LISTA DE EXERCÍCIOS #1 - MECˆANICA ESTATÍSTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS #1 - MECÂNICA ESTATÍSTICA
1. Uma empresa tem 5 gerentes e 15 estagiários. Deseja-se formar grupos contendo 1 gerente e 3 estagiários. Quantos
grupos podem ser formados?
2. Considere a palavra ESTATISTICA.
(a) Qual o número de anagramas (permutações simples) podemos formar com essa palavra?
(b) Qual o número de anagramas em que os dois AA aparecem juntos?
3. Considere um baralho normal, com 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe. Determine a probabilidade dos
seguintes eventos, quando se retira uma carta do baralho:
(a) A carta é uma dama de ouro.
(b) A carta é um valete.
(c) A carta é do naipe de paus.
4. Dados 3 dados sem vı́cio, qual a probabilidade de, ao serem lançados, a soma dos números que saem ser
(a) Igual a 5.
(b) Menor ou igual a 5.
5. A moeda do Duas Caras é uma moeda viciada. Ela fornece um resultado CARA com probabilidade três vezes
maior do que um resultado COROA. Um resultado COROA é favorável a Batman, um resultado CARA é muito
desfavorável.
(a) Escreva a função densidade de probabilidade P(x), onde x representa a saı́da da moeda, que pode ser
CARA (x = 0) ou COROA (x = 1).
(b) Obtenha a função caracterı́stica f (k).
(c) Qual a probabilidade de Batman estar vivo após N jogadas da moeda?
(d) Qual a probabilidade de sobreviver a N − 1 lançamentos e morrer no N -ésimo lançamento?
6. No jogo MegaSena 6 números são sorteados entre 60. O jogo mais simples consiste em um cartão com 6 números.
Qual a probabilidade de ganhar na MegaSena jogando-se apenas um cartão?
7. Mostre que
h(x − hxi)2 i = hx2 i − hxi2
h(x − hxi)3 i = hx3 i − 3hxihx2 i + 2hxi3
8. Considere um dado de seis faces sem vı́cio.
(a) Escreva a função densidade de probabilidade P(x), onde x representa um número de 1 a 6. Em seguida,
determine, a partir de P(x), hxi, hx2 i e hx3 i.
(b) Determine os cumulantes C1 , C2 e C3 para P(x), lembrando que C1 = hxi e Cn = h(x − hxi)n i, n > 2.
(c) Determine a função caracterı́stica f (k). Mostre que f (k) pode ser escrita como
f (k) =
e
7ik
2
6
sen(3k)
sen( k2 )
Pode ser útil recordar a soma dos n primeiros termos de uma PG finita de razão r e termo inicial a0 , dada
por
1
Sn =
Outra expressão útil é
a0 (1 − rn )
1−r
sen θ =
eiθ − e−iθ
2i
(d) Lembrando que
hxn i = (−i)n lim
k→0
dn f (k)
dk n
Determine hxi a partir de f (k), e compare com o resultado obtido no item (8a). Pode ser útil recordar o
limite fundamental
lim
t→0
sen t
=1
t
(e) Determine a função caracterı́stica fN (k) para N lançamentos independentes dos dados. Considerando que
N
P
xi , determine hyi a partir de fN (k).
a variável aleatória y é dada por y =
i=1
9. Considere um dado tetraédrico (4 faces) viciado, com números de 1 a 4.
(a) Sabe-se que a probabilidade de um número par é o dobro da de um número ı́mpar. Sabe-se, também, que os
números pares têm igual probabilidade entre si, e, da mesma forma, os números ı́mpares entre si. Determine
as probabilidades de obtenção de números pares e ı́mpares.
(b) Escreva a função densidade de probabilidade P(x), onde x representa um número de 1 a 4.
(c) Qual a probabilidade de, ao lançar o dado, sair um número par?
(d) Determine hxi e σ 2 = hx2 i − hxi2 .
(e) Determine a função caracterı́stica f (k). Algumas expressões do exercı́cio (8) podem ser úteis.
10. Dadas cinco moedas sem vı́cio, determine
(a) Número de microestados possı́veis, representando todos eles.
(b) Número de macroestados possı́veis, organizando os microestados nesses macroestados. A variável aleatória,
nesse caso, é o número total de CARAS.
(c) Probabilidade de obter duas CARAS ao lançar as cinco moedas.
11. Considerando um caminhante aleatório, e sendo m = n1 − n2 , onde n1 é o número total de passos para a direita
e n2 é o número total de passos para a esquerda, ache hm3 i.
12. Dada a distribuição binomial
PN (n) =
N!
pn q N −n
n!(N − n)!
(1)
onde q = 1 − p, mostre que, quando p ≪ 1, e n ≪ N , com N → ∞, esta distribuição se torna a distribuição de
Poisson
P (n) =
λn −λ
e
n!
Para isso, mostre que (a) ln(1 − p) ≈ −p, (b) (1 − p)N −n ≈ e−N p e (c)
2
(2)
N!
(N −n)!
≈ N n . Em seguida, obtenha (2).
13. Mostre que a distribuição de Poisson (2) está corretamente normalizada, ou seja,
N
X
P (n) = 1
(3)
n=0
Note que, como N → ∞ e n ≪ N , a soma em (3) pode ser estendida até o infinito. Em seguida, calcule hni e
hn2 i − hni2 . Algumas manipulações envolvendo séries podem ser necessárias.
14. Um livro contém 900 páginas, e há 450 erros de digitação que ocorrem de forma aleatória ao longo do texto.
(a) Qual a probabilidade de que uma página não contenha nenhum erro?
(b) Qual a probabilidade de que uma página contenha, no mı́nimo, dois erros?
15. Numa certa caminhada aleatória, a densidade de probabilidade associada a um passo de tamanho entre s e s + ds
é dada por
h (s − ℓ)2 i
1
P(s) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
(4)
que é a distribuição Gaussiana. Aqui, ℓ e σ são constantes.
(a) Obtenha a densidade de probabilidade PN (x) associada a N passos independentes, onde x =
N
P
si . Sugere-
i=1
se achar, inicialmente, a função caracterı́stica f (k) e, depois, fN (k), obtendo PN (x) a partir de fN (k).
(b) Determine hxi e hx2 i − hxi2 .
16. Um gás formado por N0 moléculas não interagentes ocupa um recipiente de volume V0 . Não há preferência de
localização por parte das moléculas. Suponha que a probabilidade de uma dada molécula ocupar um volume V
dentro de V0 é dada por VV0 , e considere que haja N moléculas dentro de V .
(a) Qual a probabilidade PN0 (N ) de achar N moléculas dentro de V , considerando as N0 moléculas no total?
(b) Determine hN i.
(c) Ache a dispersão relativa
DR =
hN 2 i − hN i2
hN i2
(5)
(d) O que ocorre com a dispersão relativa (5) no limite V ≪ V0 ?
(e) O que ocorre com a dispersão relativa (5) no limite V → V0 ? Esse resultado concorda com o que você
esperaria?
(f) Escreva a densidade de probabilidade PN0 (N ) associada com a probabilidade de encontrar o número de
moléculas em V na faixa [N, N + dN ]. Lembre que a distribuição binomial discreta se transforma numa
certa distribuição contı́nua quando N0 é grande e ∆N é pequeno.
17. A distribuição de Maxwell para os valores do módulo da velocidade das moléculas num gás é dada por
g(v) = αv 2 e−γv
2
onde α e γ não dependem de v, e g(v) é a probabilidade de encontrar v = |~v | na faixa [v, v + dv]. A forma
explı́cita para g(v) será obtida posteriormente.
(a) Considerando que g(v) deve estar corretamente normalizada, expresse α em termos de γ. Uma expressão
útil é
r
Z ∞
2
1 π
e−βx dx =
2 β
0
Como sempre, pode ser necessário algum tipo de manipulação algébrica.
(b) Determine hvi, hv 2 i e hv 3 i, expressando o resultado em termos de γ e constantes numéricas.
(c) Ache os cumulantes C1 , C2 e C3 .
3