CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete ∑

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CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete
Faculdade de Engenharia Elétrica
Física II
Prof. Aloísio Elói
Movimento Oscilatório
Resumo – Serway e Jewett, capítulo 12.
1.
2.
Movimento Harmônico Simples = MHS = Movimento realizado por
um corpo sob o efeito de uma força resultante restauradora linear.
Sistema massa-mola: Fs = − kx .
 x(t ) = A cos(ωt + φ )

ω = 2π f = 2π = k m
T


1 2π
= 2π m k
T = =
f
ω


1 ω
1
3. MHS:  f = =
=
k m
T 2π 2π

1 2

 E = K + U = 2 kA


k 2
2
2
2
v = ± m ( A − x ) = ±ω ( A − x )

 Fs = − kx
4.
5.
01 – Sistema massa-mola
Pêndulo simples: corpo pontual oscilante de massa m suspenso por fio ou haste de comprimento L e massa desprezível. O
período e a freqüência de um pêndulo simples oscilando em ângulos pequenos (abaixo de 10°) dependem apenas do
comprimento do fio e da aceleração de queda livre. ω = g L ; T = 2π L g .
Pêndulo físico: corpo não pontual oscilando em torno de eixo fixo que não passa pelo seu centro de massa.
ω = mgd I , T = 2π I mgd .
6.
Oscilações amortecidas: Suponhamos um sistema mecânico oscilante cuja força restauradora é dada por − kx e onde atua
uma força resistiva −bv , sendo b uma constante. Daí, através da Segunda Lei de Newton:
dx d 2 x
∑ Fx = −kx − bv = max → −kx − b dt = dt 2 . Se b < 4mk , a força resistiva é pequena e a solução da equação
2
acima é x =  Ae
− ( b /2 m ) t
k  b 
 cos (ωt + φ ) , ω =
−
 , o movimento é oscilatório mas a amplitude decresce com o
m  2m 
tempo. Temos o oscilador sub-amortecido.
02 – Pêndulo simples
03 – Pêndulo físico.
04 - Oscilação amortecida
05 – a: subamortecido;
b: criticamente amortecido
c) superamortecido.
7.
06 – Amplitude versus freqüência excitadora.
ω0 = k m é a freqüência angular na ausência de força resistiva, também chamada de freqüência natural.
8.
Um caso particular de oscilação amortecida ocorre quando a força resistiva cresce, e b atinge um valor crítico bc tal que
bc = 2mω0 . Nesse caso o sistema não oscila e é dito criticamente amortecido.
9.
Outro caso particular de oscilação amortecida ocorre quando o meio é altamente viscoso e
sistema também não oscila e é dito superamortecido.
bc > 2mω0 . Nesse caso o
10. Oscilações forçadas: A energia mecânica de um sistema amortecido decresce com o tempo. A perda pode ser compensada
com o fornecimento de uma energia fornecida pela ação de uma força favorável ao movimento. Se a energia fornecida por
ciclo for igual à perda, a amplitude permanece constante. Um exemplo de oscilador forçado é aquele em que a força
propulsora é dada por F (t ) = F0 senωt , onde ω é a freqüência angular da força propulsora e F0 é uma constante.
A=
F0 m
(ω 2 − ω02 ) 2 + (bω m) 2
.
11. Se o amortecimento é pequeno, a amplitude é grande quando ω ≈ ω0 , que é também chamada de freqüência de
ressonância. Cordas vibrantes, colunas de ar e circuitos elétricos também têm freqüências de ressonância, o que é explorado
em instrumentos musicais e em receptores de rádio.
12. Simbologia e unidades no SI: Fs: força restauradora (N); t: tempo (s); A: amplitude (m); k: constante elástica da mola
(N/m); x: deslocamento (m); ω: velocidade angular ou freqüência angular (rad/s); φ : constante de fase ou ângulo de fase
(rad); T: período (s); f: freqüência (Hz); m: massa (kg); E: energia mecânica (J); K: energia cinética (J); U: energia potencial
elástica (J); v: velocidade (m/s); g: aceleração da gravidade (m/s2);
L: comprimento do pêndulo simples (m); I: momento
de inércia (kgm2); d: distância do pivô ao centro de massa); Fx : força na direção x (N); ax: aceleração na direção x (m/s2);
b: constante de proporcionalidade entre a força resistiva e a velocidade (kg/s). CM: centro de massa.
13. Momento de inércia:
I = ∑ mi ri 2 , numa distribuição discreta. I = ∫ r 2 dm, numa distribuição contínua.
Teorema de Steiner: I = ICM + md2
EXEMPLOS
01 – Um bloco com uma massa de 200 g é
conectado a uma mola horizontal leve cuja
constante de força é 5,00 N/m e está livre para
oscilar sobre uma superfície horizontal sem
atrito.
a) Se o bloco for deslocado 5,00 cm do
equilíbrio e liberado do repouso, como na figura
ao lado, encontre o período de seu movimento.
b) Determine a velocidade máxima e a
aceleração máxima do movimento.
02 – Uma partícula oscila em MHS no eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:
x = (4, 00) cos(π t + π 4) ( SI ).
a) Determine a amplitude, a freqüência e o período do movimento;
b) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer tempo t;
c) Qual é a posição e a velocidade da partícula no tempo t = 0?
03 – Suponha que a posição inicial xi e a velocidade inicial vi de um oscilador harmônico de freqüência angular conhecida sejam
dados, isto é, x(0) = xi e v(0) = vi. Encontre as expressões gerais para a amplitude e a constante de fase em função desses
parâmetros iniciais.
04 – Um corpo de 0,500 kg conectado a uma mola desprovida de massa cuja constante de força é 20,0 N/m oscila sobre uma
superfície horizontal sem atrito.
a) Calcule a energia total do sistema e a velocidade máxima do corpo se a amplitude do movimento é 3,00 cm.
b) Qual é a velocidade do corpo quando a posição é igual a 2,00 cm?
c) Calcule as energias cinética e potencial do sistema quando a posição é igual a 2,00 cm.
d) Para quais valores de x a velocidade do corpo é igual a 0,100 m/s?
05 – Um homem entra numa torre alta e precisa saber a sua altura. Ele observa que um pêndulo
longo se estende do teto até quase o chão e o seu período é 12,0 s. Qual é a altura da torre?
06 – Uma placa circular de massa M e raio R está pendurada num prego por uma pequena alça
localizada em sua periferia, conforme mostra a figura ao lado. Depois de colocada no prego a
placa oscila num plano vertical. Encontre o período de oscilação se a amplitude de oscilação for
pequena.
Alguns exercícios do Serway & Jewett –Volume 2 – Cap. 12
01 (01) – Um arqueiro puxa a corda do seu arco para trás 0,400 m exercendo uma força na corda que aumenta uniformemente de zero
a 230 N. a) Qual a constante de força equivalente do arco?
b) Quanto trabalho o arqueiro realiza ao puxar o arco?
02 (02) – Deixa-se cair uma bola de uma altura de 4,00 m. Ela faz uma colisão perfeitamente elástica com o solo. Supondo que
nenhuma energia é perdida devido à resistência do ar:
a) demonstre que o movimento é periódico.
b) Determine o período do movimento.
c) É um MHS? Explique.
03 (03) – A posição de uma partícula é dada por X = 4,00 cos ( 3,00πt + π ), no SI. Determine:
a) a freqüência e o período do movimento. b) A amplitude.. c) A constante de fase.
d) A posição da partícula em t = 0,250 s.
04 (09) - Um corpo de 7,00 kg é pendurado na extremidade inferior de uma mola vertical presa a um suporte acima dela. O corpo é
posto em oscilações verticais que têm um período de 2,60 s. Encontre a constante de força da mola.
05 (11) - Um corpo de 0,500 kg unido a uma mola com uma constante de força 8,00 N/m vibra em MHS com uma amplitude de 10,0
cm. Calcule: a) o valor máximo da sua velocidade e da sua aceleração; b) a velocidade e a aceleração quando o corpo está a 6,00 cm
da posição de equilíbrio; c) o tempo necessário para o corpo deslocar-se de x = 0 a x = 8,00 cm.
06 (15) – Um automóvel que tem uma massa de 1 000 kg é dirigido contra uma parede de tijolos em um teste de segurança.
O amortecedor comporta-se como uma mola com constante de 5,00 x 106 N/m e se comprime de 3,16 cm enquanto o carro atinge o
repouso. Qual era a velocidade do carro antes do impacto, supondo que a energia mecânica do carro se mantém constante durante o
impacto contra a parede?
07 (23) – Um pêndulo simples tem uma massa de 0,250 kg e um comprimento de 1,00 m. Ele é deslocado por um ângulo de 15° e
então liberado. Calcule: a) a aceleração angular máxima;
b) a força restauradora máxima.
08 (24 )– A posição angular de um pêndulo simples é representada pela equação θ = (0,320 rad) coswt, com θ em radianos e w = 4,43
rad/s. determine o período e o comprimento do pêndulo.
09 (26) – Uma haste rígida muito leve com comprimento de 0,500 m se estende ao longo da extremidade de uma régua de um metro.
A régua é suspensa de um pivô na extremidade oposta da haste e colocada em oscilação.a) Determine o período de oscilação.
b)
Por que porcentagem o período difere do período de um pêndulo simples com comprimento de 1,00 m?
10 (27) – Um pêndulo físico na forma de um corpo plano realiza MHS com uma freqüência de 0,450 Hz. Se o pêndulo tem massa de
2,20 kg e o pivô está localizado a 0,350 m do centro de massa, determine o momento de inércia do pêndulo ao redor do pivô.
11 (28) – Demonstre que a taxa temporal de variação da energia mecânica de um oscilador amortecido não forçado é dada por
dE/dt = - bv2 e, portanto, é sempre negativa.
12 (29) – Um pêndulo com o comprimento de 1,00 m é liberado de um ângulo inicial de 15,0 °. Após 1000 s, sua amplitude foi
reduzida pelo atrito a 5,50 °. Qual é o valor de b/2m ?
13 (30) – Demonstre que a equação
x =  Ae− (b /2 m )t  cos (ωt + φ ) é uma solução da equação − kx − b
dx
d 2x
= m 2 contanto
dt
dt
que b2 < 4mk.
14 (31) – um bebê alegra-se gritando de felicidade e saltando para cima e para baixo em seu berço. Sua massa é de 12,5 kg e o
colchão do berço pode ser modelado como uma mola leve com constante de força de 4,30 kN/m.
a) O bebê aprende logo a
saltar com esforço mínimo e amplitude máxima dobrando seus joelhos com que freqüência ?
b) Ele aprende a usar o
colchão como um trampolim – perdendo contato com ele em parte de cada ciclo – quando sua amplitude excede qual valor?
15 (32) – Um corpo de 2,00 kg unido a uma mola é impulsionado por uma força externa dada por F = 3,00 cos(2πt) (SI). Se a
constante de força da mola é 20,0 N/m, determine:
a) o período;
b) a amplitude do movimento.
16 (33) – Considerando um oscilador forçado não amortecido (b = 0), demonstre que a equação III (acima) é solução de II com a
amplitude dada por IV.
17 (34) – O amortecimento é desprezível para um corpo de 0,150 kg pendurado em uma mola leve de 6,30 N/m. O sistema é
impulsionado por uma força oscilante com uma amplitude de 1,70 N. Em que freqüência a força fará a massa vibrar com uma
amplitude de 0,440 m?
Alguns momentos de inércia
01 – Capa cilíndrica em relação ao seu eixo.
02 – Cilindro sólido em relação ao seu eixo.
03 – Cilindro oco em relação ao seu eixo.
04 – Capa cilíndrica em relação a um eixo diametral
passando por seu centro.
05 – Cilindro maciço Capa cilíndrica em relação a um eixo
diametral passando por seu centro.
06 – Vareta delgada com relação a uma perpendicular que
passa por seu centro.
07 - Vareta delgada com relação a uma perpendicular que
passa por sua extremidade
08 – Casca esférica delgada em relação a um diâmetro.
09 – Esfera maciça com relação a um diâmetro.
10 – Paralelepípedo sólido em relação a uma perpendicular
que passa pelo centro de uma das faces.
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