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Introdução a Lógica
PROF. NAYARA ZAGO BASSETTO
Estudar Lógica... para quê?
Pensar “corretamente” encadeando o
raciocínio.
 Formalizar o raciocínio lógico: tornar explícito
aquilo que é implícito.
 Facilitar a programação lógica: Circuitos
lógicos, Fluxogramas, Modelagem de dados,
Linguagens de montagem e linguagens
estruturadas de computação.
 Solucionar problemas com uso de técnicas de
inteligência artificial: Lógica “fuzzy”, Redes
Neurais, Algoritmos genéticos.

História e evolução da lógica

A lógica iniciou-se com Aristóteles (384-322
A.C.), em sua obra Organum (“ferramenta”)
estabeleceu os princípios gerais e sólidos que
domina o pensamento ocidental há mais de 2
mil anos.

Os filósofos gregos utilizavam a Lógica em suas
discussões sob formas de sentenças afirmativas
ou negativas.
 Leibniz, por volta de 1666, a utilizou em vários
trabalhos chamando-a de calculus ratiotinator
originando a idéia da lógica matemática.
História e evolução da lógica
Euler, no século XVIII, fez a 1a representação
gráfica entre sentenças (proposições).
 Entre 1847 a 1859 DeMorgan e Boole publicaram
vários tratados e livros que deram uma base
algébrica e formal para a lógica.
 Em 1879, Fregue provoca uma revolução ao
desenvolver um sistema de representação
simbólica: a lógica de predicados.
 Em 1937/1938 Nakashima e Shannon aplicam a
álgebra de Boole em circuitos com relés dando
origem ao 1o computador eletro-mecânico.

História e evolução da lógica

A representação gráfica de Euler é ampliada
por Venn no século XIX, Veitch em 1952 e
Karnaugh em 1953 (mapas Veitch- Karnaugh).
 Na década de 60 Zadek estabeleceu a base
formal da teoria de conjuntos para a lógica
“fuzzy” ou difusa.
“A Lógica tem por objeto o estudo das leis
gerais do pensamento e as formas de aplicálas corretamente na investigação da
verdade”.
Evolução da lógica: argumentos

Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio
que, a partir de conhecimentos anteriores considerados
verdadeiros (axiomas), permitiam obter novos
conhecimentos (novas verdades):
– Essa forma de encadeamento é chamado, em
Lógica, de argumento.
Argumento é coleção de informações (sentenças ou
proposições) em que uma delas, chamada
conclusão, é obtida a partir das outras, chamadas
premissas.
– As afirmações envolvidas são chamadas proposições;
– Usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão,
e as demais, são as premissas.
Evolução da lógica: argumentos

Em um argumento válido, as premissas são
provas da verdade da conclusão.
 Eis um exemplo de argumento válido:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu ganhei na Loteria
Logo, sou rico

Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das
duas premissas, esse argumento é considerado válido.
“A Lógica formal se preocupa com o relacionamento
entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a
forma do raciocínio, e não com seu conteúdo”.
“O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é
ou não uma conseqüência lógica das premissas”.
Evolução da lógica: argumentos

A validade do argumento está ligada à forma
pela qual ele se apresenta, como mostrado no
enunciado:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico

Embora seja semelhante ao anterior, tem outra
forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue
logicamente das premissas, portanto, não é um
argumento válido.
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10
Argumentos: dedução e indução

Argumentos dedutivos: as premissas fornecem
uma prova conclusiva da veracidade da
conclusão.
– Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se
verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão.

Argumentos indutivos: as premissas nem sempre
apresentam provas da veracidade da conclusão, mas,
apenas indicações dessa veracidade:
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
“ Eles não são válidos ou inválidos, mas costumam ser
avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade
com que suas conclusões sejam estabelecidas”.
EXEMPLOS
Todos os homens são mortais
Todos os atenienses são homens.
Todos os atenienses são mortais.
Todos os homens são mortais
Sócrates é homem.
Sócrates é mortal
Nenhum astro é perecível
Todas as estrelas são astros
Nenhuma estrela é perecível.
Nenhum tirano é amado.
Dionísio é tirano.
Dionísio não é amado.
Proposições e Predicados

Como a Lógica das proposições singulares é mais
simples que a lógica que trata também com conjuntos
de objetos, o estudo é separado em duas partes:
– O Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se
ocupa das proposições singulares.
Se o cão é mamífero, então mama; Premissa Se A, então B
O cão é mamífero;
Premissa Vale para A
Logo, o cão mama.
Conclusão Então, vale B
– O Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que
trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades.
Todos os homens são mortais.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
Premissa
Todo B é A
Premissa
Algum B é C
Conclusão Logo, algum C é A.
A Lógica e seus “Princípios”

A Lógica Formal repousa sobre três princípios
fundamentais. São eles:
– Principio
da Identidade: toda proposição é
idêntica a si próprio, (se uma afirmação é
verdadeira, ela é um axioma).
– Princípio da Não Contradição: Uma proposição
não pode, simultaneamente, ser verdadeira e
falsa. Isto é, de duas afirmações contraditórias,
uma necessariamente é falsa.
– Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição
é verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira
opção.
Proposições: linguagem e dicotomia

A lógica estuda a validade de argumentos.
 A linguagem utilizada é fundamental, pois por meio
dela expressamos as idéias em nossos raciocínios.
 O mundo apresenta situações dicotômicas, com duas
condições ou dois estados que mutuamente se
excluem:
Verdadeiro (V)
Falso (F)
Ligado
Desligado
Sim (S)
Não (N)
Branco
Preto
1
0
Proposições e conectivos

Conectivos são expressões usadas para,a partir de
proposições conhecidas, gerar novas proposições.

Em geral usam-se letras latinas A, B, C,... (a,b,c,..) para
indicar proposições arbitrárias.
Conectivo
Função
Símbolo (a, b)
Significado
Não
negação
¬a ou a ou a’
não a
e
conjunção
a ۸ b ou a • b
a e b
ou
disjunção
a ۷ b ou a + b
a ou b
se .....não
condicional
a  b ou a  b
Se a, então b
se..e somente..se
bicondicional
a  b ou a  b
a se, e somente se b
Tabelas-verdade

Tabela-verdade é uma forma de representar todas as
combinações lógicas possíveis. Assim dados dois
interruptores/portas lógicas a e b, teremos:
 1) s = a
2) s = a + b (a ۷ b) 3) s = a • b (a ۸ b)
a
b
s=a+b
a
b
s=a•b
a
s=a
0 (F)
1 (V)
0 (F) 0 (F)
0 (F)
0 (F) 0 (F)
0 (F)
1 (V)
0 (F)
0 (F) 1(V)
1 (V)
0 (F) 1 (V)
0 (F)
1 (V) 0 (F)
1 (V)
1 (V) 0 (F)
0 (F)
1 (V) 1 (V)
1 (V)
1 (V) 1 (V)
1 (V)