CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Trigonometria 1 Gutemberg Filho- Engenharia Civil Definição A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração • Relação entre ângulos e distâncias; • Origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia. 2 Aplicações Encontramos aplicações diversas da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, entre outras; Exemplos: • Altura de um prédio através de sua sombra; • • Largura de rios e montanhas; Distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo. 3 Classificação dos triângulos Quanto aos tamanhos dos lados • Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento; • Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento; • Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes. 4 Classificação dos triângulos Quanto as medidas dos ângulos: • Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90°); • Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90°); • Retângulo: 1 ângulo reto (90°). 5 Trigonometria no Triangulo Retângulo Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo: α + β + 90° = 180° ⇒ α + β = 90° 6 Trigonometria no Triangulo Retângulo Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Teorema de Pitágoras: 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 7 Trigonometria no Triangulo Retângulo Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo: Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se 6 razões trigonométricas: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 8 Trigonometria no Triangulo Retângulo Com base nas relações verifica-se facilmente que: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛽; cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽; 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 9 Vamos praticar... Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aos lados, aos ângulos e encontre os valores das incógnitas. x y 62 m b 7m a 10 Algumas relações encontradas 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 𝑠𝑒𝑛 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 cos 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 𝑡𝑔 3 3 1 ∄ 0 ∄ 0 3 11 Vamos praticar... EXERCÍCIO 2: Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100m da base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre? (Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)= 0,87 e tg(30º)= 0,58. ) 12 Vamos praticar... EXERCÍCIO 3: Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu “caimento” é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.(Dados: sen(20º)=0,34 ; cos(20º)= 0,94 e tg(20º)=0,36). 13 Exemplo Obrigada pela atenção! www.facebook.com/PETEngenharias 27