Probabilidade 7

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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística
Seja X uma variável aleatória discreta
com fp p(xi). Seja Y = f(X). Se X for
monótona, então yi = f(xi), onde xi são os
valores de X, com a probabilidade: P(Y =
yi) = P(X = xi)
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Exemplo um:
Se X não for monótona, então aos
Determinar a distribuição da variável
valores possíveis yi = f(xi) de Y se
Y = 3X, dada a distribuição de X da tabela:
associará a probabilidade igual a soma
das probabilidades dos valores de X
pertencente à imagem inversa de yi por f.
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x
p
1
3
5
0,4 0,1 0,5
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1
Solução:
Exemplo dois:
Como Y = 3X é monótona, a distintos
Determinar a distribuição da variável
valores de X correspondem distintos
Y = X2, se a distribuição de X é a da tabela:
valores de Y. Assim:
y
q
3
0,4
9
0,1
15
0,5
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x
-1
-2
1
2
p
0,3
0,1
0,2
0,4
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Solução:
Como Y = X2 não é monótona, a
correspondência entre os valores de X e de
Y não é biunívoca. Então, por definição, a
probabilidade de cada yi será igual a soma
das probabilidades dos valores de X
correspondendo a yi, isto é:
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P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) =
= 0,3 + 0,2 = 0,5
P(Y = 4) = P(X = -2) + P(X = 2) =
= 0,1 + 0,4 = 0,5
y
p
1
0,5
4
0,5
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Seja X VAC com fdp f(x) definida a
partir no espaço amostra S e assumindo
valores (contradomínio) X(S).
Seja
y = g(x), uma função derivável, definida em
X(S) e estritamente monótona. Então Y é
uma variável aleatória contínua com fdp
h(y) dada por:
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2
d[g −1( y )]
h ( y) = f [g ( y)].
dy
−1
Onde g-1(y) é a solução de g(x) = y para x.
Se y = g(y) não conservar a
monotocidade no contradomínio de X, este
deverá ser decomposto em partes sobre as
quais g(y) é monótona. g(y) será definida
como a soma das gi(y) correspondentes aos
intervalos onde for monótona.
d[g i−1( y )]
h ( y) = ∑ f [gi−1 ( y)].
dy
i
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Suponha que X é uma VAC com fdp
X(S )
S
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Y[ X(s)]
X(s) = x
dada por f(x) = 1/a se x ∈ (0, a)
= 0 se x ∉ (0, a)
G(x) = y
s
Determinar a fdp da variável
y = g(x) = xn
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Neste caso y = g(x) = xn e
1 / n −1
d[g −1 ( y)]
' y
= y1 / n =
dy
n
g-1(y) = y1/n
h( y) = f [g −1 ( y)].
( )
−1
y1 / n−1
se y ∈ (0, a n)
na
=0
se y ∉ (0, a n)
h (y) =
Verificar que
1 / n −1
d[g ( y)]
y
= f ( y1 / n ).
dy
n
1 y1 / n −1 y1/ n −1
= .
=
se y ∈ (0, a n )
a
n
na
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=
é, de fato, uma fdp
an
∫0
y1 / n − 1
dy =
na
1 ⎡ y1/ n ⎤
⎢
⎥
na ⎣ 1 / n ⎦
0
a
=
n
=
1 a n 1 / n −1
dy =
∫ y
na 0
n
(a )
1/ n
1
na
n
=
a
= 1
a
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3
Considere a VAC X com fdp dada por:
1
f (x) =
2π
e
-x 2 / 2
A função Y = X2 não é monótona sobre
toda a reta. Decompondo nas regiões (-∞, 0)
para - ∞ < x < ∞
e (0, ∞), então a função g(y) terá inversas
que serão:
g1−1 ( y) = - y para y ∈ (-∞; 0) e
Determine a densidade de probabilidade
g(y) da variável aleatória Y =
X2.
g2−1 ( y) = y
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Desta forma a fdp de Y, será dada por:
h ( y ) = f [ g1−1 ( y )].
d [ g1− 1 ( y )]
=−
dy
1
f [ g 1−1 ( y )] =
2π
d [ g1− 1 ( y )]
dy
+ f [ g 2−1 ( y )].
Assim:
d[ g 2− 1 ( y )]
h(y) =
dy
1
d [ g 2− 1 ( y )]
2 y
dy
1
e- y / 2
2π
g ( y )dy =
Fazendo:
∞
∫0 g ( y )dy =
1
2 πy
e - y / 2dy =
1
2π
∞
∫0
2π
∞
∫0 e - t
2/2
dy =
/2
1
.−
2
+
y
1
2π
e-y
/2
1
.
2
=
y
1
2 πy
e - y / 2 para x ∈ (0; ∞ )
(01) Suponha que o comprimento da aresta
-y / 2
1
e
y
dy
de um cubo é uma VAC uniformemente
distribuída sobre (a; b). Determine a
y = t 2 (dy = 2tdt)
2
e-y
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A função g(y) é uma fdp, pois:
∞
∫0
2π
h (y) =
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∞
∫0
1
1
=
2 y
f [ g 2−1 ( y )] =
e- y / 2
para y ∈ (0; ∞ )
vem:
2
2π
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2π
=1
2
expectância e a variância do volume do
cubo.
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4
O volume do cubo é a VAC Y = X3.
Precisa-se, inicialmente, encontrar a fdp
de Y.
g − 1 ( y ) = 3 y = y1 / 3
d [ g − 1 ( y )] 1 − ( 2 / 3 )
1
= y
=
dy
3
3y 2 /3
Assim:
h( y) =
1
1
1
.
=
se y ∈ ( a 3 ; b 3 )
( b − a ) 3 y 2 / 3 3( b − a ) y 2 / 3
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f ( x ) = 1 se - 1 < x < 1
= 0 c. c.
g (y ) =
1
2 4− y
distribuída sobre (-1; 1).
Seja y = 4 – x2. Determine a fdp de
Y e faça o seu gráfico.
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se
3< y < 4
(03) Suponha que X seja uma VAC com
= 0 c. c.
5,0
(02) Suponha que X é uniformemente
fdp dada por f(x) = e-x
se x > 0
4,0
3,0
Seja Y =
2,0
=0
se x ≤ 0
Determine a fdp de Y e
X3.
faça o seu gráfico.
1,0
0,0
-2
-1
0
1
2
3
4
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f (x) = e− x se x > 0
= 0
1,20
se x ≤ 0
1,00
0,80
y −2 / 3 e y
3
= 0
−1 / 3
g(y) =
0,60
0,40
se y > 0
se y ≤ 0
0,20
0,00
0
1
2
3
4
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5
6
DANTAS, Carlos Alberto Barbosa. Probabilidade:
Um Curso Introdutório. 2 ed. São Paulo: EDUSP,
2000.
GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability
and Random Processes. Oxford (London): Oxford
University Press, 1991.
HINES, William W., MONTGOMERY, Douglas C.
Probability and Statistics in Engineering and
Management Science. New York: John Willey,
1990.
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5
JAMES, Barry R. Probabilidade: um curso em nível
intermediário. Rio de Janeiro: IMPA, 1981.
MEYER, Paul L.
Probabilidade: aplicações à
estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
MOOD, Alexander M., GRAYBILL, Franklin A.
Introduccion a la Teoria de la Estadistica. Madrid:
Aguilar, 1969.
WILKS, Samuel S. Mathematical Statistics. New
York: John Wiley, 1961.
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