Universidade Federal do ABC Centro de Matemática, Computaç ˜ao

Universidade Federal do ABC
Centro de Matemática, Computação e Cognição
Introdução à Probabilidade e Estatı́stica (2016) – 2o Quadrimestre
Semana 1: Introdução à Teoria de Probabilidades — Turmas: A4-Noturno & B1-Diurno
I.
Interpretação do Conceito de Probabilidade
1. Diga, justificando, quais das seguintes quantidades numéricas não representam a probabilidade de um evento:
(a) 0
(b) 0.33
1
(c)
π
(d) 1 ÷ π
(e) 2e − π, onde e denota o número de Neper
(f) 10−3
(g) −1
(h) 75%
2 3
(i) ÷
3 5
2. Diga, justificando, se as afirmações abaixo correspondem a exemplos de probabilidade
clássica, frequencista ou subjetiva:
(a) Sempre que me dói a rótula do joelho, é certo que choverá no dia seguinte.
(b) De acordo com os registros de uma empresa, a probabilidade de que uma máquina
de lavar precise de reparos durante um perı́odo de 6 anos é de 0.10.
(c) Numa moeda viciada, a probabilidade de sair coroa, ao fim de 20 lançamentos, é de
2
1
enquanto que a probabilidade de sair face é de .
3
3
(d) De acordo com um ibope de uma empresa de sondagens, a população de um paı́s tem
48% de homens e 52% de mulheres.
(e) A probabilidade de escolher 6 números de 1 a 40 que sejam os seis números sorteados
1
na loteria é de
.
3838380
(f) Segundo o ministro da fazenda de um governo ”a inflação para o próximo ano será
de 9% com uma probabilidade de 0.95”. A oposição afirma que ”tal nı́vel de inflação
só será atingido com probabilidade de 0.30”.
(g) Ao fim de 1000 lançamentos de um dado, verificou-se que a probabilidade de sair o
face 4 é o triplo de sair qualquer outra face.
II. Teoria de Conjuntos
1. Para quaisquer conjuntos A, B e C mostre que:
(a) Se Ac é o complementar de A, então A é o complementar de Ac (i.e. (Ac )c = A).
(b) Se A ⊂ B, então B c ⊂ Ac .
(c) São válidas as leis de Morgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c & (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
(d) São válidas as propriedades distributivas
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) & A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
(e) A ∩ B e A ∩ B c são conjuntos disjuntos. Adicionalmente, são válidas as seguintes
partições de conjuntos:
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) & A ∪ B = B ∪ (A ∩ B c ).
2. O atendente de um centro médico codifica os pacientes que chegam ao pronto-socorro
de acordo com terem ou não um plano de saude (codificando 1 para aqueles que tem
convênio e 0 para aqueles que não têm) e de acordo com sua condicão fı́sica: (b) para
boa, (r) para regular e (s) para séria.
Considere o experimento de selecionar ao acaso um paciente que chega ao pronto-socorro
de acordo com tal codificação.
(a) Defina o espaço amostral para este experimento.
(b) se A é o evento que o paciente está em séria condições, especifique os resultados em
A.
(c) se B é o evento que o paciente não tem convênio, especifique os resultados em B.
(d) Liste os resultados A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B c & A ∪ B c .
(e) Com base nas leis de Morgan, determine os eventos Ac ∩ B & Ac ∪ B.
III. Definição de Probabilidade
1. Sejam A e B dois eventos disjuntos tais que P (A) = 0.256 e P (B) = 0.623. Determine
qual é a probabilidade de que
(a) Não ocorra A.
(b) A ou B ocorra.
(c) A ocorra, mas B não ocorra.
2. Prove que para quaisquer dois eventos A e B:
(a) P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ).
(b) A probabilidade que aconteça apenas um dos dois é dada por
P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B).
3. Para dois eventos A e B com probabilidade P (A) = 0.562 e P (B) = 0.708, respetivamente, determine
(a) Os valores máximo e mı́nimo de P (A ∩ B).
(b) O valor de P (A ∪ B) de modo a que o valor de P (A ∩ B) seja máximo ou mı́nimo,
respetivamente.
4. Prove que para quaisquer três eventos A, B e C se tem a igualdade
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)
− P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+ 2P (A ∩ B ∩ C).
(i) O que pode concluir da igualdade anterior no caso de C = ∅?
(ii) Quanto vale P (A ∩ B) e P (Ac ∪ B c ) no caso de substituirmos C por Ω na igualdade
anterior?
Sugestão: Recorra a um diagrama de Venn para representar a união dos eventos A, B e
C.
5. Em determinada cidade, uma população de leitores foi inquirida sobre as suas preferências relativamente a três jornais diários, A, B e C. Os resultados obtidos foram
os seguintes:
Revista
Leitores (%)
A
9.8
B
22.9
C
12.1
AeB
5.1
AeC
3.7
BeC
6.0
AeBeC
2.4
Qual a probabilidade de, um leitor escolhido ao acaso, ser leitor de:
(a) Somente dos jornais A e C.
(b) De pelo menos um dos jornais.
(c) De nenhum dos jornais.
IV. Espaços Amostrais
1. Identifique os espaços de eventos dos seguintes experimentos de probabibilidade:
(a) Um computador é usado para selecionar aleatoriamente um número entre 1 e 2000. O
evento A consiste em selecionar os números terminados em 9 enquanto que o evento
B consiste em selecionar um número menor que 200.
(b) Você seleciona uma carta de um baralho normal (52 cartas). O evento A consiste
em selecionar um rei enquanto que o evento B consiste em selecionar uma carta do
naipe de espadas.
2. Admita-se a seguinte experiência aleatória: contagem do número de peças produzidas
por uma máquina até aparecer uma peça defeituosa.
(a) Determine o espaço amostral Ω.
(b) Determine o evento A: contam-se 8 peças até sair uma defeituosa.
(c) Determine o evento B: conta-se um número par de peças até sair uma defeituosa.
3. Diga, justificando, por que os dados mencionados na afirmação abaixo são incorretos:
”Os seguintes dados foram obtidos em uma pesquisa feita com 1000 entrevistados: 312
profissionais liberais, 470 pessoas casadas, 525 pessoas com superior completo, 42
profissionais liberais com superior completo, 147 pessoas casadas com superior completo, 86 profissionais liberais casados e 25 profissionais liberais casados com curso
superior completo.”
4. Suponha que você joga dois dados honestos, numerados de 1 a 6. Determine a probabilidade de obter como soma:
(a) o número 13.
(b) um número par.
(c) um número primo.
(d) um múltiplo de 5.
(e) um múltiplo de 7.
5. Genes relacionados ao albinismo são denotados por A e a. Somente as pessoas que
recebem o gene a do pai e da mãe serão albinos. Pessoas carregando o par (A, a) ou
(a, A) serão normais na aparência mas, como eles podem passar a caracterı́stica para
seus descendentes, são chamados portadores.
Supondo que o filho não albino se case com uma pessoa que sabe-se ser portadora de
albinismo, qual é a probabilidade de que um dos filhos do casal:
(a) Seja albino.
(b) Seja portador de albinismo.
(c) Seja normal.
6. Considere o seguinte experimento aleatório: lançamento de duas moedas, sendo uma
delas honesta e uma outra viciada. Assumindo que a probabilidade de sair face na moeda
viciada é o dobro da probabilidade de sair coroa, determine:
(a) A probabilidade de sair duas faces.
(b) A probabilidade de sair uma face e uma coroa.
Última atualização: 08 de junho de 2016
c Prof. Nelson José Rodrigues Faustino