geometria - Stoa Social

GEOMETRIA
ÂNGULOS, RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL e
TEOREMA DOS BICOS.
Prof. Antonio Otavio (Prof. Tuca)
POTI – Pirassununga.
1 - Ângulos
Ângulo é a região de um plano determinada pelo encontro de duas semirretas que
possuem uma origem em comum, chamada vértice. Trata-se de um dos conceitos
fundamentais da matemática para o estudo da geometria.
1.1 – Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é igual a 90º.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 90°
1.2 – Ângulos suplementares
Quando a soma da medida de dois ângulos é igual a 180° eles
são chamados de suplementares.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 180°
1.3 – Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV)
quando os lados de um são semirretas opostas ao
lado do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
ou seja, eles têm a mesma medida.
Demonstração:
2 - Duas retas paralelas cortadas por uma transversal
Sejam 𝒓 e 𝒔 duas retas paralelas situadas em
um mesmo plano, ambas concorrentes com
uma reta 𝒕. A reta 𝒕 é uma reta transversal às
retas 𝒓 e 𝒔.
Os pares a, g e d, f são chamados alternos
externos, enquanto os pares b, h e c, e são
denominados alternos internos.
Os pares a, f e d, g são chamados colaterais
externos, e os pares b, e e c, h são
denominados colaterais internos.
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Destacamos, ainda, os pares a, e; b, f; c, g e d, h, chamados ângulo correspondentes.
Os pares de ângulos alternos (ou correspondentes) são formados por ângulos
congruentes. Já, os pares de ângulos colaterais são formados por ângulo
suplementares. Note também que os pares de ângulos a, c; b, d; e, g e h, f são opostos
pelo vértice (OPV).
3 - Teorema dos bicos
Se entre duas retas paralelas traçarmos segmentos formando “bicos”, a soma das
medidas dos ângulos com vértices, na direção dessas retas, à direita é igual à soma das
medidas dos ângulos com vértices, na direção oposta, à esquerda, independentemente
da quantidade de tais ângulos.
Demonstração: Na figura, sabendo que 𝑟 e 𝑠 são retas paralelas, mostre que
𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3 = 𝑏1+ 𝑏2+ 𝑏3
Problema 1. Sabendo que 𝑟 // 𝑠, calcule a medida, em graus, do ângulo 𝑥.
𝑟
𝑠
Problema 2. Prove que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
Problema 3. Mostre que medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma
das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Problema 4. Determine o valor de 𝛼 sabendo que as retas 𝑠 e 𝑡 são paralelas.
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Problema 5. Sabendo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado, determine a medida do ângulo 𝐴𝐹̂ 𝐸.
Problema 6. Sejam 𝑟 e 𝑠 retas paralelas. Determine a medida de 𝛽 indicada na figura.
𝛼
𝛼
𝛽
Problema 7. (OBM) No retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 , 𝐸 é o ponto médio do lado 𝐵𝐶 e 𝐹 é o ponto
médio do lado 𝐶𝐷 . A interseção de 𝐷𝐸 com 𝐹𝐵 é 𝐺 . O ângulo 𝐸𝐴̂𝐹 mede 20°. Quanto
vale o ângulo 𝐸𝐺̂ 𝐵?
Problema 8. (OBM) Na figura, ABC e DAE são triângulos isósceles (AB = AC = AD =
DE) e os ângulos BAC e ADE medem 36°. Utilizando propriedades geométricas, calcule
̂ 𝐶.
a medida do ângulo 𝐸𝐷
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