18/01/2016 LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Esp. Fabiano Taguchi [email protected] http://fabianotaguchi.wordpress.com Lógica é usada para guiar nossos pensamentos ou ações na busca da solução. “ LÓGICA ◉ A lógica está correta se conseguirmos atingir nosso objetivo; ◉ É a habilidade fundamental para se resolver problemas de programação de computadores; ◉ Desenvolver e aperfeiçoar a técnica do pensamento. 1 18/01/2016 Existe lógica no dia-a-dia? “ Argumento, preposição e predicado “ ALFABETO DA LÓGICA PROPOSICIONAL Constituído por: a) Símbolos de pontuação: () , . b) Símbolos de verdade: True ou false c) Símbolos proposicionais: p, q, r, s, p¹, q¹, r¹, s¹ d) Conectivos proposicionais: ⌐, ^, v, ->, <-> 2 18/01/2016 ARGUMENTO Argumento é uma sequencia de frases (proposições) das quais uma é justificada pelas outras. A frase justificada é chamada de conclusão. As frases que a justificam conhecidas por premissas. são também EXEMPLOS 1. Todas as aves voam. 2. O pinguim é uma ave. 3. Logo, o Pinguim voa. 1. O Batman não voa. 2. O Batman é um morcego. 3. Os morcegos são mamíferos. 4. E os mamíferos não voam. PREMISSAS Termos mais usados para premissas: Desde que Como Porque Assumindo que Visto que Admitindo que Isto é verdade porque A razão é que Supondo-se que Como consequência de Em vista de Sabendo-se que Como mostrado pelo fato que 3 18/01/2016 CONCLUSÕES Termos mais usados para conclusões: Logo Portanto Assim Por conseguinte Dessa maneira Neste caso Daí De modo que Então Assim sendo Segue-se que Resulta que O (a) qual implica que Podemos deduzir que VALIDADE A Terra tem luz própria? Uma forma de buscar reposta é procurar um termo intermediários que se relacione com outros termos da pergunta. Um planeta não tem luz própria A Terra é um planeta. Logo, a Terra não tem luz própria. VALIDADE E VERDADE ◉ Verdade e falsidade: Propriedades das proposições e nunca dos argumentos. ◉ Validade ou invalidade: Propriedade dos argumentos que dizem respeito a conclusão ser ou não válida. 4 18/01/2016 VALIDADE E VERDADE Toda baleia é um mamífero. Todo mamífero tem pulmões. Logo, toda baleia tem pulmões. O argumento é válido e a conclusão verdadeira. Neste caso todas as premissas são verdadeiras. VALIDADE E VERDADE Todos os peixes têm asas Todos os pássaros são peixes Logo, todos os pássaros têm asas. As premissas são falsas e a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. VALIDADE E VERDADE Toda aranha tem seis pernas. Todo ser de seis pernas tem asas. Logo, toda aranha tem asas. As duas premissas são falsas. O argumento é válido e a conclusão é falsa. 5 18/01/2016 ARGUMENTOS Um argumento é válido se a conclusão é verdadeira. Nesse caso, diz-se que a conclusão é uma consequência lógica das premissas. 1. Todos os cães voam. 2. O Snoopy é um cão. 3. Logo o Snoopy voa. ARGUMENTOS Não existe argumento válido em que as premissas são verdadeiras e a conclusão seja falsa. 1. Colombo descobriu a América. 2. Logo, Cabral não descobriu o Brasil. ARGUMENTOS SÓLIDOS Normalmente estamos interessados em argumentos sólidos, isto é, que sejam válidos, consequentemente a conclusão também será verdadeira. 1. Todas as aves respiram. 2. O Piu Piu é uma ave. 3. Logo o Piu Piu respira. 6 18/01/2016 CONCLUSÕES 1. Se um animal não respira morre. 2. A respiração requer ar. 3. Não há ar dentro de água. 4. O Snoopy é um animal. 5. Todos os cães ladram 6. Dentro de água não se pode respirar Lógica de 2 e 3 7. Se o Snoopy não respira morre Lógica de 1 e 4 8. O Snoopy morre dentro de água Lógica de 6 e 7 PROPOSIÇÕES Uma proposição é uma sentença que deve receber apenas o valor verdadeiro ou falso, e não pode ser ambígua. Proposição possui um valor lógico. Os casos abaixo são proposições? ◉ 2+2=4 ◉ 2+2=5 PROPOSIÇÕES Exemplos para analisar: ◉ ◉ ◉ ◉ O mar é azul. Manaus é a capital do Pará ou Amazonas? O Brasil é uma país da América do Sul. A Bahia é um estado do sul do Brasil. 7 18/01/2016 PROPOSIÇÕES ◉ “Sete mais dois é igual a nove.” É uma declaração afirmativa, logo é uma proposição. O valor logico é verdadeiro. PROPOSIÇÕES ◉ “Belém não é a capital do Brasil.” É uma declaração negativa, logo é uma proposição. O valor logico é verdadeiro. PROPOSIÇÕES ◉ “O dobro de cinco é 10?” É uma pergunta e não declaração, logo não é proposição. Não sendo proposição, não podemos atribuir valor lógico. 8 18/01/2016 PROPOSIÇÕES ◉ Ele é um estudante universitário. Não é preposição já que depende da referência ao pronome ele. ◉ X+Y>0 Não é proposição, pois depende dos valores de X e Y. O QUE NÃO É Proposição não é: ◉ Sentença exclamativa = Feliz Aniversário! ◉ Sentença interrogativa = Como é seu nome? ◉ Sentença imperativa = Estude mais. SENTENÇAS ABERTAS Quando em alguma proposição substituímos alguns (ou todos os) componentes por variáveis, obtemos uma sentença aberta. Seja a proposição “Magda é uberlandense”, se substituímos o nome Magda pela variável X, obtemos uma sentença aberta. 9 18/01/2016 SENTENÇAS ABERTAS EXEMPLOS DE SENTENÇAS ABERTAS ◉ X é filho de Y. ◉ X – Y = 12 ◉ Se x é sobrinho de y, então, x é primo de z. PROPOSIÇÕES SIMPLES Não é constituída de mais proposições. Exemplos: ◉ Dilma é presidente ◉ A França é a atual campeã mundial de futebol. PROPOSIÇÕES SIMPLES Podemos considerá-las como frases formadas por apenas uma oração que exprime apenas um fato. Representados por letras latinas minúsculas (p, q, r, s..) ◉ Tiradentes foi enforcado (p) ◉ O número 25 é um quadrado perfeito (q) 10 18/01/2016 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS É constituída de duas ou mais proposições simples. Exemplos: ◉ 1 é impar e 2 é par. ◉ Se José é engenheiro, então ele sabe matemática. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições compostas também são representadas por letras minúsculas latinas (p, q, r, s..). ◉ Paulo é estudioso e Maria é bonita. ◉ p = Paulo é estudioso ◉ q = Maria é bonita PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Podem ser usados símbolos para definir expressões lógicas mais complexas a partir de expressões mais simples, para isso: SIMBOLOGIA OPERADOR AÇÃO ~ Não (Operador unário) Inverte o valor da sentença ^ (Conjunção) E (Operador binário) Une duas proposições (mas) v (Disjunção) OU (Operador binário) Une duas proposições 11 18/01/2016 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ◉ p = Está quente ◉ q = Está ensolarado Não está quente, mas está ensolarado. Tradução = ~p ^ q. Não está quente nem ensolarado. Tradução = ~p ^ ~q PREDICADOS ◉ Todos os homens são mortais. ◉ Alguns astronautas foram à Lua. Os exemplos acima não fazem referência a um ser especial, e sim um conjunto de propriedades, essas propriedades são chamadas de predicados. HORA DE PRATICAR 12 18/01/2016 EXERCÍCIOS 01 – Quais das seguintes sentenças são proposições? a) 3 não é um número par b) A Terra não é redonda c) X > 5 d) Você fala francês? e) Esta declaração é falsa. EXERCÍCIOS 02 – Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das sentenças: a) O número 17 é primo. b) Fortaleza é a capital do Maranhão. c) Tiradentes morreu afogado. d) (3 + 5)² = 3² + 5² e) -1 < - 7 EXERCÍCIOS 03 – Seja p a proposição “Jorge é alto” e q a proposição “Jorge é elegante”, traduza para a linguagem de lógica proposicional ase seguintes proposições: a) Jorge é alto e elegante. b) Jorge é alto mas não é elegante. 13 18/01/2016 EXERCÍCIOS 04 – Marque as sentenças abaixo que representam proposições simples ou compostas. Não sendo proposição justifique. a) ( ) Os gatos têm três patas. b) ( c) ( ) João é alto. ) Ela é bonita. d) ( ) A casa é pequena. EXERCÍCIOS e) ( f) ( ) Quem está batendo à porta? ) Talvez eu vá ao teatro. g) ( h) ( )2+2=4 )X+Y=8 i) j) ) O planeta Marte é habitado. ) Possivelmente choverá hoje. ( ( k) ( ) Falar é fácil. Difícil é fazer. l) ) Quem falou? ( EXERCÍCIOS 05 – Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira. Por isso é bonito, já que tudo o que é desenhado por Siza Vieira é bonito. 14 18/01/2016 EXERCÍCIOS Premissa 1: Tudo o que é desenhado por Siza Vieira é bonito. Premissa 2: O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira. Conclusão: Logo, o pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira é bonito. EXERCÍCIOS 05 – Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: • Não podes ser um bom filósofo se não sabes argumentar. Ora, tu sabes argumentar, portanto podes ser um bom filósofo. EXERCÍCIOS Premissa 1: Não podes ser um bom filósofo se não sabes argumentar. Premissa 2: Tu sabes argumentar. Conclusão: Logo, tu podes ser um bom filósofo. 15 18/01/2016 EXERCÍCIOS 05 – Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: • Aguiar foi multado porque foi apanhado sem os documentos do carro. EXERCÍCIOS Premissa 1 (oculta): As pessoas que são apanhadas sem os documentos do carro são multadas. Premissa 2: Aguiar foi apanhado sem os documentos do carro. Conclusão: Logo, Aguiar foi multado. 16