente elétrica é de um ampére. Tendo em vista que a carga unitária básica é a carga do elétron, pode-se definir o Coulomb a partir da carga do elétron. Um Coulomb corresponde a uma carga elétrica equivalente à de 6,241506.1018 elétrons. No sistema de unidades CGS a unidade de carga é o statcoulomb (statC), também designado por franklin (Fr) ou unidade de carga eletrostática (esu). Nesse sistema, a unidade de carga elétrica é definida diretamente a partir da forca eletrostática entre duas cargas. Nesse sistema a lei de Coulomb se escreve: F= q1q2 r2 (9) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 10 No sistema CGS a unidade de carga statC é definida como sendo a quantidade de carga tal que quando duas partículas com essa quantidade de carga estão a uma distancia de um centímetro, elas experimentarão um forca de repulsão cujo valor é de um dina ( unidade de força no sistema CGS: 1 dina = 10−7 N) Assim, no sistema CGS a carga tem uma unidade que pode ser expressa como [massa]1/2 [comprimento]3/2 [tempo]-1. O fator de conversão de uma unidade em outra, é o número 10 dividido pela velocidade da luz expressa em cm/s, isto é, 1 statC = 0,1 Am / c ≈ 3.33564 × 10−10C ( 10 ) Sobre a Carga do elétron e do próton A carga de um elétron é igual de um próton, porém, de sinal oposto. A carga do próton é positiva e a do elétron é negativa. Ambas as cargas são representadas pela letra “e”. A carga do elétron, quando expressa em unidades do sistema internacional de medidas é dada por: Qelétron = e = −1,6·10−19C ( 11 ) onde C = coulomb, unidade de medida de carga elétrica no SI. A carga do próton é dada por: Qpróton = e = −1,6·10−19C exercícios resolvidos ( 12 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 11 Conservação da Carga Elétrica Considere uma transformação qualquer. A carga elétrica total (a soma de todas as cargas elétricas) anterior a essa transformação é igual à carga elétrica total depois da transformação. Todas as transformações no Universo obedecem a esse princípio. E isso vale para qualquer tipo de transformação. Se cargas elétricas estão em movimento, dirigindo-se para algum lugar do espaço, essa região ganha cargas. Elas são criadas nessa região às expensas da perda da carga elétrica em outras regiões. O fato é que a carga elétrica não pode ser criada do nada. Ela não pode, por outro lado, desaparecer pura e simplesmente. Essas são as bases do princípio da conservação da carga elétrica, princípio esse que é respeitado em todos os fenômenos observados. A massa, por outro lado, não é conservada. Em alguns fenômenos físicos, a massa é transformada em energia (calor, por exemplo). O Spin Todas as partículas dotadas de carga têm também um outro atributo, denominado spin. Partículas neutras também são dotadas do mesmo atributo. Até o ponto que sabemos, é impossível explicar o que é o spin de uma partícula. Isso porque o spin é uma grandeza física sem um correspondente clássico. Como no caso das massas, não temos uma explicação para o spin das diversas partículas elementares. Sabemos apenas como determinar o spin de uma partícula. Mas, nesse caso, não se trata de fazer comparações. O spin de uma partícula é uma grandeza física fundamental, isto é, o spin, como a carga e a massa, não deriva de outras grandezas físicas. Para entendermos o que é o spin, recorremos a uma imagem clássica. Consideremos um corpo rígido, como por exemplo, um pião. Quando em rotação um corpo rígido tem um determinado momento angular, uma grandeza física que depende da massa, da forma do corpo rígido, bem como da sua velocidade de rotação (velocidade angular). O spin é uma propriedade das partículas elementares que muito se assemelha ao momento angular. No entanto, essa analogia peca pela imprecisão, uma vez que uma partícula elementar não pode ser pensada como um corpo rígido, pois ela não é composta por outras que giram. Figura 12: Carga elétrica é uma grandeza conservada. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 12 O curioso a respeito dessa grandeza física é o fato de que ela é uma grandeza quantizada. Assim o quadrado do módulo desse vetor e a sua componente ao longo de um eixo z só podem assumir valores discretos dados por: h S 2 = 2 s ( s + 1) onde = 2π ( 13 ) O número quântico s acima é um número inteiro e é denominado de número quântico de spin. É uma constante fundamental da teoria quântica. A letra representa uma constante fundamental da física denominada constante de Planck, em homenagem a seu proponente, o físico Max Planck. Numa linguagem mais simples podemos dizer que o momento angular de spin só pode estar contido em certos cones no espaço (veja Figura 14). A projeção desse vetor no eixo z só pode assumir valores inteiros e múltiplos da constante de Planck, ou seja: S z = m ( 14 ) Quando se faz passar um feixe de partículas por uma região na qual existe um campo magnético, podemos separar partículas com diferentes valores do spin. O que é essencial é entendermos que o elétron, ou qualquer outra partícula com o atributo spin se comporta como um pequeno ímã. De fato, os materiais ferromagnéticos (os ímãs) são materiais nos quais temos um número absurdamente alto de elétrons com spins orientados na mesma direção, somando, portanto, o efeito de cada um deles. Por alguma razão, eles decidem cooperar para aumentar o efeito de cada um deles. Figura 13: Imagem clássica do spin. Figura 14: Imagem clássica associada à quantização do spin. Figura 15: Podemos separar elétrons com diferentes valores do spin. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 13 Íons: Cátions e Ânions Se fornecermos uma quantidade adequada de energia aos elétrons, estes podem deixar o átomo (ou molécula). Damos o nome de energia de ionização de um átomo ou de uma molécula à energia necessária para se remover um mol de elétrons a partir de um mol de átomos ou moléculas no estado gasoso. Essa energia dá uma medida da dificuldade de liberarmos elétrons presos a átomos ou moléculas. Um átomo sem um dos elétrons (ou mais de um dos elétrons) é conhecido como o íon daquele átomo. Sem alguns ou nenhum de seus elétrons, dizemos que o átomo está ionizado. O íon resultante tem uma carga positiva. Se apenas um elétron for arrancado do átomo, o íon tem uma carga positiva igual à carga de um próton. Alguns átomos têm uma grande facilidade de receber elétrons. Receber elétrons é outra forma de o átomo se ionizar. O íon nesse caso terá uma carga negativa, cujo valor é, em unidades da carga elétrica do elétron, igual ao número de elétrons recebidos. Os íons são classificados em duas categorias: cátions e ânions. A cada tipo de íon é associado um número adequado de sinais positivos (no caso dos cátions) ou um certo número de sinais negativos para indicar (no caso dos ânions) a sua valência. A valência de um ânion indica o número de elétrons que ele possui em excesso, tomando como base o átomo neutro. Esse número é o número de sinais positivos atribuídos aos ânions. Analogamente, a valência de um ânion indica o número de elétrons que lhe falta para que ele se transforme em um átomo neutro. A partir do que foi convencionado acima, um cátion é indicado pelo símbolo do elemento químico, seguido da valência indicada pelo número de sinais positivos. O mesmo se aplica aos ânions, mas com sinais negativos. Os íons do sódio, cobre, cloro e flúor, por exemplo, são indicados assim: Na+, Cu++, Cl−, F− exercícios resolvidos ( 15 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 14 Cargas Elétricas no Corpo Humano Conquanto usualmente analisemos a vida sob uma ótica molecular (portanto objetos neutros como um todo), íons, prótons e elétrons dotados de cargas elétricas desempenham um papel fundamental quando se trata da vida e da sua preservação. Isso vale especialmente no contexto da comunicação celular, e, portanto na neurociência. É importante, também, em todo o processo altamente eficiente de geração de energia nas mitocôndrias. Analisemos apenas esses dois aspectos. Cargas se distribuem dentro e fora da célula, ou seja, íons são distribuídos em duas regiões distintas com um excesso em cada região. A membrana da célula separa essas duas regiões. Estamos falando do interior e do exterior da célula. Todas as células animais ficam envoltas por uma membrana plasmática. Ela é uma camada trilaminar, composta por duas camadas lipídicas no exterior e uma camada proteica no seu interior. Os fluidos nos dois lados da membrana (o interior e o exterior) contêm altas concentrações de íons móveis. Os íons mais importantes são os de sódio (Na+), potássio (K+), cloro (Cl–) e cálcio (Ca2+). O meio extracelular tem maior concentração dos íons que compõem o sal de cozinha sódio (Na+) e cloro (Cl–). O meio intracelular exibe uma maior concentração de sódio, potássio (K+) e outros ânions inorgânicos como o cálcio (Ca2+), ao passo que no meio intercelular predominam os íons de sódio e cloro. Normalmente, as concentrações de íons no entorno da membrana plasmática são tais que existe um excesso de íons negativos no interior da célula concomitantemente com um excesso de íons positivos no seu exterior. A célula fica polarizada. A membrana plasmática é porosa. Ela é uma espécie de peneira seletiva. Essa peneira de malha fina, altamente seletiva, tem furos bem pequenos, denominados canais iônicos. A abertura e o fechamento desses canais podem ser regulados. Esse processo de regulação é dinâmico. Ele envolve uma interação entre os canais iônicos e bombas de íons embebidas na membrana. Assim, as diferenças de concentração, na ausência de estímulos, ocorrem por meio de um fluxo contínuo de íons. O fato é que toda comunicação celular se dá por meio da Membrana Plasmática, e um desses mecanismos consiste na alteração, via abertura e fechamento de canais iônicos, do potencial da membrana. Figura 16: Íons se localizam nos dois lados da membrana Plasmática. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 15 Cargas Elétricas e Geração de Energia no Corpo Humano O corpo humano necessita de muita energia para realizar atividades físicas, para manter o coração bombeando o sangue, para contrair os músculos e assim por diante. Sem gerar energia com muita eficiência, não teríamos como sobreviver por muito tempo. O que supre o nosso corpo da energia necessária são pequenas “baterias” denominadas ATP. O trifosfato de adenosina (ATP) é uma molécula cuja estrutura é apresentada na Figura 17. Mediante a quebra, por hidrólise, dessa molécula levando à produção, por exemplo, de ADP mais um grupo fosfato HPO42− ou AMP mais pirosfosfato, libera-se energia. A energia liberada resulta da energia de ligação, bastante forte, das ligações do ATP envolvendo o elemento fósforo. Assim, a hidrólise do ATP provê a energia necessária para que outras reações ocorram. As grandes fábricas de ATPs na célula são as mitocôndrias. Estas contêm duas membranas. O ATP é produzido em sítios próximos da membrana interna. Elétrons e prótons desempenham um papel central na produção de ATP. E isso ocorre em etapas de processos que têm lugar na membrana interna ou muito próximo dela. A formação de ATP só pode ocorrer à custa de energia. Nada sai de graça. Para conseguir isso faz-se uso de prótons, que se concentram no espaço entre as duas membranas. Forma-se aí um gradiente do campo elétrico. A partir de um determinado ponto os prótons aí concentrados tendem a ser acelerados, mediante a repulsão entre eles, de volta para a matriz (o espaço no interior delimitado pela segunda membrana). Tais prótons energéticos propiciam a energia necessária para a formação da molécula ATP. É um processo de conversão de energia cinética em energia química. A questão a ser explicada é: como os prótons foram parar no espaço entre as duas membranas? A explicação tem a ver com pares de elétrons dotados de cargas negativas que transitam, como que de “carona”, na segunda membrana ou no seu entorno. Os prótons são, portanto, atraídos para a membrana interna, e nesse processo se alojam no espaço entre as duas membranas. Os elétrons são produzidos no ciclo do Ácido Cítrico e são conduzidos através da membrana por moléculas carreadoras de elétrons. Elas têm essa função altamente especializada, ou seja, de trazer os elétrons produzidos no ciclo do Ácido Cítrico para o lugar certo, a partir do qual cuidam de dar um empurrão nos prótons que atravessam a membrana. NH2 O HO P OH O O O P N O P O O N OH OH OH Figura 17: A molécula do trifosfato de adenosine (ATP). N N Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin O processo é mais complicado do que o descrito, pois trata-se de uma cadeia de eventos, denominada cadeia de transporte de elétrons. O fato é que cargas elétricas, e não apenas átomos, são essenciais para a manutenção da vida. Figura 18: Visão esquemática do transporte de elétrons, produção do gradiente de prótons e a produção de ATP. Spin e a Ressonância Nuclear Magnética Podemos fazer uso do spin para efeito de efetuar diagnósticos, na área médica. Essa é a base da Ressonância Nuclear Magnética. Lembrando primeiramente que do ponto de vista do spin o próton, localizado no núcleo, se comporta como um diminuto ímã, com algo análogo a um polo norte e um polo sul dos ímãs usuais. Ou seja, nesse sentido comporta-se como o elétron. A tendência desses pequenos ímãs é de se orientarem aleatoriamente (veja Figura 20). Quando temos uma coleção de prótons, cada um desses ímãs aponta numa direção diferente. Dizemos que os spins não estão alinhados. No entanto, mediante a aplicação de um campo magnético podemos alinhar uma parte desses pequenos ímãs. O fato é que em geral, nem todos eles estão alinhados. O número daqueles alinhados na direção do campo depende da temperatura do meio no qual se encontram. O alinhamento perfeito só é atingido quando a matéria, como aquela que compõe o corpo humano, fica sujeita a baixas temperaturas (a temperaturas muito próximas de zero). Na realidade, os efeitos térmicos levam ao desalinhamento dos spins. Por alinhamento queremos nos referir ao fato de os ímãs terem 16 Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 17 a mesma direção do campo magnético (polos sul e norte alinhados com o campo). O fato é que o próton adquire um dos dois tipos de alinhamento possível: os ímãs têm o mesmo sentido do campo magnético ou o sentido oposto. A situação na qual o spin (o pequeno ímã) aponta para cima (isto é, no mesmo sentido do campo magnético) é denominada spin up. A situação oposta é chamada spin down. Na presença do campo magnético, a tendência é ter um número de prótons com spins up suplantando aqueles com o spin down (veja Figura 21). Como discutido antes, esse excesso de um tipo em relação ao outro depende da temperatura. Do ponto de vista prático, do uso da ressonância nuclear magnética, o que importa é ter um excesso de um tipo em relação ao outro. A prevalência de um tipo em relação ao outro tem a ver com considerações a respeito da energia adquirida por uma partícula dotada de spin, quando da interação com um campo magnético externo. Essa energia é dada por: E=− e S ⋅B mc ( 16 ) onde e e m são, respectivamente, a carga elétrica e a massa do próton e c é a velocidade da luz no vácuo. As configurações preferidas de um sistema físico são aquelas para as quais o sistema resulta ter a menor energia. Assim, os prótons com os spins para cima predominam porque eles exibem a menor energia possível. Como sabemos, fótons são partículas que compõem as ondas eletromagnéticas. Em particular, ondas de rádio. Num aparelho que faz uso da ressonância magnética ele faz uso de outro fenômeno físico, denominado ressonância. Grosso modo, trata-se da possibilidade de fazer com que os prótons de baixa energia (os de spin up) façam uso dessa energia dos fótons da radiação eletromagnética para alterar sua condição para prótons na categoria de spin down. A frequência dessa radiação deve ser bastante específica e é denominada frequência de ressonância. Ela é dada pela expressão: f = 2π e ⋅ Bz mc ( 17 ) O aparelho de Ressonância Magnética produz um campo magnético variável nas partes do corpo humano que se quer mapear. Dessa forma, a energia necessária para promover a absorção para uma dada frequência depende da região do corpo humano. Assim, as regiões que absorverão (e reemitirão a radiação) para uma dada frequência da radiação eletromagnética incidente podem ser determinadas e um mapeamento de um dado órgão Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 18 pode ser levado a cabo. Essa absorção seletiva de uma dada frequência permite localizar os prótons constituintes das várias partes do corpo humano. O resultado aparece sob a forma de uma imagem da área mapeada. Por meio da variação do campo magnético e da frequência da radiação eletromagnética, pode-se determinar a localização de cada próton do átomo de Hidrogênio, por exemplo, no corpo do paciente. É um mapeamento de átomos de hidrogênio no corpo humano. A imagem gerada é tridimensional e pode ser analisada a partir de cortes bidimensionais. Figura 20: Ao spin do próton podemos associar um pequeno imã, pois o efeito é análogo. Figura 21: Mediante um campo magnético podemos orientar os spins de forma a magnetizar o meio. O Spin, Cargas Elétricas e a Química A química é a área do conhecimento que estuda as propriedades dos elementos químicos e seus compostos a partir da interação eletromagnética de núcleos com os elétrons, e as interações entre eles. Para a química, só isso interessa. Ainda assim, tal problema quando estudado à luz da mecânica quântica se transforma, em geral, num problema muito complexo. Os núcleos dos átomos são entendidos como objetos dotados de uma carga elétrica a qual é dada por: Q = −Ze ( 18 ) Onde e é a carga do elétron e Z é o número atômico do elemento químico. Ou seja, para a química os nêutrons e as interações fortes entre eles e os prótons não têm a menor relevância. Quando necessário (o que ocorre raramente na química) pode-se introduzir um spin para o núcleo como um todo. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 19 Elétrons podem formar estados ligados com os vários núcleos possíveis gerando assim os vários elementos e seus íons bem como as moléculas e os respectivos íons. A descrição mais simples é aquela que ignora o spin. No entanto, é importante salientar que a tabela periódica exibe uma estrutura quântica cujo entendimento passa pela descrição de partículas dotadas de spin. Assim, a tabela periódica se constitui ela própria na melhor evidência para a existência do spin (nesse caso, do elétron). Grosso modo pode-se dizer que o escopo da Química é estudar estados ligados (aglomerados de elétrons e núcleos) a partir da interação eletromagnética dos elétrons com os núcleos, ou seja, o foco da química recai no estudo das interações eletromagnéticas dos elétrons. Cargas Elétricas e as Ligações Químicas Como regra geral, todas as ligações químicas têm uma origem eletromagnética. Só no caso das ligações covalentes o mecanismo é mais complexo, do ponto de vista das interações eletromagnéticas, uma vez que tais ligações estão relacionadas com a estrutura quântica dos átomos e, em particular, com o conceito de camadas de um átomo. Essas ligações ocorrem quando analisamos apenas o comportamento dos elétrons na última camada dos átomos. Ligações Covalentes As ligações covalentes são aquelas em que os átomos se ligam por meio de um mecanismo de compartilhamento de elétrons. Considere o caso da molécula de hidrogênio, H2. Nesse caso, cada átomo dispõe de um elétron. Cada um deles preferiria, à busca da estabilidade, ter mais um elétron completando sua primeira camada. Isso é possivel por meio do compartilhamento dos dois elétrons, cada um deles pertencendo a um átomo de hidrogênio. Figura 22: Ligação covalente: ligação na qual os elétrons são compartilhadas pelos átomos. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 20 Ligações Iônicas As ligações iônicas são ligações cuja base são forças de atração eletrostática entre íons de cargas opostas que connstituem uma molécula. A molécula de cloreto de sódio (o sal de cozinha) é constituída a partir da união (via interação eletrostática) de um íon de sódio com um íon de cloro numa ligação iônica: um átomo doa um elétron, enquanto o outro recebe esse mesmo elétron. a b c Figura 23: Ligações Iônicas. Ligações de Van der Waals Átomos, a despeito de serem neutros, podem formar compostos de natureza eletromagnética. Isso porque os átomos podem exibir, ou podem adquirir um momento de dipolo elétrico. As forças de Van der Waals são forças entre dipolos elétricos. As ligações de Van der Waals resultam, portanto, de rearranjos espaciais de elétrons e núcleos quer seja no âmbito dos átomos ou das próprias moléculas. As moléculas po­dem, portanto, exibir um momento de dipolo elétrico permanente. A tais moléculas damos o nome de moléculas polares. Tendo em vista as duas possibilidades de polarização de uma molécula (indução, ou permanente), podemos classificar as forças de Van der Waals em duas categorias: forças dipolo permanente-dipolo induzido e forças dipolo induzido-dipolo induzido. Figura 24: Van der Waals. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 21 Cargas Elétricas: Ácidos e Bases Compostos muitas vezes são classificados a partir da sua afinidade com prótons e elétrons. Aqui a palavra afinidade é utilizada no sentido mais geral de perder (ou doar) e de ganhar (ou receber) tais partículas dotadas de carga elétrica. Alguns elementos exibem eletroafinidade. Átomos com eletroafinidade alta são aqueles que têm mais facilidade de incorporar elétrons. Esse é o caso do Flúor e do Oxigênio. A facilidade tem relação com a quantidade de energia liberada ao receber um elétron. Ácidos e Bases podem ser definidos a partir da sua facilidade de doar ou aceitar prótons. Essa é a base da definição de Bronsted-Lowry de Ácidos e Bases: • Ácidos são moléculas ou íons das moléculas, que se comportam como doadoras de prótons. • Bases são moléculas ou íons das moléculas, que se comportam como receptoras de prótons. Para distingui-las, lançamos mão do conceito de pH. Lembramos, primeiramente que é sempre possível encontrar íons de Hidrogênio numa solução aquosa. O termo será aqui entendido como qualquer íon decorrente da protonização de um elemento ou de uma molécula. A água pode ser protonizada, dando lugar ao hidrônio H3O+. Considere o caso da própria água. Na água pura, é possível encontrar a molécula da água como aceitadora de prótons (o seu lado ácido), bem como doadora de prótons (nesse caso, exibe o seu lado base). Isso decorre da reação: H2O + H2O ↔ H3O+ + OH− ( 19 ) A reação acima é um tanto quanto rara, uma vez que apenas uma molécula em cada 550.000.000 de moléculas da água é ionizada a cada instante de tempo considerado. O fato é que a concentração de qualquer um dos íons é muito baixa. A concentração de qualquer um deles é dada por: C = 10−7mol / litro = 10−7 M ( 20 ) Assim, se tomarmos o negativo do logaritmo na base 10 do valor da concentração do íon H3O na unidade acima, obteremos: − logCH O+ = 7 3 ( 21 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 22 Definimos que o pH de uma solução aquosa é dado pela concentração de hidrônios nessa solução: pH = − logCH O+ 3 ( 22 ) Tendo em vista a igualdade dos dois tipos de íons na água, dizemos que ela, com o pH igual a 7, é neutra. Soluções aquosas com o valor do pH acima desse valor são denominadas soluções ácidas. Aquelas com o pH abaixo desse valor são definidas como soluções alcalinas (ou básicas). Associamos as palavras Oxidação e Redução a processos nos quais existe ganho (no caso da redução) ou perda de elétrons (no caso da oxidação). Referências [1] Moderno Dicionário da Língua Portuguesa. Disponível em: <http://michaelis.uol.com.br/moderno/ portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=dipolo>. Acesso em 09/2012. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 23 Exercícios Resolvidos: A Lei de Coulomb Exemplo Determine a força elétrica entre o próton e o elétron de um átomo de hidrogênio quando a separação entre eles for d = 5,3·10−11 m. Resolução A Lei de Coulomb expressa pela equação [4] é válida para as cargas pontuais ou para objetos esféricos condutores com excesso de cargas elétricas e, nesse caso, as distâncias entre os objetos são mensuradas de centro a centro. No caso em questão, o elétron e o próton, são partículas e a Lei de Coulomb pode ser utilizada sem nenhuma restrição. Considerando-se que o meio onde se 9 encontram as partículas seja o vácuo a constante de proporcionalidade é k = 9.10 F =k Qpróton Qelétron d2 2 +1, 6 ×10−19 C ) ( −1, 6 ×10−19 C ) 9 N.m ( = 9 ×10 2 C2 (5, 3 ×10−11 m ) F = −8,2 × 10−8 N (o sinal negativo indica que a força é de atração). Nm 2 . Portanto: C2 ( 23 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 24 Exercícios Resolvidos: Força devida a várias Cargas Elétricas Exemplo Quatro cargas pontuais q1 = q, q2 = q, q3 = (−2 2 )q, q4 = q encontram-se fixas, respectivamente, nos vértices A, B, C e D de um quadrado de lado “d” contido no plano xy conforme ilustra a Figura 25. Determinar ∑ F elétrica sobre a carga q1 que se encontra no vértice A adotando q = 2 × 10−6 C e d = 30 × 10−2 m. Resolução A carga q1 interage eletricamente com as cargas q2, q3 e q4 e essa interação dá origem a três forças, assim designadas: • F 12 = − F 21 (interação entre as cargas q1 e q2) • F 13 = − F 31 (interação entre as cargas q1 e q3) • F 14 = − F 41 (interação entre as cargas q1 e q4) Aplicando a Lei de Coulomb, com k = Figura 25: Cargas localizadas nos vértices de um quadrado. 2 1 9 N.m , temos: = 9 ×10 4πε 0 C2 2 2 ×10−6 C ) ( q1q2 q⋅q q2 9 N⋅m = 0, 4 N I. F12 = k 2 = k 2 = k 2 → F12 = 9 × 10 × C2 ( 30 ×10−2 m )2 d d d 2 2 2 ×10−6 C ) ( q1q4 q⋅q q2 9 N⋅m II. F14 = k 2 = k 2 = k 2 → F14 = 9 × 10 = 0, 4 N × C2 ( 30 ×10−2 m )2 d d d 2 ( ( ) q −2 2q q1q3 q2 III. F13 = k =k = − 2k 2 (o sinal negativo indica que entre as cargas q1 e q2, a 2 2 d ( d ′) 2d força é de atração). Observação: a distância d ' = distância AC = hipotenusa do triângulo retângulo ABC = d 2 + d 2 = 2d . ) Figura 26: Esquema das forças elétricas agindo sobre a carga q1. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 25 Pelos cálculos anteriores tem-se k(q2/d2) = 0,4 N; logo, o módulo de F 13 é assim escrito: = F13 q2 = 2k 2 0, 4 2 N . d ( 24 ) Expressões vetoriais de F 12, F 14 e F 13 observando o referencial acima adotado: F12 = −(0, 4) ⋅ j ( N ) F14 = −(0, 4) ⋅ i ( N ) ( 25 ) F13 = 0, 4 2 cos ϕi + 0, 4 2 sen ϕ j . Considerando o triângulo retângulo ABC a hipotenusa será dada por d’ = d 2 , tem-se, portanto, que: ( ) ( ) cos ϕ = 1 2 cat. adjascente d = = = 2 hipot d 2 2 ( 26 ) e, de forma semelhante, 2 2 F13 = 0, 4 2 i + 0, 4 2 j = ( 0, 4 ) i + ( 0, 4 ) j 2 2 ( ) ( ) ( N ). ( 27 ) ( N ). ( 28 ) senφ = 2 /2. Assim, a expressão vetorial de F 13 será: 2 2 F13 = 0, 4 2 i + 0, 4 2 j = ( 0, 4 ) i + ( 0, 4 ) j 2 2 ( ) ( ) Finalmente, pelo princípio da sobreposição das forças elétricas sobre a carga q1, temos: F = F + F + F = − 0 , 4 ⋅ j + − 0 , 4 ⋅ i + 0 , 4 i + j 0 , 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ elétrica 12 14 13 = [ −0, 4 + 0, 4] i + [ −0, 4 + 0, 4] j = 0 Isso indica que a partícula de carga q1 está numa posição de equilíbrio. ( 29 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 26 Exercícios Resolvidos: Sobre a carga do elétron e do próton Exemplo Um corpo neutro contém quantidades iguais de elétrons e próton. Ele ficará com “falta de elétrons” ou “excesso de prótons”, ou seja, eletrizado positivamente se dele forem retirado elétrons. Quantos elétrons devem ser retirados de uma esfera metálica para que ele fique com carga Q = + 1 C (Coulomb)? Resolução Conforme a equação [3], a carga de um corpo é expressa por Q = ± n·e, onde e = carga elementar = 1,6 × 10−19 C (Coulomb), ou seja, a carga do próton = módulo da carga do elétron. A carga Q será positiva se o corpo apresentar excesso de prótons (“falta de elétrons”). Para que o corpo fique com carga Q = 1C, é preciso dele retirar n elétrons, onde 1 C = n.(1,6 × 10−19 C), donde n = 1C = 6, 25 ×1018 −19 1, 6 ×10 C Isso significa que são necessários 6,25 × 1018 elétrons para perfazer 1 C de carga elétrica. ( 30 ) Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 27 Exercícios Resolvidos: íons: Cátions e Ânions Exemplo Qual a carga elétrica, em Coulombs, do cátion H+ e do ânion SO4− −? Resolução Os sinais + e − que aparecem nos símbolos dos íons representam a “falta de elétrons” ou o “excesso de elétrons”, respectivamente. Isso significa que cada sinal + representa uma carga do íon dada por Q = + 1,6 × 10−19 C e cada sinal − indica uma carga Q = − 1,6 × 10−19 C. Assim, a carga do cátion hidrogênio é Q = + 1,6 × 10−19 C e a do ânion sulfato, é Q = 2 × (− 1,6 × 10−19 C) = − 3,2 × 10−19 C. Exemplo Duas pequeninas esferas metálicas funcionam como massas pendulares. Devido às cargas elétricas Q e q de cada uma, elas se repelem, e se mantêm equilibradas a uma distância d, conforme ilustra a figura. Sendo Q = 8 × 10−6 C; q = 4,8 × 10−6 C e d = 0,20 m, calcule a força elétrica agindo sobre cada esfera. Resolução As cargas elétricas Q e q contidas nas esferas interagem eletricamente, dando origem às forças elétricas F 1 e F 2 com as seguintes características: 1° direção: segundo a reta que passa pelos centros das duas esferas (diz-se também que elas têm a mesma linha de ação); 2° sentido: repulsão; 1 Q⋅q , onde 3° têm a mesma intensidade (F1 = F2 = F) determinada pela Lei de Coulomb: F = 4πε d 2 ε = permitividade do meio no qual acontece a interação entre as cargas. Figura 27: Cargas elétricas em equilíbrio. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 28 Vamos agora calcular a intensidade da força elétrica entre as cargas Q e q. Para isso, vamos fazer uso da Lei de Coulomb. Obtemos: F = ( 9 ×109 N.m 2 / C2 ) ( 8 ×10−6 C ) ( 4, 8 ×10−6 C ) / ( 0, 2m ) 9 × 8 × 4, 8 )109−6−6 ( N.m 2 / C2 C2 / m 2 = 8, 64 N F= 0, 04 2 ( 31 ) Assim, cada esfera sob ação de uma força elétrica F = 8,64 N no sentido de afastá-las uma da outra. Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin 29 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Ajuda (retorna a esta página). Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos! Eletromagnetismo » A carga elétrica e o Spin Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. 30
