Aula Teórica 3-4

Aula Teórica nº 3-7
Prof. Responsável: Mário J. Pinheiro
1. Operadores diferenciais (conclusão)

d
U
0
Exercício 1: Provar que rotgra
1. Usando coordenadas cartesianas.
  
u
x u
y u
z
2
2


   
U
U


rot
grad
U



u
...

0
x



x
y
z 

y

z
z

y


U
U
U

x
y
z
2. Usando o Teorema de Stokes






rot

.
n
dS


.
d
p



S
logo


rot
dS

gra
d
U
.n

d
U
.d
p

gra



S


0
dU


dU, logo
 que seja o vector rot gra

rot
gra
d
U
0
Vamos agora introduzir uma outra condição necessária e suficiente (para lém das 3 condições que já
introduzimos anteriormente) para que um campo seja conservativo:



d
U
0e  gra
dUé conservativo, tem-se
3. Como rotgra

rot  0
Isto significa que um campo conservativo é um campo irrotacional.
Exemplo 1: Campo electrostático criado por uma carga pontual.

1q 
e

E
P

gra
d
r
P
2
4

or
e


dV. Logo, tem-se rotEe  0. O campo
Recordamos aqui que já se tinha visto que E gra
electrostático não tem fontes de circulação, “não roda”.
Nas aulas práticas será provada a igualdade matemática

divro
t0


um campo que verifique divB  0 , chama-se solenoidal e neste caso existe um  , tal que


B  rot .
q




Exemplo 2: O campo de indução magnética B verifica a relação divB  0 e, portanto, B  rotA; o

campo vectorial A chama-se potencial vector.
4. Operador Laplaciano
O operador laplaciano é um operador auxiliar.
4.1 Laplaciano de um escalar

2
lapU

div
gra
d
U


U
Usando coordenadas cartesianas, tem-se
2
2
2

U

U

U
lapU
 2 2 2

x 
y 
z

A equação de propagação de uma onda  r , t  toma a forma
2
1

lap

2 2 
0
v
t
4.2 Laplaciano de um vector
Em coordenadas cartesianas tem-se:
Pode-se provar que se tem
 2 2
2





lap

 2 2 2

x 
y 
z






lap

grad
div

rot
rot

para qualquer tipo de coordenadas. Esta relação é de facto a expressão de definição de lap .
4.3 Identidades vectoriais relevantes
Anotamos em seguida algumas identidades vectoriais que serão usadas com frequência, sem as
demonstrar.


grad
(
UV
)
Ugra
d
V

Vgra
d
U
 


div
(
U

)
Udiv


(
gra
d
U
.

)
 


rot
(
U

)
Urot


gra
d
Ux



5. Electrostática no vácuo
5.1 Lei de coulomb da interacção electrostática
Seja duas cargas pontuais no vácuo. A força electrostática que se exerce sobre cada uma delas
devido à presença da outra é dada pelas expressões obtidas experimentalmente por Coulomb:
grad1 r
q1
q2
r
grad2 r

F 2e 

1 q 1q 2
gra
d
2r
4 0 r 2


1 q 1q 2
F1e 
gra
d
1r
4 0 r 2

gra d 1 r  grad 2 r  1


gra d 2 r   gra d 1 r


F 2e   F1e
εo é a constante dieléctrica ou permitividade do vácuo. O valor da permeabilidade magnética μo é
1
1

7

9

12

4
10
H
/
m



10

8
.
854
x
10
F
/
m
0
fixado em 0
.
2
36
c
0

 

6. Sistemas de dimensão e de unidades
i)
Sistemas de dimensões
Grandezas fundamentais: M, L, T, Q
Grandezas derivadas: F, τ,…
Por exemplo:
 

2

F

m
a

F

MLT
2
2


Fd


ML
T
ii)
Sistemas de unidades
____ S.I._____e.c.g.s______________
M kg
g
L
T
Q
F
m
cm
s
s
C ues ( q )
N
dine

J
erg
Pode-se obter


1N=105 dine (obtido a partir de F=ma)
1J=107 erg (obtido a partir de τ=Fd e F=ma)
6.1 Definição de ues (q)
É a carga que colocada em frente de outra igual à distância de 1 cm a repele com a força de 1 dine.
QN#7
1
2

2

1
dine
cm
ues
(
q
)
4
0

6.2 Definição de Coulomb
O Coulomb1 (C) é definido de forma diferente. 1 C em frente de 1 C à distância de 1 m exerce uma
força de repulsão de 9x109 N.
Assim, neste caso, tem-se
1
9
2
2

9
x
10
Nm
C
4

0
Passando as unidade do SI para o sistema e.c.g.s pode-se verificar que
9
1
C3
x
10
ues
(q
)
Podemos facilmente mostrá-lo:
Sabemos
que
1
2

2

1
dine
cm
ues
(
q
)
,
4
0

ou
9 2 
2
2

2
9
x
19
Nm
C

1
dine
cm
ues
(
q
)
Convertendo N para dine, obtemos sucessivamente
9 5
4 2
2
2

2
9
x
10
x
10
dine
10
cm
C

1
dine
cm
ues
(
q
)
18

2

2
9
x
10
C

1
ues
(
q
)
9

1
C

3
x
10
ues
(
q
)
7. Campo electrostático
QN#8
1
Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), físico francês.
seja


e
e

1q
e
0
(
P
)

gra
d
r
F
(
P
)

q
E
(P
).
Define-se E e tal que E
e,
portanto,
P
2
4

0r
O campo electrostático define-se como sendo a força que actua uma carga eléctrica pontual, unitária
e positiva (q=+1) colocada no ponto P.
e
e
e
1
Neste caso E  F em valor numérico. Contudo dimensionalmente E FQ . As unidades
são: NC-1 ou dine.ues(q)-1.
 
Linhas de força do campo:
QN#9

O campo E e é um campo vectorial finito e contínuo em todos os pontos excepto sobre a carga
e

e
P

P
;
E



0
,quando
r


0
(
) e anula-se no infinito ( E
).
r

0
8. Campo electrostático criado por distribuições de carga eléctrica
8.1 Distribuição discreta (ou de cargas pontuais)
QN#10
Exemplo 3: Determine a intensidade e direcção do campo eléctrico no ponto P(-0.2,0,-2.3) criado
por uma carga pontual de + 5 nC situada no ponto Q(0.2,0.1,-2.5) no ar. Use o sistema SI.
QN#11
8.2 Distribuição contínua de carga
i)
Em volume
É conveniente definir-se a densidade volumétrica de carga eléctrica
dq

dt
 Cm3 no sistema
SI
x, y, zmeio não homogéneo
dq dv
q  dv
V
Se   const
. q  V
A partir da expressão para um sistema de cargas pontuais e substituindo qi por dq=ρdv, tem-se




1
e
E
(
P
)
 
gra
d
r
dv
P
2
4
r
0
V

Note que o versor radial grad P r é variável ao longo da integração.
ii)
Em superfície
dq
densidade
sup
erficial
de
c
arg
a eléctrica
dS
q


dS

S

1  
e
E
(
P
)
gra
d
r
dS
P
2

4

r
0S
Repare que o campo não é definido sobre a superfície pois quando r  0 ,
1
é um infinitamente
r2
grande de 2ª ordem.
Exemplo 4: Condutor em equilíbrio electrostático.
QN#14
iii)
Linear
É conveniente introduzir o conceito de densidade linear de carga eléctrica,  
dq
, sendo pois
dl
q  dl

AB
A expressão do campo eléctrico fica então
jk
jjjje` a ffff1
jjjjjjjjjjjjjjk
jjjj
fffffffffffZ
ffffff
E P
g
r
a
d
rd
l
2
P
4


0& r
A
B
O campo é infinito sobre o fio, visto que quando r Y0, 1/r2 Yh é um infinito de segunda ordem e dl
é um infinitésimo de primeira ordem.
Exemplo de aplicação [nº 35 da colecção]
Fio infinito de comprimento l, uniformemente electrizado com uma densidade Calcular o campo
electrostático num ponto P à distância d do fio equidistante dos extremos. No ponto P, o campo é
dirigido segundo xx.
QN#15
9. Potencial eléctrico
Vimos que o campo electrostático é um campo conservativo. No caso de uma carga pontual, tem-se
QN#16
Usando as diferentes unidades físicas introduzidas precedentemente, podemos verificar que
` a
1ues V 300V
Podemos igualmente usar as seguintes unidades para o campo electrostático:
SI  V.m-1
e.c.g.s  ues(V).cm-1
10. Potencial de distribuições de carga
i) Distribuição de cargas pontuais
QN#17
ii) Distribuições contínuas de carga
QN#18
NOTA: Recordamos de novo que sendo Ee=-grad V, Ee é conservativo e portanto,
d e
jk
jjjj
jjjj e
jjjjjjk
jjjj jk
e
jjjj
k
ro
tE0;EEp
0

d e
jk
jjjj
e Bd e
e
jk
jjjj
k
j
j
j
j
jjjj
k
Z EA
Z
dp  EA
dp
&
A
A
B
12. Diferença de potencial entre dois pontos (ou voltagem)

Considere o trabalho realizado pelo campo E e para transportar uma carga q entre os pontos P e Q.
QN#19

A d.d.p. (ou voltagem) entre P e Q é o trabalho realizado pelo campo E e para transportar uma carga
pontual unitária e positiva (q=+1) entre esses pontos.
Se q=+1
D
` a
b cE
V P@
V Q a e
Da expressão anterior tem-se ainda
` a
bc
Q
d e
jk
jjjj
e
jjjj
VP@
VQZ EA
dk
p
P
NOTA:
Note-se que [e]=Q[V],
logo
1J=1Cx1V
1 erg=1 ues(q)x1 ues(V)
1 eV=1.602 x 10-19 J
13. Potencial eléctrico num ponto
A diferença de potencial entre dois pontos é definida univocamente, mas o potencial num ponto tem
um carácter arbitrário.
Atendendo a que |Ee|=0 quando ré usual arbitrar também que V()=0. Neste caso,
` a
1d
jk
jjjje
e
k
j
jjj
` a
VPZ EA
dp V1
P
Pode-se arbitrar V()=0, por exemplo, no caso de uma carga pontual:
QN#20
Arbitrar aqui V()=0 corresponde a anular-se a constante K obtida anteriormente.
Contudo, noutros problemas, como o do fio infinito, ou de um plano também infinito, isso não é
possível.
No caso do fio infinito, tem-se
QN#21
Só se pode assim conhecer o potencial num ponto P a uma distância d a menos do valor do
potencial num ponto Q a uma distância d' [Problema 36 da colectânea de problemas].
QN#22