Grupo 6

1o Trabalho de Análise Numérica em Equações Diferenciais Parciais
Grupo 6: Sérgio Pequito, Manuel Martins
1. Considere o seguinte domı́nio Ω = QE \QI , com
QE = {x ∈ R2 : ||x||∞ ≤ 6},
QI = {x ∈ R2 : ||x||∞ ≤ 3},
onde definimos o seguinte problema de conductividade de com condições mistas DirichletNeumann

em Ω
 ∆u = f,
u = g, sobre ∂QI
 ∂u
sobre ∂QE
∂n = 0,
onde f (x) = C(x) se 4 ≤ ||x||∞ ≤ 5 e f (x) = 0 caso contrário.
a) Apresente o sistema de equações tal que, dado um espaçamento hx = 1/N, hy = 1/M,
forneça uma aproximação de u em pontos de Ω̄. Para esse efeito considere uma aproximação
do Laplaciano e da condição de Neumann que tenha pelo menos ordem 2. Tenha em atenção
uma modificação do esquema para a aproximação na fronteira de QI . Discuta a resolução
deste sistema de forma iterativa usando o método de Gauss-Seidel, a sua inicialização e
actualização para valores de hx , hy (divisão sucessiva por 2).
b) Construa um programa para resolver o problema, como indicado em a).
c) Sendo g uma função da temperatura na fronteiras ∂QI (por exemplo, g(x) = 100 −
| |x| |1 ) e várias intensidades na fonte (por exemplo, C(x) = 40+| |x| |∞ ), apresente vários resultados gráficos (ListDensityPlot, ListPlot3D,...), e indique os pontos de mı́nimo e máximo
de temperatura na fronteira ∂QE .
d) Analise a convergência dos resultados em c), fazendo variar o número de iterações no
método de Gauss-Seidel e também o valor de h → 0.
2. Considere o seguinte problema de evolução

∂t u = ∂x2 u,
em ] − 1, 2[×]0, T [= Ω



u(x, 0) = u0 (x),
para x ∈] − 1, 2[
−t
u(−1,
t)
=
4
,


para t > 0

u(2, t) = 3 + 2−t ,
a) Efectue uma discretização usando hx = 3/N e ht = T /M para um valor de T (tempo
final) dado, discutindo a relação entre N e M para que o método seja estável ao aplicar-se
o método explı́cito para a equação do calor.
b) Apresente o programa conforme a) e ilustre com diferentes valores de N e M os
problemas de estabilidade numérica considerando u0 (x) = x + 2 + sin(πx).
c) Para diferentes funções u0 (incluindo a anterior) apresente os gráficos da evolução
(ListDensityPlot, ListPlot3D,...) em Ω. Para T grande, discuta o comportamento de u(x, T ).
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