Roteiro de estudos IV - if

INSTITUTO DE FÍSICA UFRGS
FÍSICA IIC (FIS01182)
Roteiro de estudos IV
A LEI DE GAUSS
I. Introdução:
No capítulo anterior você aprendeu a calcular campos elétricos usando
apenas a denição
do
2
~
~
~
vetor intensidade de campo elétrico (E = F /q0 ) e a Lei de Coulomb | F |= qq0 /4πε0 r , ou seja,
essencialmente usando as expressões
carga e
~ |= dq/4πε0 r2
d|E
~ |= q/4πε0 r2
|E
para o caso de distribuições discretas de
para o caso de distribuições contínuas de carga, respectivamente,
somando ou integrando os campos produzidos por todas as cargas.
Existem, no entanto, outras maneiras de se calcular campos elétricos que, em determinadas
situações, facilitam bastante nosso trabalho.
Uma destas maneiras é através da
Lei de Gauss
que, apesar de exigir um tratamento matemático mais sosticado, é mais geral do que a Lei de
Coulomb e, dependendo das condições de simetria do problema, pode simplicar grandemente os
cálculos. Na verdade, esta lei é uma das leis básicas do Eletromagnetismo e podese, inclusive,
chegar à Lei de Coulomb a partir dela.
Qualitativamente, a Lei de Gauss diz essencialmente que:
Em uma região em que exista campo elétrico, o uxo elétrico através de uma superfície
fechada, chamada de
superfíce gaussiana,
depende somente da carga elétrica líquida
(soma algébrica das cargas positivas e negativas) contida no interior da superfície.
Observe que para estabelecer esta formulação um novo conceito foi apresentado: o conceito de
uxo. Façamos uma analogia: suponha que uma gaiola de arame é imersa em água corrente (num
uxo de água, portanto). Normalmente a quantidade de água que entrar por um lado da gaiola
sairá pelo lado oposto, e o uxo de água resultante pela gaiola será nulo. Imagine agora que uma
torneira é de alguma forma colocada no interior da gaiola. Se a torneira for aberta haverá um
uxo
de água para fora da gaiola, mesmo se ela continuar imersa na água corrente, pois estará
saindo mais água do que entrando. Da mesma forma, se constatarmos que está saindo mais água
do que entrando (i.e. se constatarmos a existência de um
que existe uma torneira (ou, mais genericamente, uma
uxo positivo na gaiola, poderemos dizer
fonte de água) no seu interior. Admita
agora que, ao invés de uma torneira, existisse um ralo ou um cano que permitisse o escoamento
de parte da água que a estivesse atravessando. Evidentemente, neste caso, sai menos água do que
entra. Da mesma forma, se constatarmos que está saindo menos água do que entrando (i.e., se
constatarmos a existência de um
uxo negativo) na gaiola, poderemos dizer que existe um ralo ou
sumidouro) de água no seu interior.
um cano (ou, mais genericamente, um
A Lei de Gauss encerra idéias muito semelhantes a essas, só que ao invés de uxo de água
falase em
uxo elétrico.
cargas positivas e negativas,
superfícies fechadas imaginárias, as superfícies
Ao invés de fontes e sumidouros, falase em
respectivamente. E, ao invés de gaiolas, falase em
gaussianas.
Esperando que a discussão anterior tenha lhe auxiliado a entender o espírito"da Lei de Gauss,
podemos agora introduzir sua formulação quantitativa.
1
Como dissemos, ela relaciona o
uxo
elétrico através de uma superfície fechada com a carga líquida no interior desta superfície.
~
~
q
ε0
líquida
uxo elétrico atra-
S E · dS
integral do campo
vés de uma superfí-
elétrico sobre a su-
terna dividida por
cie fechada
perfície fechada
ε0
ΦE
=
H
=
carga
Então
in-
Observe que para se calcular o uxo elétrico necessitamos conhecer o campo elétrico
a superfície de integração. Ou o oposto: conhecendose o uxo elétrico
todo o espaço,
sobre
podemos, em
em princípio porque, para que
é preciso que se conheça a direção e o sentido de E~ em
princípio, calcular a intensidade de campo elétrico.
esta integral seja facilmente calculável,
(= q/ε0 )
Dissemos
para que se possa escolher uma superfície de integração conveniente, que facilite
a resolução. Isto ocorre devido ao fato da Lei de Gauss conter menos informações que a Lei de
Coulomb, e por isso ela não é, como esta última, capaz de sozinha permitir o cálculo de
~
E
a partir
da distribuição de cargas.
As situações físicas em que a Lei de Gauss é útil devem apresentar um alto grau de simetria,
e se reduzem praticamente a distribuições de cargas que apresentam simetria plana, cilíndrica
ou esférica.
Nestes casos a Lei de Gauss proporciona soluções simples e diretas.
Como estas
distribuições constituem em grande parte os problemas de interesse, tal lei é de grande valia para
o cálculo de campos elétricos.
A escolha da superfície gaussiana deve ser feita com grande cuidado, pois uma escolha inadequada pode complicar muito um problema simples. Você verá que, na prática, existem passos
que devem ser seguidos para que se possa resolver um problema através da Lei de Gauss. Caso
a distribuição não seja simétrica, o problema deve ser resolvido a partir da Lei de Coulomb. O
fato da aplicabilidade da Lei de Gauss se restringir à distribuições simétricas não quer dizer que
ela não seja válida para distribuições nãosimétricas. Esta lei
é válida em qualquer situação, mas
quando não há simetria, sua aplicabilidade ao cálculo de campos elétricos é bastante restrita.
No próximo capítulo você verá que o campo elétrico, uma grandeza vetorial, pode ser calculado
a partir de uma grandeza escalar:
o potencial elétrico.
II. Objetivos:
Ao término deste capítulo você deverá ser capaz de:
1)
Calcular uxos elétricos através de superfícies abertas ou fechadas, utilizando diretamente
a denição matemática.
2)
Enunciar verbalmente a Lei de Gauss, em termos de uxo elétrico e carga contida numa
superfície gaussiana.
3)
Escrever a lei de Gauss em sua forma integral e identicar cada um dos termos e símbolos
nela contidos.
4)
Calcular, usando a Lei de Gauss, a carga elétrica contida numa superfície fechada, dado o
campo elétrico ou o uxo elétrico através da superfície.
5)
Calcular, usando a Lei de Gauss, uxos elétricos através de superfícies fechadas, conhecida
a distribuição espacial de cargas.
2
6)
Calcular, usando a Lei de Gauss, o campo elétrico criado por distribuições simétricas de
cargas (simetria esférica, cilíndrica ou plana).
7)
Decidir se o cálculo do campo elétrico devido a uma dada distribuição de cargas deve ser
efetuado usandose a Lei de Gauss ou a Lei de Coulomb.
III. Procedimento sugerido:
a
{ Livrotexto: Fundamentos de Física, D. Halliday, R. Resnick e J.Walker, vol. 3, 4 ed.,
LTC, 1996.}
1.
Objetivo 1:
a) Leia as seções 251, 2, 3 e 4 (241, 2, e 3) do livrotexto. Atenção para o exemplo 251
(241).
b) Resolva os problemas 2, 3, 10 e 11 (2, 3, 6 e 9).
2.
Objetivos 2, 3 e 4:
a) Leia as seções 255, 7 e 8 (244 e 6) do livrotexto. Analise com cuidado os exemplos
encontrados.
b) Responda às questões 4, 5, 6 e 7.
c) Resolva os problemas 6, 7, 9 e 18 (, 5,
11 e
15) .
3.
Objetivo 5 e 6:
a) Leia as seções 256, 9, 10 e 11 (245, 7, 8 e 9) do livrotexto.
b) Explique com suas próprias palavras o fator
2
que diferencia a Eq.2512 (Eq.2411) da
Eq.2515 (Eq.2413).
c) Analise os exemplos 25-6 e 7 (246).
d) Responda às questões 8 e 10.
e) Resolva os problemas 22, 27, 28, 30, 32, 36, 45, 49 e 53 (16, 19, 21, 25, 27, 30, 37, 44 e
45).
IV. Respostas de problemas:
2)
Φ = −1, 5 × 10−2 N m2 /C .
6) carga no bastão
10)
= +q ; ΦS1 =
q
;
ε0
Φ S2 =
−q
;
ε0
ΦS 3 =
q
;
ε0
Φ S4 = 0
e
Φ S5 =
q
.
ε0
~ |.
πa2 | E
18) (a) -Q ; (b) -Q ; (c) -(Q+q).
22) (a)
0, 317 × 10−6 C
; (b)
28) (a)
2, 3 × 106 N/C ,
radial para fora; (b)
30) (b)
ρ(R2 )
.
2ε0 r
32) (a)
5, 30 × 107 N/C ;
36) (a) zero, (b)|
~ |=
E
(b)
0, 143 × 10−6 C .
4, 5 × 105 N/C ,
radial para dentro.
59, 9N/C .
σ
, para a esq. , (c) zero.
ε0
49) A curva é constituída por três funções:
~ 1 |= ρ(b3 −a23 ) , (r ≥ b); (b) | E
~ 2 |= ρ(r3 −a23 )
(a) | E
3ε0 r
3ε0 r
3
, (a ≤ r ≤ b)
e
(c)
~ 3 |= 0 , (r ≤ a).
|E
V. Questões:
254) Considere uma superfície gaussiana envolvendo parte da distribuição de cargas positivas mostrada na gura ao lado. (a) Quais são as cargas
que contribuem para o campo elétrico no ponto
P?
255) Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. O valor
do uxo
Φ
mudará se (a) a esfera for substituída por um cubo de mesmo volume; (b) a esfera for
substituída por um cubo de volume dez vezes menor; (c) a carga for afastada do centro da esfera,
permanecendo, entretanto, no seu interior; (d) a carga for deslocada para imediatamente fora da
esfera; (e) uma segunda carga for colocada próximo, e fora, da esfera; (f ) uma segunda carga for
colocada dentro da esfera?
256) Uma superfície envolve um dipolo elétrico. O que você pode dizer sobre o uxo elétrico
através desta superfície?
257) Suponha que a carga líquida contida em uma superfície gaussiana seja nula. Podemos
concluir da lei de Gauss que
E é igual a zero em todos os pontos sobre a superfície?
E é for nulo em todos os pontos sobre
é verdadeira, ou seja, se o campo elétrico
A recíproca
a superfície
gaussiana, a lei de Gauss exige que o carga líquida dentro desta superfície seja nula?
258) A lei de Gauss seria útil no cálculo do campo elétrico devido a três cargas puntiformes
iguais localizadas nos vértices de um triângulo equilátero? Explique.
2510) Será
E necessariamente nulo, no interior de um balão de borracha (isolante) carregado,
se o balão for (a) esférico ou (b) do formato d uma salsicha? Para cada forma, suponha que a
carga esteja uniformemente distribuída sobre a superfície. De que modo a situação se modicaria,
se o balão tivesse uma na camada de tinta condutora sobre sua superfície externa?
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