Dinâmica dos corpos rígidos

Dinâmica dos corpos rígidos
Movimento em 2D
Métodos de resolução
Num instante particular: Equações de movimento
Movimento finito: Princípio da conservação de energia
mecânica (forças conservativas)
Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Equações de movimento
Em cada instante: cada corpo rígido e também o conjunto de corpos
rígidos está em equilíbrio
Além das forças externas e, caso necessário, das forças internas é
necessário considerar as forças de inércia que actuam no sentido
contrário à aceleração e as forças de atrito
Equação de equilíbrio é uma equação vectorial para a resultante de
forças, ou seja corresponde em 2D a 3 equações escalares (por
exemplo 2 de somatório de forças em 2 direcções e uma que
representa o equilíbrio de momentos)
Sistemas de corpos: analogia com a estática, existem equações
globais ou relacionadas com cada corpo separadamente, 3 destas
equações são linearmente dependentes com as outras.
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Forças de inércia
Comprova-se que para a sua expressão são necessários momentos de
inércia de massas estudados no cap. 1
Massa uniformemente distribuída: centróide coincide com o centro de massa G
Movimento plano geral de cada corpo vai se representar como:
translação ~ G e rotação em torno de G
y
Translação ~ G

aG
G

mia G

ri
Actuação contra a aceleração
m i
Força de inércia de translação
x


 a G  dm  m a G

2ª lei de Newton
F=ma
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Rotação em torno de G
mv
Quantidade de movimento
Força de inércia de rotação
Vector, Unidade [kgm/s]
d
 HG
dt
onde HG é a quantidade
do movimento angular
2ª lei de Newton na forma alternativa Fdt=mdv
H G   ri  mi vi   ri  mi   ri 
y
i

ri
G
i

   mi   ri ri     ri  ri    mi ri 2   ri  ri
mi v i
i
i
m i

G é obrigatório
H G    r 2 dm   I G
x

IG
Momento polar de inércia
Força de inércia de rotação
Actuação contra a aceleração angular

 IG
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
As forças de inércia actuam no cento de massa:
a de translação tem intensidade igual ao produto de massa e da
intensidade de aceleração total e actua na direcção da aceleração, no
sentido oposto
a de rotação é um momento que roda no sentido oposto da aceleração
angular e tem intensidade igual ao produto do momento de inércia
baricéntrico de massa e da aceleração angular
Para a determinação das forças de inércia torna-se indispensável
determinar as acelerações no centro de gravidade de cada corpo
Quando a trajectória não é conhecida, não se podem distinguir as
componentes das acelerações em componentes normal e tangencial
Nos pontos de contacto de dois corpos rígidos as componentes
tangenciais de aceleração são iguais
Quando o movimento inicia-se do repouso, as velocidades inicias são
nulas e consequentemente as componentes de aceleração normal são
nulas, a determinação das tangenciais pode ser ajudada pelos CIRs
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Para determinar aceleração de qualquer ponto (B) do corpo rígido é
necessário saber a aceleração total de um ponto qualquer (A), a
velocidade angular e a aceleração angular
Propagação de acelerações
A é o ponto de referência


a
A
Rotação em torno de A
Translação com A
 B

a
A

a
2 AB
A
B

B
 AB

a
Aceleração total em B é a
resultante de todas as
componentes
2 AB
B
 AB
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Derrubamento
Translação
A linha de acção da força resultante
tem que atravessar a base para
evitar a rotação (derrubamento)
Rotação
Forças de atrito
Em cada ponto ou superfície de contacto: Teoria de Coulomb
Coeficiente de atrito estático e dinâmico (cinemático)
Em rolamento
Fa
F
N
G
mg G mg
Sem movimento
G
F
Em movimento (bloco)
Rolamento c/ escorregamento
(disco, esfera)
mg F  Fa  e N
Fa
N
Fa  c N
e  c
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Princípio da conservação da energia mecânica (forças conservativas)
Movimento finito, a diferença entre os estados
é dada na forma de distância percorrida
Desvantagem: 1 equação escalar (1 incógnita)
Mais sobre a energia potencial
V  mgh
m
Trabalho do peso
   mg   y fin  yini   mgh
y
V    mgh
h
Nível zero
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Energia cinética
A energia cinética tem duas partes:
a de translação tem valor igual à metade do produto de massa e da
intensidade de velocidade ao quadrado
a de rotação tem valor igual à metade do produto do momento de
inércia baricéntrico de massa e da velocidade angular ao quadrado
Para a determinação da energia cinética torna-se indispensável
determinar as velocidades no centro de gravidade

G v
TT 
1
mv2
2
TR 
1
I G 2
2

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Forças de atrito
Forças não-conservativas:
O trabalho depende do caminho percorrido,
Causam perca de energia mecânica irrecuperável (térmica, acústica, etc.)
► Não se deveria usar o princípio da conservação da energia mecânica
quando actuam as forças de atrito em escorregamento.
► Pode-se usar quando se introduz a perca de energia.
► A perca de energia corresponde ao trabalho executado pelas forças
de atrito.
Forças de atrito em rolamento não fazem trabalho, em cada instante cria-se
uma força no ponto de contacto, assim ela não faz trabalho porque não se
desloca (a velocidade do ponto de contacto é nula, assim ds=vdt=0)
Princípio da conservação da energia mecânica: a energia
mecânica mantém o seu valor em cada instante num sistema
conservativo;
É possível utilizar este princípio num sistema não-conservativo,
desde que se contabilize a perca de energia mecânica causada
pelas forças não-conservativas
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Para a energia cinética pode-se usar o CIR em vez do centro de
gravidade.

G v
T

1
1
2
T  ICIR   IG  md2 2
2
2
1
1
1
1
2
 IG 2  md  IG 2  mv2
2
2
2
2
CIR

d
1
1
mv2  I G 2
2
2

v
G
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Rolamento com escorregamento
Para contabilizar correctamente a perca de energia pelas forças de
atrito, tem que se separar a distância percorrida em parte
correspondente ao escorregamento e ao rolamento
Lança-se uma esfera com a velocidade indicada na figura abaixo

v0
0  0
Esfera
2 2
I G  mr
5

v1
a
s
Rolamento com deslizamento
(uniformemente desacelerado)
v1
1 
r
IG
Fa  c mg
a  c g
ma
mg
5 c g
Fa  c N IG  rc mg  
2r
N
a

r
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Tempo necessário para terminar o deslizamento
1r  v1
5c g
v1  v0  at  v0  cgt
1  0  t  0 
t
2r
2v 0
5v
5v
 t
, v1  0 , 1  0
7cg
7
7r
Distância percorrida
2
 2v 0 
1 2
2v 0 1
12v 02
 
s  s0  v 0 t  at  0  v 0
 cg
2
7cg 2
 7cg  49cg
Parte de rolamento
2

1 2 
1 5cg  2 v 0  
5v 02


 r 
r   0  0 t  t r  0  0 
2
2 2r  7cg   49cg

 

Parte de escorregamento
Verificação energética
12v 02
5v 02
v 02
d


49cg 49cg 7cg
2
2
2
1
1
1
1
5
v
1
2
5
v
v




mv02  mv12  I G 12  Fa d  m 0  
mr2  0   c mg 0
2
2
2
2  7  25
7cg
 7r 
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