Sem fundo - DEC/FCT/UNL
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Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais 1. Energia de deformação interna 1.1 Definição e pressupostos adoptados 1.2 Densidade da energia de deformação interna 1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta 1.4 Energia de deformação interna 2. Existência da solução do problema de elasticidade linear 3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear 4. Energia de deformação externa 5. Lei de conservação da energia 6. Energia potencial 7. Princípios variacionais 8. Princípio dos trabalhos virtuais 8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais 8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais 9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 1. Energia de deformação interna Ui 1.1 Definição e pressupostos adoptados Energia acumulada no corpo elástico devido ao trabalho das forças externas, usa-se o termo “acumulada” porque no caso de elasticidade depois de remover as cargas, o MC volta ao seu estado inicial com a libertação desta energia Energia de deformação interna pode-se chamar energia potencial elástica ou energia potencial das forças internas Pressupostos 1. Comportamento do material elástico 2. Lento e gradual aumento das cargas 3. Campo de temperatura mantém-se constante (processo de deformação adiabático) Tem que se estabelecer um nível zero estado natural W=0, estado inicial, sem carga, sem solicitações, Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 1.2 Densidade da energia de deformação interna Densidade tem o sentido de “por unidade de volume do material” d W* Lei constitutiva W d T 0 W d Densidade da energia complementar de deformação interna T d 0 W* W W* Nas expressões costuma-se omitir a “barra” Transformação de Legendre W W* T Adrien-Marie Legendre (1752-1833) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta Existem deformações iniciais da origem térmica W* T W * D T W E 1 T E 1 T T T W* D 2 2 W C T 1 E T 1 T T W C T 2 2 T T Equações constitutivas podem-se determinar a partir de energia de deformação Válido igualmente para a lei não-linear George Green (1793-1841) W W * Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Omitindo as deformações iniciais térmicas W W* 1 T 2 1 T 1 T W C 2 2 W é forma quadrática em termos da deformação 1 T 1 T W* D 2 2 W* é forma quadrática em termos da tensão 1.4 Energia de deformação interna U i WdV V Energia complementar de deformação interna U i * W * dV V Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 2. Existência da solução do problema de elasticidade linear Caso mais simples, lei constitutiva linear, não há deformações iniciais (cap. 6) Analogia c/ corpo rígido Para deslocar a esfera Equilíbrio Estável Energia potencial aumenta Equilíbrio Indiferente Energia potencial é igual Equilíbrio Instável Energia potencial diminui Condição necessária para assegurar a estabilidade do MC, ou seja para assegurar a existência da solução do problema de elasticidade é preciso que seja satisfeito 1 T W W* 0 2 W tem que ser forma quadrática, elíptica ou positivamente definida, ou seja o determinante da matriz de rigidez e de flexibilidade tem que ser positivo ou nulo Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear Prova pela contradição Pressuposto: existem duas soluções diferentes do mesmo problema de valores de fronteira Designa-se: u u 1 2 u * u1 u2 * u * T T u u 1 2 1 2 * C * C 1 2 1 2 Equações Deformações deslocamentos Equações Constitutivas Equações de Equilíbrio 1 f 0 Analisa-se: & 2 f 0 * 0 T * *dV 0 V Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Teoremas em analogia com a integração por partes dgx df x b a ,b f x dx dx f x gx a a ,b gx dx dx Teorema de divergência f 1 & Extensão para 3D T T v dV n V s vdS Teorema de Clapeyron ou de Green dV u dV u n̂ dS u dV T V V T s T T T Émile Clapeyron (1799-1864) V Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Voltando a prova de unicidade da solução * *dV (Teorema de Clapeyron) u* n̂ *dS u * *dV u* t*dS T V T T S V S T T u * t * dS u * t *dS 0 S S u T + Condições de fronteira p u u & u u em S t p & t p em S 1 2 0 0 1 u 2 0 Su Sp S 0 p T * *dV 0 V Quando Su Ø Quando Su Ø u u u u 1 2 1 2 u * 0 t * 0 1 2 em Su em Sp & 1 2 No 1º problema de valores de fronteira as soluções de deslocamento diferem pelo movimento de corpo rígido (as cargas tem que assegurar o equilíbrio global) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 4. Energia de deformação externa Ue = trabalho das forças externas P Ex.: Uma força concentrada w assumindo que o deslocamento aumenta proporcionalmente com o aumento da força: P=kw e w=P/k U Pw dw e w 0 U * wPdP e P 0 Caso geral U Pw dw e w w 0 0 U * wPdP e P P 0 0 P 1 P2 1 dP Pw k 2 k 2 Impostos 1 T T U u f dV u p 0 dS Sp 2 V e 1 1 2 kw dw kw Pw 2 2 1 T U * t u 0 dS 2 Su e Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 5. Lei de conservação da energia Quando as condições geométricas são homogéneas, ou seja u 0em Su Ui Ue Quando as condições estáticas são homogéneas e as forças de volume nulas t 0em Sp & f 0em V 6. Energia potencial Ui* Ue* Energia potencial = - trabalho mecânico no sistema conservativo Energia potencial das forças exteriores L u f dV u p0 dS T V T Sp L 2U e Energia potencial complementar das forças exteriores L* t u 0 dS L* 2Ue* Su T Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Energia potencial total Ui L WdV u f dV u p0 dS T V T V Sp Energia potencial complementar total * U * L* W* dV t u 0 dS T i V Su Deslocamentos geometricamente admissíveis 1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes 2. satisfazem as condições de fronteira geométricas 3. deformações admissíveis calculam-se usando as relações deformações - deslocamentos Tensões estaticamente admissíveis 1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes 2. satisfazem as condições de fronteira estáticas 3. satisfazem as condições de equilíbrio Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 7. Princípios variacionais Princípio de Lagrange De todos os campos dos deslocamentos (e das deformações) geometricamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional Princípio de Castigliano De todos os campos das tensões estaticamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional * Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 8. Princípio dos trabalhos virtuais Virtual = não real, mas não precisa de ser infinitesimal Deslocamentos geometricamente admissíveis Tensões estaticamente admissíveis Sem qualquer ligação entre si pelas relações constitutivas dV f udV p udS t u dS T T V T V Prova directamente pelo teorema de Clapeyron V T 0 Sp 0 Su dV dV u dV u n̂ dS u dV u tdS u f dV u tdS u p dS u f dV T T V T V T T s V T T s V T su T 0 T sp T 0 V Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais Deslocamento virtual Real, ou seja estaticamente admissível u Real, ou seja geometricamente admissível u u geometricamente admissível u u u0em Su u u u0 em Su 2 u 3 u 0em Su T 2 u u T dV f T u u dV V V T T p u u dS t S 0 S u 0 dS PTV para u T T T T dV f u dV p u dS t V V S 0 S u0 dS PTV para p u p u T T T dV f u dV p V V S 0 udS p 2U i 2U e Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais u Tensão virtual Real, ou seja geometricamente admissível t p0 em Sp Real, ou seja estat. admiss. E. adm. t t p0 em Sp t 0em Sp t n̂ PTV para 0 dV f udV p udS t t u dS T V T 2 f 0 3 T V PTV para 2 f 0 3 Sp T 0 0 Su T T T T dV f u dV p u dS t V V S 0 S u0 dS p T T dV t u 0 dS V S u u 2Ui* 2Ue* Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais Princípio de Lagrange Ui L WdV u f dV u p0 dS T V u u V Sp u, u geometricamente admissível 0 real T u dV u f dV u p0 dS 0 T T V T V Sp PDV Princípio de Castigliano * U i* L* W* dV t u 0 dS T V estaticamente admissível real * 0 Su * t , t * dV t u 0 dS 0 T V T Su PFV Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
