Origens da Mecânica Quântica

Origens da Mecânica Quântica
Química Quântica
Profa. Dra. Carla Dalmolin
§  A quantização da energia
§  Dualidade partícula-onda
§  Princípio da Incerteza
Origens da Mecânica Quântica
¤ A partir de 1900
¤ Radiação do corpo negro – equações desenvolvidas com a
mecânica clássica falham ao descrever radiações com
menores comprimentos de onda
¤ Medidas da Capacidade calorífica em sólidos em
temperaturas muito baixas mostraram desvios dos valores
esperados
¤ Espectros atômicos e moleculares: emissões de energias
com comprimentos de onda definidos
A mecânica clássica falha ao analisar
transferências de quantidades muito pequenas
de energia ou o movimento de corpos com
massa muito pequena.
Radiação do Corpo Negro
¤ Medida da radiação emitida por um corpo quente
¤  Corpo Negro: emite e absorve uniformemente em todos os
comprimentos de onda
Radiação do Corpo Negro
Mecânica Clássica
¤ Considera a energia emitida
como uma soma osciladores
com todas as frequências
possíveis
8π
ρ (λ,T ) = 4 kT
λ
¤ Com o aumento de T, todos os
osciladores são excitados.
¤  Quando λè0; Eè∞
Plank - 1900
¤ Ajuste matemático aos dados experimentais
¤  Ao invés de integrar as energias emitidas, usou a somatória
infinita de valores múltiplos e discretos proporcionais à ν
(frequência)
E = nhν
¤ Primeira suposição da quantização da energia
¤  h (constante de Plank) = 6,62608.10-34 J.s
¤  n (números inteiro) = 1, 2, 3, ...
¤  Curva experimental concorda com os resultados teóricos para
quanquer valor de ν
Início da Teoria Quântica
Distribuição de Plank
8π
ρ (λ,T ) = 4 kT
λ
λ → 0; ρ → ∞
ρ (λ,T ) =
8π hc
5
(
λ e
hc
λ kT
)
−1
Distribuição de Plank
ρ (λ,T ) =
¤  Para comprimentos de onda curtos
8π hc
(
λ5 e
hc
λ kT
¤  ρ tende a zero nas frequências elevadas
)
−1
hc
hc
>> 1 e e λkT → ∞ portanto ρ → 0
λ kT
¤  Para comprimentos de onda grandes
¤  A equação se aproxima da Lei de Rayleigh-Jeans
hc
"
%
hc
hc
hc
λ kT
<< 1 e e
−1 = $1+
+... ' −1 ≈
# λ kT
&
λ kT
λ kT
¤  A área da curva não é infinita e passa por um máximo
∞
∫ ρ dλ =
0
∞
∫
0
8π hc
5
(
λ e
hc
λ kT
)
−1
dλ = aT 4 com a =
8π 5k 4
15 ( hc)
3
Quantização da Energia
¤ Duas aplicações bem sucedidas:
¤ Efeito Fotoelétrico
¤ Capacidade térmica de sólidos a baixa
temperatura
¤ Reinterpretação de antigos problemas:
¤ Espectros atômicos
O Efeito Fotoelétrico
¤  Emissão de elétrons por metais expostos à
radiação UV
¤  Não há emissão se a frequência da
radiação absorvida for menor que um
determinado valor, característico de
cada metal
¤  A energia cinética dos elétrons emitidos
aumenta linearmente com a frequência
da radiação incidente, mas é
independente da intensidade da
mesma
¤  Mesmo a baixas intensidades de
radiação incidente, os elétrons são
emitidos imediatamente depois da
exposição, desde que a frequência
esteja acima da mínima específica
para o metal em estudo
A Proposta de Einstein
¤ Característica corpuscular da luz
¤ No efeito fotoelétrico, a luz se comporta como
partículas de energia hν, chamadas quanta
¤ Todas as grandezas experimentais envolvidas no efeito
fotoelétrico dependem da frequência
E foton = hν = E0 + Ek
E0 = função trabalho: energia
necessária para arrancar um elétron
da superfície metálica. Depende do
tipo do metal e da sua orientação
Ek = energia cinética do elétron
emitido
Exemplo
¤  A função trabalho do Al é 4,2 eV. Se luz com comprimento de
onda de 2000 Å incidir sobre essa superfície, quais serão a energia
cinética dos fotoelétrons ejetados e a frequência de corte para
essa superfície?
Dados: E0 = 4,2 eV
Efoton = hν = hc/λ; com λ= 2000 Å
Energia cinética: diferença entre a energia dos fóton e a função
trabalho
Frequência de corte: frequência relacionada ao mínimo de energia
que o feixe de fótons deve ter para emitir um elétron.
E0 = hν0
Efeito Fotoelétrico
Capacidades Caloríficas
Mecânica Clássica
¤ Lei de Dulong e Petit: para todos os sólidos monoatômicos:
" ∂U m %
-1
-1
CV ,m = $
' = 25 J.K mol
# ∂T &V
¤ Princípio da equipartição: a energia do átomo que oscila em
torno da sua posição média no sólido é kT para cada
direção do deslocamento
¤ Energia interna de 1 mol de átomos: U m = 3N A kT = 3RT
" ∂U m %
-1
-1
CV ,m = $
' = 3R = 24,9 J.K mol
# ∂T &V
Capacidades Caloríficas
cal.mol/K
Capacidades Caloríficas
Próximo a T = 0
¤ Desvios da Lei de Dulong e Petit
¤ Explicação de Einstein: os átomos
oscilam numa frequência ν, e as
energias de cada oscilação estão
confinadas a valores de h.ν
¤ A baixas temperaturas, o número
de osciladores que possuem
energia para oscilar é pequeno, e
o sólido comporta-se como se
tivesse menos átomos que tem na
realidade.
Espectros Atômicos
¤  Registro da intensidade da luz
emitida por um átomo ou molécula
em função da frequência ou
comprimento de onda.
¤  Observação de que a luz é emitida
em conjuntos de frequências
específicas, típicas para cada
átomo
A energia emitida ou absorvida
por átomos também é
quantizada
Transições Espectroscópicas
¤  Quando um átomo absorve luz em
frequências específicas, passa para
um estado de energia mais excitado.
¤  Quando um átomo emite luz, ele
perde energia e passa para um
estado menos excitado
¤  Essas transições espectroscópicas só
podem ocorrer quando a diferença
de energia entre os estados obedece
a condição de frequência de Bohr:
ΔE = hν
O Átomo de Bohr
¤  Bohr usou a teoria quântica
para explicar o movimento
dos elétrons em torno do
núcleo
¤  As diferenças de energia nas
transições espectroscópicas
estariam relacionadas com
os diferentes níveis de energia
e o momento angular do
elétron
¤  O momento angular do
elétron é quantizado em
h
termos de
=
2π
de Broglie - 1924
¤  Difração de elétrons
¤  Comportamento
ondulatório
¤  Relacionou o momento
linear de uma partícula com
a frequência de uma onda
¤  Válida quando λ/a ≈ 1
h
λ=
p
Exemplo
¤ Estime o comprimento de onda de elétrons acelerados por
uma diferença de potencial de 40 kV a partir do repouso.
¤  Para usar a relação de de Broglie, é necessário calcular o momento
linear, sendo que:
p2
Ek =
; e V = eΔφ
2m
¤  Depois da aceleração, a energia adquirida está na forma de energia
cinética (consideramos que toda energia potencial foi transformada em
energia cinética)
1
p2
= eΔφ ⇒ p = ( 2meΔφ ) 2
2m
λ=
h
h
=
= 6,1.10 −12 m
1
p ( 2meΔφ ) 2
Exemplo
¤ Calcule, utilizando a relação de de Broglie, qual seria a
diferença de potencial utilizada em um experimento de difração
de elétrons em um cristal metálico.
¤  Considere a distância interplanar do metal como 1Å
¤  Para a relação de de Broglie: λ
a

≈ 1; então λ = 1A
h
p = = 6, 6.10 −24 kg.m/s
λ
p2
Ek =
= 2, 4.10 −17 J ou 149, 2V
2m
Exercício Proposto
¤ Calcule o comprimento de onda de:
¤ Um nêutron com Ek = kT a 300K
¤ Do seu corpo numa velocidade de 10 m/s
¤ Interprete / Discuta os resultados encontrados
Princípio da Complementariedade
¤ Os modelos ondulatórios e corpusculares são
complementares
¤ Se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação, é
impossível usar a mesma medida para provar o caráter
corpuscular
¤ O modelo a ser utilizado é determinado pelo experimento
físico realizado
O Princípio da Incerteza
¤ 1927 – Heisenberg: Teoria Matricial
¤ Pacote de ondas: combinação linear de várias funções de
onda que correspondem a diferentes momentos lineares
¤ Tentativa de compatibilizar a trajetória do elétron com seu
comportamento ondulatório
∞
Quanto maior o número de
funções de onda no pacote
de ondas, mais precisa é a
localização da partícula
O Princípio da Incerteza
¤ Quando a localização da partícula é conhecida, seu
momento será imprevisível
¤  Aplicado para medidas simultâneas de posição e momento
ΔpΔx ≥
Δp =

2
{p
2
− p
2
}
1
2
e Δx =
{x
2
− x
2
}
1
¤ Numa medida física, o observador
e o sistema observado interagem
entre si, destruindo aquilo que
existia anteriormente.
2
Exemplo
¤ A velocidade de um projétil de massa 1,0 g é conhecida
com uma precisão de 1 μm.s-1. Calcule a incerteza
mínima na posição do projétil.
¤  Estima-se Δp por m.Δv, em que Δv é a incerteza na
velocidade
¤  Estima-se a incerteza na posição pela relação ΔpΔx =

2

1, 055.10 −34 J.s
−26
Δx =
=
=
5.10
m
−3
−6
-1
2mΔv 2.(1, 0.10 kg)(1.10 m.s )
¤  Para objetos macroscópicos, a incerteza é desprezível
¤  Utilize os mesmos valores para calcular a incerteza na posição
de um elétron (m = 9,109.10-31 kg)
¤  R.: 60 m
Exercício Proposto
¤ Estime a incerteza mínima na velocidade de um
elétron numa região unidimensional de comprimento
2a0:
¤  Raio de Bohr; a0 = 5,291.10-11 m
R.: 547 km.s-1
Consequências
¤  Mecânica Clássica
¤  Mecânica Quântica
¤  Conhecendo as variáveis
dinâmicas de um sistema, é
possível prever seu passado,
presente e futuro
¤  Aceitação do Princípio da
Incerteza
¤  Não é possível conhecer
todo o conjunto de variáveis
dinâmicas de um sistema
¤  Realidade objetiva:
independente do
observador
¤  Não é possível determinar a
evolução temporal de um
sistema microscópico
¤  Determinismo (Newton)
¤  A realidade objetiva é
abandonada para se
trabalhar com o conceito
de probabilidade
1927 – Moderna Teoria Quântica