Aula Teórica nº 3-7 Prof. Responsável: Mário J. Pinheiro 1. Operadores diferenciais (conclusão) d U 0 Exercício 1: Provar que rotgra 1. Usando coordenadas cartesianas. u x u y u z 2 2 U U rot grad U u ... 0 x x y z y z z y U U U x y z 2. Usando o Teorema de Stokes rot . n dS . d p S logo rot dS gra gra d U .n d U .d p S 0 dU dU, logo que seja o vector rot gra rot gra d U 0 Vamos agora introduzir uma outra condição necessária e suficiente (para lém das 3 condições que já introduzimos anteriormente) para que um campo seja conservativo: d U 0e gra dUé conservativo, tem-se 3. Como rotgra rot 0 Isto significa que um campo conservativo é um campo irrotacional. Exemplo 1: Campo electrostático criado por uma carga pontual. 1q e E P gra d r P 2 4 or e dV. Logo, tem-se rotEe 0. O campo Recordamos aqui que já se tinha visto que E gra electrostático não tem fontes de circulação, “não roda”. Nas aulas práticas será provada a igualdade matemática divro t0 um campo que verifique divB 0 , chama-se solenoidal e neste caso existe um , tal que B rot . q Exemplo 2: O campo de indução magnética B verifica a relação divB 0 e, portanto, B rotA; o campo vectorial A chama-se potencial vector. 4. Operador Laplaciano O operador laplaciano é um operador auxiliar. 4.1 Laplaciano de um escalar 2 lapU div gra d U U Usando coordenadas cartesianas, tem-se 2 2 2 U U U lapU 2 2 2 x y z A equação de propagação de uma onda r , t toma a forma 2 1 lap 2 2 0 v t 4.2 Laplaciano de um vector Em coordenadas cartesianas tem-se: Pode-se provar que se tem 2 2 2 lap 2 2 2 x y z lap grad div rot rot para qualquer tipo de coordenadas. Esta relação é de facto a expressão de definição de lap . 4.3 Identidades vectoriais relevantes Anotamos em seguida algumas identidades vectoriais que serão usadas com frequência, sem as demonstrar. grad ( UV ) Ugra d V Vgra d U div ( U ) Udiv ( gra d U . ) rot ( U ) Urot gra d Ux 5. Electrostática no vácuo 5.1 Lei de coulomb da interacção electrostática Seja duas cargas pontuais no vácuo. A força electrostática que se exerce sobre cada uma delas devido à presença da outra é dada pelas expressões obtidas experimentalmente por Coulomb: grad1 r q1 q2 r grad2 r F 2e 1 q 1q 2 gra d 2r 4 0 r 2 1 q 1q 2 F1e gra d 1r 4 0 r 2 gra d 1 r grad 2 r 1 gra d 2 r gra d 1 r F 2e F1e εo é a constante dieléctrica ou permitividade do vácuo. O valor da permeabilidade magnética μo é 1 1 7 9 12 4 10 H / m 10 8 . 854 x 10 F / m 0 fixado em 0 . 2 36 c 0 6. Sistemas de dimensão e de unidades i) Sistemas de dimensões Grandezas fundamentais: M, L, T, Q Grandezas derivadas: F, τ,… Por exemplo: 2 F m a F MLT 2 2 Fd ML T ii) Sistemas de unidades ____ S.I._____e.c.g.s______________ M kg g L T Q F m cm s s C ues ( q ) N dine J erg Pode-se obter 1N=105 dine (obtido a partir de F=ma) 1J=107 erg (obtido a partir de τ=Fd e F=ma) 6.1 Definição de ues (q) É a carga que colocada em frente de outra igual à distância de 1 cm a repele com a força de 1 dine. QN#7 1 2 2 1 dine cm ues ( q ) 4 0 6.2 Definição de Coulomb O Coulomb1 (C) é definido de forma diferente. 1 C em frente de 1 C à distância de 1 m exerce uma força de repulsão de 9x109 N. Assim, neste caso, tem-se 1 9 2 2 9 x 10 Nm C 4 0 Passando as unidade do SI para o sistema e.c.g.s pode-se verificar que 9 1 C3 x 10 ues ( q ) Podemos facilmente mostrá-lo: Sabemos que 1 2 2 1 dine cm ues ( q ) , 4 0 ou 9 2 2 2 2 9 x 19 Nm C 1 dine cm ues ( q ) Convertendo N para dine, obtemos sucessivamente 9 5 4 2 2 2 2 9 x 10 x 10 dine 10 cm C 1 dine cm ues ( q ) 18 2 2 9 x 10 C 1 ues ( q ) 9 1 C 3 x 10 ues ( q ) 7. Campo electrostático QN#8 1 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), físico francês. seja e e 1q e 0 ( P ) gra d r F ( P ) q E (P ). Define-se E e tal que E e, portanto, P 2 4 0r O campo electrostático define-se como sendo a força que actua uma carga eléctrica pontual, unitária e positiva (q=+1) colocada no ponto P. e e e 1 Neste caso E F em valor numérico. Contudo dimensionalmente E FQ . As unidades são: NC-1 ou dine.ues(q)-1. Linhas de força do campo: QN#9 O campo E e é um campo vectorial finito e contínuo em todos os pontos excepto sobre a carga e e P P ; E 0 ,quando r 0 ( ) e anula-se no infinito ( E ). r 0 8. Campo electrostático criado por distribuições de carga eléctrica 8.1 Distribuição discreta (ou de cargas pontuais) QN#10 Exemplo 3: Determine a intensidade e direcção do campo eléctrico no ponto P(-0.2,0,-2.3) criado por uma carga pontual de + 5 nC situada no ponto Q(0.2,0.1,-2.5) no ar. Use o sistema SI. QN#11 8.2 Distribuição contínua de carga i) Em volume É conveniente definir-se a densidade volumétrica de carga eléctrica dq dt Cm3 no sistema SI x, y, zmeio não homogéneo dq dv q dv V Se const . q V A partir da expressão para um sistema de cargas pontuais e substituindo qi por dq=ρdv, tem-se 1 e E ( P ) gra d r dv P 2 4 r 0 V Note que o versor radial grad P r é variável ao longo da integração. ii) Em superfície dq densidade sup erficial de c arg a eléctrica dS q dS S 1 e E ( P ) gra d r dS P 2 4 r 0S Repare que o campo não é definido sobre a superfície pois quando r 0 , 1 é um infinitamente r2 grande de 2ª ordem. Exemplo 4: Condutor em equilíbrio electrostático. QN#14 iii) Linear É conveniente introduzir o conceito de densidade linear de carga eléctrica, dq , sendo pois dl q dl AB A expressão do campo eléctrico fica então Ee P 1 r d l grad P r 4 0 Fio 2 O campo é infinito sobre o fio, visto que quando r 0, 1/r2 é um infinito de segunda ordem e dl é um infinitésimo de primeira ordem. Exemplo de aplicação [nº 35 da colecção] Fio infinito de comprimento l, uniformemente electrizado com uma densidade Calcular o campo electrostático num ponto P à distância d do fio equidistante dos extremos. No ponto P, o campo é dirigido segundo xx. QN#15 9. Potencial eléctrico Vimos que o campo electrostático é um campo conservativo. No caso de uma carga pontual, tem-se QN#16 Usando as diferentes unidades físicas introduzidas precedentemente, podemos verificar que ` a 1ues V 300V Podemos igualmente usar as seguintes unidades para o campo electrostático: SI V.m-1 e.c.g.s ues(V).cm-1 10. Potencial de distribuições de carga i) Distribuição de cargas pontuais QN#17 ii) Distribuições contínuas de carga QN#18 NOTA: Recordamos de novo que sendo Ee=-grad V, Ee é conservativo e portanto, rot E e 0 ; E e dl 0 AB B E e dl E e dl A 12. Diferença de potencial entre dois pontos (ou voltagem) Considere o trabalho realizado pelo campo E e para transportar uma carga q entre os pontos P e Q. QN#19 A d.d.p. (ou voltagem) entre P e Q é o trabalho realizado pelo campo E e para transportar uma carga pontual unitária e positiva (q=+1) entre esses pontos. Se q=+1 V P V Q e Da expressão anterior tem-se ainda Q V P V Q E e dp P NOTA: Note-se que [e]=Q[V], logo 1J=1Cx1V 1 erg=1 ues(q)x1 ues(V) 1 eV=1.602 x 10-19 J 13. Potencial eléctrico num ponto A diferença de potencial entre dois pontos é definida univocamente, mas o potencial num ponto tem um carácter arbitrário. Atendendo a que |Ee|=0 quando ré usual arbitrar também que V()=0. Neste caso, V P E e dp V P Pode-se arbitrar V()=0, por exemplo, no caso de uma carga pontual: QN#20 Arbitrar aqui V()=0 corresponde a anular-se a constante K obtida anteriormente. Contudo, noutros problemas, como o do fio infinito, ou de um plano também infinito, isso não é possível. No caso do fio infinito, tem-se QN#21 Só se pode assim conhecer o potencial num ponto P a uma distância d a menos do valor do potencial num ponto Q a uma distância d' [Problema 36 da colectânea de problemas]. QN#22