Aula 19 - DE/UFPB

Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Desigualdades
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Desigualdade de Chebyshev
Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade e
estatística é a desigualdade de Chebyshev.
Esta desigualdade é fundamental para o entendimento de como a variância mede
a variabilidade em relação ao valor esperado de uma variável aleatória.
Dada uma variável aleatória X e conhecida a sua distribuição de probabilidade
(fdp no caso contínuo e fp no caso discreto), Podemos determinar E (X ) e
Var (X ), se existirem.
Contudo, a recíproca não é válida.
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Desigualdade de Chebyshev
Isto é, do conhecimento de E (X ) e Var (X ) não podemos reconstruir a
distribuição de probabilidade de X e, consequentemente, calcular probabilidades,
tais como:
P [|X − E (X )| ≤ C ]
Embora isto não seja possível, podemos, no entanto, estabelecer um limite
superior (ou inferior) muito útil para estas probabilidades.
Este resultado está contido na desigualdade de Chebyshev.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Básica de Chebyshev
Seja X uma variável aleatória não negativa (X ≥ 0). Para todo λ ≥ 0,
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Desigualdade de Chebyshev
DEMONSTRAÇÃO:
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Básica de Chebyshev
Exemplo 1: Em uma empresa com 100 funcionários, o número médio de usuários
simultâneos de internet, em um certo período, é de aproximadamente 30.
Atualmente, existem 30 linhas telefônicas disponíveis para conexão. Deseja-se
avaliar a necessidade de aumentar esse número.
Vamos admitir que 30 é o valor esperado do número de conexões simultâneas,
mas nada sabemos da distribuição de probabilidade dessa variável.
Uma alternativa é usar a desigualdade de Chebyshev para construir uma tabela
com o valor máximo da probabilidade, em função do número mínimo de usuários
conectados simultaneamente.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Básica de Chebyshev
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Básica de Chebyshev
Apesar de podermos obter estimativas mais precisas por outros métodos, a
desigualdade de Chebyshev fornece uma avaliação probabilística que combinada
com outros fatores, dá subsídios à tomada de decisões.
Por exemplo, é possível verificar que a probabilidade de até 70 usuários
simultâneos é superior a 0.57.
Assim, se for aceitável um índice mínimo de 57% para a probabilidade de
conexão, a empresa deveria ampliar suas linhas telefônicas para 70.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
Se X é integrável, então para qualquer λ > 0
As seguintes formas equivalentes são imediatas:
i) Generalizando para E (X ) = c,
ii) Considerando o evento complementar,
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
iii) Escolhendo λ = k σ, onde µ = E (X ) e σ2 = Var (X ) > 0,
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Desigualdade de Chebyshev
DEMONSTRAÇÃO:
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
Exemplo 2: Suponha que k = 2 em iii ), assim
P (|X − µ| ≥ 2σ) ≤
ou
P (|X − µ| < 2σ) ≥
Ou seja, a probabilidade de X diferir de sua média em mais de dois desvios
padrões é inferior ou, no máximo, igual a 0.25.
Equivalentemente, a probabilidade de X estar compreendido no intervalo de dois
desvios padrões de sua média, é superior ou, no mínimo, igual a 0.75.
É importante verificar que não precisamos para isso especificar a distribuição de
probabilidade de X .
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
Exemplo 3: Obtenha o limite da desigualdade
P (|X − µ| ≥
3
2
σ) =?
p
p
Admita que X é uniformemente distribuída sobre (1 − 1/ 3, 1 + 1/ 3) e calcule
o limite obtido acima.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
O resultado obtido da desigualdade de Chebyshev está coerente com esse
resultado. Contudo este último é mais preciso.
Na prática, a desigualdade de Chebyshev é usada na obtenção de estimativas,
quando não é conveniente, ou quando é impossível obter valores exatos.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
A desigualdade de Chebyshev estabelece um limite superior em termos de
Var (X ) e λ para a probabilidade de que X se desvie de sua média por mais λ
unidades.
Suas principais vantagens são:
Vantagens
Sua grande generalidade.
O fato de não ser necessário fazer nenhuma restrição sobre a distribuição
de X , exceto que ela possui variância finita.
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
Exemplo 4: Em uma certa empresa, constatou-se que o número médio, por
semana, de faltas ao serviço é de 52.4 e um desvio padrão de 4.7. Qual a
probabilidade de se constatar uma variação de até 12 faltas em torno do valor
médio registrado?
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Desigualdade de Chebyshev
Desigualdade Clássica de Chebyshev
Exemplo 5: Seja Z ∼ N (0, 1), obtenha um limite para P (|Z | ≥ 2) através da
desigualdade de Chebyshev.
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Desigualdade de Markov
Um resultado semelhante à desigualdade de Chebyshev, mas que relaciona a
probabilidade de um evento com seu momento de orfdem k é a desigualdade de
Markov.
Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para quaisquer λ e k > 0, temos
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Desigualdade de Markov
DEMONSTRAÇÃO:
Se a partir de uma amostra pudermos obter estimativas de momentos da variável,
a desigualdade acima pode ajudar a estabelecer limites em probabilidade de
interesse.
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Desigualdade de Markov
Exemplo 1: Seja Y uma V.A. tal que E (Y 4 ) ≤ 100. Use esta informação para
encontrar um limite superior para P (Y ≥ 5)
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Desigualdade de Markov
Exemplo 2: Seja X uma V.A. exp(1). Use a desigualdade de Markov para provar
que P (X > c ) ≤ 1c , em que c é um número positivo qualquer.
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Desigualdade de Jensen
Antes de apresentar a desigualdade vamos introduzir uns conceitos importantes.
Funções convexas são funções cujo gráfico está abaixo de (ou coincide com)
qualquer corda traçada entre dois de seus pontos na região entre esses pontos.
Isso é equivalente a dizer que o gráfico está acima de qualquer tangente a um de
seus pontos.
Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se
e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o
intervalo.
Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente
convexa.
Exemplos de funções convexas: f (x ) = x 2 , f (x ) = ex e f (x ) = |x |.
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Desigualdade de Jensen
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Desigualdade de Jensen
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Desigualdade de Jensen
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Desigualdade de Jensen
Desigualdade de Jensen Seja X uma variável aleatória com esperança finita e
seja ϕ uma função convexa. Então
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Desigualdade de Jensen
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Desigualdade de Jensen
Exemplo 1 Se ϕ (X ) = X 2 , então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que
Exemplo 2 Se ϕ (X ) = eX , então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que
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Desigualdade de Jensen
Exemplo 3 Use a desigualdade de Jensen para provar que a variância de uma
variável aleatória é sempre não negativa.
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Outras Desigualdades
Estas desigualdades são casos especiais da desigualdade de Hölder
apresentada a seguir.
Desigualdade de Hölder
Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer. Então
|E (XY )| ≤ E |XY | ≤ {E |X |r }1/r {E |X |s }1/s ,
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1 < r < ∞,
1
r
+
1
s
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Outras Desigualdades
Outras Desigualdades
Desigualdade de Liapounov
{E |X |r }1/r ≤ {E |X |s }1/s ,
1<r <s<∞
.
Desigualdade de Minkowski
{E |X + Y |r }1/r ≤ {E |X |r }1/r + {E |Y |r }1/r ,
1≤r <∞
.
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