Aulas Particulares Prof.: Nabor

Aulas Particulares Prof.: Nabor
Nome da aluno:
Disciplina: Matemática
Série:
Prof.: Nabor Nunes de Oliveira Netto
www.profnabor.com.br
Data:
/
01)(UCe) Dada a circunferência x 2  y 2  8 , seja y = a x + b a reta tangente à
circunferência no ponto ( 2, 2). Determine o valor de a + b.
Resp: 3
Solução:
Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e raio r = 2 2
O ponto ( 2, 2) pertence a circunferência, pois 4 + 4 = 8.
Cálculo do coeficiente angular da tangente:
Coeficiente angular da reta que liga o centro ao ponto (2, 2); m 
20
1
20
Coeficiente angular da tangente: m = - 1
Reta tangente: y – 2 = - 1 (x – 2)  y – 2 = - x + 2  y = - x + 4 e a + b = 3
02)(Fuvest) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que
passa pelo ponto ( 3, 4)?
Resp: 4x 2  4y 2  25y  0
Solução:
Equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem: x 2  y  b2  b 2
O ponto (3, 4) pertence à circunferência: 9 + (4 – b)2 = b2  9  16  8b  b 2  b 2
b
2
25
25 
625
25
625 625

 x2   y 
 x2  y2 
y

 
8
8
64
4
64
64


64x2 + 64y2 – 1.6.25y = 0  4x 2  4y 2  25y  0
03)(Fuvest) Dadas a circunferência C : x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta ( r ) y = x – 5, pedemse:
a) a equação da reta perpendicular a ( r ) e que passa pelo centro de C.
3 2 4-3 2 
.
b) o ponto de C mais próximo de ( r ). Resp: a) x + y – 2 = 0 e b) 
,
 2

2


Solução:
a) Centro da circunferência: (0, 2). Coeficiente angular de ( r ): 1.
Coeficiente angular da perpendicular a ( r ): m = - 1.
Equação da perpendicular a reta ( r ): y = -x + n ou x + y – n = 0.
Como a reta passa pelo centro: 2 = - 0 + n e n = 2. Logo: y = - x + 2
Equação da reta: x + y – 2 = 0.
/
b) O ponto mais próximo de ( r) e
mais próximo do centro é a
interseção da perpendicular a reta (
r ) que passa pelo centro com a
circunferência.
y = - x + 2 interseção com
x 2  y  22  9
x 2   x  2  22  9
x
3
2

3 2
4-3 2
ey 
2
2
x 2  y 2  4
04) Determine a área da região limitada pelas desigualdades: 
.
x  y  2  0
Resp: S =
22  3
unidades de área.
3
Solução:
Na figura abaixo a área é a região hachurada.
A = área de três quadrantes do círculo
de raio 2 mais a área do triângulo cujos
vértices são o centro e os pontos de
interseção da reta com a circunferência,
logo:
4
4  6 22  3
A
2

3
3
3
05) Determine a equação da reta tangente a circunferência x 2  y 2  6x  4y  11  0
e que passa pelo ponto (2, 3).
Resp: x – y + 1 = 0.
Solução:
Cálculo do centro e raio da circunferência: C ( 3, 2) e raio: r =
Equação reduzida da circunferência: x  32  y  22  2 .
(2, 3) pertence à circunferência: 2  32  3  22  1  1  2 .
9  4  11  2
Coeficiente angular da reta que passa pelo centro e pelo ponto (2, 3): m 
32
 1
23
Coeficiente angular da tangente: mt = 1
Equação da tangente: y – 3 = 1(x – 2)  y – 3 = x - 2  x – y + 1 = 0
06)(UFRS) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo eqüilátero,
figura abaixo
O centro é o ponto de encontro das bissetrizes que no caso
do triângulo é eqüilátero é o baricentro. O baricentro
encontra-se a 1/3 da base. A altura é
3 , e o centro é

3 
3
.  0,
então a equação será:
er 


3 
3


x2   y 


2
3 
1

3 
3
07) Determine a equação da reta tangente à circunferência x 2  y 2  4 no ponto


2, 2 .
Resp: x  y  2 2  0
Solução:


2, 2 pertence à circunferência x 2  y 2  4 ,
Centro da circunferência: C (0, 0).
Coeficiente angular da reta que passa pelo centro e pelo ponto
m
2
2

2,

2 .
 1  m = - 1, é o coeficiente angular da reta tangente.


Equação da tangente: y  2  1 x  2  y  2   x  2  x  y  2 2  0
Testes de Vestibulares.
01) Qual das equações abaixo representa a circunferência de centro (2, - 1)
tangente a reta de equação y = - x + 4 ?
a) 9 (x – 2)2 + 9 (y + 1)2 = 2
b) 2 (x + 2)2 +2 (y + 1)2 = 9
c) 2 (x – 2)2 + (y + 1) 2 = 9
d) 4 (x – 2)2 + 4 (y + 1)2 = 9
e) 4 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
Resp: C
Solução:
A circunferência tem centro em (2, -1) e tangencia a reta x + y – 4 = 0, então a
distância do centro a reta é igual ao raio:
dC,r 
|1.2  1.(1)  4|
1 1

3
2
r
Equação da circunferência: (x  2)2  y  12 
9
 2x  22  2y  12  9
2
02) Qual das circunferências abaixo passam pela origem ?
a)
 x  a 2  y  a2  a2
b)  x  a  y 2  4a
2
c) x2   y  a  a2
2
d) x2  y 2  a 2
e)  x  c   y  c  4a2
2
2
2
Resp: C
Solução:
(0, 0) pertence à circunferência, então satisfaz a equação da circunferência.
a) (0  a)2  (0  a)2  2a2  a 2
b) (0  a)2  0 2  a 2  4a 2
c) 02  (0  a)2  a 2 . ( V ).0
03)(UPE) O maior valor inteiro K para que a equação x2  y 2  4 x  6 y  K  0
represente uma circunferência é:
a) 10
b)12
c)13
d)14
e)15
Resp: B
Solução:
Centro da circunferência: x 0  
4
6
 2 e y 0  
3
2
2
2  y 2  F  4  9  k  0  k  13  k  13 .
r 2  x0
0
O maior valor de k para o qual a equação representa uma circunferência é k = 12.
.04) Dadas as circunferências de equações
x 2  y 2  x  y  0 e x2 + y2 – 2x - y
+ 1 = 0, a equação da circunferência que passa pelos pontos de interseção das
duas e pela origem é:
a) x2  y 2  x  y  0
b) x2 + y2 – y = 0
d) x2  y 2  x  1  0
e) x2  y 2  1
c) x2  y 2  x  0
Resp: A
Solução:
x 2  y 2  x  y  0
Interseção das circunferências: 
.Subtraindo a equação 1 de 2,
x 2  y 2  2x  y  1  0
teremos: x -1= 0 e x = 1.
1 + y2 – 2 – y + 1 = 0  y2 – y = 0  y = 0 ou y = 1
Pontos de interseção: A (1, 0) e B (1, 1).
Equação da circunferência: x  a2  y  b2  r 2 . Os pontos A, B e (0, 0) pertencem
à
circunferência,
então:
a 2  b 2  1  a2  b 2  a 2  2a  1  b 2  2a  1  0  a 
1
.
2
a2  b2  1  a2  1  b2  a2  b 2  1  2a  2 1  2b  b 2  2  2a  2b  0  1  a  b  0
1
1
1  b  0  b   .
2
2
2
Raio da circunferência: r =
1
 1

1     0  
2
 2

2
2

1 1
2
 
4 4
2
2
1
1
1
1 1 1


Equação da circunferência:  x     y     x 2  y 2  x  y   
2
2
2
4 4 2


x2  y2  x  y  0
05) Sabe-se que as circunferências dadas pelas equações x2 + y2 – 2x – y+ 3 = 0
e 2x2  2y 2  6 x  4 y  1  0 são secantes. A equação da corda comum é:
a) 2x + 2y + 5 = 0
b) x + 2y + 5 = 0
c) x + y + 4 = 0
d) 2x + y + 5 = 0
e) x – y – 1 = 0
Resp: A
Solução:
x 2  y 2  2x  y  3  0

 2
1
5
2
x  y  3 x  2y   0  x  y   0  2x  2y  5  0
2
2

06) As circunferências de raio 15 tangentes à circunferência
x2  y 2  100 no
ponto (6, 8) têm centros nos pontos:
a) (- 1, 4) e (15, - 20)
b) (3, - 4) e (- 9, 12)
c) (- 12, 16) e (9, -
e)(15, 20) e (3, 4)
Resp: E
12)
d) (- 8, 32) e (8, - 32)
Solução:
6 2  8 2  36 + 64 = 100, logo ( 6, 8) pertence a circunferência.
Raio da circunferência: r = 10. Centro da circunferência: C (0, 0).
Reta que passa por (0, 0) e (6, 8): y =
8
4
x x
6
3
Distância de (0, 0) ao centro das circunferências de raio 15 tangente a circunferência
x 2  y 2  100 . d = 15 + 10 se as circunferências são tangentes exteriores e d = 15 –
10 = 5 se as circunferências são tangentes interiores.
 4 
Seja C1 x, x , os centros das circunferências, então:
 3 
x2 
16 2
5
x  25  x  25  x  15 . Então os centros são (15, 20) .
9
3
x2 
16 2
x  5  x = 3. Então o centro será (3, 4)
9
07) A equação da circunferência que tangencia os eixos OX e OY e cujo
centro está na reta x + y – 2 = 0 é:
a) x  y  2 x  y  1
1 2 
1 2  1 2

b)  x     y     


 2
2
2
c) x 2  y 2  2 x  y
d) x 2  y 2  2 x  y
2
2
e)  x  1  y 2  2y  3
2
Resp: A
Solução:
Centro está na reta y = 2 – x, logo será: (x, 2 – x). Como a circunferência é tangente
aos eixos então x = | 2 – x| ou seja x = 2 – x  2x  2  x = 1 e y = 1
x = - 2 + x  0x = 2 (absurdo). Logo o centro da circunferência é (1, 1) e o raio 1.
Equação:
x  12  y  12  1  x 2  2x  1  y 2  2y  1  1  0  x 2  y 2  2(x  y)  1
08) As circunferências de equações
x2  y 2  6 x  8 y  21  0 e x2  y 2  49
são:
a) secantes
b) tangentes interiores
d) concêntricas
e) tangentes exteriores
c) exteriores
Resp:
B
Solução:
Centros e raios das circunferências:
x 2  y 2  6x  8y  21  0  x 0  3 e y 0  4 e o raio : r 2  9  16 - 21  4  r  2
.
x 2  y 2  49  centro: (0, 0) e r = 7.
Distância entre os centros:
9  16  5  7  2 Então as circunferências são tangentes
interiores..
09) As circunferências de centro C (5, 12) e tangentes à circunferência x2 + y2 =
1, tem por equações:
a) x2  y 2  2x  2y  1  0
ou
 x - 1 2  y 2  5
b)
 x  52  y  122  144
c)
 x  52  y  122  36
 x - 5 2  y  122  25
ou
d) x2  y 2  10x  12y  5  0
 x - 5 2  y  122  196
ou
 x - 5 2  y  122  12
ou
e) x 2  y 2  3x  4y  5  0 ou x  52  y  122  125
Resp: B
Solução:
Centro e raio da circunferência. C (0, 0) e r = 1
As circunferências são tangentes exteriores, a distância entre os centros é igual a
soma dos raios.
25  144  13 = 1 + r  r = 12.
Equação da circunferência: x  52  y  122  144
Circunferências tangentes interiores, a distância entre os centros é igual a diferença
dos raios.
25  144  13  r  1  r = 14
Equação da circunferência: x  52  y  122  196
10) As retas que contém o ponto P (0, 4) e tangenciam a circunferência de raio
2 e centro na origem têm por equação:
a) x 
b) x 
3y  40
3 y  4=0
c)
3 x  y  4=0
d) x  y  4 = 0
e) x  y - 4 = 0
Resp: C
Solução:
Equação da circunferência: x 2  y 2  4
(0, 2) é exterior á circunferência, pois 0 2  4 2  4 .
Equação da reta tangente: y = mx + n, onde 4 = m.0 + n ou seja, y = mx + 4,
m x – y – 4 = 0.
Como a reta é tangente à circunferência, então a distância da reta ao centro é igual ao
raio.
|m.0  1.0  4|
m2  1
Retas tangentes:
 2  4  2 m 2  1  16  4m 2  4  4m 2  12  m   3
3x  y  4  0 ou
3x  y  4  0
11) A equação da circunferência que passa pelos pontos A (0; - 1) e B (0; 3) e
determina com o eixo das abscissas uma corda de comprimento 4 unidades,
tem raio igual a:
a)
5
b) 5
c)
7
d) 7
e)3
Resp: A
Solução:
A circunferência corta o eixo dos y nos pontos A (0, - 1) e B ( 0, 3). A reta que passa
pelo ponto médio da corda AB passa pelo centro da circunferência, ou seja a reta y = 1
passa pelo centro, logo a ordenada do centro é 1. Para encontrar o centro precisamos
determinar a sua abscissa. Como a corda CD sendo C e D pontos onde a
circunferência corta o eixo dos x, mede 4 então C(x, 0) e D (x + 4, 0) e o ponto médio
x4x 
é 
, 0  e a reta x + 2 = 0 passa pelo centro na sua interseção com a reta y =
2


1, logo: x + 2 = 1 então x = -1 e o centro da circunferência é o ponto (- 1, 1). O raio é
a distância do centro ao ponto (0, 3). Então: r =
( 1  0) 2  1  32  5
Graficamente teremos:
12) Sejam as circunferências
x 2  y 2  1 e x 2  y 2  4x  4y  3  0
com
centros nos pontos M e N, respectivamente. As circunferências são secantes
nos pontos A e B. A área do triângulo AMN é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resp: A
Solução:
Centros das circunferências: (0, 0) e (2, 2)
Interseção das circunferências:
x2  y2  1
x 2  y 2  4x  4y  3  4x  4y  4  x  y  1  y  1  x
x2  (1  x)2  1  x2  1  2x  x2  1  2x2  2x  0  x  0 ou x  1
O ponto A (1,0), M ( 0, 0) e N (2, 2), logo a área do triângulo é:
1 0 1
1
2 2 1  2  S  .2  1
2
0 0 1
13) As
circunferências
x2  y 2  8 x  4 y  15  0 e x 2  y 2  4 x  2y  75  0
são:
a) secantes
b) tangentes interiores
c) tangentes exteriores
d) disjuntas exteriores
e) disjuntas interiores
Resp: A
Solução:
Centros e raios das circunferências:
( x 2  8x  16)  16  ( y 2  4y  4)  4  5  0  x  42  y  22  25
x2  4x  4 4  y  2y  1  1 20  0  x  22  y  12  25
d  ( 4  2)2  (2  1)2  45 . Então r + r’ = 10 > d logo as circunferências são
secantes.
14)O centro e o raio da menor circunferência tangente aos eixos coordenados e
que passa pelo ponto (1; 2), é:
a) C ( 0; 1) e r = 4
b) C (3, 3) e r = 12
d) C (2; 2) e r = 2
e) C (5; 5) e r = 5
c) C (1; 1) e r = 1
Solução:
Se a circunferência é tangente aos eixos então C ( |r|, |r|) e o raios r > 0.
Como a circunferência passa por um ponto no primeiro quadrante então ela está
contida no primeiro quadrante e sua equação é:  : x  a2  y  a2  a2
Como 1, 2    (1  a)2  (2  a)2  a 2  1  2a  a 2  4  4a  a 2  a 2
a 2  6a  5  0  a  1 ou a  5 . Logo o centro e o raio da menor circunferência é:
C ( 1, 1 ) e r = 1.
15) A equação da reta tangente à circunferência x2  y 2  6 x  10 y  29  0 no
ponto (2; - 3) é:
a) x – 3y – 11 = 0
b) 2x + y – 1 = 0
d) x + y + 1 = 0
e) x + y – 1 = 0
Solução:
c) x – 2y – 8 = 0
x2  6x  9 9  y2  10y  25 25  29  0  x  32  y  52  5
Resp: C
(2, - 3) pertence à circunferência. (2  3)2  (3  5)2  1  4  5
Reta que passa pelo centro e (2, - 3) tem coeficiente angular: m 
Coeficiente angular da reta tangente é
Equação da reta tangente: y + 3 =
53
 2
32
1
2
1
(x – 2)  2y + 6 = x - 2  x – 2y – 8 = 0
2
15) As circunferências x2  y 2  2x  8 y  13  0 e x2  y 2  8 x  2y  7  0 são
secantes em A e B. Sendo C1 e C2 os centros das circunferências, podemos
afirmar que a área do quadrilátero AC1BC2 é igual a:
a) 6
b)7
c)8
d)9
e)5
Resp: A
Solução:
Cálculo dos centros: C1(1, 4) e C2 (4, 1) .
2
2

 x  y  2x  8 y  13

2
2

 x  y  8 x  2y  7  6 x  6 y  6  6 y  6 x  6  y  x  1
x 2  x 2  2x  1  8x  2x  2  7  0  2x 2  8x  6  0  x 2  4x  3  0  x  3 ou x  1
x = 1, y = 2 ou x = 3, y = 4. Os pontos de interseção são (1, 2) e (3, 4)
A área do quadrilátero é 2 vezes a área do triângulo AC1C2.
1 2 1
1
1 4 1 .  4  8  1  16  1  2  6  .6  3
2
4 1 1
Área do quadrilátero: S = 6
16) Das equações abaixo, qual determina uma circunferência::
a) x 2  y 2  x  y  5  0
b) x 2  y 2  2x  y  6  0
c ) x 2  y 2  2xy  x  0
d) x 2  y 2  x  y  1  0
e) x 2  y 2  2x  2y  1  0
Resp : E
Solução:
2
2
1 1 
1 1
1
1
18



0
a)  x 2  x      y 2  y     5  0   x     y    
4 4 
4 4
2
2
4



1 1
1


b) x 2  2x  1  1   y 2  y     6  x  12   y  
4 4
2


c) Não é circunferência pois C = 2
d) A = 1 e B = - 1, logo A  B, não é circunferência.
2

19
0
4

 

e) x 2  2x  1  1  y 2  2y  1  1  1  x  12  y  12  3 . É uma circunferência de
centro (1, 1) e raio r =
3.
17) O raio de uma das circunferências de centro no ponto M (3, 4) e tangentes a
circunferência de equação x 2  y 2  1, mede:
a) 4
b) 5
c) 2
d) 3
e) 1
Resp: A
Solução:
Tangentes exteriores: r + r’ = d
Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e r = 1.
d  9  16  5 . 1 + r’ = 5  r’ = 4
18) A circunferência de equação x 2  y 2  5x  4y  a  0 , possui no eixo das
abscissas uma corda de comprimento 3. Podemos afirmar que a, vale:
a) 4
b) 5
c) – 4
d) – 5
e)1
Resp: C
Solução:
 5

Centro da circunferência:   , - 1 .
 2

O centro situa-se sobre a reta x = -5/2 e divide a corda em duas partes iguais.
Se (m, 0) e (n, 0) são os pontos onde à circunferência corta o eixo dos x então o ponto
(- 5/2, 0) é o ponto médio da corda.
Então: n = m + 3 e 
5 m  n 2m  3


 2m  8  m  4 .
2
2
2
O raio da circunferência é a distância do centro (-5/2, -1) ao ponto (- 4, 0)
2
 5

r     4  1 
 2

9
13
1 
4
2
2
5
13
25
13

 x 2  5x 
 y 2  2y  1 
Equação da circunferência:  x    y  12 
.
2
4
4
4

x 2  y 2  5x  2y  4  0 . Então a = - 4.
19)(ITA) Seja r a mediatriz do segmento de extremos M (-4, -6) e N (8, - 2). Seja R o
raio da circunferência com centro na origem e que tangencia à reta r. Então R é igual
a:
a)
7
3
b)
15
3
c)
10
3
10
5
d)
e)
2 2
3
Resp: D
Solução:
Coeficiente angular da reta MN: m 
26 4 1


84
12 3
Coeficiente da reta ( r ): mr = - 3.
Ponto médio do segmento MN: P (2, - 4).
Equação de ( r ): y + 4 = - 3 (x – 2)  y + 4 = - 3x + 6  3x + y – 2 = 0
O raio é a distância de (0, 0) a ( r ): r =
Equação da circunferência: x 2  y 2 
| 3.0  1.0  2|
9 1

2
10

2 10
10

10
5
4
2
 x2  y2 
10
5
20)(Fuvest) Determine o conjunto de pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas


coordenada satisfazem a equação x 2  y 2  1.2x  3y  1
. 3x  2y  3  0 .


Resp: ( x, y)  R2 | 2x  3y  1  0 ou 3x - 2y  3  0
Obs: Duas retas perpendiculares.
Resp: D
Solução:
Para que a equação seja satisfeita é necessário que :
x 2  y 2  1  0  x 2  y 2  1  S  
2x + 3y – 1 = 0 ou 3x – 2y + 3 = 0
A solução representa duas retas perpendiculares, ou seja a alternativa D.
21) A reta de equação y = 2x – 1 intercepta à circunferência de equação
x 2  y 2  5x  7y  2 nos pontos P e Q. A distância de P até Q é:
a)
3 5
7
b)
5 3
7
c)
3 5
7
d)
7 5
5
e)
8 5
5
Resp: D
Solução:
A interseção das curvas é: x 2  2x  12  5x  72x  1  2  0
x 2  4x 2  4x  1  5x  14 x  7  2  0  5x 2  13 x  6  0  x 
13  169  120 13  7

10
10
x = 2 ou x = 3/5.
 3 1
Pontos de interseção: P (2, 3) e  ,  .
5 5
2
3

1

dP,Q    2     3 
5

5

2

49 196


25 25
245 7 5

25
5
22) O segmento AB é diâmetro da circunferência x 2  y 2  2y . Se A é o ponto (0,
2), então B é o ponto:
a) (- 3, 9)
b) (3, 9)
c) (0, 10)
d) ( 0, 0)
e) (1, 3) Resp: D
Solução:
Cálculo do centro da circunferência: x 2  y 2  2y  0  C0, 1 .
A reta que passa por
Como AB é diâmetro então AB passa por C e C é o ponto médio de AB.
0=
xB  0
2  yB
 xB  0 e 1 
 yB  0
2
2
23) (UFPr) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da tangente
a circunferência x 2  y 2  25  0 , no ponto (3, 4) é:
a) – 3x + 4y – 7 = 0
b) 3x + 4y + 25 = 0
d) 4x + 3y – 24 = 0
e) 3x + 4y – 25 = 0
c) 3x – 4y + 7 = 0
Resp: E
Solução:
O ponto pertence à circunferência: 9 + 16 = 25
Coeficiente angular da reta que passa por (0, 0) e (3, 4): m  4 3
Coeficiente angular da tangente: m t  
Equação da tangente: y  4  
24)(UFRS)
Se
os
3
.
4
3
x  3  4y  16  3x  9  3x + 4y – 25 = 0
4
gráficos
de
1  x 2  y 2
 1 e x 2  y 2  4y  m
são
circunferências tangentes, então m é igual a:
b) – 3 e 5.
a) 3 e -5.
c) 5
Cálculo do centro e raio das circunferências:
 2  : x 2 
d) 3
1 
Tangentes exteriores: 2 =
0  02  2  02
Resp: B
C (0, 0) e r = 1
y2  4y  4  4  m . Centro C (0, - 2) e r =
Distância entre os centros: d 
e) 1
4m
2
4  m  1  1  4  m  m  3
Tangentes interiores: 2  4  m  1  4  m  3  4  m  9  m  5
25)(ITA) Seja C o centro da circunferência x 2  y 2  6 2 y  0 . Considere A e B os
pontos de interseção desta circunferência com a reta de equação y =
2 x. Nestas
condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é igual a:
a) 6 2  3
b) 4 3  2
d) 5 3  2
e) 4 3  6 2
Solução:

c)
2 3
Resp: E

Cálculo de C: C 0, 3 2 .
Cálculo da interseção da reta com a circunferência:

y  2 x
 2
2
2
2
2

x  y  6 2y  0  x  2x  12x  0  x  4x  0  x  0 ou x  4

Cálculo de A e B: x = 0  y = 0 logo A (0, 0) e x = 4  y  4 2 e B 4, 4 2

Cálculo do perímetro do triângulo: 2p  d AC  d AB  dBC
d AC  0  18  3 2.
dBC 
4  02  4
2 3 2
d AB  16  32  48  4 3
2 
16  2  3 2 2p  6 2  4 3
26) O ponto da circunferência x 2  y 2  1 mais próximo do ponto (5, 5), tem
coordenadas cuja soma vale:
a) 2
Solução:
b)
2
c) 2 2
d)
2
2
e) 3 2 Resp: B
O centro da circunferência é (0, 0) e o raio 1.
Equação da reta que passa por (5, 5) e (0,0) é y = x.
A interseção da reta com a circunferência é: x 2  x 2  1  x  
1
2

2
2
Como (5, 5) pertence ao primeiro quadrante e queremos determinar a menor distância,
2
2
2
. A soma das coordenadas é:

 2
2
2
2
então a interseção será x  y
27) A reta paralela a reta de equação 3x + 4y – 2 = 0 e que seja tangente à
circunferência de centro na origem e de raio 5, tem por equação:
a) 2x + 3y – 5 = 0
b) 3x – 4y – 5 = 0
d) 3x – 4y – 25 = 0
e) 3x + 4y + 5 = 0
c) 3x + 4 y + 10 = 0
Resp: E
Solução:
Equação da reta: ( r ) 3x + 4y + n = 0.
Reta ( r ) é tangente à circunferência x 2  y 2  25
dr,C 
| 3.0  4.0  n |
9  16
 5 | n | 25  n  5  3x  4y  5  0 .
Uma das retas tangentes é 3x + 4y + 5 = 0
x y
  1
28) A área da região limitada pelas desigualdades:  4 4
é igual a:
x 2  y 2  16

a) 4  2
b) 4  2
d) 2  4 
e) 8  2
c) 2  4 
Resp: A
Solução:
Equação da reta :x + y  4. A região do plano
acima da reta x + y = 4.
x 2  y 2  16 , é a região do plano no círculo da
circunferência de raio 4 e centro (0, 0).
A figura ao lado mostra a região do plano limitada
pelas curvas.
Sua área é igual a rea de um quadrante da
circunferência menos a área do triângulo.
S=
16 1
 .4.4  4  8  4  2
4
2
29) A circunferência de centro ( 2, 3) tangencia a reta 3x - 4y + 1 = 0. Podemos afirmar
que a equação da circunferência é:
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1
b) x 2  y 2  4x  6y  13  0
c) x  22  y  22  2
c) x 2  y 2  4x  6y  13  0
d) x 2  y 2  4x  6y  8  0
Resp: A
Solução:
A distância da reta à circunferência é igual ao raio.
d
| 3.2  4.3  1 |
25

5
 1 r
5
30) Na figura abaixo, podemos afirmar que a equação da reta ( r ) é:
a) y = - x + 4
b)
2 x – 4y + 3
c) x + 3y – 1 =
2=0
0
d) 4x – 2 y + 4 = 0
e) 3x – 2 y – 2 = 0 Resp: B
Solução:
Equação da reta tangente à
circunferência x 2  y 2  1 e que
passa por (-3, 0)
y = mx + n onde 0 = - 3m + n ou n =
3m. A equação da tangente é: y =
mx + 3m, ou
mx - y + 3m = 0
Como a reta é tangente à
circunferência, então a distância da
reta ao centro é igual ao raio.
| m.0  1.0  3m |
 1 | 3m | m 2  1  9m 2  m 2  1  m  
1

2
.
4
2 2
m2  1
Como a inclinação de ( r ) é maior que zero e menor que 90°, então m > 0. logo a
equação da reta ( r ) é:
2
3 2
xy
 0  2x  4 y  3 2  0
4
4