Trigonometria 1 - PET Engenharias

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2
Trigonometria 1
Vitor Bruno - Engenharia Civil
Definição
A palavra trigonometria é de origem grega, onde:
Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração
• Relação entre ângulos e distâncias;
• Origem na resolução de problemas práticos
relacionados principalmente à navegação e à
Astronomia.
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Aplicações
Encontramos aplicações diversas da Trigonometria
na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na
Acústica, entre outras;
Exemplos:
• Altura de um prédio através de sua sombra;
•
•
Largura de rios e montanhas;
Distância a ser percorrida em uma pista circular
de atletismo.
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Classificação dos triângulos
Quanto aos tamanhos dos lados
•
Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento;
•
Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento;
•
Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes.
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Classificação dos triângulos
Quanto as medidas dos ângulos:
•
Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90°);
•
Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90°);
•
Retângulo: 1 ângulo reto (90°).
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Trigonometria no Triangulo Retângulo
Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo:
α + β + 90° = 180°
⇒ α + β = 90°
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Trigonometria no Triangulo Retângulo
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo
reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto
é chamado hipotenusa.
Teorema de Pitágoras:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
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Trigonometria no Triangulo Retângulo
Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo:
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo
define-se 6 razões trigonométricas:
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
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Trigonometria no Triangulo Retângulo
Com base nas relações verifica-se facilmente que:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛽; cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽;
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛽.
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
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Vamos praticar...
Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aos
lados, aos ângulos e encontre os valores das
incógnitas.

x
y
62 m
b

7m
a
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Algumas relações encontradas
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
𝑠𝑒𝑛
1
2
2
2
3
2
1
0
-1
0
cos
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
1
𝑡𝑔
3
3
1
∄
0
∄
0
3
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Vamos praticar...
EXERCÍCIO 2:
Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100m da
base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta
do teodolito está a 1,70m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre?
(Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)= 0,87 e tg(30º)= 0,58. )
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Vamos praticar...
EXERCÍCIO 3:
Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu
“caimento” é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado
da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem
3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado
dessa casa.(Dados: sen(20º)=0,34 ; cos(20º)= 0,94 e tg(20º)=0,36).
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