Roteiro Exp. 6 - OSCILADOR MASSA-MOLA

FÍSICA EXPERIMENTAL I
Experimento 6
FEX I
Experimento No 6: OSCILADOR MASSA-MOLA
Objetivos: Verificar que o comportamento estático de uma mola, para pequenas deformações, é
corretamente descrito pela Lei de Hooke, e que o período de oscilação de um sistema massa-mola é
independente da amplitude, para pequenas oscilações.
Medir grandezas físicas diretas e, a partir de gráficos, determinar outras grandezas.
Analisar o comportamento estático e dinâmico de um sistema massa-mola suspenso.
Teoria: Seja um sistema em situação de equilíbrio estável. Quando esse sistema é levemente
afastado dessa situação e liberado, passa a executar um movimento periódico ou oscilatório, em
torno da posição de equilíbrio, chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS), se não
existirem forças dissipativas.
O oscilador massa-mola é constituído de um corpo de massa m ligado a uma mola de
constante elástica k, presa a uma parede. O corpo executa MHS sobre uma superfície horizontal
sem atrito. Veja a figura (6.1). Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo passa
a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem, dirigido pela força restauradora exercida
pela mola:
G
G
F=-kx
(6.1)
G
onde x é a deformação unidimensional da mola. O sinal negativo indica que a força é sempre
contrária à deformação, isto é: se x > 0 , então, F < 0; e se x < 0 , então, F > 0. Daí, portanto, o
nome de força restauradora, aquela que age no sentido de restaurar o estado de equilíbrio estável
original. A equação (6.1) é válida apenas para pequenas deformações da mola (Lei de Hooke).
Figura (6.1): Oscilador massa-mola sobre uma superfície horizontal sem atrito. O corpo executa
Movimento Harmônico Simples. A força restauradora atua na direção do movimento, porém no
sentido de levar o corpo de massa m para a posição de equilíbrio (x0). (a) Mola esticada (∆x >
0), força para a esquerda (F < 0). (b) Mola comprimida (∆x < 0), força para a direita (F > 0). Em
geral, pode-se escrever a seguinte expressão para a força: F = - k (x – x0), ou seja,
x > x0 → F < 0 e x < x0 → F > 0 .
De acordo com a segunda lei de Newton, na ausência de forças dissipativas,
F=-kx=m
dx 2
d2 t
(6.2)
6.1
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Experimento 6
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então, a equação de movimento para o corpo no oscilador massa-mola é dada pela equação
diferencial:
dx 2
k
dx 2
+
x
=
+ ω2 x = 0
m
d2 t
d2 t
(6.3)
cuja solução é do tipo: x(t) = A cos(ωt + δ) , onde ω = k/m é a freqüência angular da
oscilação, A é a amplitude da oscilação, e a constante de fase δ depende das condições iniciais do
movimento. Note-se que a solução apresentada é válida no limite da Lei de Hooke, isto é, pequenas
deformações da mola, e conseqüentemente, pequenas amplitudes de oscilação. Ultrapassado esse
limite, a equação (6.1) teria outra forma, assim como a solução da equação diferencial (6.3), que
deveria ter uma dependência da amplitude da oscilação.
A freqüência angular ω está relacionada com a freqüência f e o período T da oscilação
através das relações:
f =
ω
1
2π
; T= =
=
2π
f
ω
2π
k m
;
T = 2π
m
k
(6.4)
Quando o sistema massa-mola é posto a oscilar na vertical, o peso da própria mola deformaa, mesmo na ausência do corpo de massa m. A força peso sobre a mola deve, portanto, ser
adicionada ao lado esquerdo da equação de movimento (6.2), o que pode resultar em uma solução
diferente da apresentada. Entretanto, a experiência mostra que, para pequenas deformações da
mola, e pequenas massas, o sistema massa-mola na vertical apresenta movimento oscilatório.
Enfim, a massa da mola modifica a expressão para o período, equação (6.4)? A resposta é não.
Basta desconsiderar a deformação inicial da mola causada por seu próprio peso e também pela
massa do corpo suspenso. Veja a figura (6.2).
Considere que o eixo X está na vertical, com sentido positivo para cima de x = 0 (a posição
de equilíbrio do sistema massa-mola). Nessa posição, a mola está esticada de uma quantidade ∆l,
de modo que a força exercida pela mola equilibra o peso do corpo, isto é, k∆l = mg. Veja a figura
(6.2.b). Quando o corpo está a uma distância x acima da posição de equilíbrio, a deformação da
mola é (∆l – x). Logo, a força exercida pela mola sobre o corpo é k(∆l – x), no sentido vertical de
baixo para cima. Como o peso do corpo é uma força vertical de cima para baixo, a força resultante
é dada por: Fresultante = k(∆l – x) – mg = k∆l – kx – mg = mg – kx – mg = – kx , e tem o sentido de
cima para baixo. Veja a figura (6.2.c). De maneira análoga mostra-se que a força resultante, quando
o corpo está abaixo da posição de equilíbrio, é uma força vertical de baixo para cima. Isto significa
que a força resultante é dada pela equação (6.1): uma força restauradora de módulo igual a kx.
Finalmente, o período de um sistema massa-mola que oscila na vertical também é dado pela
equação (6.4), respeitadas as condições de validade da Lei de Hooke.
Descrição do Experimento: O equipamento utilizado nesse experimento é uma mola suspensa, à
qual são penduradas e acrescentadas em seqüência, massas de valor crescente. O aumento na
quantidade de massa suspensa pela mola é acompanhado do aumento no comprimento da mola. Na
segunda parte do experimento, a mesma mola suspende massas de valores crescentes. Esses
diferentes sistemas massa-mola são postos a oscilar com pequenas amplitudes, a fim de observar
como o período varia com a massa.
6.2
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Figura (6.2): Oscilador massa-mola vertical. (a) Mola de comprimento l suspensa na vertical. (b)
O peso do corpo deforma a mola de uma quantidade ∆l, de modo que ocorre o equilíbrio entre a
força restauradora da mola e o peso, na posição x = 0. (c) A mola exerce para cima uma força
k(∆l – x) = k∆l – kx = mg – kx. Portanto, a força resultante é mg – kx – mg = – kx, ou seja, uma
força para baixo de módulo igual a kx.
Equipamento/Material:
1. Mola;
2. Suporte vertical e horizontal;
3. Suporte de 10 g para massas;
4. Massas de 10 g;
5. Régua milimetrada;
6. Cronômetro;
Procedimentos:
(a) Suspenda a mola no suporte e marque seu comprimento inicial.
(b) Prenda à extremidade livre da mola o suporte de massas.
(c) No equilíbrio meça o novo comprimento da mola e anote sua deformação na Tabela 1.
(d) Sobre o suporte de massas coloque as massas indicadas na Tabela 1 e meça as correspondentes
deformações da mola, anotando-as até completar essa Tabela.
(e) Para realizar as medidas indicadas na Tabela 2, comece prendendo à mola o suporte de massas
acrescido de uma massa de 10 g. Puxe levemente o suporte de massas para baixo da posição de
equilíbrio do sistema massa-mola e solte-o, no mesmo instante em que ativa o cronômetro.
Aguarde o sistema executar 10 (dez) oscilações completas e, então, trave o cronômetro. Anote o
tempo decorrido na Tabela 2.
(f) Sobre o suporte de massas coloque as massas indicadas na Tabela 2 e meça os tempos
correspondentes para 10 (dez) oscilações completas, conforme explicado em (e), anotando-os até
completar essa Tabela.
- Siga as instruções e responda às questões do relatório experimental.
6.3