GEOMETRIA – AULA 06 – Soluções

GEOMETRIA – AULA 06 – Soluções
Prof. Antonio (Prof. Tuca)
POTI – Pirassununga.
Demonstração das propriedades 1, 2 e 3:
Propriedade 1. Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à
hipotenusa mede metade da hipotenusa AC.
Demonstração:
Seja o ponto sobre o prolongamento da mediana
, tal que
Como
,
e
(opostos pelo vértice), Os triângulos
e
são congruentes (caso LAL). Daí,
e
, então
e
são segmentos iguais
e paralelos, portanto,
.
Assim, os triângulos
e
são congruentes (caso LAL), então:
Afirmação: Uma base média de um triângulo retângulo é um segmento que
une os pontos médios de dois de seus lados.
Propriedade 2. Sejam ABC um triângulo e M, N os pontos médios dos lados
AB, AC, respectivamente. Então
e
Demonstração:
Inicialmente, prolonguemos a base média
até um
ponto tal que
. Em seguida construímos o
triângulo
.
Note que os triângulos
e
são congruentes
pelo caso LAL (
,
e
).
Daí,
e
e, portanto,
.
Assim,
é um paralelogramo, pois
e
são segmentos paralelos e
iguais, então:
e
Afirmação: A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos
médios de seus lados não paralelos.
Propriedade 3. Seja ABCD um trapézio de bases AB e CD, e sejam M e N os
pontos médios dos lados BC e AD, respectivamente. Então,
,
e
Demonstração: Prolonguemos
até encontrar
no ponto .
Temos que:
(alternos internos),
(opostos pelo vértice)
( é ponto médio de
), então os triângulos
e
congruentes (caso ALA), daí
.
Pelo triângulo
, temos que:
é base média, assim:
Finalmente,
, como
são
, então:
Problema 1.
Seja a interseção entre
e
.
O segmento
é uma mediana do triângulo retângulo
, então
, logo o triângulo
é
isósceles e
.
Como o segmento
é mediana do triângulo retângulo
, então
.
No triângulo
, pelo teorema do ângulo externo,
temos:
.
Pelo triângulo
, temos:
Concluímos que
e
são perpendiculares.
Problema 2.
Pelo triângulo
, temos que
relativa à hipotenusa, então:
é mediana
Pelo triângulo
, temos que
relativa à hipotenusa, então:
é mediana
Como
e
.
, concluímos que
Problema 3.
Como
é base média do triângulo
, temos:
e
Como
é base média do triângulo
Temos:
,
e
Assim,
e
um paralelogramo.
, logo
é
Problema 4.
Seja o ponto de interseção do segmento
com a reta paralela ao lado
que passa
pelo ponto .
Como
, então
(alternos internos)
Como
(oposto pelo vértice) e o
triângulo
é isósceles, concluímos que o
triângulo
também é isósceles com
.
Como é ponto médio de
e
,o
segmento
é uma base média do
triângulo
, assim: