Oscilador Harmôn - Instituto de Física / UFRJ

IF/UFRJ – Física II – 2010/2 – Raimundo
Turmas IFA/OV1/IGM1/MAB/MAI/MAA/BCMT
3a Lista de Problemas – Oscilador Harmônico
1. [RHK4-15.3] A freqüência de vibração dos átomos num sólido a temperaturas
usuais é da ordem de 10,0 THz. Suponha que os átomos estejam presos uns aos
outros por “molas”. Considere que um único átomo de prata vibre com esta
freqüência e que todos os demais átomos estejam em repouso. Calcule a constante
de força efetiva. Um mol de átomos de prata tem 108 g de massa e contém 6,02 x
1023 átomos.
2. [RHK4-15.6] Num barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e para trás com
um curso de 2,00 mm. O movimento é harmônico simples, com freqüência de 120
Hz. Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a aceleração
máxima da lâmina.
3. [RHK4-15.7] No que se refere às oscilações verticais, podemos considerar que um
carro está montado sobre quatro molas. As molas de certo carro, de massa 1.460 kg,
estão ajustadas para vibrarem com a freqüência de 2,95 Hz. (a) Encontre a constante
de força de cada uma das quatro molas, supostas idênticas. (b) Qual será a
freqüência de vibração quando no carro houver cinco pessoas, cada uma com massa
de 73,2 kg?
4. [Serway-12.49] Uma bola de massa m é conectada com dois elásticos de
comprimento L, cada um deles sob tensão T, como na
figura ao lado. A bola é deslocada de uma pequena
distância, y, perpendicular ao comprimento dos elásticos.
Supondo que a tensão não se altere, mostre que (a) a força
restauradora é –(2T/L) y, e (b) o sistema executa MHS
com freqüência angular
.
5. [Serway-12.51] Imagine que um túnel seja perfurado
através do centro da Terra, de um lado a outro. Mostre que
uma partícula de massa m neste túnel executa um MHS de
freqüência
, onde ρ e G são,
respectivamente a densidade de massa da Terra (suposta
uniforme) e a constante de gravitação universal. Obtenha
uma estimativa para o período destas oscilações. Dados:
densidade média da Terra, ρ = 5.520 kg/m3; constante
gravitacional, G = 6,67 × 10 11 m3/s2⋅kg.
6. [HMN-3.13] Uma bolinha homogênea de massa m e raio r
rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio R >> r,
na vizinhança do fundo, ou seja, com θ << 1 (veja a figura
ao lado). Mostre que o movimento é harmônico simples,
−
com freqüência angular
.
7. [RHK4-15.14] Dois blocos (m = 1,22 kg e M = 8,73 kg) e uma determinada mola (k
= 344 N/m) estão arranjados em uma superfície horizontal, sem atrito, como mostra
a figura ao lado. O coeficiente de atrito estático
entre os blocos é 0,42. Determine a amplitude
máxima possível do movimento harmônico simples
para que não haja deslizamento entre os blocos.
8. [RHK4-15.16] Um bloco está sobre um pistão que
executa um movimento harmônico simples vertical. (a) Para que valor da amplitude
o bloco se separa do pistão, sabendo-se que o período do movimento é de 1,18 s? (b)
Determine a freqüência máxima para a qual bloco e pistão permanecerão em contato
continuamente, para uma amplitude de 5,12 cm.
9. [RHK4-15.19] Duas partículas oscilam, com movimento harmônico simples, ao
longo de um mesmo segmento de reta, de comprimento L. Elas têm o mesmo
período de 1,50 s e fases que diferem de 30,0o. (a) Qual será a distância entre elas,
em termos de L, 0,500 s depois que a partícula atrasada deixar um dos extremos da
trajetória? (b) Elas estão se movendo no mesmo sentido, uma se aproximando da
outra, ou estão se afastando neste instante?
10. [RHK4-15.21] Duas molas estão presas a um bloco
de massa m, que pode deslizar sem atrito numa
superfície horizontal, como mostrado na figura ao
lado. Mostre que a freqüência de oscilação do bloco
é
.
11. [RHK4-15.22] Ligam-se duas molas, de constantes de força k1 e k2, e no extremo de
uma delas prende-se um bloco de massa m, como
ilustrado na figura ao lado. Mostre que a
freqüência de oscilação do bloco será
.
12. [RHK4-15.35] Considere uma determinada mola sem massa e de constante elástica
k num campo gravitacional uniforme. Um objeto
de massa m está suspenso nela. (a) Mostre que,
sendo x = 0 a posição da extremidade da mola
sem carga, a posição de equilíbrio estático é dada
por x0 = mg/k; veja a figura. (b) Mostre que a
equação de movimento do sistema massa-mola é
, e que a solução para o
deslocamento, como função do tempo é
, onde ω2 = k/m, como
na horizontal. (c) Mostre, portanto, que os valores
de ω, v, a, f, e T na presença de um campo gravitacional são os mesmos que em sua
ausência, com a diferença de a posição de equilíbrio está deslocada de mg/k. (d)
Considere agora a energia do sistema, mv2/2+kx2/2+mg(h-x) = constante, e mostre
que, diferenciando com relação ao tempo, obtém-se a equação do movimento da
parte (b). (e) Mostre que, quando o objeto cai de x = 0 até a posição de equilíbrio
estático, x0, a energia potencial gravitacional se transforma metade em energia
potencial elástica, e metade em energia cinética. (f) Considere, finalmente, a massa
em movimento em torno da posição de equilíbrio estático. Calcule, separadamente, a
variação da energia potencial (gravitacional e elástica), quando o objeto se mover
para cima, e quando se mover para baixo percorrendo a mesma distância A, em
ambos os casos. Mostre que a variação total na energia potencial é a mesma em cada
caso, ou seja, kA2/2. Em vista dos resultados (c) e (f), podemos simplesmente
ignorar o campo gravitacional uniforme na análise, meramente deslocando a posição
de referência de x = 0 para x = x0. A nova curva de energia potencial tem a mesma
forma parabólica que no caso sem campo, porém deslocada; esboce a nova curva.
13. [RHK4-15.24] Uma dada mola de massa desprezível e constante
elástica igual a 3,60 N/cm é partida em dois pedaços iguais. (a)
Qual é a constante elástica de cada pedaço? (b) Os dois pedaços,
suspensos separadamente, suportam um bloco de massa M (veja a
figura ao lado), que vibra com freqüência de 2,87 Hz; determine a
massa M.
14. [RHK4-15.23] Três carros de transportar minério, de 10.000 kg
cada, estão em repouso num trilho ferroviário de mina,
inclinado de 26,0o, sustentados por um cabo paralelo à
inclinação. Observa-se que o cabo tem a distensão de
14,2 cm exatamente antes de quebrar-se o engate entre
os carros, liberando um deles. (a) Determine a
freqüência de oscilação resultante dos dois carros
remanescentes, e (b) a amplitude das oscilações.
15. [Serway-12.47] Um bloco de massa M é conectado com uma mola de massa m, e
oscila em movimento harmônico simples em uma
superfície horizontal sem atrito; veja a figura ao lado.
A constante de força da mola é k e o comprimento de
equilíbrio é ℓ. Determine (a) a energia cinética do
sistema quando o bloco tem velocidade v, e (b) o
período da oscilação. [Sugestão: Suponha que todas
as porções da mola oscilam em fase e que a velocidade vx de um segmento dx é
proporcional à posição x do segmento a partir da extremidade fixa; isto é, vx = (x/ℓ)
v. Observe também que a massa de um segmento da mola é dm = (m/ℓ) dx.]
16. [RHK4-15.34] Um bloco de massa M está em
repouso em uma mesa horizontal sem atrito, preso
a um suporte rígido por mola de constante elástica
k. Uma bala de massa m e velocidade v atinge o
bloco, como mostra a figura; a bala fica presa no
bloco. Determine a amplitude do MHS em termos de m, M, v, e k.
17. [RHK4-15.37] Um cilindro sólido está preso a uma mola horizontal sem massa, de
modo que ele pode rolar sem deslizar sobre uma superfície horizontal, como mostra
a figura. A constante de força da mola é k = 2,94 N/cm.
Sabendo-se que o sistema foi abandonado em repouso
com a mola distendida de 23,9 cm, calcule as energias
cinéticas (a) de translação e (b) de rotação do cilindro,
quando ele passar pela posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nestas condições, o
centro de massa do cilindro executa MHS com período
, onde M é a
massa do cilindro.
18. [RHK4-15.38] (a) Prove que, no MHS, a energia potencial média, quando tomada
em relação ao tempo e durante um período, vale kA2/4. (b) Prove que, quando a
média for calculada com relação à posição durante um ciclo, a energia potencial
média será kA2/6, e a energia cinética média, kA2/3. (c) Explique fisicamente por
que os dois resultados acima (a) e (b) são diferentes.
19. [RHK4-15.42] Existe uma relação interessante entre o
sistema bloco-mola e o pêndulo simples. Suponha que
se pendure um objeto de massa M do extremo de uma
dada mola e que, quando ele atinge o equilíbrio, a
mola tenha se distendido de h. Mostre que a
freqüência deste sistema bloco-mola é a mesma de um
pêndulo simples, de massa m e comprimento h,
mesmo se m ≠ M; veja a figura.
20. [RHK4-15.59] Os elétrons num osciloscópio são defletidos por dois campos de
modo que, em qualquer instante t, o deslocamento é dado por
e
. Descreva a trajetória dos elétrons e determine sua equação
quando (a) φ = 0o, (b) φ = 30o, (c) φ = 90o.
Respostas:
1) 708 N/m. 3) a) 1.250N/cm; b) 2,63 Hz. 9) a) 0,183 L; b) mesmo sentido. 14) a) 1,07
Hz; b) 4,73 cm. 15) (M+m/3)v2/2; b) 2π(M+m/3)½k ½. 17) a) 5,60 J; b) 2,80 J.
−