SOLUC¸ ˜OES CONTRA-FLUXO DE EQUAC¸ ˜OES

SOLUÇÕES CONTRA-FLUXO DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS COM RETARDO E IMPULSO
MARTA C. GADOTTI†
Resumo. O objetivo é apresentar soluções de equações diferenciais
com retardamento, cujas órbitas têm um comportamento diferente
daquele que é sugerido pelo fluxo, são as denominadas soluções
contra-fluxo. Mais ainda, utilizando um teorema de ponto fixo, é
provado que existe solução periódica contra-fluxo de um certo tipo
de sistema de equações diferenciais com retardamento e impulso.
Key words retardo, impulso, soluções contra-fluxo, soluções periódicas
1. Introdução
A idéia desse trabalho é construir exemplos de soluções contrafluxo de certos sistemas de equações diferenciais com retardamento e
impulso. Esse tipo de equação tem sido bastante explorado recentemente, veja [4], [5] e [6].
Consideremos inicialmente a seguinte equação planar
(1.1)
ẋ(t) = F (x(t − r)),
r > 0,
com x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , F = (F1 , F2 ) : R2 → R2 contı́nuas e C 1 em uma
vizinhança da origem, veja [1] e [2]
Vamos assumir que vale a seguinte condição
(H1) x2 F1 (x) > 0, se x2 6= 0 e x1 F2 (x) < 0, se x1 6= 0.
Essa hipótese terá um papel importante em nossos exemplos, notemos primeiramente que (H1) é uma versão bidimensional da condição
de retro-alimentação negativa classicamente formulada para o caso escalar. Essa hipótese aparece em alguns trabalhos como por exemplo
em [7] e é essencial na construção de soluções periódicas. Notemos que
(H1) sugere que as órbitas das soluções tenham comportamento de girar em torno da origem no sentido horário, pois o campo vetorial F
pode ser representado pelo diagrama da Figura 1.
Contudo, vamos exibir alguns exemplos de equações diferenciais cuja
hipótese (H1) está satisfeita mas que as órbitas das soluções giram no
† supported by FAPESP, proc. 97/14611-7.
1
2
M.C. GADOTTI
x
62
@
R
@
x1
@
I
@
Figura 1. Sentido do campo
sentido contrário àquele sugerido pelo campo, isto é, giram no sentido
anti-horário em torno da origem. Neste caso, diremos que as soluções
são contra-fluxo.
Consideremos o seguinte sistema de equações
(1.2)
x0 (t) =πy(t − 1)
y 0 (t) = − πx(t − 1).
Este é um caso particular de (1.1), onde F (x, y) = (πy, −πx), que
obviamente satisfaz (H1).
Notemos que
(x(t), y(t)) = (sen πt, − cos πt),
é uma solução 2-periódica da equação planar (1.2) que gira no sentido
anti-horário, isto é, contra-fluxo.
Como o sistema é linear, temos na verdade, uma famı́lia a um parâmetro
α,
α(sen πt, − cos πt), α ≥ 0
de soluções 2-periódicas, cujas órbitas cobrem todo o plano x, y. Além
disso, para α > 0 essas soluções são contra-fluxo.
Por outro lado se considerarmos uma função contı́nua ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) :
[−1, 0] → R2 , que satisfaz: ϕ1 e ϕ2 são estritamente crescentes, ϕ ∈ Q1 ,
ϕ1 (−1) = 0 e ϕ2 (−1) > 0. Seja z(t) = (x(t), y(t)) solução de (1.2) tal
que z(t)|[−1,0] = ϕ. Essa solução gira em torno da origem no sentido
horário, conforme a figura 2.
Considerando que (1.2) é linear, z(t) gera a famı́lia
αz(t),
α ≥ 0,
SOLUÇÕES CONTRA-FLUXO
3
6
z(t4 )
ϕ
z(t3 )
z(t1 )
z(t5 )
-
z(t2 )
Figura 2. Sentido da órbita
que cobre também o plano x, y e para α > 0 gira no sentido horário.
A aparente contradição de que o sistema (1.2) pode possuir duas
famı́lias de soluções ambas cobrindo o plano x, y, sendo que uma gira
no sentido oposto da outra, estaria na idéia ingênua de se entender as
órbitas de (1.2) como as órbitas de um sistema dinâmico bidimensional.
É claro que o sistema dinâmico definido por (1.2) tem dimensão infinita.
2. Estudo de um problema impulsivo
As considerações anteriores nos motivam a retomar o contexto
mais geral da equação (1.1) e questionar sobre que tipo de condições o
sistema não-linear
(2.1)
ẋ1 (t) = F1 (x(t − 1))
ẋ2 (t) = F2 (x(t − 1))
pode possuir soluções contra-fluxo, e também com respeito às soluções
periódicas contra-fluxo.
De fato, mostraremos que é possı́vel introduzir impulsos radiais de
modo a garantir a existência de soluções contra-fluxo. É importante
observar que os impulsos considerados são radiais, isto é, se t for um
instante de impulso de uma solução x(t) = (x1 (t), x2 (t)) então x(t+)
4
M.C. GADOTTI
e x(t−) estarão alinhados com a origem, o que implica que a condição
de auto-sustentação não afeta a orientação do campo em R2 .
Com alguma restrição ao segundo membro de (2.1) vamos garantir
também a existência de soluções contra-fluxo periódicas.
Definição 2.1. Dada uma curva
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)),
t ∈ [α, β]
do plano x1 , x2 ; diz-se que t ∈ (α, β] é um instante crı́tico se γ cruza
transversalmente um dos eixos coordenados pela esquerda em γ(t). Isto
é, vale uma das alternativas:
(i) γ1 (t) = 0,
γ̇1 (t) 6= 0,
(ii) γ2 (t) = 0,
γ̇2 (t) 6= 0.
Suponhamos que F1 , F2 : R2 → R sejam funções contı́nuas que satisfazem (H1).
Também vamos considerar a hipótese dada abaixo
(H2) Existe uma constante M > 0 tal que |Fj (x)| ≤ M para todo
x ∈ R2 e j = 1, 2.
Consideremos o problema dado pelo sistema (2.1), onde F (x) =
(F1 (x), F2 (x)), sujeito à condição de impulso
(2.2)
Z
x1 (t) =0
e
x2 (t − 1) 6= 0 ⇒ x2 (t+) = −
t− 12
F2 (x(s)) ds,
t−1
Z
x2 (t) =0
e
x1 (t − 1) 6= 0 ⇒ x1 (t+) = −
t− 12
F1 (x(s)) ds
t−1
para t > 0.
Se x(t) 6= (0, 0), a notação x(t+) significa
(2.3)
(
(x1 (t+), x2 (t)),
x(t+) =
(x1 (t), x2 (t+)),
se x1 (t) = 0, x2 (t − 1) 6= 0
se x2 (t) = 0, x1 (t − 1) 6= 0
SOLUÇÕES CONTRA-FLUXO
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Consideremos o espaço G = G([−1, 0], R2 ) que é o espaço das funções
regradas, definidas em [−1, 0] com imagem em R2 . E seja K o subconjunto de G tal que ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ K se, e somente se,
(i) ϕ1 (0) = ϕ1 (−1) = 0, ϕ1 (θ) é não decrescente
para θ ∈
[−1, −1/2] e é não crescente para θ ∈ [−1/2, 0]; ϕ1 [−1,0]\{− 1 } é contı́nua.
2
(ii) ϕ2 (−1/2) = 0 e ϕ2 (θ) é não decrescente para θ ∈ [−1, 0];
ϕ2 |(−1,0) é contı́nua.
(iii) kϕj k ≤ M e ϕj são M -Lipschitzianas nos intervalos de continuidade, para j = 1, 2. Vamos supor que
x0 = ϕ ∈ K
(2.4)
Definição 2.2. Uma solução do problema (2.1), (2.2) e (2.4) é uma
função x = (x1 , x2 ) : [−1, w) → R2 , w > 0, satisfazendo:
(i) x
=ϕ
[−1,0]
(ii) Lembrando que F (x1 , x2 ) = (F1 (x), F2 (x)),
Z
t
F (ϕ(s − 1)) ds,
x(t) = ϕ(0) +
t ∈ [0, τ ],
0
onde τ = 1 ou τ ∈ (0, 1) é o primeiro instante crı́tico de x(t).
Se τ é um instante crı́tico, então
Z
t
F (x(s − 1)) ds,
x(t) = x(τ +) +
t ∈ (τ, τ1 ] ⊂ [0, w),
τ
onde τ1 = τ + 1 ou τ1 ∈ (τ, τ + 1) é o primeiro instante crı́tico de x(t)
neste intervalo.
E assim sucessivamente.
Vale observar que dada uma condição inicial no conjunto K, o problema (2.1), (2.2) e (2.4) tem uma única solução em [−1, ∞), que
pode ser construı́da por processo recursivo em sucessivos intervalos de
comprimento unitário.
Tomando > 0 pequeno, podemos definir a função c(t) = (c1 (t), c2 (t)),
para todo t ∈ R do seguinte modo:
6
M.C. GADOTTI


2(t + 1),
c1 (t) = −2t,

2(t − 1),
se t ∈ [−1, −1/2]
se t ∈ [−1/2, 1/2]
se t ∈ [1/2, 1].
(
2t + c2 (t) =
−2(t − 1/2),
se t ∈ [−1, 0]
se t ∈ [0, 1]
Estendemos c(t)
a toda a reta, de modo que ela seja 2-periódica.
Notemos que c(t)[−1,0] ∈ K.
Consideremos agora o conjunto K ⊂ K tal que ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ K
se ϕ ∈ K e se
ϕ1 (θ) ≥ c1 (θ),
|ϕ2 (θ)| ≥ |c2 (θ)|,
θ ∈ [−1, 0]
θ ∈ [−1, 0].
Um elemento do conjunto K está representado na figura 3.
6
ϕ1 r
r
c1
c2
t
r
ϕ2
Figura 3. ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ K
Observação 2.1. Dado ϕ ∈ K se denotarmos ϕ̄ ∈ K definida por
ϕ̄(θ) = ϕ(θ) para −1 ≤ θ < 0 e
ϕ̄(0) =
Z
−1/2
0, −
−1
F2 (ϕ(s)) ds
SOLUÇÕES CONTRA-FLUXO
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temos que a solução x = x(.; ϕ̄) do problema (2.1), (2.2) gira em torno
da origem no sentido anti-horário, conforme a figura 4.
x2
6
ϕ
r x1
Figura 4. Sentido das órbitas de x(.; ϕ̄) no plano x1 x2 .
Sejam f1 : R → R e f2 : R → R funções contı́nuas e crescentes, que
satisfazem as seguintes hipóteses
(A) sfj (s) > 0,
se s 6= 0 e,
(B) ∃ M > 0 ; |fj (s)| ≤ M,
j = 1, 2;
∀ s,
j = 1, 2;
(C) |fj (s)| ≥ 4|s| para |s| < δ, δ > 0 pequeno e j = 1, 2.
Notemos que a condição (A) garante, para F (x1 , x2 ) = (f1 (x2 ), −f2 (x1 )),
que a hipótese (H1) está satisfeita.
Consideremos o problema dado pelo sistema
ẋ1 (t) = f1 (x2 (t − 1))
(2.5)
ẋ2 (t) = −f2 (x1 (t − 1))
sujeito à condição de impulso
(2.6)
Z
x1 (t) =0
e
x2 (t − 1) 6= 0 ⇒ x2 (t+) =
t− 21
f2 (x1 (s)) ds,
t−1
Z
x2 (t) =0
e
x1 (t − 1) 6= 0 ⇒ x1 (t+) = −
t− 12
f1 (x2 (s)) ds
t−1
para t > 0.
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M.C. GADOTTI
Considerando = δ e o conjunto Kδ , então pela observação 2.1,
o problema (2.5) e (2.6) com a condição inicial em Kδ , tem solução
contra-fluxo.
Mostremos agora que existe solução contra-fluxo desse problema que
é periódica. Por adaptações diretas de argumentos clássicos de compacidade no espaço C(I, Rn ) (I um intervalo compacto) mostra-se que
Kδ é compacto e convexo. Assim, basta definirmos um operador de
retorno contı́nuo de Kδ em Kδ , cujos pontos fixos corresponderão às
soluções periódicas.
Para isto, definimos
A : Kδ → G
(2.7)
por
A(ϕ) = x2 (., ϕ̄)
onde ϕ̄ é dada por
Z
ϕ̄(θ) = ϕ(θ) para −1 ≤ θ < 0 e ϕ̄(0) = 0,
−1/2
f2 (ϕ1 (s)) ds .
−1
Vale observar que, em (2.7), x2 (.; ϕ̄) representa xτ (.; ϕ̄) com τ = 2 e
não a segunda coordenada de x(.; ϕ̄).
Teorema 2.1. O operador A definido em (2.7) é contı́nuo e A(Kδ ) ⊂
Kδ .
Demonstração. Seja ϕ ∈ Kδ . Vamos mostrar que Aϕ ∈ Kδ por construção.
Primeiramente, consideremos t ∈ [0, 1/2] e ϕ̄ como na observação
(2.1). Pelas hipóteses sobre a f2 , podemos afirmar que
Z
−1/2
Z
−1/2
f2 (ϕ1 (s)) ds ≥
x2 (0) =
Z
−1/2
f2 (c1 (s)) ds ≥ 4
−1
−1
c1 (s)) ds = δ,
−1
f2 (ϕ1 (s)) ≥ 0 e é crescente para s ∈ [−1, −1/2], portanto
Z t
x2 (t; ϕ̄) = x2 (t) = x2 (0) −
f2 (ϕ̄1 (s − 1)) ds
0
Z
−1/2
Z
t−1
f2 (ϕ1 (s)) ds −
=
f2 (ϕ1 (s)) ds t ∈ [0, 1/2]
−1
−1
é decrescente no intervalo [0, 1/2] e x2 (t) > 0 para t em [0, 1/2), satisfazendo x2 (1/2) = 0 . Além disso, x2 (t) é uma função côncava em
[0, 1/2], o que implica
|x2 (t)| ≥ |c2 (t)|,
t ∈ [0, 1/2].
SOLUÇÕES CONTRA-FLUXO
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No caso da coordenada x1 , temos que f1 (ϕ2 (s)) ≤ 0 e é crescente
para s ∈ [−1, −1/2], então x1 (t) dado por
Z t
Z t−1
x1 (t; ϕ̄) = x1 (t) =
f1 (ϕ̄2 (s−1)) ds =
f1 (ϕ2 (s)) ds
t ∈ [0, 1/2]
−1
0
é decrescente e negativa em [0, 1/2] e
Z
−1/2
Z
−1/2
Z
f1 (ϕ2 (s)) ds ≤
x1 (1/2) =
−1
−1/2
f1 (c2 (s)) ds ≤ 4
−1
c2 (s) ds = −δ.
−1
Além disso, x1 (t) é uma função convexa em [0, 1/2], logo está satisfeita a condição
|x1 (t)| ≥ |c1 (t)|,
t ∈ [0, 1/2].
Observemos que a coordenada x1 (t) sofre impulso em t = 21 , já que
x2 (1/2) = 0 e x1 (−1/2) = ϕ1 (−1/2) 6= 0, que satisfaz
Z
0
Z
x1 (1/2+) = −
0
f1 (x2 (s)) ds = −
−1/2
f1 (ϕ2 (s)) ds
−1/2
Z
0
≤−
Z
0
f1 (c2 (s)) ds ≤ −4
−1/2
c2 (s) ds = −δ.
−1/2
Repetindo o mesmo processo nos intervalos [1/2, 1], [1, 3/2] e [3/2, 2],
prova-se que xτ (.; ϕ̄) ∈ Kδ com τ = 2. Portanto A Kδ ⊂ Kδ . Seja
agora ϕn = (ϕn1 , ϕn2 ) ∈ Kδ , n = 1, 2, · · · . Se ϕn → ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) quando
n → ∞, então x(t; ϕ̄n ) → x(t; ϕ̄), para t ∈ [0, 1/2] uniformemente, ou
seja,
x1/2 (.; ϕ̄n ) → x1/2 (.; ϕ̄), n → ∞.
Tomando ψ n = x1/2 (.; ϕ̄n ) e ψ = x1/2 (.; ϕ̄), com
ψ1n (1/2+)
Z
0
=−
−1/2
f1 (ψ2n (s)) ds ,
Z
0
ψ1 (1/2+) = −
f1 (ψ2 (s)) ds
−1/2
vê-se analogamente que, x1 (.; ϕ̄n ) → x1 (.; ϕ̄) quando n → ∞. Aqui
também x1 (.; ϕ̄) indica xτ (.; ϕ̄) tal que τ = 1.
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M.C. GADOTTI
Procedendo assim mais duas vezes sucessivas, verificamos que
x2 (.; ϕ̄n ) → x2 (.; ϕ̄) quando n → ∞.
Portanto a o operador de retorno A é contı́nuo.
Pelo Teorema de Schauder, existe um ponto fixo de A o que implica
que existe uma solução 2-periódica contra-fluxo de (2.5) e (2.6).
Referências
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periodic solutions to planar differential delay equations, Journal of Differential
Equations, Vol. 127, 391-425 (1996).
[2] J.K. Hale and S.M.V. Lunel, Introduction to Functional Differential Equations,
New York, Springer (1993).
[3] Chaim S. Hönig, Volterra Stieltjes-Integral Equations, North-Holland Publishing Company (1975).
[4] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov e P.S. Simeonov, Theory of Impulsive Differential Equations, World Scientific Publishing Company, Singapore (1989).
[5] A.D. Myshkis,Autonomous differential equations with impulsive self-support
and infinite delay, Functional Differential Equations, Vol. 3, no 1-2, 145-154
(1995).
[6] A. D. Myshkis, Auto-oscillations in continuos systems with impulsive selfsupport, em Resenhas do IME-USP, vol.3, no 1, 93-106 (1997).
[7] P.Z. Táboas, Periodic solutions of a planar delay equations, Proc. Royal Society
Edinburgh, Vol. 116A, 85-101 (1990).
IGCE-Departamento de Matemática, UNESP-Universidade Estadual
Paulista ”Júlio de Mesquita Filho”, Caixa postal 178, Rio Claro -SP,
cep 13506-700, BRASIL. E-mail: [email protected]