Slide 1 - DEC/FCT/UNL

Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais
1. Justificação da existência das relações constitutivas
2. Linearidade física
3. Definição de constantes elásticas
3.1 Módulo de Young
3.2 Lei de Hook
3.3 Efeito de Poisson
3.4 Módulo de corte (distorção)
3.5 Módulo de volume
4. Definições ligadas ao comportamento do material
5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
5.1 Lei de Hook generalizada
5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade
6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas
7. Estados planos
8. Carga de temperatura
8.1 Carga de temperatura em estados planos
9. Materiais ortotrópicos
10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral
10.1 Cedência
10.2 Modelos para o cálculo
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1. Justificação da existência das relações constitutivas
Resumo dos Capítulos 3-4:
O MC exibe devido às solicitações:
, , u
Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes
6 Equações deformações - deslocamento
3 Equações de equilíbrio
   T  u
  + f  0
Faltam 6 equações
Falta dependência da resposta do MC do tipo do material
A ligação que falta são as equações que relacionam
 e 
Chamam-se Equações constitutivas (6):
é necessário definir os parâmetros que caracterizam o comportamento do MC
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2. Linearidade física
Ensaio uniaxial
Tracção de uma barra

Usa-se tensão nominal, ou seja
a força aplicada sobre a área da
secção transversal inicial
Rotura
Cedência
E  tg 
Limite de linearidade


análise fisicamente linear
Extensão na direcção
da carga aplicada
análise geometricamente linear
Estudos que abrangem apenas a parte
inicial do gráfico, onde a relação entre
a tensão e a deformação é linear
Análise linear
Pode-se usar o princípio de sobreposição
Carregamento 1
 ,  , u  
1
1
1
Carregamento 2
 ,  , u  
2
2
2
α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2)
           
 1 +  2  ,  1 +  2  ,  u 1 +  u 2 
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3. Definição de constantes elásticas
3.1 Módulo de Young
declive inicial do gráfico tensão - deformação
módulo de elasticidade: E = tgα
unidade: Pa, GPa=109Pa
Análise fisicamente não-linear:
módulos de elasticidade
secantes ou tangentes usam-se
juntamente com os incrementos
de tensão e de deformação

E tangente inicial
E tangente
E secante inicial

E secante
Thomas Young (1773-1829)
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3.2 Lei de Hooke
3.3 Efeito de Poisson
b

E

L
h
Robert Hooke
(1635-1703)
F
h
z
L
h
x
L
Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
Δh: variação da altura < 0
ΔL: variação do comprimento > 0
L
x 
L
h
z 
h
: coeficiente ou número de Poisson (sem unidade)
extensão na direcção transversal à força aplicada
y
z
 
razão negativa
x
x
extensão na direcção da força aplicada
  0,1 / 2
0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível
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Princípio de Saint-Vénant
Cargas estaticamente equivalentes
cargas cujas resultantes (força e binário)
são iguais na secção transversal de aplicação
Os efeitos locais na zona de aplicação de
cargas diminuem rapidamente com a
distância, por isso as cargas aplicadas na
realidade podem ser substituídas pelas
cargas estaticamente equivalentes
P
P/4
p  P/A
Adhémar Jean Claude Barré
de Saint-Venant, 1797 - 1886
P/2
P/2
Distribuição da tensão normal uniforme
Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas
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Assume-se a distribuição uniforme
3.4 Módulo de corte (distorção)
Ensaio de distorção
y
F
 xy 
u
b
L
h
h
x
 xy
G
 xy
F
xy 
Lb
u
h
(GPa)

G  tg 


3.5 Módulo de volume
Módulo de “bulk” K (GPa)
E, , G, K: constantes elásticas do material
1
 V  3 m   m
K
4. Definições ligadas ao comportamento do material
Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço)
Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos
Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço)
Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos
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5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
5.1 Lei de Hook generalizada
  C 
  D 
[C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem
Devido às simetrias podem-se escrever
na forma matricial (6,6)
D  C
1
[C]: matriz de rigidez de material
[D]: matriz de flexibilidade de material
Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidade
são compostas por números (parâmetros de material) sem dependência
do estado actual de tensão ou deformação
A homogeneidade implica que os parâmetros de material
não dependem da posição
A isotropia implica que os parâmetros de material
não dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial
A isotropia implica ainda que as direcções principais
das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem
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5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade
Pode-se provar que duas constantes elásticas
são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico
E, , G, K: constantes elásticas do material
Escolha mais comum em engenharia:
E, 
E
G
21 +  
Condição necessária e suficiente de isotropia
E
K
31  2 
Consequência da lei constitutiva
Os princípios energéticos implicam,
que os módulos tem que ser positivos
  1;1 / 2   0;1 / 2
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D1 
D  
 0
0 
D 
C1 
C  
 0
2
2
 1    
D1   1   1   
E
    1 
0 
C 
1  
E
 
C  
1 +  1  2  
1
 
Constantes de Lamé

 
1 
 

 1   
1 0 0
D2   1 0 1 0
G
0 0 1
1 0 0 
C2   G 0 1 0
0 0 1
, 
Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé
E

G
1 +  1  2 

 
2 + 
C1     2 +   
 

2 +  
Gabriel Lamé, 1795-1870
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Outra possível composição do bloco
C1 
K + 4G / 3 K  2G / 3 K  2G / 3
C1   K  2G / 3 K + 4G / 3 K  2G / 3
K  2G / 3 K  2G / 3 K + 4G / 3
6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas
Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7)
parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volume
parte desviatórica das tensões e das deformações :
altera-se forma em volume inalterado
Partes volúmicas
 m  K V  3K m
Com as componentes do slide
anterior pode se justificar
a fórmula do K
Soma das primeiras 3 equações
 x +  y +  z  3K  x +  y +  z 
K
1  +  + 
3K  E
1 +  1  2 
E
31  2 
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Partes desviatóricas
  2G
Componentes fora de diagonal
 xy  2G xy  G xy
Componentes diagonais
x  m  2Gx  m 
queremos provar
x  3Km  2G x  m 
x +  y + z 
 x +  y + z 

 + 2G  x 

 x  3K
3
3




 2 x   y   z 

 x  K x +  y +  z  + 2G
3


 x  K + 4G / 3 x + K  2G / 3 y + K  2G / 3 z
relação verídica, prova está finalizada
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Invariante, dobro da energia de deformação
2


 : 
T
m
    3m m + :   +
K
2G
Multiplicação “:“ significa “produto interno” entre matrizes
Demonstração
  x   m   m  





  y   m   m  
       
  z m  +  m  
  2 yz   0  





2

0
xz





  2 xy   0  



T
  x   m   m   
 x   m 
 m  




   
  
  y   m   m   
y
m


 m 
        
 z
 m    1  z   m  1  m  
m

 
+

+
   yz   0    2G  2 yz  3K  0  

 









2

0
0
xz
xz

 








   xy   0   
 0  
 2 xy 


 
T
  x   m   m  





  y   m   m  
       
 z
 m  
m

 
+
   yz   0  






0
xz





   xy   0  



A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero
o que também é fácil de mostrar, como
As contribuições ao invariante
volúmicas e desviatóricas
 m  x +  y +  z  3 m   0
T   separam-se directamente nas partes
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7. Estados planos
Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z”
a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos
Tensão plana
 z  0,  xz  0,  yz  0
Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa
(2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões)
 x   1/ E   / E   / E
0
0
0  x 
  
   D1red

0
0
0   y
 y    / E 1 / E   / E
  z    / E   / E 1 / E
0
0
0   0 
 
 
0
0
1/ G
0
0  0
  yz   0
 xz   0
0
0
0 1/ G
0  0
  
   red
0
0
0
0 1 / G   xy  D2
 xy   0
 
 
  D
red
 
Apenas índices x, y e xy
 xz   yz  0


x +  y  (invariante)
 z   x +  y   
E
1 
  D
D 
red 1
1

red 1
 
E 1  

1   2  1 
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Deformação plana
 z  0,  xz  0,  yz  0
Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens
  Cred     Cred 1  
 xz   yz  0
z 
E
 x +  y   x + y 
1 +  1  2 

1
2

1



1
C1red  
E  

 1 
 

1 

1 

(invariante)
Estados planos não correspondem um a outro !!!
8. Carga de temperatura
Afecta apenas componentes normais

L  TL
Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1
Variação de temperatura
T  Tfin  Tini
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  T, T, T 
Deformação térmica      T, T, T,0,0,0 
Extensão térmica
T
1,T
T
T
Apenas componentes normais
  D   +  
1
1
1,T
1
 
1
 x 
 
  y 
 
 z
 
1
 x 
 
  y 
 
 z
 
1,T
 Tx  T 
 T 

  y   T 
 T  T 

 z 
D1  1 1 1,T 
1 C1  1 1,T 
E1   +  +   1,T 
E
1
1
1
  C1    1 + 1  2   C1    1  2 1,T 
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8.1 Carga de temperatura em estados planos
Tensão plana
 
1
 x 
 
 y 
 
  D 
1
red 1
1
T 
  + 

T 
  D 
1
1
 x 
 
 y 
red
1
1
D 
red
1
1  1  
 
E   1 
T 
E
red


  
1
+


D


1
2


T
1 


1
Redução de 3D
D 
red 1
1
 
1
E 1  

1   2  1 
E T 
  




T
1  

1

 z    x +  y  + T
E
 E
E
E
E

 x + y   T + 2 x +  y   T  + T
 
2
E 1 
1 
1 
1 


1+ 
 x +  y  + T

1 
1 
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Deformação plana
red
1
E T 
     +


1  2 T 
C 
red
1
E T 
  


1  2 T 
  C 
1
1
1
1

1
1   1


E  
 1 
C 
red
1
Redução de 3D
2

 
1  

1 

E 1 2 
 T 
+

1 


1  2 E  1   T 
  C    
red 1
1
1
1
T 
 C
  + 1 +  



T


 1 2 
E
E
E



 x +  y  
z 
T 



 x
y
1 +  1  2 
1 +  1  2   E 
1  2
1  
   
red 1
1
1

1 2  
E


+ 1 +  T +
 x +  y  + 1 +  T  
T

E  1 

 1  2
  x +  y   ET
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9. Materiais ortotrópicos
Existem 3 direcções principais de ortotropia
para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros
as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial
os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero
Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia
 1

 Ex
  xy
D1   
Ex

   xz
 E
x

 yx

Ey
1
Ey
 yz

Ey
 zx 
 
Ez 
 zy 
 
Ez

1 
E z 
 1
G
 yz
D2    0

 0

0
1
G xz
0

0 

0 

1 

G xy 
De simetria
 xy  yx

Ex Ey
 jj
ij  
ii
i  j
Carga na direcção i
-matriz de rigidez pela inversão
-ambas sempre positivamente definidas
direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação
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10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral
Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga
Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações
permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações




Os estados das tensões e
das deformações não
dependem da história da
aplicação das cargas
C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes
 Et
E tangente inicial

descarga linear


 p e
parte elástica
parte plástica, permanente
Lei reversível com
histerésis, c. elástico com
atrito interno
Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
transição entre o comportamento reversível e irreversível
incompressibilidade após Y
enfraquecimento,
amaciamento,
endurecimento
plasticidade
amolecimento
Mais rígido após a cedência
perfeita
Menos rígido após a cedência
10.1 Cedência



Y
Y
Y



Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência
10.2 Modelos para o cálculo


Y
 Y ,1
Y,0
Y

C. rígido perfeitamente
plástico


C. elasto-perfeitamente
plástico

C. elasto-plástico
com endurecimento
Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016