Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - De partame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Seja X uma variável aleatória discreta com fp p(xi). Seja Y = f(X). Se X for monótona, então yi = f(xi), onde xi são os valores de X, com a probabilidade: P(Y = yi) = P(X = xi) Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Exemplo um: Se X não for monótona, então aos Determinar a distribuição da variável valores possíveis yi = f(xi) de Y se Y = 3X, dada a distribuição de X da tabela: associará a probabilidade igual a soma das probabilidades dos valores de X pertencente à imagem inversa de yi por f. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística x p 1 3 5 0,4 0,1 0,5 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 1 Solução: Exemplo dois: Como Y = 3X é monótona, a distintos Determinar a distribuição da variável valores de X correspondem distintos Y = X2, se a distribuição de X é a da tabela: valores de Y. Assim: y q 3 0,4 9 0,1 15 0,5 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística x -1 -2 1 2 p 0,3 0,1 0,2 0,4 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Solução: Como Y = X2 não é monótona, a correspondência entre os valores de X e de Y não é biunívoca. Então, por definição, a probabilidade de cada yi será igual a soma das probabilidades dos valores de X correspondendo a yi, isto é: Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = = 0,3 + 0,2 = 0,5 P(Y = 4) = P(X = -2) + P(X = 2) = = 0,1 + 0,4 = 0,5 y p 1 0,5 4 0,5 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Seja X VAC com fdp f(x) definida a partir no espaço amostra S e assumindo valores (contradomínio) X(S). Seja y = g(x), uma função derivável, definida em X(S) e estritamente monótona. Então Y é uma variável aleatória contínua com fdp h(y) dada por: Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 2 d[g −1( y )] h ( y) = f [g ( y)]. dy −1 Onde g-1(y) é a solução de g(x) = y para x. Se y = g(y) não conservar a monotocidade no contradomínio de X, este deverá ser decomposto em partes sobre as quais g(y) é monótona. g(y) será definida como a soma das gi(y) correspondentes aos intervalos onde for monótona. d[g i−1( y )] h ( y) = ∑ f [gi−1 ( y)]. dy i Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Suponha que X é uma VAC com fdp X(S ) S Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Y[ X(s)] X(s) = x dada por f(x) = 1/a se x ∈ (0, a) = 0 se x ∉ (0, a) G(x) = y s Determinar a fdp da variável y = g(x) = xn Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Neste caso y = g(x) = xn e 1 / n −1 d[g −1 ( y)] ' y = y1 / n = dy n g-1(y) = y1/n h( y) = f [g −1 ( y)]. ( ) −1 y1 / n−1 se y ∈ (0, a n) na =0 se y ∉ (0, a n) h (y) = Verificar que 1 / n −1 d[g ( y)] y = f ( y1 / n ). dy n 1 y1 / n −1 y1/ n −1 = . = se y ∈ (0, a n ) a n na Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística = é, de fato, uma fdp an ∫0 y1 / n − 1 dy = na 1 ⎡ y1/ n ⎤ ⎢ ⎥ na ⎣ 1 / n ⎦ 0 a = n = 1 a n 1 / n −1 dy = ∫ y na 0 n (a ) 1/ n 1 na n = a = 1 a Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 3 Considere a VAC X com fdp dada por: 1 f (x) = 2π e -x 2 / 2 A função Y = X2 não é monótona sobre toda a reta. Decompondo nas regiões (-∞, 0) para - ∞ < x < ∞ e (0, ∞), então a função g(y) terá inversas que serão: g1−1 ( y) = - y para y ∈ (-∞; 0) e Determine a densidade de probabilidade g(y) da variável aleatória Y = X2. g2−1 ( y) = y Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Desta forma a fdp de Y, será dada por: h ( y ) = f [ g1−1 ( y )]. d [ g1− 1 ( y )] =− dy 1 f [ g 1−1 ( y )] = 2π d [ g1− 1 ( y )] dy + f [ g 2−1 ( y )]. Assim: d[ g 2− 1 ( y )] h(y) = dy 1 d [ g 2− 1 ( y )] 2 y dy 1 e- y / 2 2π g ( y )dy = Fazendo: ∞ ∫0 g ( y )dy = 1 2 πy e - y / 2dy = 1 2π ∞ ∫0 2π ∞ ∫0 e - t 2/2 dy = /2 1 .− 2 + y 1 2π e-y /2 1 . 2 = y 1 2 πy e - y / 2 para x ∈ (0; ∞ ) (01) Suponha que o comprimento da aresta -y / 2 1 e y dy de um cubo é uma VAC uniformemente distribuída sobre (a; b). Determine a y = t 2 (dy = 2tdt) 2 e-y Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística A função g(y) é uma fdp, pois: ∞ ∫0 2π h (y) = Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística ∞ ∫0 1 1 = 2 y f [ g 2−1 ( y )] = e- y / 2 para y ∈ (0; ∞ ) vem: 2 2π Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 2π =1 2 expectância e a variância do volume do cubo. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 4 O volume do cubo é a VAC Y = X3. Precisa-se, inicialmente, encontrar a fdp de Y. g − 1 ( y ) = 3 y = y1 / 3 d [ g − 1 ( y )] 1 − ( 2 / 3 ) 1 = y = dy 3 3y 2 /3 Assim: h( y) = 1 1 1 . = se y ∈ ( a 3 ; b 3 ) ( b − a ) 3 y 2 / 3 3( b − a ) y 2 / 3 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística f ( x ) = 1 se - 1 < x < 1 = 0 c. c. g (y ) = 1 2 4− y distribuída sobre (-1; 1). Seja y = 4 – x2. Determine a fdp de Y e faça o seu gráfico. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística se 3< y < 4 (03) Suponha que X seja uma VAC com = 0 c. c. 5,0 (02) Suponha que X é uniformemente fdp dada por f(x) = e-x se x > 0 4,0 3,0 Seja Y = 2,0 =0 se x ≤ 0 Determine a fdp de Y e X3. faça o seu gráfico. 1,0 0,0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística f (x) = e− x se x > 0 = 0 1,20 se x ≤ 0 1,00 0,80 y −2 / 3 e y 3 = 0 −1 / 3 g(y) = 0,60 0,40 se y > 0 se y ≤ 0 0,20 0,00 0 1 2 3 4 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 5 6 DANTAS, Carlos Alberto Barbosa. Probabilidade: Um Curso Introdutório. 2 ed. São Paulo: EDUSP, 2000. GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability and Random Processes. Oxford (London): Oxford University Press, 1991. HINES, William W., MONTGOMERY, Douglas C. Probability and Statistics in Engineering and Management Science. New York: John Willey, 1990. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 5 JAMES, Barry R. Probabilidade: um curso em nível intermediário. Rio de Janeiro: IMPA, 1981. MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1998. MOOD, Alexander M., GRAYBILL, Franklin A. Introduccion a la Teoria de la Estadistica. Madrid: Aguilar, 1969. WILKS, Samuel S. Mathematical Statistics. New York: John Wiley, 1961. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departame nto de Estatística 6