UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAC¸ ˜AO LATINO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO
LATINO-AMERICANA
Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza
Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza
GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
1a Lista de exercı́cios
1. Encontre a abscisa do ponto M sendo que a ordenada é igual a 4 e que a distância ao ponto
N = (1, −2) é igual a 10 unidades.
2. Os seguintes triângulos são isósceles ou retângulos? Sendo seus vértices:
a) (−3, 4), (4, 3) e (0, 0).
b) (−4, −2), (−3, 5) e (0, 1).
3. Encontre no eixo X um ponto que diste 5 unidades do ponto P = (−3, 1).
4. Ache no eixo Y um ponto M equidistante do origem de coordenadas e de (3, −5).
5. Encontre no eixo X um ponto equidistante dos pontos P = (−1, 0) e Q = (7, −4).
6. Determine o centro e o raio do cı́rculo dado pela equação:
a) C = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 − 4x + 6y = 0}.
b) C = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 + 3x − 5y + 1 = 0}.
7. Dados dois pontos A e B do plano π, seja R o conjunto dos pontos equidistantes de A e B, ou seja:
R = {P ∈ π; d(P, A) = d(P, B)}.
Mostre algebricamente que R é a mediatriz do segmento AB, isto é, R é a reta perpendicular
ao segmento AB que passa pelo ponto médio M de AB.
8. Dado o ponto P = (x, y), considere os pontos P 0 = (−y, x) e P 00 = (y, −x). Mostre que os pontos P 0
e P 00 são obtidos a partir do ponto P por uma rotação de 90o do segmento OP em torno da origem.
Convencionamos dizer que a rotação de 90o que leva o ponto P = (x, y) ao ponto P 0 = (−y, x) tem
sentido positivo, e que a rotação de 90o que leva o ponto P ao ponto P 00 tem sentido negativo.
9.
Um quadrado, de lado igual a 8, tem seu centro na origem e seus lados são paralelos aos eixos
coordenados. Encontre as coordenadas de seus quatro vértices.
10. Três vértices de um retângulo são os pontos (2, −1), (7, −1) e (7, 3). Encontre o quarto vértice e a
área do retângulo.
11. Os vértices de um triângulo retângulo são os pontos (1, −2), (4, −2) e (4, 2) . Determinar os
comprimentos dos catetos e depois calcular a área do triângulo e o comprimento da hipotenusa.
12. No triângulo retângulo do exercı́cio 11, determinar primeiro os pontos médios dos catetos e, depois,
o ponto médio da hipotenusa.
13. Os vértices de um quadrilátero são os pontos (1, 3), (7, 3), (9, 8) e (3, 8). Demonstrar que o
quadrilátero é um paralelogramo e calcular sua área.
13. Dois dos vértices de um triângulo equilátero são os pontos (−1, 1) e (3, 1). Encontre as coordenadas
do terceiro vértice.
14. Demonstrar que os pontos (−5, 0), (0, 2) e (0, −2) são vértices de um triângulo isósceles, e calcular
seu área.
15 . Demonstrar que os pontos (0, 0), (3, 4), (8, 4) e (5, 0) são os vértices de um losango e calcular sua
área.
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16. Sejam A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2 ) pontos extremos de um segmento AB e sejam (x, y) as
AP
coordenadas de um ponto P que divide o segmento AB na proporção r =
. Mostre que
PB
x=
x1 + rx2
1+r
e
y1 =
y1 + ry2
.
1+r
17. Sejam A = (−4, 2) e B = (4, 6) são pontos extremos do segmento AB. Seja P um ponto contido na
reta que passa por AB de modo que P encontra-se ao lado direito do ponto B. Se d(A, P ) = 3d(P, B)
encontre as coordenadas do ponto P .
18. Encontre o perı́metro do quadrilátero cujos vértices são (−3, −1), (0, 3), (3, 4) e (4, −1).
19. Demonstrar que os pontos (−2, −1), (2, 2) e (5, −2) são vértices de um triângulo isósceles.
20. Demonstrar que os pontos (2, −2), (−8, 4), (5, 3) são os vértices de um triângulo retângulo, e
encontre sua área.
21. Demonstrar que os três pontos (12, 1), (−3, −2) e (2, −1) são colineares, isto é, estão contidos numa
mesma reta.
22. Demonstrar que os pontos (0, 1), (3, 5), (7, 2) e (4, −2 são os vértices de um quadrado.
23. Os vértices de um triângulo são A = (3, 8), B = (2, −1) e C = (6, −1). Se D é o ponto médio de
BC, calcular o comprimento da mediana AD.
24. Demonstrar que os quatro pontos (1, 1), (3, 5), (11, 6) e (9, 2) são os vértices de um paralelogramo.
25. Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos (0, 0), (1, 2) e (3, −4) .
26. Um dos extremos de um segmento de comprimento 5 é o ponto (3, −2). Se a abscisa do ponto
extremo é 6, encontre sua ordenada.
27. Determinar a equação algébrica que expressa o fato que o ponto (x, y) equidiste dos pontos (−3, 5)
e (7, −9).
28. Encontre os pontos de trissecção e ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos (−2, 3)
e (6, −3).
29. Os pontos extremos de um segmento são (2, 4) e (8, −4). Encontre o ponto P que encontra-se ao
lado direito de B e d(P, A) = 2d(B, P ).
30. Um dos pontos extremos de um segmento é o ponto (7, 8) e seu ponto médio é (4, 3). Encontre o
outro extremo.
31. Os extremos de um segmento são os pontos A = (7, 4) e B = (−1, −4). Encontre a proporção
d(A, P )/d(B, P ) na qual o ponto P = (1, −2) divide ao segmento AB.
32. Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2) e (1, 1). Encontre as coordenadas dos
três vértices.
33. Os vértices de um triângulo são A = (−1, 3), B = (3, 5) e C = (7, −1). Se D é o ponto médio do
lado AB e E é o ponto médio do lado BC, demonstrar que o comprimento do segmento DE é a
metade do comprimento do lado AC.
34. No triângulo retângulo do exercı́cio 20, demonstrar que o ponto médio da hipotenusa equidista dos
três vértices.
35. Demonstrar que os segmentos que unem os pontos médios dos lados consecutivos do quadrilátero
do exercı́cio 18 formam um paralelogramo.
36. Os vértices de um triângulo são (2, −1) , (−4, 7) e (8, 0). Encontre, para cada um das medianas, o
ponto de trisseção mais perto ao ponto médio do lado correspondente. Demonstrar que este ponto
é o mesmo para cada uma das medianas e, por tanto, que as medianas concorrem num ponto. Este
ponto é chamado de baricentro do triângulo.
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37. Em um triângulo cujos vértices são (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) e (x3 , y3 ) demonstrar que as coordenadas do
baricentro são
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
,
.
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Utilizar este resultado para verificar o exercı́cio 36.
Foz de Iguaçu, 25 de março de 2015
Vı́ctor Arturo Martı́nez León
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