- Fabiano Taguchi

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18/01/2016
LÓGICA
MATEMÁTICA
Prof. Esp. Fabiano Taguchi
[email protected]
http://fabianotaguchi.wordpress.com
Lógica é usada para guiar nossos
pensamentos ou ações na busca
da solução.
“
LÓGICA
◉ A lógica está correta se conseguirmos atingir nosso
objetivo;
◉ É a habilidade fundamental para se resolver problemas
de programação de computadores;
◉ Desenvolver e aperfeiçoar a técnica do pensamento.
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Existe lógica no dia-a-dia?
“
Argumento, preposição e
predicado
“
ALFABETO DA LÓGICA
PROPOSICIONAL
Constituído por:
a) Símbolos de pontuação: () , .
b) Símbolos de verdade: True ou false
c) Símbolos proposicionais: p, q, r, s, p¹, q¹, r¹, s¹
d) Conectivos proposicionais: ⌐, ^, v, ->, <->
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ARGUMENTO
Argumento é uma sequencia de frases
(proposições) das quais uma é justificada pelas
outras. A frase justificada é chamada de
conclusão.
As frases que a justificam
conhecidas por premissas.
são
também
EXEMPLOS
1. Todas as aves voam.
2. O pinguim é uma ave.
3. Logo, o Pinguim voa.
1. O Batman não voa.
2. O Batman é um morcego.
3. Os morcegos são mamíferos.
4. E os mamíferos não voam.
PREMISSAS
Termos mais usados para premissas:
Desde que
Como
Porque
Assumindo que
Visto que
Admitindo que
Isto é verdade porque
A razão é que
Supondo-se que
Como consequência de
Em vista de
Sabendo-se que
Como mostrado pelo fato que
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CONCLUSÕES
Termos mais usados para conclusões:
Logo
Portanto
Assim
Por conseguinte
Dessa maneira
Neste caso
Daí
De modo que
Então
Assim sendo
Segue-se que
Resulta que
O (a) qual implica que
Podemos deduzir que
VALIDADE
A Terra tem luz própria?
Uma forma de buscar reposta é procurar um termo
intermediários que se relacione com outros termos da
pergunta.
Um planeta não tem luz própria
A Terra é um planeta.
Logo, a Terra não tem luz própria.
VALIDADE E VERDADE
◉ Verdade e falsidade: Propriedades das proposições e
nunca dos argumentos.
◉ Validade ou invalidade: Propriedade dos argumentos
que dizem respeito a conclusão ser ou não válida.
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VALIDADE E VERDADE
Toda baleia é um mamífero.
Todo mamífero tem pulmões.
Logo, toda baleia tem pulmões.
O argumento é válido e a conclusão verdadeira.
Neste caso todas as premissas são verdadeiras.
VALIDADE E VERDADE
Todos os peixes têm asas
Todos os pássaros são peixes
Logo, todos os pássaros têm asas.
As premissas são falsas e a conclusão é verdadeira.
Logo o argumento é válido.
VALIDADE E VERDADE
Toda aranha tem seis pernas.
Todo ser de seis pernas tem asas.
Logo, toda aranha tem asas.
As duas premissas são falsas.
O argumento é válido e a conclusão é falsa.
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ARGUMENTOS
Um argumento é válido se a conclusão é verdadeira.
Nesse caso, diz-se que a conclusão é uma consequência
lógica das premissas.
1. Todos os cães voam.
2. O Snoopy é um cão.
3. Logo o Snoopy voa.
ARGUMENTOS
Não existe argumento válido em que as premissas são
verdadeiras e a conclusão seja falsa.
1. Colombo descobriu a América.
2. Logo, Cabral não descobriu o Brasil.
ARGUMENTOS SÓLIDOS
Normalmente estamos interessados em argumentos
sólidos, isto é, que sejam válidos, consequentemente a
conclusão também será verdadeira.
1. Todas as aves respiram.
2. O Piu Piu é uma ave.
3. Logo o Piu Piu respira.
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CONCLUSÕES
1. Se um animal não respira morre.
2. A respiração requer ar.
3. Não há ar dentro de água.
4. O Snoopy é um animal.
5. Todos os cães ladram
6. Dentro de água não se pode respirar
Lógica de 2 e 3
7. Se o Snoopy não respira morre
Lógica de 1 e 4
8. O Snoopy morre dentro de água
Lógica de 6 e 7
PROPOSIÇÕES
Uma proposição é uma sentença que deve receber
apenas o valor verdadeiro ou falso, e não pode ser
ambígua. Proposição possui um valor lógico.
Os casos abaixo são proposições?
◉ 2+2=4
◉ 2+2=5
PROPOSIÇÕES
Exemplos para analisar:
◉
◉
◉
◉
O mar é azul.
Manaus é a capital do Pará ou Amazonas?
O Brasil é uma país da América do Sul.
A Bahia é um estado do sul do Brasil.
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PROPOSIÇÕES
◉ “Sete mais dois é igual a nove.”
É uma declaração afirmativa, logo é uma proposição.
O valor logico é verdadeiro.
PROPOSIÇÕES
◉ “Belém não é a capital do Brasil.”
É uma declaração negativa, logo é uma proposição.
O valor logico é verdadeiro.
PROPOSIÇÕES
◉ “O dobro de cinco é 10?”
É uma pergunta e não declaração, logo não é proposição.
Não sendo proposição, não podemos atribuir valor lógico.
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PROPOSIÇÕES
◉ Ele é um estudante universitário.
Não é preposição já que depende da referência ao
pronome ele.
◉ X+Y>0
Não é proposição, pois depende dos valores de X e Y.
O QUE NÃO É
Proposição não é:
◉ Sentença exclamativa = Feliz Aniversário!
◉ Sentença interrogativa = Como é seu nome?
◉ Sentença imperativa = Estude mais.
SENTENÇAS ABERTAS
Quando em alguma proposição substituímos alguns (ou
todos os) componentes por variáveis, obtemos uma
sentença aberta.
Seja a proposição “Magda é uberlandense”, se
substituímos o nome Magda pela variável X, obtemos uma
sentença aberta.
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SENTENÇAS ABERTAS
EXEMPLOS DE SENTENÇAS ABERTAS
◉ X é filho de Y.
◉ X – Y = 12
◉ Se x é sobrinho de y, então, x é primo de z.
PROPOSIÇÕES SIMPLES
Não é constituída de mais proposições.
Exemplos:
◉ Dilma é presidente
◉ A França é a atual campeã mundial de futebol.
PROPOSIÇÕES SIMPLES
Podemos considerá-las como frases formadas por apenas
uma oração que exprime apenas um fato.
Representados por letras latinas minúsculas (p, q, r, s..)
◉ Tiradentes foi enforcado (p)
◉ O número 25 é um quadrado perfeito (q)
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PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
É constituída de duas ou mais proposições simples.
Exemplos:
◉ 1 é impar e 2 é par.
◉ Se José é engenheiro, então ele sabe matemática.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
As proposições compostas também são representadas
por letras minúsculas latinas (p, q, r, s..).
◉ Paulo é estudioso e Maria é bonita.
◉ p = Paulo é estudioso
◉ q = Maria é bonita
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Podem ser usados símbolos para definir expressões
lógicas mais complexas a partir de expressões mais
simples, para isso:
SIMBOLOGIA
OPERADOR
AÇÃO
~
Não (Operador unário)
Inverte o valor da sentença
^ (Conjunção)
E (Operador binário)
Une duas proposições (mas)
v (Disjunção)
OU (Operador binário)
Une duas proposições
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PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
◉ p = Está quente
◉ q = Está ensolarado
Não está quente, mas está ensolarado.
Tradução = ~p ^ q.
Não está quente nem ensolarado.
Tradução = ~p ^ ~q
PREDICADOS
◉ Todos os homens são mortais.
◉ Alguns astronautas foram à Lua.
Os exemplos acima não fazem referência a um ser
especial, e sim um conjunto de propriedades, essas
propriedades são chamadas de predicados.
HORA DE
PRATICAR
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EXERCÍCIOS
01 – Quais das seguintes sentenças são
proposições?
a) 3 não é um número par
b) A Terra não é redonda
c) X > 5
d) Você fala francês?
e) Esta declaração é falsa.
EXERCÍCIOS
02 – Determine o valor lógico (V ou F) de cada
uma das sentenças:
a) O número 17 é primo.
b) Fortaleza é a capital do Maranhão.
c) Tiradentes morreu afogado.
d) (3 + 5)² = 3² + 5²
e) -1 < - 7
EXERCÍCIOS
03 – Seja p a proposição “Jorge é alto” e q a
proposição “Jorge é elegante”, traduza para a
linguagem de lógica proposicional ase seguintes
proposições:
a) Jorge é alto e elegante.
b) Jorge é alto mas não é elegante.
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EXERCÍCIOS
04 – Marque as sentenças abaixo que
representam
proposições
simples
ou
compostas. Não sendo proposição justifique.
a) (
) Os gatos têm três patas.
b) (
c) (
) João é alto.
) Ela é bonita.
d) (
) A casa é pequena.
EXERCÍCIOS
e) (
f) (
) Quem está batendo à porta?
) Talvez eu vá ao teatro.
g) (
h) (
)2+2=4
)X+Y=8
i)
j)
) O planeta Marte é habitado.
) Possivelmente choverá hoje.
(
(
k) (
) Falar é fácil. Difícil é fazer.
l)
) Quem falou?
(
EXERCÍCIOS
05 – Identifique as premissas e as justificativas
dos argumentos:
O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza
Vieira. Por isso é bonito, já que tudo o que é desenhado
por Siza Vieira é bonito.
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EXERCÍCIOS
Premissa 1: Tudo o que é desenhado por Siza Vieira é
bonito.
Premissa 2: O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi
desenhado por Siza Vieira.
Conclusão: Logo, o pavilhão de Portugal na Expo 98 foi
desenhado por Siza Vieira é bonito.
EXERCÍCIOS
05 – Identifique as premissas e as justificativas
dos argumentos:
•
Não podes ser um bom filósofo se não sabes
argumentar. Ora, tu sabes argumentar, portanto podes
ser um bom filósofo.
EXERCÍCIOS
Premissa 1: Não podes ser um bom filósofo se não sabes
argumentar.
Premissa 2: Tu sabes argumentar.
Conclusão: Logo, tu podes ser um bom filósofo.
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EXERCÍCIOS
05 – Identifique as premissas e as justificativas
dos argumentos:
•
Aguiar foi multado porque foi apanhado sem os
documentos do carro.
EXERCÍCIOS
Premissa 1 (oculta): As pessoas que são apanhadas
sem os documentos do carro são multadas.
Premissa 2: Aguiar foi apanhado sem os documentos do
carro.
Conclusão: Logo, Aguiar foi multado.
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