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TOPICOS DE MATEMÁTICA
FUNÇÃO AFIM
PROF. MSc. Wagner Lucas
FUNÇÃO AFIM
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Chama-se Função Polinomial do 1º grau ou Função Afim, toda função real
do tipo
f(x) = ax + b, onde a IR* e b IR.
Os termos a e b são denominados coeficientes.
a Coeficiente Angular ou taxa de variação
b Coeficiente Linear ou taxa fixa
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
O gráfico da função polinomial do 1º grau é representado no plano cartesiano
por uma Reta.
Para esboçar o gráfico, devemos encontrar o zero (coordenada em que a reta
intercepta o eixo das abscissas) e o coeficiente linear (coordenada em que a
reta intercepta o eixo das ordenadas).
COEFICIENTE ANGULAR
O coeficiente da variável x, determina se a função é crescente ou decrescente.
FUNÇÃO AFIM
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FUNÇÃO CRESCENTE
Seja x1 menor que x2, dizemos que uma função é crescente se, e somente
se, a imagem f(x1) for menor que f(x2).
y
Quando a > 0 a função será crescente e o
ângulo será agudo.
f(x2)
f(x1)
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
x1
x2
x
FUNÇÃO DECRESCENTE
Seja x1 menor que x2, dizemos que uma função é decrescente se, e somente
se, a imagem f(x1) for maior que f(x2).
Quando a < 0 a função será decrescente e o
ângulo será obtuso.
y
f(x1)
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
f(x2)
x
x1
x2
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FUNÇÃO AFIM
COEFICIENTE LINEAR
O termo independente b, determina o ponto onde o gráfico (reta) intersecta o
eixo das ordenadas (eixo y). O coeficiente linear é determinado quando
fazemos x = 0.
f(x) = a.x + b, quando x = 0, temos:
f(0) = a.0 + b f(0) = b y = b
Neste caso as coordenadas são (0, y) = (0, b)
y
y2
y1
(0, b)
b
x1
x2
x
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FUNÇÃO AFIM
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO
Denomina-se raiz ou Zero, ao valor numérico de x que anula a função.
Para encontrarmos a raiz, bastar igualarmos a função a zero e encontrar o valor
de x.
f(x) = ax + b
f(x) = 0 ax + b = 0 ax = – b x = – b / a
EXERCÍCIOS
01)Construa os gráficos das seguintes funções reais:
a) f(x) = 2x + 6
1º Passo: Verificar o coeficiente linear (coordenada em que a reta intercepta o
eixo das ordenadas, será neste caso as coordenadas (0, b) = (0, 6)
2º Passo: Calcular da raiz da função
y
2x + 6 = 0 2x = – 6
6
(0, 6)
x = – 6/ 2 x = – 3
Logo, reta intercepta o eixo das
abscissas em (– 3,0).
3º Passo: Marcar os pontos no plano
Cartesiano.
(– 3 , 0)
x
–3
6
FUNÇÃO AFIM
EXERCÍCIOS
01)Construa os gráficos das seguintes funções reais:
b) f(x) = - 2x + 4
1º Passo: Verificar o coeficiente linear (coordenada em que a reta intercepta o
eixo das ordenadas), será neste caso as coordenadas são (0, b) = (0, 4)
2º Passo: Calcular da raiz da função
– 2x + 4 = 0
– 2x = – 4
x=–4/–2
x=2
y
4
Logo, reta intercepta o eixo das
abscissas em (2,0).
3º Passo: Marcar os pontos no plano
Cartesiano.
x
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FUNÇÃO AFIM
EXERCÍCIOS
02) Determine as funções que representam as retas no plano cartesiano:
a)
y
Como o gráfico é uma reta, então a função é da
forma y = ax + b.
6
–2
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x
1º Passo: Verificar se é possível visualizar o coeficiente
linear (coordenada em que a reta intercepta o eixo das
ordenadas).
Neste caso sim,e é b = 6
2º Passo: Encontrar o valor do coeficiente angular (=a).
Como já conhecemos b = 6, podemos escrever a função y = ax + 6.
Agora vamos substituir o ponto conhecido (8, - 2) nessa função.
- 2 = a.8 + 6
- 2 - 6 = a.8
- 8 = a.8
a = - 8 /8
Como, a = - 1 e b = 6, temos:
y = ax + b
y = ( - 1)x + 6
y= -x+6
a=-1
8
FUNÇÃO AFIM
EXERCÍCIOS
02) Determine as funções que representam as retas no plano cartesiano:
b)
Como o gráfico é uma reta, então a função é da
y
6
forma y = ax + b.
4
x
2
4
1º Passo: Verificar se é possível visualizar o coeficiente
linear (coordenada em que a reta intercepta o eixo das
ordenadas).
Neste caso não é possível
2º Passo: Substituir 2 pontos conhecidos na função e depois encontrar os
valores de a e b resolvendo um sistema.
(2, 4) 4 = a.2 + b
(4,6)
6 = a.4 + b
–
{
4 = 2.a + b
6 = 4.a + b
– 2 = – 2.a
a=–2/–2
a= 1
Para encontrar b, basta substituir o valor de a = 1, em uma das equações acima.
4 = a.2 + b
4 = 1.2 + b
Como, a = 1 e b = 2, temos:
4–2=b
y = ax + b
b=2
y = 1.x + 2
y=x+2
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FUNÇÃO LINEAR
Na função real f(x) = ax + b, com a 0. Se
denominada LINEAR. Então: f(x) = ax ou y = ax
b = 0, então a função é
Observe os exemplos abaixo.
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem (0,0).
FUNÇÃO IDENTIDADE
É toda função da forma y = x.
y
f(x2) = x2
x1
x2
x
f(x1) = x1
O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares.
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FUNÇÃO CONSTANTE
É toda função real do tipo f(x) = b, onde b é um número real.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas,
passando pelo ponto (0, b).
y
b
x1
x2
x3
x4
x
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FUNÇÃO LINEAR E PROPORCIONALIDADE
Considere esta situação:
Um automóvel faz um percurso com velocidade média de 80 km/h.
Escreva a fórmula que indica o número y de quilômetros percorridos em
função do número x de horas.
y = 80x
Construa em seu caderno uma tabela relacionando x e y para os seguintes
valores: x = 1, x = 3, x = ½, x = 3,5 , x = 0,25 e x = 2 ½
Faça um gráfico para x real x ≥ 0.
x
y
1
3
½
3,5
80
240
40
280
0,25
20
2 ½
200
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FUNÇÃO LINEAR E PROPORCIONALIDADE
Essa situação nos mostra um exemplo de função na qual os valores de x
(tempo) e os correspondentes de y (distância) são diretamente proporcionais.
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EXERCÍCIO
Nº 39 PÁGINA 90
Observe o gráfico abaixo da função e responda às questões propostas.
a) Essa função é linear?
b) Qual o valor de m?
c) Qual o valor de n?
d) Qual é a fórmula que define y em função de x?
e) Qual desses pontos pertence à reta dessa
função (21,14) ou (14,21)?
f) Copie e complete os pares ordenados para que
seus pontos pertencem à reta dessa função:
( - 4,____) (18,____) (_____,18) (_____, - 12)
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