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Faculdade de Engenharia Óptica e Electromagnetismo MIB 2007/2008 Escolaridade Faculdade de Engenharia • • Teórico-práticas • 1 turma • 2 X 1.5h por semana Práticas • 3 turmas • 1 X 1h por semana agrupadas de forma a permitir a realização dos trabalhos laboratoriais OpE 0708 Funcionamento Faculdade de Engenharia • • Teórico-práticas • exposição e discussão da matéria • resolução de exercícios • realização de micro-testes preparação prévia da matéria Práticas • realização de 3 trabalhos laboratoriais específicos • realização de 3 trabalhos laboratoriais integrados OpE 0708 Docentes Faculdade de Engenharia Teórico-práticas Práticas Atendimento Inês Carvalho gab I 313 (aprox. 2/3 das aulas) 5ª feira, das 9h00 às 10h00 [email protected] Abel Costa gab I 326 (aprox. 1/3 das aulas) todas as turmas 2ª feira, das 11h30 às 12h30 5ª feira, das 14h00 às 15h00 [email protected] OpE 0708 Avaliação Faculdade de Engenharia • • • Exame final • 50% da nota final • consulta de formulário fornecido Microtestes • 20% da nota final • realizados nas aulas práticas sem aviso prévio • curta duração (aprox 15 min) • entre 6 a 9 durante o semestre • 2 piores não contam para nota nota de frequência Laboratórios • 30% da nota final • 3 trabalhos específicos • 2 trabalhos integrados propostos • 1 trabalho integrado tipo projecto • relatórios dos trabalhos OpE 0708 Obtenção de frequência Faculdade de Engenharia • Classificação de frequência - AD (0 – 20 valores) AD = 0.4 ⋅ M + 0.6 ⋅ L • • M à média dos microtestes, excluindo os 2 piores • L à classificação dos laboratórios Condições para obtenção de frequência • Não exceder limite de faltas às aulas TP e às aulas P (25% das previstas à 6 faltas às aulas TP e 3 faltas às aulas P) • Classificação mínima de 30% nos microtestes e nos laboratórios • Realização de 2 trabalhos específicos e 2 trabalhos integrados OpE 0708 Classificação final – CF Faculdade de Engenharia Exame final – E (0 – 20 valores) Nota de frequência – AD (0 – 20 valores) CF = 0.5 ⋅ E + 0.5 ⋅ AD OpE 0708 Programa • Análise Vectorial • • Lentes, espelhos, prismas. Formação de imagens. Sistemas ópticos em bioengenharia. Fibras Ópticas • • Eq. de Maxwell. Ondas electromagnéticas. Incidência em interfaces. Interferência. Difracção. Óptica Geométrica • • Leis de Coulomb e de Gauss. Leis de Biot-Savart e de Ampère. Corrente eléctrica. Campos e Ondas Electromagnéticas • • Sistemas de coordenadas. Operadores diferenciais. Teoremas da divergência e de Stokes. Electrostática e Magnetostática • • Faculdade de Engenharia Tipos de fibras. Aplicações em biomedicina. Biosensores. Lasers • Princípio de funcionamento. Lasers aplicados em bioengenharia. OpE 0708 Plano Faculdade de Engenharia Aulas Teórico-práticas Apresentação 1 Análise vectorial (revisão) 2 Electrostática e magnetostática 7 Campos e ondas electromagnéticas 7 Óptica geométrica 3 Fibras ópticas 3 Lasers 3 26 aulas OpE 0708 Bibliografia • • Faculdade de Engenharia Livros recomendados • D. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”, Addison Wesley, 1989. • P. Tipler e G. Mosca, “Física para cientistas e engenheiros – vol. 2”, Livros Técnicos e Científicos Editora, 2004 . • E. Hecht, "Óptica", Fundação Calouste Gulbenkian, 1991. Material fornecido • Acetatos das aulas teóricas • Folhas de problemas • Formulário disponível na página da disciplina: http://www.fe.up.pt/~mines/OpE/ OpE 0708 Conceitos necessários • Álgebra • • Faculdade de Engenharia Números complexos Análise Matemática • Derivação • Integração • Análise vectorial próximas 2 aulas OpE 0708 Próxima aula • Faculdade de Engenharia Análise Vectorial • Sistemas de coordenadas • cartesianas • cilíndricas • esféricas • Operadores diferenciais • gradiente • divergência • rotacional • Integração de funções escalares e vectoriais • integrais de linha • integrais de fluxo OpE 0708 Faculdade de Engenharia Análise Vectorial (revisão) OpE - MIB 2007/2008 Programa de Óptica e Electromagnetismo Faculdade de Engenharia Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas Electrostática e Magnetostática à 7 aulas Campos e Ondas Electromagnéticas à 7 aulas Óptica Geométrica à 3 aulas Fibras Ópticas à 3 aulas Lasers à 3 aulas OpE 0708 AnVe 2 Análise Vectorial (revisão) – hoje Faculdade de Engenharia Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas Operadores diferenciais gradiente, divergência e rotacional Integração de funções escalares e vectoriais integrais de linha e de fluxo Teoremas teoremas da divergência e de Stokes OpE 0708 AnVe 3 Coordenadas cartesianas – vector de posição Faculdade de Engenharia coordenadas cartesianas à x, y, z z r r û z P (x, y, z) vector de posição r r = xuˆ x + yuˆ y + zuˆ z û x û y y x OpE 0708 AnVe 4 Coordenadas cartesianas – elementos Faculdade de Engenharia elemento de comprimento r dl = dxuˆ x + dyuˆ y + dzuˆ z z dy dz dx elementos de superfície ds x = dydz (sup. perpendicular a xx) y ds y = dxdz ds z = dxdy x elemento de volume dv = dxdydz OpE 0708 AnVe 5 Coordenadas cartesianas – operadores diferenciais nota: gradiente ∇f = divergência rotacional Faculdade de Engenharia ∂f ∂f ∂f uˆ x + uˆ y + uˆ z ∂x ∂y ∂z r ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z uˆ x r ∂ ∇× A = ∂x Ax uˆ y ∂ ∂y Ay f = f ( x, y , z ) r r A = A( x, y, z ) à campo escalar à campo vectorial uˆ z ∂ ∂z Az OpE 0708 AnVe 6 Coordenadas cilíndricas – vector de posição Faculdade de Engenharia coordenadas cilíndricas à r, φ, z z versores uˆ r = cos φ uˆ x + sin φ uˆ y r r û z uˆφ = − sin φ uˆ x + cos φ uˆ y P (r,φ, z) y φ vector de posição r r = r uˆ r + zuˆ z x r ûφ û r x = r cos φ y = r sin φ φ ∈ [0, 2π ] OpE 0708 AnVe 7 Coordenadas cilíndricas – elementos Faculdade de Engenharia elemento de comprimento r dl = dr uˆ r + rdφuˆφ + dzuˆ z dr dz r dφ elementos de superfície dsφ = dr dz dsr = r dφ dz ds z = r dr dφ r z φ elemento de volume dv = r dr dφ dz OpE 0708 AnVe 8 Coordenadas cilíndricas – operadores diferenciais Faculdade de Engenharia gradiente ∇f = divergência ∂f 1 ∂f ∂f uˆφ + uˆ z uˆ r + ∂r r ∂φ ∂z r 1 ∂ ∂A (rAr ) + 1 φ + ∂Az ∇⋅ A = ∂z r ∂r r ∂φ rotacional uˆ r r 1 ∂ ∇× A = r ∂r Ar ruˆφ ∂ ∂φ rAφ uˆ z ∂ ∂z Az OpE 0708 AnVe 9 Coordenadas esféricas – vector de posição Faculdade de Engenharia coordenadas esféricas à R, θ, φ z versores θ uˆ R = sin θ cos φ uˆ x + sin θ sin φ uˆ y + cos θ uˆ z R uˆθ = cos θ cos φ uˆ x + cos θ sin φ uˆ y − sin θ uˆ z û R r r P (R, θ, φ) ûθ uˆφ = − sin φ uˆ x + cos φ uˆ y y φ vector de posição ûφ x r r = Ruˆ R x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ φ ∈ [0, 2π ] θ ∈ [0, π ] OpE 0708 AnVe 10 Coordenadas esféricas – elementos Faculdade de Engenharia elemento de comprimento r dl = dR uˆ R + R dθ uˆθ + R sin θ dφ uˆφ R sinθdφ dR elementos de superfície θ dsφ = R dR dθ dsθ = R sin θ dR dφ ds R = R sin θ dθ dφ 2 Rdθ R φ elemento de volume dv = R 2 sin θ dR dθ dφ OpE 0708 AnVe 11 Coordenadas esféricas – operadores diferenciais gradiente ∇f = divergência Faculdade de Engenharia ∂f 1 ∂f 1 ∂f uˆφ uˆθ + uˆ R + ∂R R sin θ ∂φ R ∂θ r ∂Aφ 1 ∂ 1 ∂ (sin θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = 2 R 2 AR + R sin θ ∂θ R sin θ ∂φ R ∂R ( ) rotacional uˆ R r 1 ∂ ∇ × A= 2 R sin θ ∂R AR R uˆθ ∂ ∂θ R Aθ R sin θ uˆφ ∂ ∂φ R sin θ Aφ OpE 0708 AnVe 12 Exercícios Faculdade de Engenharia 1. Considere os pontos P1 e P2 de coordenadas cartesianas (1, 2, 0) e (4, -5, 1), respectivamente. Determine a) o vector que vai de P1 para P2; b) a distância entre os dois pontos. 2. Considere o ponto P de coordenadas cilíndricas (2, π/2, 1). Determine o seu vector de posição em coordenadas a) cilíndricas; b) cartesianas; c) esféricas 3. −z Calcule o gradiente do campo escalar f = 2 x sin( y ) e 4. n Determine a divergência do campo vectorial V = R uˆ R 5. Determine o rotacional do campo vectorial B = no ponto de coordenadas cartesianas (1, π/2, 0). r r 4 cos(φ )uˆφ + zuˆ z r OpE 0708 AnVe 13 Propriedades importantes da divergência e do rotacional ∇ × (∇f ) = 0 ( ) r ∇⋅ ∇× A = 0 Faculdade de Engenharia rotacional de gradiente é sempre nulo divergência de rotacional é sempre nula •se o rotacional de um campo vectorial é nulo, então esse campo vectorial pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. •campo vectorial com rotacional nulo é chamado campo conservativo •se a divergência de um campo vectorial é nula, então esse campo vectorial pode ser expresso como o rotacional de outro campo vectorial. OpE 0708 AnVe 14 Teorema de Helmholtz Faculdade de Engenharia Um campo vectorial fica completamente especificado, a menos de uma constante, se a sua divergência e o seu rotacional forem conhecidos Exercício r Considere o campo vectorial F = (x + c1 z )uˆ x + (c2 x − 3 z )uˆ y + (x + c3 y + c4 z )uˆ z r r Determine c1, c2, c3, e c4 sabendo que ∇ × F = 0 e ∇ ⋅ F = 0 OpE 0708 AnVe 15 Próximas aulas Faculdade de Engenharia 3ª feira Integração de funções escalares e vectoriais integrais de linha e de fluxo Teoremas importantes teoremas da divergência e de Stokes 4ª feira Lei de Coulomb Campo eléctrico criado por distribuições de cargas à princípio da sobreposição distribuições discretas distribuições contínuas OpE 0708 AnVe 16 Análise Vectorial (revisão) – hoje Faculdade de Engenharia Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas Operadores diferenciais gradiente, divergência e rotacional Integração comprimento, área e volume integração de funções escalares e vectoriais integrais de linha e de fluxo Teoremas teoremas da divergência e de Stokes OpE 0708 AnVe 17 Comprimento de uma linha Faculdade de Engenharia z comprimento = ∫ dl L y dl L x r dl = dl Exemplo coordenadas cilíndricas à y r = r0 z=0 r0 r dl = dr uˆ r + r dφ uˆφ + dzuˆ z dr = 0 dz = 0 r dl = r0 dφ uˆφ dl = r0 dφ x π ∫ comprimento = r0 dφ = π r0 0 OpE 0708 AnVe 18 Área de uma superfície Faculdade de Engenharia z área = ∫ ds ds A A y x Exemplo Para calcular a área da região definida por superfície a utilizar é R = R0 φ ∈ [0, 2π ] , e θ ∈ [0, π 2] , o elemento de ds = ds R = R 2 sin θ dθ dφ = R02 sin θ dθ dφ R = R0 2π π 2 área = ∫ ∫ 0 0 R02 sin θ dθ dφ π 2 2π = R02 ∫ 0 dφ ∫ sin θ dθ = R02 2π [− cos θ ] 0 π 2 = 2π R02 0 OpE 0708 AnVe 19 Volume de uma região Faculdade de Engenharia z volume = ∫ dv dv V V y x Exemplo O volume da região definida por R1 2π π 2 volume = 0 , φ ∈ [0, 2π ] 2π R2 ∫ ∫ ∫ 0 < R < R2 R 2 sin θ dR dθ dφ R1 dv = R 2 sin θ dR dθ dφ π ∫ ∫ e θ ∈ [0, π ] R2 ∫ = dφ sin θ dθ R 2 dR 0 0 R1 , é dado por = 2π [− cos θ ]0 π R2 ( R3 4π 3 = R2 − R13 3 3 R1 ) coordenadas esféricas OpE 0708 AnVe 20 Exercícios Faculdade de Engenharia 1. Calcule a área da superfície lateral do cone de altura H e diâmetro de base D. 2. Calcule o volume do cone do problema anterior. 3. Determine, por integração, o comprimento da linha representada na figura seguinte. z 3 2 1 1 y OpE 0708 AnVe 21 Integração de funções escalares Faculdade de Engenharia A integração de uma dada função escalar f ao longo de uma dada região pode ser de diferentes tipos: ∫ f dl e ∫ e A (região = linha) ∫ r f ds (região = superfície) L L f ds ∫ r f dl A r vector normal à superfície considerada e com amplitude ds = ds ∫ f dv (região = volume) V OpE 0708 AnVe 22 Exercícios 1. Faculdade de Engenharia Determinar o valor dos integrais I1 = ∫ f dl e I2 = L ∫ r f dl , onde f = 2 x + y 2 , para os dois L percursos indicados a seguir b) a) y 1 y 1 LA LB 1 2. Determinar o valor do integral x I= 1 ∫ V f dv onde f = x cosθ e V é o volume da metade superior da 2 R esfera de raio 2 centrada na origem OpE 0708 AnVe 23 Integração de funções vectoriais Faculdade de Engenharia r Seja F uma função vectorial A integração desta função ao longo de uma dada região pode ser de tipos diferentes: ∫ r F dl ∫ r F ds ∫ r F dv e ∫ r r F ⋅ dl integral de linha r circulação de F ao longo de L ∫ r r F ⋅ ds integral de fluxo r fluxo de F através de A L L A e A V Dos integrais acima, são particularmente relevantes para esta disciplina os integrais de linha e de fluxo OpE 0708 AnVe 24 Integral de linha ∫ r r F ⋅ dl Faculdade de Engenharia r (circulação de F ao longo de L ) L onde L à linha em consideração r dl à tangente em cada ponto a L r r r F segundo o percurso de integração F ⋅ dl à depende da componente de r Exemplo: se F for força e L o percurso, o integral representa o trabalho OpE 0708 AnVe 25 Integral de linha – exemplo P2 Determine o valor do integral I = ∫ Faculdade de Engenharia r r E ⋅ dl , onde P1 e P2 são os pontos de coordenadas (2,1, 0 ) e (8, 2, 0 ) , P1 r respectivamente, e E = yuˆ x + xuˆ y , ao longo do segmento de recta que une os dois pontos r dl = dxuˆ x + dyuˆ y + dzuˆ z coordenadas cartesianas r r E ⋅ dl = ydx + xdy a recta que passa pelos dois pontos é dada por: x = 6 y − 4 P2 r r I = E ⋅ dl = ∫ P1 2 ∫ (12 y − 4)dy [ = 6y2 − 4y dx = 6dy ] 2 1 r r E ⋅ dl = (12 y − 4 )dy = 14 1 OpE 0708 AnVe 26 Integral de linha – exercício P2 Determine o valor do integral I = ∫ Faculdade de Engenharia r r E ⋅ dl , onde P1 e P2 são os pontos de coordenadas cartesianas (2,1, 0 ) P1 r e (8, 2, 0 ) , respectivamente, e E = yuˆ x + xuˆ y ao longo da parábola x = 2 y 2 OpE 0708 AnVe 27 Integral de fluxo ∫ r r F ⋅ ds Faculdade de Engenharia r (fluxo de F através de A ) A onde A r ds à superfície em consideração (superfície pode ser aberta ou fechada) r r fluxo = F ⋅ ds ∫ A à normal a A em cada ponto r convenção: se A for fechada, ds aponta para fora de A r r r à depende da componente de normal à superfície F F ⋅ ds OpE 0708 AnVe 28 Integral de fluxo – exemplo Faculdade de Engenharia r Determine o fluxo do campo vectorial B = 3 sin θ uˆ R + 5 tan φ uˆθ + R 2 uˆφ R através da esfera de raio 5 centrada na origem. fluxo = ∫ r r B ⋅ ds A superfície em causa é esférica R=5 ds R = R 2 sin θ dθ dφ 2π π fluxo = r r B ⋅ ds = BR ds R = 3 sin θ ds R r r B ⋅ ds = 75 sin 2 θ dθ φ π 75 sin θ dθ dφ = 150 π θ − sin 2θ = 75π 2 2 4 0 0 ∫ ∫ 0 r ds = ds R uˆ R 2 OpE 0708 AnVe 29 Teorema da divergência Faculdade de Engenharia O integral de volume da divergência de um campo vectorial é igual ao fluxo total exterior do campo vectorial através da superfície que limita o volume ∫ V r r r ∇ ⋅ F dv = F ⋅ ds ∫ A nota: este teorema permite converter integrais de superfície em integrais de volume, e vice-versa OpE 0708 AnVe 30 Teorema da divergência – exemplo Faculdade de Engenharia r cos 2 φ uˆ R e a coroa esférica definida por 1 < R < 2 . Considere o campo vectorial D = R3 Determine ∫ r ∇ ⋅ D dv ∫ r r D ⋅ ds a) V b) A a) r ∂Aφ 1 ∂ 1 ∂ (sin θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = 2 R 2 AR + R sin θ ∂θ R sin θ ∂φ R ∂R ( coordenadas esféricas cos 2 φ DR = R3 Dθ = Dφ = 0 ∫ V r ∇ ⋅ D dv ) r 1 ∂ cos φ cos 2 φ ∇⋅ D = 2 =− R ∂R R R4 2 π π R2 = cos 2 φ 2 − R sin θ dR dθdφ 4 R R1 ∫∫∫ 0 0 2π ∫ π ∫ = − cos φ dφ sin θ dθ 0 2 0 R2 ∫ R1 dR R2 = −π dv = R 2 sin θ dR dθ dφ OpE 0708 AnVe 31 Teorema da divergência – exemplo Faculdade de Engenharia b) ∫ r cos 2 φ D= uˆ R R3 1< R < 2 r r r r r r D ⋅ ds = D ⋅ ds + D ⋅ ds A ∫ ∫ A1 A2 fluxo através da superfície com R=1 fluxo através da superfície com R=2 superfície com R=1: R =1 r ds = −ds R uˆ R r ds = −12 sin θ dθ dφ uˆ R = − sin θ dθ dφ uˆ R r D = cos 2 φ uˆ R r r D ⋅ ds = − cos 2 φ sin θ dθ dφ ∫ r r D ⋅ ds = −2π A1 superfície com R=2: R=2 r ds = ds R uˆ R ∫ r r D ⋅ ds = −π r ds = 4 sin θ dθ dφ uˆ R r cos 2 φ D= uˆ R 8 r r 1 D ⋅ ds = cos 2 φ sin θ dθ dφ 2 ∫ r r D ⋅ ds = π A2 como seria de esperar A OpE 0708 AnVe 32 Teorema de Stokes Faculdade de Engenharia O integral de superfície do rotacional de um campo vectorial estendido a uma dada superfície aberta é igual ao integral de linha do campo vectorial ao longo do percurso fechado que limita essa superfície ∫( ) r r r r ∇ × F ⋅ ds = F ⋅ dl A importante: sentido de circulação e sentido de r ds C ∫ C r ds estão relacionados pela regra da mão-direita r ds C OpE 0708 AnVe 33 Teorema de Stokes – exemplo Faculdade de Engenharia r Considere o campo vectorial A = 3 x 2 y 3uˆ x − x 3 y 2uˆ y e o percurso triangular representado na figura. Determine a) ∫( ) ∫ r r A ⋅ dl r r ∇ × A ⋅ ds S b) y 2 1 . C 1 2 x a) S: superfície do triângulo r sentido horário à ds = − ds uˆ z = − dx dy uˆ z Ax = 3 x 2 y 3 (∇ × Ar )⋅ dsr = 12 x r ∇ × A = −12 x 2 y 2 uˆ z Ay = − x 3 y 2 2 y 2 dx dy Az = 0 ∫( ) r r ∇ × A ⋅ ds = S 2 2 ∫∫ 1 2 2 3 2 2 2 x 12 x y dx dy = 12 y dy = 4 y 2 8 − y 3 dy = 98 3 3 y y 1 1 2 ∫ ∫ ( ) OpE 0708 AnVe 34 Teorema de Stokes – exemplo Faculdade de Engenharia y b) ∫ C r r r r r r r r A ⋅ dl = A ⋅ dl + A ⋅ dl + A ⋅ dl ∫ ∫ L1 ∫ L2 2 L3 L3 r dl = dx uˆ x + dy uˆ y + dz uˆ z r A = 3 x 2 y 3uˆ x − x 3 y 2 uˆ y r r A ⋅ dl = 3 x 2 y 3 dx − x 3 y 2 dy 1 L2 1 percurso L1 : x = 2 ∫ L1 dx = 0 r r A ⋅ dl = −8 y 2 dy L1 2 x r A = 3 x 2 y 3uˆ x − x 3 y 2uˆ y 1 r r 56 A ⋅ dl = −8 y 2 dy = 3 2 ∫ percurso L2 : y = 1 ∫ dy = 0 r r A ⋅ dl = 3 x 2 dx 1 r r A ⋅ dl = 3 x 2 dx = −7 ∫ percurso L3 : y = x ∫ L3 dy = dx ∫ (como seria de esperar) 2 L2 r r 56 98 A ⋅ dl = − 7 + 21 = 3 3 C r r A ⋅ dl = 2 x 5 dx 2 r r A ⋅ dl = 2 x 5 dx = 21 ∫ 1 OpE 0708 AnVe 35 Faculdade de Engenharia Electrostática OpE - MIB 2007/2008 Programa de Óptica e Electromagnetismo Faculdade de Engenharia Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas Electrostática e Magnetostática à 7 aulas Campos e Ondas Electromagnéticas à 7 aulas Óptica Geométrica à 3 aulas Fibras Ópticas à 3 aulas Lasers à 3 aulas OpE 0708 Elec 2 Electrostática (4 aulas) Faculdade de Engenharia Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas lei de Coulomb princípio da sobreposição Lei de Gauss Potencial eléctrico Electrostática na matéria Correntes eléctricas estacionárias OpE 0708 Elec 3 Lei de Coulomb Faculdade de Engenharia r R Q e q R R̂ r F 1 4π ε 0 ε0 = à cargas pontuais R à distância entre as cargas à versor que aponta de Q para q à força que Q exerce em q à constante de proporcionalidade r R Rˆ = r R q Q r F= R̂ 1 Qq ˆ R 4π ε 0 R 2 1 × 10 −9 F/m à permitividade eléctrica do vazio 36 π nota se Q q > 0 r F segundo R̂ força repulsiva cargas de sinal igual repelem-se se Q q < 0 r F segundo − R̂ força atractiva cargas de sinal oposto atraem-se OpE 0708 Elec 4 Campo eléctrico Faculdade de Engenharia O campo eléctrico é definido como a força por unidade de carga que uma carga pontual muito pequena sofre quando colocada numa região do espaço onde um campo eléctrico existe: r E = lim q →0 r F q notas r E r E r E r à é proporcional a F r à tem direcção de F à tem unidades de N/C = V/m desde que q seja suficientemente pequena para não alterar a distribuição de carga da fonte, r E é dado por r r F E= q r r F = qE q força exercida na carga r pelo campo eléctrico E OpE 0708 Elec 5 Campo eléctrico criado por uma carga pontual r F= 1 Qq ˆ R 4π ε 0 R 2 r r E=F q r E= Faculdade de Engenharia R Q ˆ 1 R 4π ε 0 R 2 (V/m ) Q q R̂ notas 1. campo eléctrico criado por uma carga pontual positiva tem a direcção radial que aponta para fora da carga 2. intensidade do campo eléctrico é proporcional ao valor da carga 3. intensidade do campo eléctrico é inversamente proporcional ao quadrado da distância à carga OpE 0708 Elec 6 Carga pontual – linhas de campo eléctrico linhas de campo eléctrico à Q>0 tangentes em cada ponto ao campo eléctrico nesse ponto Faculdade de Engenharia r E= Q ˆ 1 R 2 π ε 4 0 R (V/m ) Q<0 OpE 0708 Elec 7 Carga pontual em posição genérica Faculdade de Engenharia z seja: P r Q à carga pontual (fonte de E ) r r r P à ponto onde se quer calcular E r r à vector de posição de P r r ' à vector de posição de Q r r' r r r R = r − r' Q y r r ' à coordenadas da fonte r r à coordenadas do campo r E= 1 Q ˆ R 4π ε 0 R 2 r R Rˆ = r R r E= 1 Q r R 4π ε 0 R 3 x r E= r r r R = r − r' 1 Q ˆ R 2 4π ε 0 R r E= (V/m ) r r Q r − r' 4π ε 0 rr − rr ' 3 OpE 0708 Elec 8 Exemplo Faculdade de Engenharia Uma carga de 10 nC está localizada no ponto de coordenadas cartesianas (1, 2, 2). Calcule o campo eléctrico criado por essa carga no ponto de coordenadas (-3, -1, 2) r r ' = uˆ x + 2uˆ y + 2uˆ z r r = −3uˆ x − uˆ y + 2uˆ z r E= Q ˆ 1 R = 4π ε 0 R 2 r R = −4uˆ x − 3uˆ y r r r R = r − r' 1 10 × 10 −9 − 0.8uˆ x − 0.6uˆ y 10 −9 52 4π × 36π ( ) R = 16 + 9 = 5 m r R Rˆ = r = −0.8uˆ x − 0.6uˆ y R = −0.0356uˆ x − 0.0267uˆ y (V/m ) OpE 0708 Elec 9 Princípio da sobreposição Faculdade de Engenharia O campo eléctrico criado por várias fontes é dado pela soma vectorial dos campos eléctricos criados individualmente por cada fonte r EN r E1 r ETotal = ∑ r Ei i r E2 OpE 0708 Elec 10 Campo eléctrico criado por distribuições discretas de cargas Faculdade de Engenharia Considere-se uma distribuição de N cargas pontuais: r Q1 , localizada em r '1 r Q2 , localizada em r '2 r Q3 , localizada em r '3 M r QN , localizada em r ' N r ETotal = N ∑ i =1 r Ei = N ∑ i =1 1 Qi ˆ Ri 4π ε 0 Ri2 1 = 4π ε 0 N ∑ i =1 Qi ˆ R 2 i Ri onde r r r Ri = r − r 'i princípio da sobreposição OpE 0708 Elec 11 Exercício Faculdade de Engenharia Duas cargas pontuais, Q1 e Q2 , estão localizadas em (1, 2, 0) e (2, 0, 0) (coordenadas cartesianas). Qual é a relação entre Q1 e Q2 para que a força exercida numa carga de teste localizada em (-1, 1, 0) não tenha a) componente segundo x; b) componente segundo y. OpE 0708 Elec 12 Distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição linear de carga - distribuição de carga ao longo de uma linha ∆Q ∆Q à carga existente em ∆L ∆L seja ρ l a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) ρ l = lim ∆L →0 ∆Q ∆L (C/m ) OpE 0708 Elec 13 Distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição superficial de carga - distribuição de carga ao longo de uma superfície ∆Q ∆Q à carga existente em ∆S ∆S seja ρ s a densidade superficial de carga (carga por unidade de área) ρ s = lim ∆S →0 ∆Q ∆S (C/m ) 2 OpE 0708 Elec 14 Distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição volumétrica de carga - distribuição de carga ao longo de um volume ∆Q ∆V ∆Q à carga existente em ∆V seja ρ v a densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume) ρ v = lim ∆V →0 ∆Q ∆V (C/m ) 3 OpE 0708 Elec 15 Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição linear de carga P campo criado pelo elemento dl r dE = 1 dq ˆ R 4π ε 0 R 2 onde dq = ρ l dl r r r R = r − r' r R r r r r' L, ρ l dl, dq princípio da sobreposição r r E = dE ∫ L = 1 4π ε 0 ∫ L 1 dq ˆ = R 4π ε 0 R2 ∫ L ρ l dl r r r r 3 (r − r ') r − r' OpE 0708 Elec 16 Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição superficial de carga P campo criado pelo elemento ds r dE = 1 dq ˆ R 4π ε 0 R 2 onde dq = ρ s ds r r r R = r − r' r R r r r r' ds, dq A, ρ s princípio da sobreposição r r E = dE ∫ A = 1 4π ε 0 1 dq ˆ = R 4π ε 0 R2 A ∫ ∫ A ρ s ds r r r r 3 (r − r ') r − r' OpE 0708 Elec 17 Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição volumétrica de carga P campo criado pelo elemento dv r dE = 1 dq ˆ R 4π ε 0 R 2 onde dq = ρ v dv r r r R = r − r' r R r r r r' dv, dq V , ρv princípio da sobreposição r r E = dE ∫ V = 1 4π ε 0 ∫ V 1 dq ˆ = R 4π ε 0 R2 ∫ V ρ v dv r r r r 3 (r − r ') r − r' OpE 0708 Elec 18 Exercícios 1. 2. Faculdade de Engenharia Determine o campo eléctrico criado pelas seguintes distribuições uniformes de carga a) distribuição linear de carga ao longo de uma linha recta de comprimento infinito b) distribuição superficial de carga ao longo de uma superfície plana de área infinita Um anel de raio 5 m possui uma densidade linear de carga dada por ρ l = 10 sin (φ ) (C/m ) Determine o campo eléctrico no centro do anel. 3. Uma casca hemisférica fina de raio a possui uma densidade superficial de carga ρ s uniforme. Determine o campo eléctrico no centro da casca. OpE 0708 Elec 19 Próximas aulas Faculdade de Engenharia 3ª feira Divergência e rotacional do campo eléctrico Lei de Gauss Potencial eléctrico. 4ª feira Electrostática na matéria Vector deslocamento eléctrico Condições fronteira para campos electrostáticos Capacidade Energia electrostática. OpE 0708 Elec 20 Electrostática (4 aulas) Faculdade de Engenharia Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas Divergência e rotacional do campo eléctrico Lei de Gauss Potencial eléctrico (2ª aula) Electrostática na matéria Correntes eléctricas estacionárias OpE 0708 Elec 21 Relembrando o teorema de Helmholtz Faculdade de Engenharia Um campo vectorial fica completamente especificado (a menos de uma constante) se a sua divergência e o seu rotacional forem conhecidos. r ∇⋅E = ? r ∇× E = ? OpE 0708 Elec 22 Divergência do campo eléctrico r E= 1 4π ε 0 ∫ todo o r ρ v (r ') dv r r3 r − r' Faculdade de Engenharia r ρ v (rr ) ∇⋅E = ε0 (rr − rr ') prova-se que espaço notas r ∇⋅E = ∇ ⋅ 1 4π ε 0 ∫ todo o espaço ∇ ⋅ r r r − r ' r r 3 ρ v dv r − r' r r r r − r ' 3 r ( = 4 π δ r − r ') r r 3 r − r' OpE 0708 Elec 23 Rotacional do campo eléctrico Faculdade de Engenharia para uma carga pontual: r E= 1 Q ˆ R 4π ε 0 R 2 ∫ C r r E ⋅ dl = 0 ∫( ) r r ∇ × E ⋅ ds = 0 r ∇× E = 0 A princípio da sobreposição para uma distribuição de cargas: r r r E = E1 + E2 + L r r r ∇ × E = ∇ × E1 + ∇ × E2 + L = 0 + 0 + L r ∇×E = 0 OpE 0708 Elec 24 Divergência e rotacional do campo eléctrico Faculdade de Engenharia concluindo: r ∇×E = 0 ∫ C r ρ ∇⋅E = v ε0 r r E ⋅ dl = ∫( ∫ ) r r ∇ × E ⋅ ds r r E ⋅ dl = 0 (campo conservativo) C A r ρv 1 1 ∇ ⋅ E dv = dv = ρ v dv = Qint ε ε0 V ε0 V V 0 ∫ ∫ ∫ ∫ r r r ∇ ⋅ E dv = E ⋅ ds V r r 1 E ⋅ ds = Qint ε0 A ∫ (carga no volume V ) ∫ A LEI DE GAUSS OpE 0708 Elec 25 Lei de Gauss r r 1 E ⋅ ds = Qint ε0 S ∫ Faculdade de Engenharia Qint à carga no interior de A r o fluxo total exterior de E através de qualquer superfície fechada é igual à carga total no interior da superfície a dividir por ε 0 notas: 1. a superfície S é conhecida como superfície gaussiana 2. a superfície S pode ser qualquer superfície fechada 3. a superfície S deve ser escolhida de acordo com a simetria do problema 4. a superfície S não precisa de ser uma superfície física existente no problema OpE 0708 Elec 26 Lei de Gauss – utilidade Faculdade de Engenharia Em problemas típicos, pretende-se determinar o campo eléctrico criado por uma dada distribuição de carga. Apesar da lei de Gauss ser sempre válida, nem sempre é fácil de aplicar. r E A lei de Gauss é particularmente útil para a determinação de em problemas com simetria tal que a componente do campo eléctrico normal à superfície considerada é constante nessa superfície. Em problemas com simetria o fluxo do campo eléctrico é extremamente simples de calcular, e a lei de Gauss é preferível à lei de Coulomb. Aplicação da lei de Gauss 1. reconhecimento das condições de simetria 2. escolha da superfíce gaussiana tal que a componente do campo eléctrico normal a essa superfície é constante nela OpE 0708 Elec 27 Lei de Gauss – exemplo Faculdade de Engenharia carga pontual z ∫ r E = E (R )uˆ R simetria S à superfíce esférica de raio R y Q r r 1 E ⋅ ds = Qint ε0 S r r E ⋅ ds = E (R ) ds R r ds = ds R uˆ R r E = E (R )uˆ R S x ∫ S r r E ⋅ ds = E (R ) ds R = E (R ) ds R = 4π R 2 E (R ) ∫ ∫ S S Qint = Q 4π R 2 E (R ) = Q ε0 área da superfíce gaussaina r E= 1 Q uˆ 2 R 4π ε 0 R r E = E (R )uˆ R E (R ) = 1 Q 4π ε 0 R 2 OpE 0708 Elec 28 Exercício Faculdade de Engenharia Aplicando a lei de Gauss, determine a) o campo eléctrico criado por um fio infinito com densidade linear de carga uniforme; b) o campo eléctrico criado por uma esfera de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme c) o campo eléctrico criado por uma esfera de raio a com densidade volumétrica de carga ρ v = ρ0 R OpE 0708 Elec 29 Potencial eléctrico Faculdade de Engenharia r ∇× E = 0 r E pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar V à potencial eléctrico r E = − ∇V convenção P2 ∫ P1 P2 P2 r r r E ⋅ dl = − (∇ V ) ⋅ dl = − dV = V1 − V2 ∫ P1 ∫ P1 P2 r r V2 − V1 = − E ⋅ dl ∫ P1 r dV = (∇V ) ⋅ dl OpE 0708 Elec 30 Potencial eléctrico criado por uma carga pontual Faculdade de Engenharia P2 r r V2 − V1 = − E ⋅ dl ∫ P1 r E= r carga pontual localizada em r '= 0 seja 1 Q uˆ R 4π ε 0 R 2 P1 → ∞ r P2 (R,θ ,φ ) → r r coordenadas esféricas à dl = dR uˆ R + Rdθ uˆθ + R sin θ dφ uˆφ r r E ⋅ dl = r V (r ) − V (∞ ) = − Q dR 4π ε 0 R 2 r V (r ) = admitindo que V (∞ ) = 0 r carga pontual localizada em r '≠ 0 R Q Q dR = 4π ε 0 R 4π ε 0 R 2 ∞ ∫ Q 4π ε 0 R r V (r ) = Q r r 4π ε 0 r − r ' OpE 0708 Elec 31 Potencial eléctrico criado por distribuições discretas de cargas Faculdade de Engenharia Considere-se uma distribuição de N cargas pontuais: r Q1 , localizada em r '1 r Q2 , localizada em r '2 r Q3 , localizada em r '3 M r QN , localizada em r ' N VTotal = N ∑ i =1 Vi 1 = 4π ε 0 N ∑ i =1 Qi r r r − r 'i princípio da sobreposição OpE 0708 Elec 32 Potencial eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição linear de carga P potencial criado pelo elemento dl dV = 1 dq 4π ε 0 R dq = ρ l dl r r r R = r − r' onde r R r r r r' L, ρ l dl, dq princípio da sobreposição ∫ V = dV L = 1 4π ε 0 dq R L ∫ = 1 4π ε 0 ∫ L ρ l dl ' r r r − r' OpE 0708 Elec 33 Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição superficial de carga P potencial criado pelo elemento ds dV = 1 dq 4π ε 0 R dq = ρ s ds r r r R = r − r' onde r R r r r r' ds, dq A, ρ s princípio da sobreposição ∫ V = dV = A 1 4π ε 0 dq R A ∫ = 1 4π ε 0 ∫ A ρ s ds ' r r r − r' OpE 0708 Elec 34 Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga Faculdade de Engenharia Distribuição volumétrica de carga P potencial criado pelo elemento dv dV = 1 dq 4π ε 0 R dq = ρ v dv r r r R = r − r' onde r R r r r r' dv, dq Vol, ρ v princípio da sobreposição V= ∫ dV Vol = 1 4π ε 0 dq R Vol ∫ = 1 4π ε 0 ∫ Vol ρ v dv' r r r − r' OpE 0708 Elec 35 Determinação do campo eléctrico e do potencial eléctrico Faculdade de Engenharia se existirem condição de simetria: r 1. 2. determinação de E por aplicação da lei de Gauss determinação de V por integração P2 r V − V = − Er ⋅ dl 2 1 P 1 ∫ se não existirem condição de simetria: 1. determinação de V 2. r r E determinação de através de E = −∇V OpE 0708 Elec 36 Exercícios 1. Faculdade de Engenharia Determine o potencial eléctrico criado no eixo dos x por três cargas de valor 10 C localizadas em (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, -1, 0). 2. Considere um disco de raio 2 m e densidade superficial de carga uniforme de valor 1 C/m2 . Determine a) o potencial eléctrico sobre o eixo do disco; b) o campo eléctrico sobre o eixo do disco. 3. Determine o potencial eléctrico criado por uma esfera de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme ρ v . OpE 0708 Elec 37 Electrostática (4 aulas à 5 aulas) Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas Faculdade de Engenharia (1ª aula) Lei de Gauss Potencial eléctrico (2ª aula) Electrostática na matéria Condutores Dieléctricos Condições fronteira (3ª aula) Capacidade Energia electrostática Correntes eléctricas estacionárias OpE 0708 Elec 38 Electrostática na matéria Faculdade de Engenharia Até agora só foram consideradas distribuições estacionárias de carga que estavam localizadas no ar ou no vazio. O que acontece ao campo eléctrico quando o meio é diferente? condutores comportamento eléctrico materiais semicondutores isoladores (ou dieléctricos) OpE 0708 Elec 39 Condutores em campos electrostáticos condutor (tem cargas livres) Faculdade de Engenharia r E1 r E1 à campo eléctrico induzido r aplicação de E0 r E0 cargas em repouso à campo eléctrico no interior do condutor nulo r r r E = E1 + E0 = 0 r ρ ∇⋅E = v ε0 num condutor em repouso toda a carga livre se encontra na sua superfície ρ v = 0 dentro do condutor cargas em repouso à campo eléctrico junto ao condutor é sempre normal à sua superfície OpE 0708 Elec 40 Condutores em campos electrostáticos – resumo interior do condutor à superfície do condutor à Faculdade de Engenharia r E =0 ρv = 0 E tan = 0 ρs ≠ 0 r E OpE 0708 Elec 41 Dieléctricos em campos electrostáticos Faculdade de Engenharia dipolo eléctrico dieléctrico (tem cargas de polarização) r aplicação de E0 r E0 n∆v efeito macroscópico destes dipolos induzidos é traduzido pelo vector de polarização à r P = lim ∆v →0 ∑ r pk k =1 ∆v vector de polarização traduz a forma como o campo eléctrico no interior do dieléctrico é alterado: ( ) r r ∇ ⋅ ε 0 E + P = ρv densidade volumétrica de carga livre OpE 0708 Elec 42 Vector deslocamento eléctrico Faculdade de Engenharia seja (C/m ) r r r D = ε0E + P 2 ( vector deslocamento eléctrico ) r r ∇ ⋅ ε 0 E + P = ρv r ∇ ⋅ D = ρv ∫ V r ∇ ⋅ D dv = ρ v = Qint ∫ V teorema da divergência ∫ r r D ⋅ ds = Qint Lei de Gauss A carga livre no volume V OpE 0708 Elec 43 Meios lineares, homogéneos e isotrópicos seja r r P = ε 0 χe E Faculdade de Engenharia χ e à susceptibilidade eléctrica r meio linear à χ e é independente de E meio isotrópico à χ e é independente da direcção de E r meio homogéneo à χ e é independente da posição no dieléctrico χ e é uma constante r r r r ( ) D = ε 0 E + P = ε 0 1 + χe E r r D = ε0 εr E ε r = 1 + χe permitividade relativa ou constante dieléctrica r r D=ε E ε = ε0 εr permitividade absoluta OpE 0708 Elec 44 Condições fronteira para campos electrostáticos Faculdade de Engenharia interface entre dois meios diferentes meio 1 (ε1 ) meio 2 (ε 2 ) r r Como se relacionam os campos E e D nos dois meios? OpE 0708 Elec 45 Componente tangencial Faculdade de Engenharia percurso rectangular de comprimento ∆w e largura ∆h → 0 a b d ∆w c zero ∫ C r r E ⋅ dl = 0 b ∫ a ∆h zero r r c r r d r r a r r E ⋅ dl + E ⋅ dl + E ⋅ dl + E ⋅ dl = 0 ∫ b ∫ c ∫ meio 1 (ε1 ) meio 2 (ε 2 ) porque ∆h → 0 E1t ∆w − E2t ∆w = 0 E1t = E2t d D1t D2t = ε1 ε2 OpE 0708 Elec 46 Componente normal Faculdade de Engenharia volume cilíndrico de base ∆S e altura ∆h → 0 ∫ r r D ⋅ ds = Qint ûn ∆S meio 1 (ε1 ) ∆h S meio 2 (ε 2 ) zero porque ∆h → 0 ∫ r r D ⋅ ds + topo ∫ r r D ⋅ ds + lateral ∫ r r D ⋅ ds = Qint r r D1 ⋅ uˆ n ∆S − D2 ⋅ uˆ n ∆S = Qint base ε 1 E1n − ε 2 E2 n = ρ s ( ) r r Q D1 − D2 ⋅ uˆ n = int = ρ s ∆S D1n − D2 n = ρ s OpE 0708 Elec 47 Condições fronteira – exemplo Faculdade de Engenharia interface dieléctrico-condutor com ρ s meio 1 (ε1 ) ûn meio 2 (condutor) r interior do condutor à E2 = 0 superfície do condutor à (ε 0 ) r D2 = 0 E1t = 0 E2 t = 0 D1t = 0 E1t = E2t D1n − D2 n = ρ s D1n = ρ s r D1 = ρ s uˆ n r ρ E1 = s uˆ n ε1 OpE 0708 Elec 48 Exercícios 1. Faculdade de Engenharia Uma carga pontual Q está colocada no centro de uma casca condutora de raio interior a e raio exterior b. Determine o campo eléctrico e o potencial eléctrico em todo o espaço. Q a b 2. Uma carga pontual Q está colocada no centro de uma casca dieléctrica de raio interior a e raio r r r ε exterior b, e com permitividade eléctrica 1 . Determine E , P e D em todo o espaço. Q a ε1 b OpE 0708 Elec 49 Electrostática (5 aulas) Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas Faculdade de Engenharia (1ª aula) Lei de Gauss Potencial eléctrico (2ª aula) Electrostática na matéria (3ª aula) Capacidade (4ª aula) Energia electrostática Correntes eléctricas estacionárias OpE 0708 Elec 50 Capacidade eléctrica Faculdade de Engenharia • condutor num campo electrostático é um corpo equipotencial • carga depositada num condutor em repouso distribui-se na sua superfície O campo eléctrico criado por um dado condutor é proporcional à carga Q nele depositada. r Por sua vez, como E = −∇V A razão também V será proporcional a Q. Q / V é a capacidade do condutor C= Q V (F) Q = CV OpE 0708 Elec 51 Condensador Faculdade de Engenharia Um condensador é um dispositivo constituído por dois condutores separados por ar ou por um meio dieléctrico. V12 + − r E +Q −Q V12 à tensão entre os dois condutores Q à valor absoluto da carga em cada condutor condutor 1 condutor 2 ar ou dieléctrico Quando uma tensão é aplicada entre os condutores, ocorre uma transferência de carga, resultando numa carga +Q num dos condutores e –Q no outro. Esta distribuição de carga leva ao aparecimento de um campo eléctrico entre os dois condutores. A capacidade de um condensador é C= Q V12 OpE 0708 Elec 52 Cálculo da capacidade de um condensador Faculdade de Engenharia V12 C= Q V12 + +Q − r E −Q V12 à tensão entre os dois condutores Método de cálculo 1. Admitir cargas +Q e –Q nos condutores Q à valor absoluto da carga em cada condutor r 2. Determinar E entre os condutores 3. Determinar 4. Calcular V12 = V( + Q ) − V( −Q ) = − C= (+ Q )r ∫ r E ⋅ dl ( −Q ) Q V12 OpE 0708 Elec 53 Exemplo – condensador de placas paralelas 1. Admitir cargas +Q e –Q nos condutores 2. simetria + condição fronteira à y +Q r ρ E = − s uˆ y ε área A r E Q ρs = A onde Faculdade de Engenharia d ε 0 −Q 3. 4. V12 = V( + Q ) − V( −Q ) C= Q V12 = (+ Q )r d r Q dy = − E ⋅ dl = − − A ε ( −Q ) 0 Q Qd εA ∫ ∫ C =ε = Qd εA A d OpE 0708 Elec 54 Energia electrostática – carga pontual Faculdade de Engenharia r r V ( P ) = − E ⋅ dl P r r V ( P ) − V (∞) = − E ⋅ dl P ∫ ∞ ∞ P r r r r V ( P ) = − E ⋅ dl = − F ⋅ dl = − W pelo P r r r F = QE = E carga unitária à ∫ V (∞ ) = 0 ∫ ∞ ∫ ∞ campo = Wcontra campo V (P ) representa o trabalho realizado contra o campo eléctrico a trazer uma carga infinita desde o infinito até ao ponto P Este trabalho é armazenado como energia potencial do sistema carga não unitária à Wcontra campo = − W pelo campo P r r r r = − F ⋅ dl = −Q E ⋅ dl P ∫ ∞ ∫ ∞ We = Q V energia armazenada OpE 0708 Elec 55 Energia electrostática – sistema constituído por duas cargas Faculdade de Engenharia seja V1 à potencial criado por Q1 na posição de Q2 V2 à potencial criado por Q2 na posição de Q1 V1 = Q1 4π ε 0 R12 V2 = R12 Q2 Q1 Q2 4π ε 0 R12 trabalho realizado contra o campo ao trazer Q2 desde o infinito até à distância R12 de Q1 é: We = Q2V1 mas Q2V1 = Q1V2 = 1 (Q1V2 + Q2V1 ) 2 We = 1 (Q1V2 + Q2V1 ) 2 energia armazenada OpE 0708 Elec 56 Energia electrostática – conjunto de N cargas 1 We = 2 Vk Faculdade de Engenharia N ∑QV energia armazenada k k k =1 à potencial criado por todas as cargas excepto Qk no ponto onde está Qk 1 Vk = 4π ε 0 N Qj j =1 R jk ∑ ( j ≠k ) distância entre cargas Qj e Qk OpE 0708 Elec 57 Energia electrostática – distribuição contínua de cargas 1 We = 2 Faculdade de Engenharia N ∑QV k k (distribuição discreta) k =1 dv, dq Qk → ρ v dv ∑ → ∫ Vol, ρ v We = 1 ρ v V dv 2 Vol ∫ energia armazenada OpE 0708 Elec 58 Energia electrostática em função dos campos 1 We = ρ v V dv 2 Vol ∫ r ∇ ⋅ D = ρv Faculdade de Engenharia ∫( ) r 1 We = ∇ ⋅ D V dv 2 Vol ( ) ( ) r r r ∇ ⋅ V D = V ∇ ⋅ D + D ⋅ ∇V ∫ ( ) r 1 1 r We = ∇ ⋅ V D dv − D ⋅ ∇V dv 2 Vol 2 Vol ∫ zero quando R→ ∞ 1 We = 2 ∫ r r D ⋅ E dv todo o espaço ∫( ) r r 1 r r 1 We = V D ⋅ ds + D ⋅ E dv 2S 2 Vol teorema da divergência ∫ r E = −∇V OpE 0708 Elec 59 Energia electrostática de um condensador condensador à C= q V V= Faculdade de Engenharia q C q dq C variação dq origina variação na energia armazenada de dWe = V dq = Q Q 1 q2 q We = dq = C C 2 0 0 ∫ 1 1 Q2 1 2 We = = QV = CV 2 2 C 2 energia armazenada num condensador OpE 0708 Elec 60 Exercícios – dieléctricos 1. Faculdade de Engenharia (aula anterior) Uma carga pontual Q está colocada no centro de uma coroa dieléctrica de raio interior a e raio r r r exterior b, e com permitividade eléctrica ε 1 . Determine E , P e D em todo o espaço. Q a ε1 b OpE 0708 Elec 61 Exercícios – capacidade 2. Faculdade de Engenharia Considere um condensador esférico constituído por uma esfera condutora de raio a e uma casca esférica de raio b (a<b). O espaço entre os dois condutores está preenchido por um material dieléctrico de permitividade ε . Determine a capacidade deste condensador. 3. Determine a capacidade do condensador cilíndrico representado. ε a b L OpE 0708 Elec 62 Exercícios – energia electrostática 4. Faculdade de Engenharia Determine a energia electrostática armazenada numa esfera de raio a com densidade volumétrica de carga ρ v uniforme. 5. 6. 1 Repita o problema anterior utilizando a expressão We = 2 ∫ r r D ⋅ E dv . todo o espaço Admitindo que a carga em cada condutor tem valor absoluto Q, determine a energia armazenada nos condensadores dos problemas 2 e 3. . OpE 0708 Elec 63 Electrostática (5 aulas) Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas Faculdade de Engenharia (1ª aula) Lei de Gauss Potencial eléctrico (2ª aula) Electrostática na matéria (3ª aula) Capacidade Energia electrostática (4ª aula) Correntes eléctricas estacionárias Leis de Ohm e de Joule Resistência e resistividade (5ª aula) Equação da continuidade OpE 0708 Elec 64 Densidade de corrente eléctrica Faculdade de Engenharia r Considere-se o movimento estacionário de cargas de valor q com velocidade v através de um elemento de superfície ∆S r à cargas deslocam-se v∆t durante intervalo ∆t r todas as cargas no interior do cilindro definido por ∆S e v∆t ∆S ∆I = atravessam ∆S no intervalo ∆t r v q I= r v∆t r ∆Q = q N ∆S (v ⋅ uˆ n ) ∆t volume do cilindro Q t ∆Q ∆t cargas por unidade de volume r r r ∆I = q N ∆S (v ⋅ uˆ n ) = q N v ⋅ ∆S r ∆S = ∆S uˆ n versor normal a ∆S r r J =qNv (A/m ) 2 densidade de corrente OpE 0708 Elec 65 Corrente eléctrica r r J =qNv Faculdade de Engenharia densidade de corrente ∆S r r ∆I = q N v ⋅ ∆S r r ∆I = J ⋅ ∆S r r I = J ⋅ ds ∫ q r v∆t r v corrente eléctrica através de uma superfície é dada pelo fluxo da densidade de corrente através dessa superfície (A ) S OpE 0708 Elec 66 Lei de Ohm Faculdade de Engenharia Em condutores metálicos as cargas livres são electrões ( q = −e ), podendo escrever-se r r v = − µe E mobilidade dos electrões (m2/Vs) ∆S q r r J =qNv r r r J = − q N µe E = e N µe E r r J =σ E r v∆t r v Lei de Ohm (forma pontual) σ = e N µe condutividade (Sm) Nota: circuitos eléctricos à V =RI Lei de Ohm resistência (Ω) OpE 0708 Elec 67 Resistividade e resistência – fio condutor Faculdade de Engenharia Considere-se um fio condutor de comprimento l e área de secção transversal S, − feito de um material com condutividade σ ao qual é aplicado uma diferença de + tensão V nas extremidades r r J =σ E r E (+ ) r V = V(+ ) − V(− ) = − E ⋅ dl = − E dl ∫ ( ) ∫( ) − ∫ J= I S S I V =σ S l Nota: resistividade à V l − r r I = J ⋅ ds = J ds = J S S = El E= l S J=σ E (+ ) r ∫ r J r E V ρ= 1 σ (Ωm ) V 1 l = I σ S V = RI R= 1 l σ S resistência do fio condutor OpE 0708 Elec 68 Resistência de um fio condutor – exemplo Sabendo que a resistividade do cobre é Faculdade de Engenharia ρ = 1.7 × 10 −8 Ωm , determine a resistência por unidade de comprimento de um fio de cobre com 1.628 mm de diâmetro 1 l R= σ S l =ρ S R ρ = = l S 1.7 × 10 −8 1.628 × 10 −3 π 2 2 = 8.2 × 10 −3 Ω / m OpE 0708 Elec 69 Equação da continuidade Faculdade de Engenharia Considere-se um volume V limitado por uma superfície S e contendo uma carga total Q. se uma corrente I atravessar S em direcção ao exterior (interior), a carga em V irá diminuir (aumentar). Q I =− V, S r r I = J ⋅ ds ∫ S ∫ Q = ρ v dv r r d J ⋅ ds = − ρ v dv dt V S ∫ dQ dt teor. divergência r d ∇ ⋅ J dv = − ρ v dv dt V V equação da continuidade r dρ ∇⋅J = − v dt ∫ ∫ ∫ V nota correntes estacionárias à dρ v =0 dt r ∇⋅J = 0 OpE 0708 Elec 70 Tempo de relaxamento Faculdade de Engenharia r Em condições de equilíbrio, as cargas no interior de condutor distribuem-se de forma que no seu interior ρ v = 0 e E = 0 Esta redistribuição de cargas não ocorre de forma instantânea e pode ser estudada a partir da eq. da continuidade. r dρ ∇⋅J = − v dt r r J =σ E σ = const. r dρ σ ∇⋅E = − v dt dρ v σ + ρv = 0 dt ε dρ σ ρv = − v ε dt r ρ ∇⋅E = v ε ρv ρv0 ρ v0 e solução τ ρ v = ρ v0 t σ − t e ε Tempo de relaxamento, τ à tempo que a carga demora a passar para 1/e do seu valor inicial σ − τ ρv0 = ρv0 e ε e e −1 = σ − τ e ε σ τ =1 ε τ= ε σ OpE 0708 Elec 71 Tempo de relaxamento – exemplo Sabendo que para o cobre σ = 5.8 × 10 relaxamento do cobre. τ= 7 S/m e ε ≅ ε 0 = Faculdade de Engenharia 1 × 10 −9 F/m, determine o tempo de 36π ε = 1.52 × 10 −19 s σ OpE 0708 Elec 72 Dissipação de potência e lei de Joule Faculdade de Engenharia r O trabalho realizado pelo campo eléctrico ao deslocar uma carga q ao longo de uma distância ∆l é dado por r r ∆W = qE ⋅ ∆l A este trabalho corresponde uma potência r r r r ∆W ∆l = qE ⋅ lim ∆t →0 = qE ⋅ ∆v ∆t ∆t p = lim ∆t →0 Se existirem N cargas por unidade de volume, a potência total entregue às cargas contidas no volume dv é r r dP = Ndv qE ⋅ ∆v r r r r = E ⋅ Nq∆v dv = E ⋅ J dv cargas em dv P= ∫ dP Vol dP r r = E⋅J dv densidade de potência r J P= ∫ r r E ⋅ J dv lei de Joule Vol OpE 0708 Elec 73 Lei de Joule – fio condutor Faculdade de Engenharia − Considere-se um fio condutor de comprimento l e área de secção transversal S, feito de um material com condutividade σ ao qual é aplicado uma diferença de tensão V nas extremidades + l S r r J =σ E r E r J r E V J=σ E (+ ) r r V = V(+ ) − V(− ) = − E ⋅ dl ∫ ( ) = El P= r r E ⋅ J dv = − r r I = J ⋅ ds = J ds = J S ∫ S lei de Joule à ∫ S ∫ Vol ∫ E J ds dl = ∫ E dl ∫ J ds Vol J=σ E l =El J S P =V I S V I V = RI dv = ds dl P = RI2 OpE 0708 Elec 74 Exercício – cálculo de resistência 1. Faculdade de Engenharia O espaço entre duas superfícies esféricas concêntricas condutoras de raios a e b (a<b) está preenchido com um material de condutividade σ . Sabendo que uma corrente I entra no dispositivo pela superfície condutora interior e sai pela exterior, determine a) a densidade de corrente entre as duas superfícies condutoras; b) o campo eléctrico entre as duas superfícies condutoras; c) a diferença de tensão entre as duas superfícies condutoras; d) a resistência entre as duas superfícies condutoras; e) a potência dissipada. I a σ b I OpE 0708 Elec 75 Faculdade de Engenharia Magnetostática OpE - MIB 2007/2008 Programa de Óptica e Electromagnetismo Faculdade de Engenharia Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas Electrostática e Magnetostática à 8 aulas Campos e Ondas Electromagnéticas à 6 aulas Óptica Geométrica à 3 aulas Fibras Ópticas à 3 aulas Lasers à 3 aulas OpE 0708 Magn 2 Magnetostática (3 aulas) Faculdade de Engenharia Força de Lorentz Divergência e rotacional do campo de indução magnética (1ª aula) Leis de Biot-Savart e de Ampère Magnetostática na matéria Campo magnético (2ª aula) Condições fronteira Coeficiente de auto-indução (3ª aula) Energia magnética OpE 0708 Magn 3 Relembrando Modelo Electrostático à Faculdade de Engenharia r ∇ ⋅ D = ρv r ∇× E = 0 Meios LHI à r r D =ε E Força eléctrica à r r Fe = q E OpE 0708 Magn 4 Força de Lorentz Força magnética à Faculdade de Engenharia r r r Fm = q v × B r v r B Força electromagnética total à à velocidade à campo de indução magnética (Wb/m2 ou T) r r r F = Fe + Fm ( r r r r F =q E+v×B ) força de Lorentz OpE 0708 Magn 5 Divergência e rotacional do campo de indução magnética Faculdade de Engenharia No vazio e para campos de indução magnética estacionários tem-se r ∇⋅B = 0 r r ∇ × B = µ0 J µ 0 à permeabilidade magnética do vazio µ 0 = 4π × 10 −7 H/m Notas 1. ( ) r ∇⋅ ∇× B = 0 r µ0 ∇ ⋅ J = 0 r ∇⋅J = 0 como prevê a equação da continuidade para correntes estacionárias 2. r r a comparação de ∇ ⋅ B = 0 com ∇ ⋅ E = ρv indica que não existe “carga magnética” ε0 fonte de campos magnéticos estacionários são correntes estacionárias OpE 0708 Magn 6 Vector potencial magnético r ∇⋅B = 0 r B pode ser expresso como o rotacional de outro campo vectorial r A à vector potencial magnético (Wb/m) r admitindo ∇ ⋅ A = 0 (para simplificar) Faculdade de Engenharia pode mostra-se (ver Cheng) r r B = ∇× A r µ0 A= 4π ∫ Vol r J r r dv' r − r' r r r à posição onde se quer calcular A r r ' à posição do elemento de corrente OpE 0708 Magn 7 Lei de Biot–Savart Faculdade de Engenharia Considere-se um fio condutor com área de secção transversal S percorrido por r J uma corrente estacionária I dv' = S dl ' r r r J dv' = J S dl ' = I dl ' r µ A= 0 4π r µ0 I A= 4π ∫ C ∫ Vol S r J r r dv ' r − r' r dl ' r r r − r' correntes estacionárias formam percursos fechados I pode mostra-se (ver Cheng) r µ I B= 0 4π ∫ C r r r dl '× (r − r ') r r3 r − r' lei de Biot-Savart r r r à posição onde se quer calcular B r r ' à posição do elemento de corrente OpE 0708 Magn 8 Lei de Biot–Savart – exemplo Faculdade de Engenharia z Considere um fio de de comprimento 2L que é percorrido por uma corrente I. L Determine o campo de indução magnética num ponto do plano bissector, a uma z' distância r do fio. I Nota: Este fio é parte de um circuito completo (fechado) mas só estamos interessados em calcular o campo criado por este lado do circuito. coordenadas cilíndricas à r µ I B= 0 4π ∫ C r r r dl '× (r − r ') r r3 r − r' r dl ' r r = r uˆ r r r '= z ' uˆ z r dl '= dz ' uˆ z −L ( r r r − r ' = r uˆ r − z ' uˆ z P r r r3 r − r ' = r 2 + z '2 ) 3/ 2 r r r dl '×(r − r ') = dz ' uˆ z × (r uˆ r − z ' uˆ z ) = r dz ' uˆφ r µ Ir B = 0 uˆφ 4π +L ∫ (r −L dz ' 2 + z' ) 2 3/ 2 = µ0 I L 2π r L + r 2 2 uˆφ OpE 0708 Magn 9 Lei de Biot–Savart – exemplo Faculdade de Engenharia z Considere um fio de de comprimento 2L que é percorrido por uma corrente I. L r dl ' Determine o campo de indução magnética num ponto do plano bissector, a uma z' distância r do fio. I Nota: Este fio é parte de um circuito completo (fechado) mas só estamos interessados em calcular o campo criado por este lado do circuito. P r −L r B= µ0 I L 2π r L + r 2 2 uˆφ Notas 1. r B e I relacionados pela “regra da mão-direita” 2. o campo criado por um fio infinito é r B = lim L →∞ µ0 I L 2π r L2 + r 2 uˆφ = µ0 I uˆφ lim L →∞ 2π r L L2 + r 2 r µ0 I uˆφ B= 2π r fio infinito OpE 0708 Magn 10 Divergência e rotacional do campo de indução magnética – forma integral Faculdade de Engenharia No vazio e para campos de indução magnética estacionários tem-se r ∇⋅B = 0 ∫ r ∇ ⋅ B dv = 0 ∫ teor. da divergência Vol r r B ⋅ ds = 0 S r o fluxo total exterior de B através de qualquer superfície fechada é nulo linhas de campo magnético fecham-se sobre si mesmas r r ∇ × B = µ0 J ∫( ) r r r r ∇ × B ⋅ ds = µ 0 J ⋅ ds S ∫ S corrente que atravessa S teor. de Stokes r r I int = J ⋅ ds ∫ ∫ r r B ⋅ dl = µ 0 I int C lei de Ampère S OpE 0708 Magn 11 Lei de Ampère ∫ r r B ⋅ dl = µ 0 I int Faculdade de Engenharia lei de Ampère C A circulação do campo de indução magnética ao longo de qualquer percurso fechado é igual a µ 0 vezes a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo percurso Notas 1. sentido de circulação e sentido da corrente estão relacionados pela “regra da mão direita” 2. r a lei de Ampère é útil na determinação de B em problemas que tenham simetria r percurso C deve ser escolhido de forma que a componente de B tangencial ao percurso seja constante nesse percurso OpE 0708 Magn 12 Lei de Ampère – exemplo Faculdade de Engenharia Um condutor cilíndrico de comprimento infinito e raio a é percorrido por uma z I corrente I. Admitindo que esta corrente se distribui uniformemente sobre a secção transversal do condutor, determine o campo de indução magnética em todo o a espaço, isto é, no interior e no exterior do condutor. simetria cilíndrica coordenadas cilíndricas com eixo dos z a apontar na direcção da corrente I r B = B(r ) uˆφ regra da mão-direita simetria C : percurso circular de raio r perpendicular ao condutor e centrado no seu eixo r dl = dr uˆ r + r dφ uˆφ + dz uˆ z = r dφ uˆφ r r B ⋅ dl = B ( r ) r dφ 2π r r 2π B ⋅ dl = B r dφ = B r dφ = 2π r B ∫ C ∫ 0 ∫ 0 ∫ r r B ⋅ dl = µ 0 I int r µ 0 I int B= uˆφ 2π r C OpE 0708 Magn 13 Lei de Ampère – exemplo Faculdade de Engenharia z Um condutor cilíndrico de comprimento infinito e raio a é percorrido por uma corrente I. Admitindo que esta corrente se distribui uniformemente sobre a secção transversal do condutor, determine o campo de indução magnética em todo o espaço, isto é, no interior e no exterior do condutor. r µ 0 I int B= uˆφ 2π r I a determinação de Iint 0<r <a I int r r = J ⋅ ds ∫ I int Sr I = ds 2 π a S ∫ r r =I a 2 r a superfície de raio r r distribuição uniforme de corrente à J = I uˆ z π a2 r ds = ds uˆ z r µ Ir B = 0 2 uˆφ , 0 < r < a 2π a OpE 0708 Magn 14 Lei de Ampère – exemplo Faculdade de Engenharia z Um condutor cilíndrico de comprimento infinito e raio a é percorrido por uma corrente I. Admitindo que esta corrente se distribui uniformemente sobre a secção transversal do condutor, determine o campo de indução magnética em todo o espaço, isto é, no interior e no exterior do condutor. r µ 0 I int B= uˆφ 2π r I a determinação de Iint r>a I int r r = J ⋅ ds ∫ I int r r = J ⋅ ds = I ∫ Sa Sr superfície de raio r r a superfície de raio a r I uˆ z , 0 < r < a J = π a 2 0 , r>a r ds = ds uˆ z r µ I B = 0 uˆφ , r > a 2π r OpE 0708 Magn 15 Exercícios 1. Faculdade de Engenharia Determine o campo de indução magnética num ponto do eixo de um anel circular de raio a que é percorrido por uma corrente I. 2. Um fio condutor percorrido por uma corrente I é enrolado em N voltas em torno de um toróide preenchido com ar. Sabendo que o toróide tem raio médio b e raio da secção transversal a, determine o campo de indução magnética em todo o espaço, isto é, para 0 < r < b − a , b − a < r < b + a e + + + + ⋅ ⋅ + + I I + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ I a + ⋅ ⋅ + r >b+a . b + + + I OpE 0708 Magn 16 Magnetostática (3 aulas) Faculdade de Engenharia Força de Lorentz Divergência e rotacional do campo de indução magnética (1ª aula) Leis de Biot-Savart e de Ampère Magnetostática na matéria Campo magnético (2ª aula) Curva de histerese Condições fronteira Coeficiente de auto-indução Energia magnética (3ª aula) Força magnética OpE 0708 Magn 17 Relembrando campos eléctricos em dieléctricos Faculdade de Engenharia dipolo eléctrico dieléctrico (tem cargas de polarização) r aplicação de E0 r E0 n∆v efeito macroscópico destes dipolos induzidos é traduzido pelo vector de polarização à r P = lim ∆v →0 ∑ r pk k =1 ∆v vector de polarização traduz a forma como o campo eléctrico no interior do dieléctrico é alterado: r r r D = ε0E + P (C/m ) 2 r ∇ ⋅ D = ρv vector deslocamento eléctrico OpE 0708 Magn 18 Campos magnetostáticos na matéria dipolos magnéticos (associados ao movimento orbital e ao spin dos electrões) com orientação aleatória aplicação de campo magnético Faculdade de Engenharia alinhamento dos momentos dipolares associados ao spin e modificação do movimento orbital (material não magnético) n∆v efeito macroscópico é traduzido pelo vector de magnetização à r M = lim ∆v →0 r ∑m k k =1 ∆v vector de magnetização traduz a forma como o campo magnético no interior do material é alterado: r r ∇ × B = µ0 J (vazio) r r r B ∇× − M = J µ0 densidade de corrente livre OpE 0708 Magn 19 Campo magnético Faculdade de Engenharia seja r r B r H= −M µ0 (A/m) campo magnético r r r B ∇ × − M = J µ0 r r ∇× H = J ∫( ) densidade de corrente livre r r r r ∇ × H ⋅ ds = J ⋅ ds = I int S ∫ teorema de Stokes ∫ r r H ⋅ dl = I int Lei de Ampère C s corrente livre no interior de S OpE 0708 Magn 20 Meios lineares, homogéneos e isotrópicos seja r r M = χm H r r B r −M H= µ0 Faculdade de Engenharia χ m à susceptibilidade magnética r meio linear à χ m é independente de H meio isotrópico à χ m é independente da direcção de H r meio homogéneo à χ m é independente da posição no material χ m é uma constante r r B = µ0 µ r H r r B = µ 0 (1 + χ m )H µr = 1 + χ m permeabilidade relativa r r B=µH µ = µ0 µr permeabilidade absoluta OpE 0708 Magn 21 Materiais magnéticos materiais magnéticos Faculdade de Engenharia diamagnéticos à µ r < 1 ( χ m pequeno) paramagnéticos à µ r > 1 ( χ m pequeno) µr = 1 + χ m ferromagnéticos à µ r >> 1 ( χ m elevado) Notas 1. O diamagnetismo está associado ao movimento orbital dos electrões e está presente em todos os materiais. materiais diamagnéticos à cobre, chumbo, mercúrio, … 2. O paramagnetismo está associado ao movimento de rotação dos electrões (spin) e é afectado pela temperatura. materiais paramagnéticos à alumínio, magnésio, titânio, … 3. O ferromagnetismo está associado à existência de domínio magnetizados (com dipolos magnéticos alinhados mesmo na ausência de campos magnéticos exteriores). materiais ferromagnéticos à ferro, cobalto, níquel, … OpE 0708 Magn 22 Histerese Faculdade de Engenharia B domínios magnetizados P1 O H ausência de campo magnético à momentos dipolares com orientação aleatória aplicação de campo magnético à alargamento dos domínios com momentos dipolares alinhados com campo aplicado aumento do campo de indução magnética para campos fracos (até ponto P1) este alargamento é reversível OpE 0708 Magn 23 Histerese Faculdade de Engenharia para campos mais fortes (depois de ponto P1) este alargamento já não é reversível e ocorre também orientação dos momentos dipolares na direcção do campo B P3 Br P2 P1 se campo é retirado em P2, a curva seguida será a indicada a tracejado e não o percurso P2P1O Hc O H curva de histerese à saturação aumentando o campo para até P3 Br à campo de indução magnética remanescente ímanes permanentes H c à campo magnético coercivo Nota ímanes permanentes à valores de H c elevados transformadores, motores, … à curvas de histerese estreitas OpE 0708 Magn 24 Condições fronteira para campos magnetostáticos Faculdade de Engenharia interface entre dois meios diferentes meio 1 (µ1 ) meio 2 (µ 2 ) r r Como se relacionam os campos H e B nos dois meios? OpE 0708 Magn 25 Componente normal Faculdade de Engenharia volume cilíndrico de base ∆S e altura ∆h → 0 ∫ r r B ⋅ ds = 0 ûn ∆S meio 1 (µ1 ) ∆h S meio 2 (µ 2 ) zero porque ∆h → 0 ∫ r r B ⋅ ds + topo ∫ r r B ⋅ ds + lateral ∫ r r B ⋅ ds = 0 r r ˆ B1 ⋅ u n ∆S − B2 ⋅ uˆ n ∆S = 0 B1n = B2 n base µ1 H1n = µ 2 H 2 n OpE 0708 Magn 26 Componente tangencial Faculdade de Engenharia percurso rectangular de comprimento ∆w e largura ∆h → 0 a b c ∆w ∫ C b ∫ a d r r c r r d r r a r r H ⋅ dl + H ⋅ dl + H ⋅ dl + H ⋅ dl = I int ∫ b ∫ c meio 2 (ε 2 ) zero porque ∆h → 0 zero r r H ⋅ dl = I int ∆h meio 1 (ε1 ) ∫ H1t ∆w − H 2t ∆w = I int H1t − H 2t = d ( I int = J sn ∆w ) r r r uˆ n × H1 − H 2 = J s OpE 0708 Magn 27 Fluxo magnético Faculdade de Engenharia r r Φ = B ⋅ ds ∫ fluxo magnético através de S S Considerem-se dois percursos fechados próximos, C1 e C2, os quais limitam as superfícies S1 e S2. r B1 à campo criado pela corrente I1 em C1 S2 S1 I1 C2 C1 r r Φ12 = B1 ⋅ ds ∫ à fluxo mútuo S2 OpE 0708 Magn 28 Indutância mútua r r Φ12 = B1 ⋅ ds ∫ Faculdade de Engenharia fluxo mútuo S2 S2 S1 r B1 à campo criado pela corrente I1 em C1 I1 C2 C1 r B1 é proporcional a I1 indutância mútua Φ12 é proporcional a I1 Φ12 = L12 I1 L12 = generalizando Importante: se percurso C2 tiver N2 espiras à Φ12 I1 Λ12 = N 2 Φ12 fluxo de ligação devido a Φ12 L12 = Λ12 I1 (H) indutância mútua OpE 0708 Magn 29 Auto–indutância Faculdade de Engenharia parte do fluxo magnético produzido por I1 atravessa apenas o circuito C1 S2 S1 r r Φ11 = B1 ⋅ ds I1 ∫ C2 C1 S1 Λ11 = N1 Φ11 espiras em C1 L11 = Λ11 I1 (H) coeficiente de auto–indução OpE 0708 Magn 30 Bobinas Faculdade de Engenharia Um condutor com a forma apropriada para ter um dado coeficiente de auto– indução é uma bobina. exemplo à fio condutor enrolado em torno de um núcleo I As bobinas armazenam energia magnética, tal como os condensadores armazenam energia eléctrica. No caso de só existir um circuito, só faz sentido falar em coeficiente de auto–indução, o qual pode ser representado apenas por L: L= Λ I onde Λ= NΦ r r Φ = B ⋅ ds ∫ S OpE 0708 Magn 31 Cálculo do coeficiente de auto–indução L= Faculdade de Engenharia Λ I I Método de cálculo 1. Admitir corrente I no condutor r 2. Determinar B (usando a lei de Ampère ou a lei de Biot–Savart) r r 3. Determinar Φ = B ⋅ ds ∫ S 4. Determinar Λ = N Φ 5. Calcular L = Λ I OpE 0708 Magn 32 Exercícios (aula anterior) 1. Faculdade de Engenharia Determine o campo de indução magnética num ponto do eixo de um anel circular de raio a que é percorrido por uma corrente I. 2. Um fio condutor percorrido por uma corrente I é enrolado em N voltas em torno de um toróide preenchido com ar. Sabendo que o toróide tem raio médio b e raio da secção transversal a, determine o campo de indução magnética em todo o espaço, isto é, para 0 < r < b − a , b − a < r < b + a e + + + + ⋅ ⋅ + + I I + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ I a + ⋅ ⋅ + r >b+a . b + + + I OpE 0708 Magn 33 Exercícios 3. Faculdade de Engenharia A região 0 < r < a está ocupada por um fio condutor de comprimento infinito percorrido por uma corrente I. Um outro condutor cilíndrico oco ocupa a região b < r < c e é percorrido por uma corrente I no sentido contrário. O espaço entre os dois condutores, isto é, a região a < r < b está preenchido por um material magnético com permeabilidade µ . Admitindo que a corrente se distribui uniformemente nos dois r r H condutores, determine B e em todo o espaço. ⋅ I µ I × a b c OpE 0708 Magn 34 Exercícios 4. Faculdade de Engenharia Considere um cabo coaxial de comprimento L constituído por duas superfícies condutoras cilíndricas de raios a e c . O espaço entra as duas superfícies condutoras está preenchido por dois materiais magnéticos de permeabilidades µ1 e µ 2 , tal como representado na figura. Sabendo que L >> c , calcule o coeficiente de auto-indução deste cabo coaxial.. µ2 µ1 a µ b c OpE 0708 Magn 35 Magnetostática (3 aulas) Faculdade de Engenharia Força de Lorentz Divergência e rotacional do campo de indução magnética (1ª aula) Leis de Biot-Savart e de Ampère Magnetostática na matéria (2ª aula) Coeficiente de auto-indução Energia magnética Força magnética Força em condutores percorridos por correntes (3ª aula) Efeito de Hall Indução electromagnética OpE 0708 Magn 36 Energia magnética Faculdade de Engenharia Considere-se um circuito fechado C1 com coeficiente de auto-indução L1 no qual a corrente i1 é inicialmente nula. Um gerador de corrente é ligado ao anel, forçando a corrente a aumentar até I1. i1 Uma força electromotriz é induzida no circuito que se opõe à variação de corrente. C1 É necessário realizar trabalho para contrariar esta força electromotriz. ∫ I1 Wm = v1i1dt ∫ = L1 i1di1 0 v1 = L1 Wm = 1 L1 I12 2 di1 dt L1 = tensão aos terminais de uma bobina com coeficiente de auto-indução L1 Wm = energia magnética armazenada Φ1 I1 1 I1 Φ 1 2 OpE 0708 Magn 37 Energia magnética – dois circuitos Faculdade de Engenharia Considerem-se agora dois circuitos fechados C1 e C2 percorridos pelas correntes i1 i2 , as quais são inicialmente nulas e aumentam até aos valores I1 e I2. Admitamos que esta variação das correntes é feita em duas etapas: 1º i2 = 0 i1 : 0 → I1 i2 i1 requer trabalho W1 = i1 = I1 i2 : 0 → I 2 requer trabalho W2 + W21 onde W21 = W2 = 1 1 Wm = L1 I12 + L21 I1 I 2 + L2 I 22 2 2 C1 1 L1 I12 2 v21 = L21 2º C2 Lkk = Lk Wm ∫v di2 dt tensão aos terminais de C1 por causa de i2 I2 21 I1 dt = 2 21 I1 di2 = L21 I1 I 2 0 1 L2 I 22 2 1 = 2 ∫L 2 ∑∑L jk I j Ik j =1 k =1 energia magnética armazenada OpE 0708 Magn 38 Energia magnética – N circuitos Faculdade de Engenharia Generalizando a expressão anterior, a energia magnética armazenada por N percorridos pelas correntes estacionárias I1, I2, …, IN é: Wm 1 = 2 N N ∑∑L jk I j Ik Φk = N ∑L j =1 Wm energia magnética armazenada j =1 k =1 1 = 2 N ∑I k jk Ij fluxo magnético através do circuito Ck Φk k =1 OpE 0708 Magn 39 Energia magnética em função dos campos magnéticos Faculdade de Engenharia É possível mostra-se que a energia magnética armazenada é dada por: (ver Cheng) Wm 1 = 2 ∫ r r H ⋅ B dv' (J) energia magnética armazenada todo o espaço 1 r r wm = H ⋅ B 2 (J/m 3 ) ß densidade de energia magnética B2 wm = 2µ µH2 wm = 2 OpE 0708 Magn 40 Cálculo de L a partir de Wm – exemplo Faculdade de Engenharia z A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar. Wm 1 = 2 ∫ r r H ⋅ B dv' = todo o 1 2 µ0 espaço ∫ a b l r para determinar B é necessário considerar que B 2 dv' todo o o cabo coaxial transporta uma dada corrente. espaço r r B = µ0 H Admitamos que uma corrente I entra no cabo coaxial pelo condutor sólido (à sentido do eixo dos z), distribuindose uniformente nesse condutor, e “regressando” pelo condutor exterior (à sentido contrário ao do eixo dos z). r I J= uˆ , para 0 < r < a 2 z πa e r I = − I uˆ z , para r = b OpE 0708 Magn 41 Cálculo de L a partir de Wm – exemplo Faculdade de Engenharia z A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar. a b l r determinação de B simetria ∫ r r B ⋅ dl = µ 0 I int C r B = B(r ) uˆφ C : percurso circular de raio r perpendicular ao cabo e centrado no seu eixo r dl = r dφ uˆφ ∫ C 2π r r 2π B ⋅ dl = B r dφ = B r dφ = 2π r B ∫ 0 ∫ 0 ∫ r r B ⋅ dl = µ 0 I int r µ 0 I int B= uˆφ 2π r C OpE 0708 Magn 42 Cálculo de L a partir de Wm – exemplo Faculdade de Engenharia z A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar. a r µ I B = 0 int uˆφ 2π r l b determinação de I int b r r I uˆ z J= π a2 0<r <a I int r r = J ⋅ ds ∫ Sr a<r <b r r I int = J ⋅ ds ∫ Sr r >b I int r r = J ⋅ ds ∫ a I int I = ds 2 π a S ∫ r I int = I I int = I + ( − I ) = 0 r =I a 2 r µ Ir B = 0 2 uˆφ , 0 < r < a 2π a r µ I B = 0 uˆφ , a < r < b 2π r r B=0, r >b Sr OpE 0708 Magn 43 Cálculo de L a partir de Wm – exemplo Faculdade de Engenharia z A partir da energia magnética armazenada, determine o coeficiente de auto-indução de um cabo coaxial de comprimento l constituído por um condutor cilíndrico sólido de raio a e uma superfície cilíndrica condutora de raio b (b << l). O espaço entre os dois condutores está preenchido por ar. a b cálculo de Wm 1 Wm = 2 µ0 1 B 2 dv' = 2 µ0 todo o ∫ espaço l 2 l 2π b l 2π a µ Ir 2 µ I 2l µ I 2l I µ b 0 0 0 0 r dr d dz + r dr d dz φ φ = + ln 2π r 2π a 2 16 π 4 π a 0 0 0 0 0 a ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ r µ0 I r B= uˆφ , 0 < r < a 2π a 2 r µ I B = 0 uˆφ , a < r < b 2π r cálculo de L Wm = 1 LI2 2 L= µ 0 l µ 0l b 2Wm = + ln 2 8π 2π a I associada ao condutor interior OpE 0708 Magn 44 Forças em condutores percorridos por correntes Faculdade de Engenharia Considere-se um condutor formando um percurso fechado C e percorrido por uma corrente estacionária I. seja I C S r dl r B r v à área da secção transversal do fio condutor à elemento do percurso à campo de indução magnética r à velocidade dos portadores de carga (na direcção de dl ) N à portadores de carga por unidade de volume força em carga de valor q = −e força no volume dv = S dl à à r r r Fm = −e v × B r r r r r r r Fm = −e N S dl v × B = −e N S v dl × B = I dl × B portadores de carga em dv força no circuito C à corrente I força no elemento dl r r r Fm = I ∫ dl × B C OpE 0708 Magn 45 Forças em condutores – dois condutores Faculdade de Engenharia Considerem-se agora dois circuitos fechados, C1 e C2 , percorridos pelas correntes I1 e I2. seja I2 I1 C2 r B21 à campo criado por I2 na posição de C1 r F21 à força exercida por C2 em C1 C1 r r r F21 = I1 ∫ dl × B21 C1 r µ0 I 2 B = onde 21 4π r r r dl × (r1 − r2 ) ∫C rr − rr 3 1 2 2 nota: r r F21 = − F12 OpE 0708 Magn 46 Forças em condutores – atracção / repulsão Faculdade de Engenharia r r r F21 = I1 ∫ dl × B21 Considerem-se dois condutores paralelos e infinitos percorridos pelas correntes I1 e I2. r B21 • r F21 r B21 r F12 r F12 × r F21 I1 I2 atracção I1 I2 repulsão r B21 • r F12 r F21 I1 I2 repulsão C1 r r F21 = − F12 r B21 × r F21 r F12 I1 I2 atracção correntes no mesmo sentido à condutores atraem-se correntes com sentido contrário à condutores repelem-se OpE 0708 Magn 47 Forças em condutores – exemplo Faculdade de Engenharia Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são z percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as r B12 × forças exercidas em cada lado da espira. r r r F12 = I 2 ∫ dl × B12 C2 D I1 r µ I B12 = − B12 uˆ x = − 0 1 uˆ x 2π y A I2 C B c y a lado A r µ I B12 = − 0 1 uˆ x 2π c r dl = dx uˆ x + dy uˆ y + dz uˆ z = dz uˆ z r r µ I dl × B12 = − 0 1 dz uˆ y 2π c 0 r µ I FA = I 2 ∫ − 0 1 dz uˆ y = − µ 0 I1 I 2 uˆ y [z ]0a = µ 0 I1 I 2 a uˆ y 2π c 2π c 2π c a (repulsiva) OpE 0708 Magn 48 Forças em condutores – exemplo Faculdade de Engenharia Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são z percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças r B12 × exercidas em cada lado da espira. D I1 lado B r µ I B12 = − 0 1 uˆ x 2π y r dl = dx uˆ x + dy uˆ y + dz uˆ z = dy uˆ y c+a r µ I FB = I 2 0 1 dy uˆ z 2π y c ∫ A I2 C B r r µ I dl × B12 = 0 1 dy uˆ z 2π y µ II = 0 1 2 uˆ z 2π c+a ∫ c c y a dy µ II c+a = 0 1 2 ln uˆ z y 2π c lado C r µ 0 I1 B12 = − uˆ x 2π (c + a ) r dl = dx uˆ x + dy uˆ y + dz uˆ z = dz uˆ z a r µ 0 I1 FC = I 2 ∫ − dz uˆ y 2π (c + a ) 0 r r dl × B12 = − =− µ 0 I1 I 2 a uˆ y 2π (c + a ) µ 0 I1 dz uˆ y 2π (c + a ) (atractiva) OpE 0708 Magn 49 Forças em condutores – exemplo Faculdade de Engenharia Um fio infinito e uma espira quadrada de lado a estão no mesmo plano e são z percorridos pelas correntes I1 e I2 , tal como mostra a figura. Determine as forças r B12 × exercidas em cada lado da espira. D I1 A I2 lado D C B r µ I B12 = − 0 1 uˆ x 2π y r dl = dx uˆ x + dy uˆ y + dz uˆ z = dy uˆ y r FD = I 2 µ 0 I1 dy uˆ z 2π y c+a c ∫ r r µ I dl × B12 = 0 1 dy uˆ z 2π y c y a r µ 0 I1 I 2 c µ 0 I1 I 2 c ˆ ˆ F = − = ln ln uz = − uz B 2π 2π c+a c+a Nota: r r r r r µ I I a 1 1 FTOTAL = FA + FB + FC + FD = 0 1 2 − uˆ y 2π c c + a µ 0 I1 I 2 a 2 = uˆ y 2π c(c + a ) OpE 0708 Magn 50 Efeito de Hall Faculdade de Engenharia Considere-se um material condutor de secção transversal rectangular com dimensões d x b , percorrido por uma r corrente eléctrica de densidade J = J 0 uˆ y r magnética uniforme B = B0 uˆ z . r r J = J 0 uˆ y = N q v d r J = J 0 uˆ y e colocado numa região do espaço onde existe um campo de indução b r v = −v0 uˆ y se q = −e r Fm = −e − v0 uˆ y × B0 uˆ z = e v0 B0 uˆ x ( ) z y electrões deslocam-se para +x x r B = B0 uˆ z campo eléctrico induzido Eh movimento segundo x continua até que força electromagnética seja nula ( ) r r r q Eh + v × B = 0 r r r E h = −v × B r Eh = v0 B0 uˆ x OpE 0708 Magn 51 Efeito de Hall Faculdade de Engenharia + d r Eh r J r Eh = v0 B0 uˆ x Vh b − z aparecimento de Vh y x r B 0 r r Vh = V (x = 0 ) − V ( x = d ) = − E h ⋅ dl = − v0 B0 dx = v0 B0 d 0 ∫ d ∫ d notas 1. se cargas fossem positivas, Vh viria negativo 2. efeito de Hall pode ser usado para medir o campo magnético ou para verificar o sinal dos portadores de carga OpE 0708 Magn 52 Relembrando electrostática à magnetostática à Meios LHI à Faculdade de Engenharia r ∇× E = 0 r ∇ ⋅ D = ρv postulado fundamental da indução electromagnética r r ∂B ∇×E = − ∂t r ∇⋅B = 0 r r ∇× H = J r r D =ε E r r B=µH OpE 0708 Magn 53 Lei de Faraday da indução electromagnética Faculdade de Engenharia r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ∂B r ∇ × E ⋅ ds = − ⋅ ds t ∂ S ∫( S ) ∫ força electromotriz induzida opõe-se à variação de fluxo magnético lei de Lenz teor. de Stokes r r d r r E ⋅ dl = − B ⋅ ds dt C S ∫ ∫ r r V = E ⋅ dl ∫ V =− dΦ dt lei de Faraday da indução electromagnética C força electromotriz induzida num circuito com contorno C OpE 0708 Magn 54 Lei de Faraday – exemplo Faculdade de Engenharia Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio X (t = 0 ) = b z infinito que é percorrido por uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se afasta deste com uma velocidade v, determine: X v I a) Φ (t ) ; x b) V ; c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira. a) r r Φ = B ⋅ ds ∫ S onde r µ0 I B= uˆφ 2π r = µ0 I uˆ y 2π x no plano da espira S : superfície limitada pela espira r ds = dx dz uˆ y a X +a Φ= ∫∫ 0 X 0< z<a e X < x< X +a (X = b + vt ) r r µ I B ⋅ ds = 0 dx dz 2π x µ0 I a µ Ia X + a µ0 I a dx dz = 0 ln ln 1 + = 2π x 2 π b + vt 2π X OpE 0708 Magn 55 Lei de Faraday – exemplo Uma espira quadrada de lado a está colocada no mesmo plano de um fio infinito que é percorrido por Faculdade de Engenharia X (t = 0 ) = b z uma eléctrica estacionária I. Sabendo que a espira, inicialmente a uma distância b do fio inifinito, se X afasta deste com uma velocidade v, determine: Φ (t ) ; b) V ; v I a) x c) o sentido de circulação da corrente induzida na espira. b) V =− dΦ dt =− µ0 I a d a µ Ia v ln 1 + =− 0 2π dt b + vt 2π (b + vt )(a + b + vt ) c) sentido horário OpE 0708 Magn 56 Faculdade de Engenharia Ondas Electromagnéticas OpE - MIB 2007/2008 Programa de Óptica e Electromagnetismo Faculdade de Engenharia Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas Electrostática e Magnetostática à 8 aulas Ondas Electromagnéticas à 6 aulas Óptica Geométrica à 3 aulas Fibras Ópticas à 3 aulas Lasers à 3 aulas OpE 0708 OnEl 2 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell formas diferencial e integral (1ª aula) condições fronteira Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes Campos harmónicos notação fasorial Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas (2ª aula) Incidência normal (3ª aula) Incidência oblíqua (4ª aula) Interferência (5ª aula) Difracção (6ª aula) OpE 0708 OnEl 3 Relembrando r r ∂B ∇× E = − ∂t r ∇ ⋅ D = ρv r r ∇× H = J r ∇⋅B = 0 meios LHI à meios condutores à conservação da carga à Faculdade de Engenharia (lei da indução electromagnética de Faraday) (lei de Gauss) (lei de Ampère) r r D =ε E r r B=µH r r J =σ E r ∂ρ ∇⋅J + v = 0 ∂t importante ( ) r r ∇⋅ ∇× H = ∇⋅ J r ∇⋅ J = 0 nem sempre é verdade!! zero é necessário modificar a equação que traduz a lei de Ampère OpE 0708 OnEl 4 Corrente de deslocamento ( ) r ∇⋅ ∇× H = 0 ( ) r ∂ρ v ∇⋅J + =0 ∂t r r ∂ ∇⋅D ∂D =∇⋅ ∂t ∂t Faculdade de Engenharia ( ) r r ∂ρ ∇⋅ ∇× H = ∇⋅ J + v ∂t r ∇ ⋅ D = ρv ( r r r ∂ ∇⋅D ∇⋅ ∇× H = ∇⋅ J + ∂t ( ) ) r r r ∂D ∇ ⋅ ∇ × H = ∇ ⋅ J + ∂ t ( ) r r r ∂D ∇× H = J + ∂t lei de Ampère corrente de deslocamento OpE 0708 OnEl 5 Equações de Maxwell lei de Faraday r r ∂B ∇× E = − ∂t lei de Ampére r r r ∂D ∇× H = J + ∂t lei de Gauss r ∇ ⋅ D = ρv Faculdade de Engenharia teor. de Stokes teor. de Stokes teor. da divergência r r r ∂B r E ⋅ dl = − ⋅ ds ∂ t C S ∫ ∫ r r r ∂D r H ⋅ dl = I int + ⋅ ds ∂ t C S ∫ ∫ ∫ r r D ⋅ ds = Qint S r ∇⋅B = 0 teor. da divergência ∫ r r B ⋅ ds = 0 S forma diferencial forma integral nota Iint à corrente livre no interior de S Qint à carga livre no interior de S OpE 0708 OnEl 6 Condições fronteira Faculdade de Engenharia É possível mostrar-se (ver Cheng) que as condições fronteira obtidas para os casos estacionários continuam válidas para campos electromagnéticos variáveis no tempo. E1t = E2t B1n = B2 n r r r ˆ u n × H1 − H 2 = J s r r ˆ u n ⋅ D1 − D2 = ρ s ( ( ) ) meio 1 (ε1 , µ1 ) ûn meio 2 (ε 2 , µ 2 ) notas 1. campos electromagnéticos são nulos no interior de condutores ideais (σ = ∞ ) 2. r J s e ρ s são não nulos apenas quando um dos meios é um condutor ideal OpE 0708 OnEl 7 Equações de Maxwell em meios LHI sem cargas e sem perdas r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r ∂D ∇× H = J + ∂t r ∇ ⋅ D = ρv r ∇⋅B = 0 r r D = εE r r B = µH meios LHI r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r r ∂E ∇× H = J +ε ∂t r ρ ∇⋅E = v ε r ∇⋅H = 0 ρv = 0 r σ,J = 0 meios sem cargas e sem perdas Faculdade de Engenharia r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∂E ∇× H = ε ∂t r ∇⋅E = 0 r ∇⋅H = 0 Nota: r r em meios condutores J = σ E OpE 0708 OnEl 8 Equações de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∂E ∇× H =ε ∂t r ∇⋅E = 0 r ∇⋅H = 0 r r r ∂E = ε ∂ ∇× E ∇ × ∇ × H = ε ∇ × ∂t ∂t ( ) ( Faculdade de Engenharia ) r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r 2 r ∂ H ∇2 H = ε µ ∂t 2 r 2 r E ∂ ∇2 E = ε µ 2 ∂t r 2 r ∂ H ∇2 H = ε µ ∂t 2 ( ) ( ) r r r ∇ × ∇ × X = ∇ ∇ ⋅ X − ∇2 X r ∇⋅H = 0 r r ∂2H ∇ × ∇ × H = −ε µ ∂t 2 ( ) equações de onda OpE 0708 OnEl 9 Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas Faculdade de Engenharia r 2 r ∂ E ∇2 E = ε µ 2 ∂t r r ∂2H 2 ∇ H =ε µ ∂t 2 em coordenadas cartesianas ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∇ f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2 r r r 2 2 2 r ∂ X ∂ X ∂ X ∇2 X = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z r r E ∂ ∇2 E = ε µ 2 ∂t r 2 r ∂ H ∇2H = ε µ ∂t 2 2 r r r r ∂2E ∂2E ∂2E ∂2E =ε µ 2 + + ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r r r r ∂2H ∂2H ∂2H ∂2H + 2 + 2 =ε µ ∂y ∂z ∂t 2 ∂x 2 OpE 0708 OnEl 10 Equação de onda escalar Faculdade de Engenharia Considere-se a equação de onda escalar ∂ 2u 1 ∂ 2u − 2 2 =0 2 ∂x c ∂t r r r r ∂2E ∂2E ∂2E ∂2E =ε µ 2 + + ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r r r r 2 2 2 2 ∂ H ∂ H ∂ H ∂ H ε µ = + + ∂t 2 ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2 Esta equação é satisfeita por qualquer função escalar u(x,t) do tipo u ( x, t ) = f (x ± ct ) OpE 0708 OnEl 11 Exemplo Faculdade de Engenharia f (⋅) Seja ⋅ se u(x,t)=f(x-ct) • u ( x, t = 0 ) u (x,t1 ) u ( x,t 2 ) x • se u(x,t)=f(x+ct) u ( x, t = 0 ) u (x,t1 ) u ( x,t 2 ) x OpE 0708 OnEl 12 Velocidade de propagação Faculdade de Engenharia Para determinar a velocidade de propagação da onda é necessário considerar a velocidade com que um dado ponto do perfil f se propaga. à sendo x±ct=const., tem-se dx±cdt=0 Na equação u ( x, t ) = f (x ± ct ) dx =c dt v= ∂ 2u 1 ∂ 2u − 2 2 =0 2 ∂x c ∂t este factor está associado à velocidade de propagação importante a velocidade de propagação de ondas electromagnéticas é dada por 1 =ε µ v2 v= 1 εµ OpE 0708 OnEl 13 Faculdade de Engenharia Soluções harmónicas u (x, t ) = A cos(ω t − kx ) ω = 2π f u (x = 0, t ) solução da equação de onda quando 2π k= λ ω = kv 2πf = T = 1/ f ∂ 2 u ( x , t ) 1 ∂ 2 u ( x, t ) − 2 =0 ∂x 2 v ∂t 2 2π v λ t u ( x, t = 0 ) v = λf λ x sinais harmónicos nos tempos de fácil geração permitem decomposição de sinais genéricos (série de Fourier,…) OpE 0708 OnEl 14 Fasores Faculdade de Engenharia • i(t ) = I 0 cos(ωt + φ ) Sinais sinusoidais são caracterizados por • amplitude • frequência • fase Podemos escrever { } { jω t i(t ) = Re I 0 e j (ω t +φ ) = Re Ie I = I 0 e jφ } fasor importante e jθ = cos(θ ) + j sin (θ ) OpE 0708 OnEl 15 Exemplos Faculdade de Engenharia { i (t ) = I 0 cos(ω t + φ ) = Re I 0 e j (ω t +φ ) Determine os fasores associados aos sinais sinusoidais seguintes b) v(t ) = 15 sin (4 t ) a) i (t ) = 10 cos10 t + c) g (t ) = 10 cos 20 t + π 2 fasor à I = I 0 e jφ π π + 20 sin 20 t + 4 2 π a) i (t ) = 10 cos10 t + 2 I = 10 e π b) v (t ) = 15 sin (4 t ) = 15 cos 4 t − 2 j π 2 = 10 j V = 15 e −j π 2= −15 j π sin (α ) = cos α − 2 π π + 20 sin 20 t + 4 2 π π π = 10 cos 20 t + + 20 cos 20 t + − 4 2 2 c) g (t ) = 10 cos 20 t + G = 10 e j π 4 + 20 = 20 + 5 2 + j 5 2 = 27.97e j14.6 o OpE 0708 OnEl 16 } Exemplos Faculdade de Engenharia Determine os sinais associados aos fasores seguintes, sabendo que ω = 20 rad/s a) E = 5 V/m b) F =5j c) G = 4 + j3 d) E (x, y ) = 4 sin (x )e jy V/m a) fasor à I = I 0 e jφ e(t ) = 5 cos(20 t ) V/m E = 5 V/m j π 2 b) F = 5 j = 5e c) G = 4 + j 3 = 5e j 36.9 d) { i (t ) = I 0 cos(ω t + φ ) = Re I 0 e j (ω t +φ ) π f (t ) = 5 cos 20 t + 2 o E (x, y ) = 4 sin (x )e jy V/m ( g (t ) = 5 cos 20 t + 36.9 o { ) e(x, y, t ) = Re 4 sin (x )e j y e j 20 t } = Re{4 sin(x )e ( j 20 t + y ) } = 4 sin (x )cos(20 t + y ) V/m OpE 0708 OnEl 17 } Propriedades importantes dos fasores Faculdade de Engenharia • Linearidade • Derivação av1 (t ) + bv2 (t ) → aV1 + bV2 dx(t ) → dt x(t ) = I 0 cos(ωt + φ ) jωX dx(t ) = − I 0ω sin(ω t + φ ) dt π = I 0ω cos(ω t + φ + ) 2 • X = I 0 e jφ X = I 0ω e π jφ + 2 = jω I 0 e jφ Integração ∫ x(t )dt → X jω OpE 0708 OnEl 18 Equações de Maxwell para meios LHI sem cargas e sem perdas – notação fasorial Lei de Faraday à Lei de Ampére à Lei de Gauss à r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∇ × E = − jω µ H r r ∂E ∇× H = ε ∂t r r ∇ × H = jωε E r ∇⋅E = 0 r ∇⋅E = 0 r ∇⋅B = 0 meios LHI (ε, µ) sem cargas e sem perdas Faculdade de Engenharia r ∇⋅B = 0 notação fasorial OpE 0708 OnEl 19 Exercícios 1. Faculdade de Engenharia Considere uma onda electromagnética de frequência 1 GHz a propagar-se no vazio. Determine o seu comprimento de onda. 2. O campo eléctrico de uma onda electromagnética é caracterizado por ( ) r E (z , t ) = 10 cos 2π ×10 7 t + 0.2π z uˆ y (V/m ) Determine o seu comprimento de onda e a sua velocidade de propagação. Em que sentido se propaga a onda? OpE 0708 OnEl 20 Exercícios 3. Faculdade de Engenharia O campo eléctrico de uma onda que se propaga no vazio é dado por ( ) r E (z , t ) = 10 cos 109 π t − kz uˆ x (V/m ) Determine 4. a) o valor da constante k ; b) o campo magnético desta onda. O campo eléctrico de uma onda que se propaga no vazio é dado por ( ) ( ) r E (z , t ) = 2 sin 3 × 108 t + z uˆ x − 3 cos 3 × 108 t + z uˆ y (V/m ) Determine o campo magnético desta onda. OpE 0708 OnEl 21 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes Campos harmónicos (1ª aula) Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas Ondas electromagnéticas transversais numa direcção arbitrária Polarização de ondas planas (2ª aula) Dispersão Potência e vector de Poynting Incidência normal (3ª aula) Incidência oblíqua (4ª aula) Interferência (5ª aula) Difracção (6ª aula) OpE 0708 OnEl 22 Fasores – aula anterior Faculdade de Engenharia sinal instantâneo fasor i(t ) = I 0 cos(ωt + φ ) I = I 0 e jφ Algumas propriedades linearidade: av1 (t ) + bv2 (t ) → aV1 + bV2 derivação: dx(t ) → dt integração: ∫ x(t )dt → jωX x(t ) = I 0 cos(ωt + φ ) X = I 0 e jφ dx(t ) = − I 0ω sin(ω t + φ ) dt X jω π = I 0ω cos(ω t + φ + ) 2 X = I 0ω e π jφ + 2 = jω I 0 e jφ OpE 0708 OnEl 23 Equações de Maxwell para meios LHI sem cargas e sem perdas – notação fasorial Lei de Faraday à Lei de Ampére à Lei de Gauss à r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∇ × E = − jω µ H r r ∂E ∇× H = ε ∂t r r ∇ × H = jωε E r ∇⋅E = 0 r ∇⋅E = 0 r ∇⋅B = 0 meios LHI (ε, µ) sem cargas e sem perdas Faculdade de Engenharia r ∇⋅B = 0 notação fasorial OpE 0708 OnEl 24 Equações de Helmholtz em notação fasorial Faculdade de Engenharia r r r r ∂X (r , t ) → jωX (r ) ∂t r 2 r ∂ E ∇2E = ε µ 2 ∂t r r ∂2H 2 ∇ H =ε µ ∂t 2 r r ∂ X (r , t ) → ∂t 2 2 r ( jω )2 X (rr ) r r = − ω 2 X (r ) equações de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes r r ∇ 2 E + ω 2ε µ E = 0 r r ∇2 E + k 2 E = 0 r r 2 ∇ H +ω ε µ H = 0 r r ∇2 H + k 2 H = 0 2 equações de Helmholtz nota soluções harmónicas à ω = kv = k 1 µε k = ω µε número de onda OpE 0708 OnEl 25 Ondas electromagnéticas planas Faculdade de Engenharia r ∇ ⋅ E = 0 (lei de Gauss) r r seja E = E (z ) = E x ( z )uˆ x + E y ( z )uˆ y + E z (z )uˆ z ∂E x ( z ) ∂E y ( z ) ∂E z ( z ) + + =0 ∂x ∂y ∂z por exemplo, seja r r 2 ∇ E+k E =0 2 r E = E x ( z )uˆ x E z ( z ) = const. E z (z ) = 0 r E ⊥ uˆ z r E = E x ( z )uˆ x d 2 Ex + k 2 Ex = 0 2 dz solução geral r2 + k2 = 0 ⇔ r = ± j k ( ) r E = E0+ e − jkz + E0− e jkz uˆ x OpE 0708 OnEl 26 Ondas electromagnéticas planas – velocidade de fase ( ) r E = E0+ e − jkz + E0− e jkz uˆ x { } i(t ) = Re Ie jωt Faculdade de Engenharia r E ( z , t ) = E0+ cos(ωt − kz )uˆ x + E0− cos(ωt + kz )uˆ x segundo +z segundo -z onda plana uniforme que se propaga segundo z z fase e amplitude constantes nos planos z = const. nota ondas planas à fase é constante em planos perpendiculares à direcção de propagação ondas planas uniformes à amplitude é constante nos planos de fase constante OpE 0708 OnEl 27 Campo magnético Faculdade de Engenharia E x = E0+ e − jkz + E0− e jkz r E = E ( z )uˆ x r H =? r r j H= ∇× E ωµ uˆ x r j ∂ H= ωµ ∂x + − jkz E0 e + E0− e jkz uˆ y ∂ ∂y 0 uˆ z ∂ ∂z 0 = r r ∇ × E = − jωµH r r r ∇ × H = J + jωε E r ρ ∇⋅E = ε r ∇⋅H = 0 j ωµ ( ∂ + − jkz + E0− e jkz + ∂z E0 e ) uˆ y k + − jkz k − jkz = E0 e − E0 e uˆ y ωµ ωµ k =ω ε µ µ η= ε r 1 1 H = E0+ e − jkz − E0− e jkz uˆ y η η z OpE 0708 OnEl 28 Impedância intrínseca ( Faculdade de Engenharia ) r E = E0+ e − jkz + E0− e jkz uˆ x r 1 + − jkz 1 − jkz H = E0 e − E0 e uˆ y η η η= µ Ω ε é a impedância intrínseca do meio no vazio 1 × 10 −9 F/m 36π µ = µ 0 = 4π × 10 −7 H/m ε = ε0 ≅ η = η0 = µ0 ≅ 120π Ω ≅ 377 Ω ε0 OpE 0708 OnEl 29 Ondas electromagnéticas transversais Faculdade de Engenharia direcção de propagação: z ( ) r E = E0+ e − jkz + E0− e jkz uˆ x r r E e H são perpendiculares entre si e ambos são r 1 + − jkz 1 − jkz H = E0 e − E0 e uˆ y η η perpendiculares à direcção de propagação ondas electromagnéticas transversais ondas TEM OpE 0708 OnEl 30 Ondas TEM – propagação numa direcção arbitrária r − j (k x + k y + k z ) E = E0 e x y z pˆ e seja Faculdade de Engenharia versor que indica direcção do vector campo eléctrico r r 2 ∇ E+k E =0 2 k =ω µε − ( k x2 + k y2 + k z2 ) r r 2 E+k E=0 k x2 + k y2 + k z2 = ω 2 µ ε k x , k y e k z à componentes de um vector com valor absoluto k = ω µ ε r k = k x uˆ x + k y uˆ y + k z uˆ z = kaˆ n vector segundo direcção de propagação ân indica direcção de propagação rr r − jk ⋅ r E = E0 e pˆ e r r = x uˆ x + y uˆ y + z uˆ z OpE 0708 OnEl 31 Ondas TEM – planos de fase constante Faculdade de Engenharia rr r − jk ⋅ r E = E0 e pˆ e planos de fase constante: r r k ⋅ r = const. r k = kaˆ n r aˆ n ⋅ r = const. equação de planos perpendiculares a ân r projecção de r na direcção de ân P z plano de fase constante e amplitude uniforme r r ân y x OpE 0708 OnEl 32 Ondas TEM – direcção do campo eléctrico rr r − jk ⋅r E = E0 e pˆ e ( E0 ∇ ⋅ e r ∇⋅E = 0 ( ∇e rr − jk ⋅r ) rr − jk ⋅ r pˆ e = 0 ) = ∂∂x uˆ x + Faculdade de Engenharia ( ) r r r ∇ ⋅ f X = f ∇ ⋅ X + X ⋅ ∇f ( E0 ∇ e rr − jk ⋅ r ) ⋅ pˆ e =0 ∂ ∂ − j (k x + k y + k z ) uˆ y + uˆ z e x y z ∂y ∂z ( ) = − j k x uˆ x + k y uˆ y + k z uˆ z e rr − jk ⋅r r − jkr⋅rr = − jk e r E é perpendicular à direcção de propagação! aˆ n ⋅ pˆ e = 0 − jkE0 e rr − jk ⋅r aˆ n ⋅ pˆ e = 0 OpE 0708 OnEl 33 Ondas TEM – campo magnético r r j H= ∇× E ωµ Faculdade de Engenharia ( rr r jE0 − jk ⋅r H= pˆ e ∇× e ωµ rr r − jk ⋅r E = E0 e pˆ e ) ( ) r r r ∇ × f X = f ∇ ⋅ X + ∇f × X ( ∇e rr − jk ⋅ r ) r H é perpendicular à direcção r de propagação e a E importante: ( ( ) ) ( ) r − jkr⋅rr = − jk e = − jke r 1 r H = aˆ n × E η r r E = −η aˆ n × H ( rr r jE0 − jk ⋅ r H= ∇e × pˆ e ωµ rr − jk ⋅r aˆ n r 1 r H = aˆ n × E η ) OpE 0708 OnEl 34 Polarização de ondas planas r direcção de E Faculdade de Engenharia à indica a POLARIZAÇÃO da onda r se E = E0 e − jk z uˆ x onda polarizada LINEARMENTE segundo û x r E (z , t ) = E0 cos(ωt − k z ) uˆ x direcção de polarização fixa CASO GERAL r E ⊥ zˆ para ondas TEM que se propagam segundo +z r E = E x 0 e − jk z uˆ x + E y 0 e − jk z uˆ y onde Ex0 , E y 0 são complexos r E = E x uˆ x + E y uˆ y E x 0 = A1e jφ1 E y 0 = A2 e jφ2 r E = A1e j (φ1 − k z ) uˆ x + A2 e j (φ2 − k z ) uˆ y OpE 0708 OnEl 35 Polarização de ondas planas – polarização linear r E = A1e j (φ1 − k z ) uˆ x + A2 e j (φ2 − k z ) uˆ y { v(t ) = Re Ve jωt Faculdade de Engenharia r E (z, t ) = A1 cos(ωt − k z + φ1 )uˆ x + A2 cos(ωt − k z + φ2 )uˆ y } casos particulares 1. A2 = 0 r E (z , t ) = A1 cos(ωt − k z + φ1 )uˆ x polarização segundo û x A1 = 0 r E (z, t ) = A2 cos(ωt − k z + φ2 )uˆ y polarização segundo û y 2. 3. φ1 = φ2 = φ r E (z , t ) = A cos(ωt − k z + φ ) uˆ x + uˆ y = A0 cos(ωt − k z + φ ) pˆ ( ) A1 = A2 = A 4. φ1 = φ2 = φ A1 ≠ A2 1 segundo p̂ onde A0 = 2 A e pˆ = r E (z , t ) = cos(ωt − k z + φ ) A1uˆ x + A2uˆ y = A0 cos(ωt − k z + φ ) pˆ ( ) 2 2 onde A0 = A1 + A2 e pˆ = y 45º p̂ uˆ x + uˆ y 2 segundo p̂ A1uˆ x + A2 uˆ y 1 x y A2 α = tan −1 p̂ A1 x A12 + A22 OpE 0708 OnEl 36 A2 A1 Polarização de ondas planas – polarização circular direita Faculdade de Engenharia r E (z, t ) = A1 cos(ωt − k z + φ1 )uˆ x + A2 cos(ωt − k z + φ2 )uˆ y casos particulares 5. φ1 = 0 π 2 A1 = A2 = A φ2 = − r π E (z , t ) = A cos(ωt − k z )uˆ x + A cos ωt − k z − uˆ y 2 = A cos(ωt − k z )uˆ x + A sin (ωt − k z )uˆ y r E (0, t ) = A cos(ωt )uˆ x + A sin (ωt )uˆ y r E (0,0 ) = A uˆ x r E (0, t1 ) = A cos(ωt1 )uˆ x + A sin (ωt1 )uˆ y r E (0, t 2 ) = A cos(ωt 2 )uˆ x + A sin (ωt 2 )uˆ y regra da mão direita à polegar aponta no sentido de propagação r dedos indicam direcção de E (0, t ) polarização circular y A x polarização circular direita OpE 0708 OnEl 37 Polarização de ondas planas – polarização circular esquerda Faculdade de Engenharia r E (z, t ) = A1 cos(ωt − k z + φ1 )uˆ x + A2 cos(ωt − k z + φ2 )uˆ y casos particulares 6. φ1 = 0 π 2 A1 = A2 = A φ2 = + r π E (z , t ) = A cos(ωt − k z )uˆ x + A cos ωt − k z + uˆ y 2 = A cos(ωt − k z )uˆ x − A sin (ωt − k z )uˆ y polarização circular r E (0, t ) = A cos(ωt )uˆ x − A sin (ωt )uˆ y r E (0,0 ) = A uˆ x r E (0, t1 ) = A cos(ωt1 )uˆ x − A sin (ωt1 )uˆ y r E (0, t 2 ) = A cos(ωt 2 )uˆ x − A sin (ωt 2 )uˆ y regra da mão “esquerda” à polegar aponta no sentido de propagação r dedos indicam direcção de E (0, t ) y A x polarização circular esquerda OpE 0708 OnEl 38 Polarização de ondas planas – polarização elíptica Faculdade de Engenharia r E (z, t ) = A1 cos(ωt − k z + φ1 )uˆ x + A2 cos(ωt − k z + φ2 )uˆ y casos particulares 7. φ1 = 0 π 2 A1 ≠ A2 φ2 = ± r π E (z , t ) = A1 cos(ωt − k z )uˆ x + A2 cos ωt − k z ± uˆ y 2 = A1 cos(ωt − k z )uˆ x m A2 sin (ωt − k z )uˆ y r E (0, t ) = A1 cos(ωt )uˆ x m A2 sin (ωt )uˆ y r E (0,0 ) = A1 uˆ x r E (0, t1 ) = A1 cos(ωt1 )uˆ x m A2 sin (ωt1 )uˆ y polarização elíptica y φ2 = − A2 π 2 x A1 φ2 = + π 2 OpE 0708 OnEl 39 Polarização de ondas planas – resumo Faculdade de Engenharia r seja E = E x xˆ + E y yˆ (soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaço) se ondas em fase onda resultante tem polarização linear direcção do versor de polarização depende da relação entre amplitudes das duas ondas se diferença de fase = 90º onda resultante tem polarização circular ou elíptica circular à amplitudes iguais elíptica à amplitudes diferentes se diferença de fase arbitrária onda resultante tem polarização elíptica eixos da elipse não coincidem com x e y OpE 0708 OnEl 40 Polarização de ondas planas – aplicações Faculdade de Engenharia r ondas AM emitidas em polarização linear, com E orientado perpendicularmente ao solo r antena de recepção deve ser paralela a E ondas TV emitidas em polarização linear, com E orientado paralelamente ao solo r antena de recepção deve ser paralela a E r antenas nos telhados são horizontais ondas FM emitidas em polarização circular antena de recepção deve estar num plano normal à direcção de propagação OpE 0708 OnEl 41 Dispersão 1 µε representa a velocidade de propagação da frente de onda de fase constante Faculdade de Engenharia seja vf = 1 µε Em determinados meios, a velocidade de fase varia com a frequência da onda velocidade de fase (meios dispersivos) Em sinais que consistem numa dada banda de frequências, as componentes a diferentes frequências propagam-se a velocidades de fase diferentes distorção do sinal relação de dispersão à equação que relaciona k com ω DISPERSÃO k =ω µε OpE 0708 OnEl 42 Envolvente e portadora Faculdade de Engenharia sinal de largura de banda 2∆ω centrada numa portadora ω0 ω1 = ω0 − ∆ω ω2 = ω0 + ∆ω (ω0 >> ∆ω ) k1 = k0 − ∆k k 2 = k0 + ∆k k = k (ω ) ω1 ω0 ω2 ω E (z, t ) = E0 {cos[(ω0 + ∆ω )t − (k0 + ∆k )z ] + cos[(ω0 − ∆ω )t − (k0 − ∆k )z ]} ondas planas correspondentes a ω1 e ω2: = 2 E0 cos(∆ωt − ∆kz ) cos(ω0t − k0 z ) E ( z,0) envolvente portadora z OpE 0708 OnEl 43 Velocidade de grupo Faculdade de Engenharia E (z,0) E (z, t ) = 2 E0 cos(∆ωt − ∆kz )cos(ω0t − k0 z ) envolvente z portadora portadora à propaga-se à velocidade vf = envolvente à propaga-se à velocidade ∆ω ∆k ω0 k0 lim ∆ω → 0 vg = 1 (m/s) dk dω velocidade de grupo OpE 0708 OnEl 44 Velocidade de grupo – dispersão normal e anómala dk d ω = dω dω v f dv f vf −ω dω = 2 vf Faculdade de Engenharia vg = 1 ß velocidade de grupo dk dω vf = k β ß velocidade de fase vf vg = 1− ω dv f v f dω casos particulares 1. 2. 3. dv f dω dv f dω dv f dω =0 vg = v f sem dispersão ( v f constante) <0 vg < v f dispersão normal ( v f diminui com >0 vg > v f dispersão anómala ( v f aumenta com ω ) ω) OpE 0708 OnEl 45 Exercícios (aula anterior) 1. Faculdade de Engenharia Considere uma onda electromagnética de frequência 1 GHz a propagar-se no vazio. Determine o seu comprimento de onda. 2. O campo eléctrico de uma onda electromagnética é caracterizado por ( ) r E (z , t ) = 10 cos 2π ×10 7 t + 0.2π z uˆ y (V/m ) Determine o seu comprimento de onda e a sua velocidade de propagação. Em que sentido se propaga a onda? OpE 0708 OnEl 46 Exercícios 3. Faculdade de Engenharia O campo eléctrico de uma onda que se propaga no vazio é dado por ( ) r E (z , t ) = 10 cos 109 π t − kz uˆ x (V/m ) Determine 4. a) o valor da constante k ; b) o campo magnético desta onda. Uma onda electromagnética de frequência 1 GHz que se propaga num meio com dispersão normal tem uma velocidade de fase de 300 Mm/s. A velocidade de fase varia com o comprimento de onda de acordo com a equação v f = aλ3 / 4 , onde a é uma constante. Determine a velocidade de grupo. OpE 0708 OnEl 47 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes (1ª aula) Campos harmónicos Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas (2ª aula) Potência de uma onda electromagnética Incidência Leis de Snell (3ª aula) Incidência normal Incidência oblíqua (4ª aula) Interferência (5ª aula) Difracção (6ª aula) OpE 0708 OnEl 48 Energia transportada por uma onda ( ) ( ) ( r r r r r r ∇⋅ E× H = H ⋅ ∇× E − E ⋅ ∇× H ) Faculdade de Engenharia r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r r ∂E ∇×H = J +ε ∂t (igualdade vectorial) W/m 2 r r r r ∂H ∇ ⋅ E × H = H ⋅ − µ ∂t ( ) r r r ∂E − E ⋅ J + ε ∂t r r ∂A 1 ∂ r r A⋅ A A⋅ = ∂t 2 ∂t ( ( ) ( ) ( ) r r 1 ∂ r r 1 ∂ r r r r ∇ ⋅ E × H = −µ H ⋅H −ε E⋅E − E⋅J 2 ∂t 2 ∂t ) r r J = σE ∫( S ) ( ∫ ) r r r2 ∂ µ r 2 ε r 2 ∇ ⋅ E × H = − H + E −σ E ∂t 2 2 r r r r2 ∂ µ r 2 ε r 2 E × H ⋅ ds = − H + E dv − σ E dv ∂t V 2 2 V ∫ ∫ S r r A ⋅ ds = ∫( ) r ∇ ⋅ A dv V Nota: expressões instantâneas OpE 0708 OnEl 49 Teorema de Poynting r r r ∂ µ r ( ) E × H ⋅ d s = − H ∫ ∂t ∫ 2 S potência que atravessa S V Faculdade de Engenharia 2 + r2 ε r 2 E dv − σ E dv 2 V diminuição da energia armazenada no campo EM por unidade de tempo ∫ conservação de energia potência dissipada por condução Nota: expressões instantâneas OpE 0708 OnEl 50 Vector de Poynting Faculdade de Engenharia ∫( S vector de Poynting à ( r r r S = E × H W/m 2 ) r r r r2 ∂ µ r 2 ε r 2 E × H ⋅ ds = − H + E dv − σ E dv ∂t V 2 2 V ∫ ∫ ) representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética r r ∂ (wm + we )dv − pσ dv S ⋅ ds = − ∂ t S V V ∫ ∫ ∫ 1 r2 wm = µ H 2 1 r2 we = ε E 2 r2 pσ = σ E Nota: expressões instantâneas OpE 0708 OnEl 51 Vector de Poynting – campos harmónicos Faculdade de Engenharia { } r r r r H ( r , t ) = Re{H (r )e } r r r r jωt E (r , t ) = Re E (r )e jωt { } { r r r r r r r r r r S (r , t ) = E (r , t ) × H (r , t ) = Re E (r )e jωt × Re H (r )e jωt } {} { } r 1 r r Re X = X + X * 2 r r 1 r r 1 r r Re A × Re B = A + A* × B + B * 2 2 r r r r r r r r 1 = A × B * + A* × B + A × B + A* × B * 4 r r r r 1 = Re A × B * + A × B 2 {} {} { { } { { { r r r r r r r r r r 1 S (r , t ) = Re E (r ) × H * (r ) + E (r ) × H (r )e j 2ωt 2 valor instantâneo } } } fasores OpE 0708 OnEl 52 } Vector de Poynting médio densidade de potência média à Faculdade de Engenharia r r 1 r r S med (r ) = S (r , t ) dt TT ∫ { r r r r r r r r r r 1 S (r , t ) = Re E (r ) × H * (r ) + E (r ) × H (r )e j 2ωt 2 { } r r r r* r r 1 S med (r ) = Re E (r ) × H (r ) 2 (W/m ) 2 } vector de Poynting médio OpE 0708 OnEl 53 Vector de Poynting médio – ondas TEM ondas TEM r 1 r H = aˆ n × E η r r E ⊥ H ⊥ aˆ n Faculdade de Engenharia ( r r r 1 r E × H * = * E × aˆ n × E ∗ η ( { r r r* 1 S med = Re E × H 2 ) ) ( ) ( )} ( r r r r r r r r r A× B ×C = A⋅C B − C A⋅ B {( ) r r r r 1 r r E × H * = * E ⋅ E * aˆ n − E * E ⋅ aˆ n η { } r r r 1 1 r2 1 S med = Re E × H * = E Re * aˆ n 2 2 η = ) 1 r2 E aˆ n * η vector de Poynting médio aponta na direcção e sentido de propagação da onda Nota meios sem perdas à η é real r 1 r2 S med = E aˆ n 2η OpE 0708 OnEl 54 } Incidência de uma onda TEM numa interface plana reflectida Faculdade de Engenharia ângulo de incidência à ânr θi x transmitida plano de incidência à plano xz ânt θr θt z θi plano formado pela normal à interface e pela direcção de propagação da onda incidente âni incidente meio 1 (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) direcções de propagação: aˆ ni = sin θ i uˆ x + cosθ i uˆ z aˆ nr = sin θ r uˆ x − cosθ r uˆ z aˆ nt = sin θ t uˆ x + cosθ t uˆ z OpE 0708 OnEl 55 Leis de Snell – lei da reflexão Faculdade de Engenharia x frente de onda à mesma fase O ânr ondas planas à frentes de onda são planos normais a / A/ pontos O e / ân A têm mesma fase / pontos O e A têm mesma fase A B θr θi ânt θt O fase = k ⋅ dist. z k1 AO / = k1 OA/ âni meio 1 (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) OO / sin θ i = OO / sin θ r θi = θ r OpE 0708 OnEl 56 Leis de Snell – lei da refracção x ondas planas à frentes de onda são planos normais a O/ ânr Faculdade de Engenharia pontos O e / pontos O e A/ ân A têm mesma fase B têm mesma fase fase = k ⋅ dist. A B θr θi ânt θt O k1 AO / = k 2 OB z k1 OO / sin θ i = k 2 OO / sin θ t âni meio 1 (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) vf 2 sin θt k1 = = sin θ i k 2 vf1 k= ω vf OpE 0708 OnEl 57 Índice de refracção Faculdade de Engenharia Índice de refracção à quociente entre velocidades de propagação no vazio e no meio n ≥1 n elevado à velocidade baixa n= c vf Ex: meio sem perdas 1 vf = µε n= µε µ0 ε 0 = µr ε r sin θ t v f 2 = sin θi v f 1 sin θ t n1 = sin θ i n2 ß lei de Snell da refracção OpE 0708 OnEl 58 Condições fronteira ( ) ( ) r r uˆn × E1 − E2 = 0 r r r uˆn × H1 − H 2 = J S ( ) ( ) r r uˆn ⋅ D1 − D2 = ρ S r r uˆn ⋅ B1 − B2 = 0 Faculdade de Engenharia ûn E1,tan = E2, tan densidade superficial de corrente meio 1 (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) densidade superficial de carga B1,norm = B2,norm Etan contínuo H tan r contínuo se J S = 0 Dnorm contínuo se ρ S = 0 Bnorm contínuo Nota r J S ≠ 0 e ρ S ≠ 0 apenas em condutores perfeitos OpE 0708 OnEl 59 Condições fronteira – condutores perfeitos condutores perfeitos à σ =∞ r Econd = 0 r Dcond = 0 r J S ≠ 0 e ρS ≠ 0 Faculdade de Engenharia ûn meio 1 (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) r H cond = 0 r Bcond = 0 Exemplo σ2 = ∞ ( r r r J S = uˆn × H1 − H 2 ( r r ˆ ρ S = un ⋅ D1 − D2 ) ) r = uˆn × H1 = H1,tan uˆt r = uˆn ⋅ D1 = D1,norm OpE 0708 OnEl 60 Incidência normal incidência normal à Faculdade de Engenharia θi = 0 meio 1 θ r = θt = 0 θi = θr sin θ t n1 = sin θ i n2 incidente à reflectida à r r r E1 = Ei + Er ( = Ei 0 e )uˆ r Ht y ânt z âni x r r r H1 = H i + H r r Er = Er 0 e + jk1z uˆ x r E H r = − r 0 e + jk1z uˆ y η1 r − jk z transmitida à Et = Et 0 e 2 uˆ x r E H r = t 0 e − jk2 z uˆ y η2 + Er 0 e + jk1 z r Hi r Et r Hr r Ei meio 1 − jk1 z meio 2 r Er ânr r Ei = Ei 0 e − jk1z uˆ x r Ei 0 − jk z Hi = e 1 uˆ y η1 x E E = i 0 e − jk1z − r 0 e + jk1z uˆ y η1 η1 meio 2 OpE 0708 OnEl 61 Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão condições fronteira à Etan contínuo ( r H tan contínuo se J S = 0 Faculdade de Engenharia ) em z =0 à r Ei Ei 0 Er 0 Et 0 − = η1 η1 η2 Er 0 η2 − η1 = Ei 0 η2 + η1 Et 0 2η 2 = Ei 0 η2 + η1 r Ht y r Hi ânt z âni meio 1 Ei 0 + Er 0 = Et 0 r Et r Hr ânr r r E1 = E2 r r H1 = H 2 x r Er meio 2 meio 1 ( ) r E1 = Ei 0 e − jk1z + Er 0e + jk1z uˆ x r E − jk z E + jk z H1 = i 0 e 1 − r 0 e 1 uˆ y η1 η1 meio 2 r E2 = Et 0e − jk2 z uˆ x r E H 2 = t 0 e − jk2 z uˆ y η2 OpE 0708 OnEl 62 Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão Er 0 η2 − η1 = Ei 0 η 2 + η1 Γ= Et 0 2η 2 = Ei 0 η 2 + η1 η 2 − η1 η2 + η 2η 2 τ= η2 + η Faculdade de Engenharia coeficiente de reflexão r Et r Ht r Hr ânr coeficiente de transmissão x r Er r Ei y r Hi ânt z âni meio 1 meio 2 Notas 1. 1+ Γ = τ 2. Γ ≤1 3. τ ≥0 4. meio 1 ( ) r E1 = Ei 0 e − jk1z + Er 0e + jk1z uˆ x r E − jk z E + jk z H1 = i 0 e 1 − r 0 e 1 uˆ y η1 η1 ( ) r E1 = Ei 0 e − jk1z + Γe + jk1z uˆ x r E2 = τ Ei 0 e − jk2 z uˆ x meio 2 r E2 = Et 0e − jk2 z uˆ x r E H 2 = t 0 e − jk2 z uˆ y η2 OpE 0708 OnEl 63 Incidência normal – onda estacionária ( ) r E1 = Ei 0 e − jk1z + Γe + jk1 z uˆ x 1+ Γ = τ Faculdade de Engenharia [ ] r Ei ) r E1 = τ Ei 0 e − jk1z uˆ x + ΓEi 0 e + jk1 z − e − jk1 z uˆ x r Ht ânt y r Hi z âni meio 1 e jx − e − jx sin(x ) = 2j r Et r Hr ânr ( x r Er r E1 = Ei 0 (τ − Γ )e − jk1z + Γe + jk1z uˆ x Γ= η 2 − η1 η2 + η meio 2 τ= 2η 2 η2 + η r E1 = τ Ei 0 e − jkz uˆ x + 2 j ΓEi 0 sin(k1 z )uˆ x onda em propagação onda estacionária OpE 0708 OnEl 64 Incidência normal – incidência num condutor ideal meio 1 sem perdas meio 2 condutor ideal (σ 1 = 0) (σ 2 = ∞) ( Faculdade de Engenharia ) r E1 = Ei 0 e − jk1z + ΓEi 0 e + jk1z uˆ x Et 0 = 0 x r Er r Ei Γ = −1 y r Hi Γ= ( ) r E1 = Ei 0 e − jk1z − e + jk1z uˆ x não há onda móvel, apenas onda estacionária ânt z âni meio 1 r E2 = 0 r Ht r Hr ânr τ =0 r Et η 2 − η1 η2 + η τ= 2η 2 η2 + η meio 2 η= µ ε 1− j σ ωε = −2 jEi 0 sin(k1 z )uˆ x OpE 0708 OnEl 65 Exercícios • Faculdade de Engenharia Uma onda electromagnética plana, propagando-se no ar, é caracterizada por r E1 = 60 e − j 20 z uˆ x + juˆ y ( ) (mV/m) Determine • • o fasor do campo magnético; • o valor médio do vector de Poynting. Uma onda electromagnética plana de 200 MHz tem polarização linear segundo x e uma intensidade do campo eléctrico de 10 V/m. A onda propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio dieléctrico de constante dieléctrica 4 e que ocupa a região definida por z > 0 . • Determine o fasor do campo eléctrico da onda incidente, sabendo que o campo tem um máximo positivo em z = 0 quando t = 0. • Calcule os coeficientes de reflexão e de transmissão. • Determine os fasores do campo eléctrico das ondas reflectida, transmitida e do campo total em z < 0. • Calcule a percentagem da potência incidente que é reflectida pela interface e a que é transmitida para o segundo meio. OpE 0708 OnEl 66 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes (1ª aula) Campos harmónicos Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas (2ª aula) Incidência normal (3ª aula) Incidência oblíqua Polarizações perpendicular e paralela (4ª aula) Reflexão interna total Princípio de funcionamento dos guias de onda Interferência (5ª aula) Difracção (6ª aula) OpE 0708 OnEl 67 Incidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana onda TEM à r r E ⊥ H ⊥ aˆ n r r Ei e H i estão no plano ⊥ ân Faculdade de Engenharia ânr x reflectida transmitida r 1. Ei perpendicular ao plano de incidência r r Ei = Ei 0 e − jk1aˆ ni ⋅r uˆ y ânt θr θt z θi polarização perpendicular âni incidente r meio 1 2. Ei paralelo ao plano de incidência r r − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sinθ i uˆ z ) Ei = Ei 0 e (ε1 , µ1 ,σ 1 ) meio 2 (ε 2 , µ 2 ,σ 2 ) polarização paralela r r r − jk1aˆ ni ⋅r − jk1aˆ ni ⋅r (cosθi uˆ x − sin θi uˆ z ) + Ei 0,2e uˆ y Caso geral: Ei = Ei 0,1e polarização paralela polarização perpendicular OpE 0708 OnEl 68 Polarizações perpendicular e paralela – convenção polarização paralela polarização perpendicular x ânr θr θt y r Hr ânt r Et θi x r Er ânr r Hr r Er Faculdade de Engenharia ânt r Ht θr θi z r Ei âni r Ei r Et θt y r Ht z âni r Hi r Hi meio 1 meio 2 meio 1 meio 2 componentes do campo eléctrico tangentes à interface mantêm o sentido OpE 0708 OnEl 69 Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético incidente Faculdade de Engenharia x ânr aˆ ni = sin θ i uˆ x + cosθ i uˆ z r Hr r Er r r − jk1aˆ ni ⋅r Ei = Ei 0 e uˆ y r r r 1 E H i = aˆ ni × Ei = i 0 e − jk1aˆ ni ⋅r (sin θ i uˆ z − cosθ i uˆ x ) η1 η1 ânt r Et θr θi r Ht θt y z reflectida aˆ nr = sin θ r uˆ x − cosθ r uˆ z = sin θ i uˆ x − cosθ i uˆ z r r − jk1aˆ nr ⋅r Er = Er 0 e uˆ y r r r 1 E H r = aˆ nr × Er = r 0 e − jk1aˆ nr ⋅r (sin θ i uˆ z + cosθ i uˆ x ) η1 η1 âni r Ei r Hi meio 1 meio 2 transmitida aˆ nt = sin θ t uˆ x + cosθ t uˆ z r r − jk 2 aˆ nt ⋅r Et = Et 0 e uˆ y r r r 1 E H t = aˆ nt × Et = t 0 e − jk 2 aˆ nt ⋅r (sin θ t uˆ z − cosθ t uˆ x ) η2 η2 importante relações entre Ei 0 , Er 0 e Et 0 obtidas a partir das condições fronteira OpE 0708 OnEl 70 Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético condições fronteira à Etan contínuo H tan ( r contínuo se J S = 0 x ânr ) r Hr r Er r r r Ei + Er = Et em z = 0 Faculdade de Engenharia θr H ix + H rx = H tx ânt r Et θi θt y r Ht z âni Ei 0 e − jk1 sin θ i x + Er 0 e − jk1 sin θ i x = Et 0 e − jk 2 sin θ t x − Ei 0 cosθ i e − jk1 sin θi x + Er 0 cosθ i e − jk1 sinθ i x Et 0 cosθ t e − jk 2 sinθ t x =− η1 η2 r Ei r Hi meio 1 meio 2 k1 sin θ i = k 2 sin θ t Ei 0 + Er 0 = Et 0 1 (Ei 0 − Er 0 )cosθ i = Et 0 cosθ t η1 η2 OpE 0708 OnEl 71 Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão Ei 0 + Er 0 = Et 0 Faculdade de Engenharia x ânr 1 (Ei 0 − Er 0 )cosθ i = Et 0 cosθ t η1 η2 r Hr r Er θr θi Er 0 η 2 cosθ i − η1 cosθ t = Ei 0 η 2 cosθ i + η1 cosθ t ânt r Et θt y r Ht z âni r Ei Et 0 2η 2 cosθ i = Ei 0 η 2 cosθ i + η1 cosθ t r Hi meio 1 Γ⊥ = η 2 cosθ i − η1 cosθ t η 2 cosθ i + η1 cosθ t coeficiente de reflexão τ⊥ = 2η 2 cosθ i η 2 cosθ i + η1 cosθ t coeficiente de transmissão meio 2 OpE 0708 OnEl 72 Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão η cosθ i − η1 cosθ t Γ⊥ = 2 η 2 cosθ i + η1 cosθ t Faculdade de Engenharia x ânr coeficiente de reflexão 2η 2 cosθ i τ⊥ = η 2 cosθ i + η1 cosθ t r Hr r Er coeficiente de transmissão θr θi notas 1. 2. 1 + Γ⊥ = τ ⊥ (tal como para incidência normal) é possível que Γ⊥ = 0 meio 1 1 − µ1ε 2 µ 2ε 1 meio 2 só possível quando µ1 ≠ µ 2 1 − (µ1 µ 2 ) Et 0 = 0 z r Hi n1 sin θi = n2 sin θ t se meio 2 for condutor perfeito, y r Ei (ângulo de Brewster) θ i = θ B ⊥ 3. θt r Ht âni η 2 cosθ i = η1 cosθ t sin 2 θ B ⊥ = ânt r Et 2 τ⊥ = 0 Γ⊥ = −1 OpE 0708 OnEl 73 Polarização paralela – campos eléctrico e magnético Faculdade de Engenharia x r Er ânr incidente aˆ ni = sin θ i uˆ x + cosθ i uˆ z r Hr r r − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θ i uˆ z ) Ei = Ei 0 e r Ei 0 − jk1aˆ ni ⋅rr Hi = e uˆ y η1 r Et ânt θr θi θt r Ht y z reflectida aˆ nr = sin θ r uˆ x − cosθ r uˆ z = sin θ i uˆ x − cosθ i uˆ z r r − jk1aˆ nr ⋅r (cosθ i uˆ x + sin θ i uˆ z ) Er = Er 0 e r Er 0 − jk1aˆ nr ⋅rr Hr = − e uˆ y η1 r Ei âni r Hi meio 1 meio 2 transmitida aˆ nt = sin θ t uˆ x + cosθ t uˆ z r r − jk 2 aˆ nt ⋅r (cosθ t uˆ x − sin θ t uˆ z ) Et = Et 0 e r Et 0 − jk 2 aˆnt ⋅rr Ht = e uˆ y η2 relações entre Ei 0 , Er 0 e Et 0 obtidas a partir das condições fronteira OpE 0708 OnEl 74 Polarização paralela – campos eléctrico e magnético condições fronteira à Etan contínuo H tan em z = 0 Ei 0 cosθ i e Faculdade de Engenharia ( r contínuo se J S = 0 ) + Er 0 cosθ i e r r H r Er r r ErH r r Et r Et θr θr Eix + Erx = Etx r r r Hi + H r = Ht − jk1 sin θ i x x x ânrânr θi θi − jk1 sin θ i x = Et 0 cosθ t e Ei 0 e − jk1 sin θi x − Er 0 e − jk1 sinθi x Et 0 e − jk2 sinθt x = η1 η2 − jk 2 sin θ t x âni r Ei r Ei r Hi r Hi θt θt y y ânt ânt r r Ht H t z z âni meio meio 1 1 meio meio 2 2 k1 sin θ i = k 2 sin θ t (Ei 0 + Er 0 )cosθ i = Et 0 cosθ t 1 (Ei 0 − Er 0 ) = Et 0 η1 η2 OpE 0708 OnEl 75 Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão (Ei 0 + Er 0 )cosθ i = Et 0 cosθ t x r Er ânr r Hr 1 (Ei 0 − Er 0 ) = Et 0 η1 η2 Faculdade de Engenharia r Et ânt θr θi Er 0 η 2 cosθ t − η1 cosθ i = Ei 0 η 2 cosθ t + η1 cosθ i r Ei θt r Ht y z âni r Hi Et 0 2η 2 cosθ i = Ei 0 η 2 cosθ t + η1 cosθ i meio 1 Γ|| = η 2 cosθ t − η1 cosθ i η 2 cosθ t + η1 cosθ i coeficiente de reflexão τ || = 2η 2 cosθ i η 2 cosθ t + η1 cosθ i coeficiente de transmissão meio 2 OpE 0708 OnEl 76 Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão Γ|| = η 2 cosθ t − η1 cosθ i η 2 cosθ t + η1 cosθ i coeficiente de reflexão τ || = 2η 2 cosθ i η 2 cosθ t + η1 cosθ i coeficiente de transmissão x r Er ânr r Hr θr θi 2. cosθ t 1 + Γ|| = τ || cosθ i r Et ânt notas 1. Faculdade de Engenharia r Ei é possível que Γ|| = 0 θt r Ht y z âni r Hi η 2 cosθ t = η1 cosθ i (ângulo de Brewster) θ i = θ B || meio 1 n1 sin θi = n2 sin θ t sin 2 θ B || = 3. se meio 2 for condutor perfeito, 1 − µ 2ε1 µ1ε 2 1 − (ε 1 ε 2 ) Et 0 = 0 2 quando µ1 = µ 2 meio 2 sin θ B || = 1 1 + (ε 1 ε 2 ) τ || = 0 Γ|| = −1 OpE 0708 OnEl 77 Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular Faculdade de Engenharia x ânr r r r r r − jk aˆ ⋅r − jk aˆ ⋅r E1 = Ei + Er = Ei 0 e 1 ni uˆ y + Er 0 e 1 nr uˆ y r Er 1 + Γ⊥ = τ ⊥ r aˆ ni ⋅ r = sin θ i x + cosθ i z r aˆ nr ⋅ r = sin θ i x − cosθ i z θi [ = τ ⊥ Ei 0 e ( uˆ y + Γ⊥ Ei 0 e −e − jk1 cosθ i z )e − jk1 sin θ i x = τ ⊥ Ei 0 e y z r Ei uˆ y r Hi meio 1 r − jk1aˆ ni ⋅r θt r Ht âni ] jk1 cosθ i z ânt r Et θr r E1 = Ei 0 (τ ⊥ − Γ⊥ )e − jk1 cosθi z + Γ⊥ e jk1 cosθi z e − jk1 sinθi x uˆ y r − jk1aˆ ni ⋅r r Hr meio 2 uˆ y + j 2Γ⊥ Ei 0 sin(k1 cosθ i z )e − jk1 sinθi x uˆ y onda em propagação segundo âni onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z OpE 0708 OnEl 78 Incidência num condutor ideal – polarização perpendicular meio 2 condutor ideal (σ 2 = ∞ ) τ⊥ = 0 ( x ânr Γ⊥ = −1 r E2 = 0 Faculdade de Engenharia r Hr r Er θr ) r E1 = Ei 0 e − jk1 sin θi x e − jk1 cosθi z − e jk1 cosθi z uˆ y θi = − j 2 Ei 0 e − jk1 sinθ i x sin (k1 cosθ i z )uˆ y y z âni r Ei onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z r Hi meio 1 máximos: mínimos: z MAX = z min (2n + 1)π 2k1 cosθ i nπ = k1 cosθ i e e r E1 r E1 MAX min condutor ideal = 2 Ei 0 =0 OpE 0708 OnEl 79 Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela Faculdade de Engenharia r r r r r E1 = Ei + Er = Ei 0 e − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θ i uˆ z ) + Er 0 e − jk1aˆ nr ⋅r (cosθ i uˆ x + sin θ i uˆ z ) r cosθ t − jk1aˆ ni ⋅r (cosθi uˆ x − sin θi uˆ z ) = τ || Ei 0 e cosθ i − Γ|| Ei 0 e r − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θi uˆ z ) + Γ|| Ei 0e cosθ t 1 + Γ|| = τ || cosθ i r − jk1aˆ nr ⋅r ) )sin θ uˆ jk1 cosθ i z + e jk1 cosθi z i r Et ânt (cosθ i uˆ x + sin θi uˆ z ) θr r Ei θt r Ht y z âni r Hi + Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θ i x e jk1 cosθ i z − e jk1 cosθ i z cosθ i uˆ x + Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θ i x r Hr θi r r cosθ t ˆ E1 = τ || Ei 0 e − jk1ani ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θ i uˆ z ) cosθ i ( (e x r Er ânr meio 1 meio 2 z r cosθ t − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θ i uˆ z ) = τ || Ei 0 e cosθ i + j 2Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θi x sin (k1 cosθ i z )cosθ i uˆ x + 2Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θ i x cos(k1 cosθ i z )sin θ i uˆ z OpE 0708 OnEl 80 Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela Faculdade de Engenharia x r Er ânr onda em propagação segundo âni r Hr r Et ânt θr r r cosθ t − jk1aˆ ni ⋅r (cosθ i uˆ x − sin θ i uˆ z ) E1 = τ || Ei 0 e cosθ i + j 2Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θ i x sin (k1 cosθ i z )cosθ i uˆ x + 2Γ|| Ei 0 e − jk1 sin θ i x cos(k1 cosθ i z )sin θ i uˆ z θi r Ei θt r Ht y z âni r Hi meio 1 meio 2 ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z OpE 0708 OnEl 81 Incidência num condutor ideal – polarização paralela meio 2 condutor ideal (σ 2 = ∞ ) [( Faculdade de Engenharia Γ|| = −1 r Hr τ || = 0 ) r E2 = 0 ( ) r r r r r − jk1aˆ ni ⋅r − jk1aˆ nr ⋅r − jk1aˆ ni ⋅r − jk1aˆ nr ⋅r cosθ i uˆ x − e sin θ i uˆ z E1 = Ei 0 e −e +e = − j 2 Ei 0 e − jk1 sin θi x sin (k1 cosθ i z )cosθ i uˆ x − 2 Ei 0 e − jk1 sin θi x cos(k1 cosθ i z )sin θ i uˆ z x r Er ânr θr ] θi r Ei y z âni r Hi ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z máximos de E1x: z MAX = mínimos de E1x: z min = (2n + 1)π e 2β1 cosθ i nπ β1 cosθ i meio 1 e E1x E1x min MAX condutor ideal = 2 Ei 0 cosθ i =0 OpE 0708 OnEl 82 Guias de onda metálicos Faculdade de Engenharia x r ⊥ : E1 = − j 2 Ei 0 e − jk1 sinθ i x sin (k1 cosθ i z )uˆ y r || : E1 = − j 2 Ei 0 e − jk1 sinθ i x sin (k1 cosθ i z )cosθ i uˆ x − 2 Ei 0 e − jk1 sinθ i x cos(k1 cosθ i z )sin θ i uˆ z polarização perpendicular: polarização paralela: r E1 = 0 E1x = 0 nπ k1 cosθ i em z= em nπ z= k1 cosθ i θr θi meio 1 para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy nπ poderia ser colocado em z = , sem alterar o campo no meio 1 k1 cosθ i z= y z condutor ideal nπ k1 cosθ i OpE 0708 OnEl 83 Guias de onda metálicos Faculdade de Engenharia x onda electromagnética é guiada pelas duas superfícies condutoras princípio de funcionamento dos guias de onda metálicos θr θi será possível guiar uma onda electromagnética y z com meios dieléctricos? meio 1 z= condutor ideal nπ β1 cosθ i OpE 0708 OnEl 84 Guias de onda dieléctricos Faculdade de Engenharia caso geral: dieléctrico 2 dieléctrico 1 dieléctrico 2 em cada incidência parte da onda é transmitida para o dieléctrico 2 ao fim de alguma distância já a onda no dieléctrico interior se atenuou consideravelmente no caso geral, materiais dieléctricos não permitem conduzir ondas electromagnéticas de forma eficiente θr θi a solução seria garantir que não há energia transmitida para o meio 2 será isto possível? OpE 0708 OnEl 85 Reflexão interna total Lei de Snell da refracção n1 > n2 Ângulo crítico Faculdade de Engenharia reflectida n1 sin θ i = n2 sin θ t ânt transmitida ânr θt > θi θ c = θ i tal que θ t = 90º x θr θ c = arcsin n2 n1 θt z θi âni θi ≥ θc não há onda transmitida para o meio 2 incidente meio 1 meio 2 Reflexão interna total sin θ t = n1 n sin θ i ≥ 1 sin θ c n2 n2 sin θ t ≥ 1 cosθ t = ± 1 − sin 2 θ t = ± j sin 2 θ t − 1 OpE 0708 OnEl 86 Reflexão interna total Faculdade de Engenharia reflectida x sin θ t ≥ 1 Reflexão interna total â nt transmitida â nr cosθ t = ± j sin θ t − 1 2 θr η= Meios não magnéticos η µ0 = 0 n ε θt z θi n = εr â ni incidente Coeficientes de reflexão meio 1 Γ⊥ = η 2 cosθ i − η1 cosθ t η 2 cosθ i + η1 cosθ t Γ|| = η 2 cosθ t − η1 cosθ i η 2 cosθ t + η1 cosθ i Γ⊥ = n1 cosθ i − n2 cosθ t n1 cosθ i + n2 cosθ t Γ|| = n1 cosθ t − n2 cosθ i n1 cosθ t + n2 cosθ i Γ⊥ = n1 cosθ i m jn2 n1 cosθ i ± jn2 ( ) sin θ − 1 ( ) sin θ − 1 n1 2 n2 2 n1 2 n2 2 i i Γ|| = − n2 cosθ i ± jn1 n2 cosθ i ± jn1 ( ) sin θ − 1 ( ) sin θ − 1 n1 2 n2 n1 2 n2 meio 2 2 i 2 Γ⊥ = Γ|| = 1 i OpE 0708 OnEl 87 Reflexão interna total – campos evanescentes dependência espacial dos campos no meio 2: e Faculdade de Engenharia r − jk 2 aˆ nt ⋅r reflectida x â nt transmitida â nr aˆ nt = sin θ t uˆ x + cosθ t uˆ z θr e − jk 2 (sinθ t x + cosθ t z ) θt z θi â ni cosθ t = ± j sin θ t − 1 2 incidente meio 1 e − k 2 z sin 2 θ t −1 meio 2 e − jk 2 x sin θ t onda que se propaga segundo +x amplitude decresce exponencialmente com z campos evanescentes OpE 0708 OnEl 88 Reflexão interna total – campos no meio 2 Faculdade de Engenharia reflectida x Polarização perpendicular r −k z Et = Et 0 e 2 sin 2 θ t −1 − jk 2 x sin θ t e r E −k z Ht = t0 e 2 η2 uˆ y sin 2 θ t −1 − jk 2 x sin θ t e θr sin θ uˆ + j sin 2 θ − 1 uˆ t z t x 2 r r r* Et 0 1 −k z sin θ t e 2 S med , t = Re Et × H t = 2 2η 2 { â nt transmitida â nr } θt z θi â ni sin 2 θ t −1 uˆ x incidente meio 1 meio 2 Polarização paralela r −k z Et = − Et 0 e 2 sin 2 θ t −1 − jk 2 x sin θ t e sin θ uˆ + j sin 2 θ − 1 uˆ t z t x r E − k z sin 2 θt −1 − jk2 x sinθ t Ht = t0 e 2 e uˆ y η2 2 r r r* Et 0 1 −k z S med , t = Re Et × H t = sin θ t e 2 2 2η 2 { } sin 2 θ t −1 energia propaga-se ao longo do guia, não havendo perdas para o dieléctrico 2 uˆ x OpE 0708 OnEl 89 Exercício Faculdade de Engenharia A região do espaço definida por y < 0 encontra-se preenchida com um material não magnético e nela propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor r Ei (x, y ) = E0 e − j 4π (4 x +3 y ) uˆ z Esta onda incide obliquamente na interface com a região (V/m) y > 0 , a qual está preenchida com ar. a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência. b) Determine a direcção de propagação e o ângulo de incidência. c) Determine a permitividade relativa do meio 1. d) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda. e) Determine os coeficientes de reflexão e de transmissão. f) Obtenha os fasores dos campos eléctricos da onda reflectida e da onda no ar. OpE 0708 OnEl 90 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes (1ª aula) Campos harmónicos (2ª aula) Ondas electromagnéticas planas Incidência normal Incidência oblíqua (3ª aula) (4ª aula) Incidência em múltiplas interfaces Adaptador de λ/4 (5ª aula) Etalon de Fabry-Perot Difracção (6ª aula) OpE 0708 OnEl 91 Incidência normal – múltiplas interfaces Faculdade de Engenharia x meio 1 meio 2 meio3 notas 1. meios 1 e 2 à infinitos r − jk1z E uˆ x 2. i = E0 e M M M todas as ondas estão linearmente polarizadas segundo x y z=0 z z=d coeficientes de reflexão e de transmissão: interface 1 à 2 : interface 2 à 1 : interface 2 à 3 : Γ21 = 2η 2 η 2 + η1 η 2 − η1 η 2 + η1 e τ 12 = η1 − η 2 = −Γ12 η1 + η 2 e τ 21 = 2η1 η1 + η 2 e τ 23 = 2η3 η 2 + η3 Γ12 = Γ23 = η3 − η 2 η3 + η 2 OpE 0708 OnEl 92 Incidência normal – múltiplas interfaces z=0 meio 1 Γ12 E0 e + jk1z z=d meio 2 (E0 ) (τ 12 E0 ) E0 e − jk1z Faculdade de Engenharia τ 12 E0 e − jk2 z (τ 12 E0 e − jk2d ) meio 3 z τ 23τ 12 E0 e − jk2d e − jk3 ( z − d ) (Γ12 E0 ) τ 21Γ23τ 12 E0 e − j 2 k2 d e + jk1z (Γ 23 τ 12 E0 e − j 2k2d ) Γ23τ 12 E0 e − jk2 d e + jk2 ( z − d ) Γ21Γ23τ 12 E0 e − j 2k2 d e − jk2 z 2 τ 21Γ21Γ23 τ 12 E0 e − j 4k2 d e + jk1z τ 23Γ21Γ23τ 12 E0 e − j 3k2 d e − jk3 ( z − d ) 2 Γ21Γ23 τ 12 E0 e − j 3k2d e + jk2 ( z − d ) 2 2 Γ21 Γ23τ 12 E0 e − j 4k2 d e − jk2 z 2 2 Γ23τ 12 E0 e − j 5k2 d e − jk3 ( z − d ) τ 23Γ21 2 3 Γ21 Γ23τ 12 E0 e − j 5k2 d e + jk2 ( z − d ) M M M OpE 0708 OnEl 93 Incidência normal – múltiplas interfaces meio 1 meio 2 Faculdade de Engenharia meio 1 meio3 E1+ e − jk1z meio 2 E2+ e − jk2 z E1− e + jk1z M M z=0 meio3 E3+ e − jk3 z E2− e + jk2 z M z z=d z=0 z z=d E1+ = E0 2 2 3 E1− = Γ12 E0 + τ 21Γ23τ 12 E0 e − j 2k2 d + τ 21Γ21Γ23 Γ23τ 12 E0 e − j 6k2 d + L τ 12 E0 e − j 4 k2d + τ 21Γ21 ( ) 2 2 − j 4 k2 d = Γ12 E0 + τ 21τ 12Γ23 E0 e − j 2 k2d 1 + Γ21Γ23 e − j 2k2 d + Γ21 Γ23 e +L = Γ12 E0 + τ 21τ 12Γ23 E0 e − j 2k2 d ∑ (Γ +∞ n =0 21Γ23 e ) − j 2 k2d n τ 21τ 12Γ23 e − j 2 k2 d = Γ12 + − j 2k2 d 1 − Γ Γ e 21 23 E0 Γ12 + Γ23 e − j 2 k2 d = E0 − j 2 k2d 1 + Γ12 Γ23 e OpE 0708 OnEl 94 Incidência normal – múltiplas interfaces meio 1 meio 2 Faculdade de Engenharia meio 1 meio3 E1+ e − jk1z meio 2 E2+ e − jk2 z E1− e + jk1z M M meio3 E3+ e − jk3 z E2− e + jk2 z M z z=d z=0 z=0 z z=d 2 2 3 3 E3+ = τ 23τ 12 E0 e − jk2 d e jk3d + τ 23Γ21Γ23τ 12 E0 e − j 3k2 d e jk3d + τ 23Γ21 Γ23τ 12 E0 e − j 5k2 d e jk3d + τ 23Γ21 Γ23τ 12 E0 e − j 7 k2 d e jk3d + L ( ) 2 2 − j 4k2d 3 3 − j 6 k2 d = τ 23τ 12 E0e j (k3 −k2 )d 1 + Γ21Γ23e − j 2 k2d + Γ21 Γ23 e + Γ21 Γ23 e +L = τ 23τ 12 E0e j ( k 3 − k 2 )d ∑ (Γ ∞ n =0 21Γ23e ) − j 2k2d n τ 23τ 12e j (k3 − k2 )d = E0 − j 2k2d 1 + Γ12Γ23e OpE 0708 OnEl 95 Incidência normal em múltiplas interfaces – método alternativo x x meio 1 meio 2 meio 1 meio3 meio 2 M y y z=0 z z=d meio 1 ( E3+ e − jk3 z E2− e + jk2 z E1− e + jk1z M meio3 E2+ e − jk2 z E1+ e − jk1z M Faculdade de Engenharia z=0 meio 2 ) ( z z=d meio 3 ) r E1 = E1+ e − jk1z + E1− e jk1z uˆ x r E2 = E2+ e − jk2 z + E2− e jk2 z uˆ x r E1+ − jk z E1− jk z H1 = e 1 − e 1 uˆ y η1 η1 r E2+ − jk z E2− jk z H 2 = e 2 − e 2 uˆ y η2 η2 r E3 = E3+ e − jk3 z uˆ x r E3+ − jk3 z H3 = e uˆ y η3 OpE 0708 OnEl 96 Múltiplas interfaces – condições fronteira Faculdade de Engenharia x meio 1 r meios dieléctricos à J S = 0 meio 2 meio3 Etan contínuo H tan contínuo y z z=d z=0 E1+ + E1− = E2+ + E2− z =0 E1+ − E1− E2+ − E2− = η1 η2 E2+ e − jk2 d + E2− e jk2 d = E3+ e − jk3d z=d E2+ e − jk2 d − E2− e jk2 d E3+ e − jk3d = η2 η3 4 equações 4 incógnitas (E − 1 , E2+ , E2− , E3+ ) considerando E1+ = E0 OpE 0708 OnEl 97 Múltiplas interfaces – condições fronteira Faculdade de Engenharia x meio 1 E1+ + E1− = E2+ + E2− meio 2 meio3 E1+ − E1− E2+ − E2− = η1 η2 E2+ e − jk2 d + E2− e jk2 d = E3+ e − jk3d E2+ e − jk2 d − E2− e jk2 d E3+ e − jk3d = η2 η3 y z=0 z z=d E1+ = E0 E1− Γ12 + Γ23 e − j 2 k 2d = E0 1 + Γ12 Γ23 e − j 2 k 2 d E3+ τ 23τ 12e j (k3 − k2 )d = E0 1 + Γ12Γ23e − j 2k 2 d expressões anteriores, como seria de esperar OpE 0708 OnEl 98 Múltiplas interfaces – aplicação Faculdade de Engenharia x meio 1 meio 2 meio3 Eliminação de reflexões na interface 1à 3 através da inserção do meio 2 à meio 2 é visto como adaptador y z=0 z z=d Aplicações práticas •eliminação de reflexos em lentes •atenuação de ecos de radar (aviões invisíveis) •… OpE 0708 OnEl 99 Múltiplas interfaces – adaptador de λ/4 Faculdade de Engenharia x Γ23 e − j 2 k2 d = −Γ12 E1− = 0 eliminar reflexões à ( ) ( ) ( meio 1 meio 2 meio3 ) η1η3 1 − e − j 2 k2 d +η 2 (η1 − η3 ) 1 + e − j 2 k2 d −η 22 1 − e − j 2 k2 d = 0 y z=0 E1− adaptador de λ/4 : e − j 2 k2 d = −1 2 k 2 d = m π , m inteiro e ímpar η 2 = η1 η 3 E3+ z z=d Γ12 + Γ23 e − j 2 k2 d = E0 1 + Γ12 Γ23 e − j 2 k2 d τ 23τ 12e j (k3 − k2 )d = E0 − j 2k2d 1 + Γ12Γ23e comprimento de onda no meio 2 d =m λ2 , m inteiro e ímpar 4 OpE 0708 OnEl 100 Adaptador de λ/4 – comprimentos de onda diferentes η −η η − η1 Γ12 = 2 1 = 3 η 2 + η1 η3 + η1 η 2 = η1 η 3 Γ23 = η3 − η 2 η − η1 = 3 η3 + η 2 η3 + η1 f p à frequência para a qual foi λ2, p projectado o adaptador d= ( x meio 1 z 2 E1− I ref = I inc E0 2 2 meio 2 meio3 Γ12 = Γ23 = Γ y v = 2 velocidade no meio 2 fp v2 4 fp ) E3+ z z=d z=0 E1− E1− Γ 1 + e − j 2k2d = E0 1 + Γ 2 e − j 2k2d à frequência f Faculdade de Engenharia Γ12 + Γ23 e − j 2 k2 d = E0 1 + Γ12 Γ23 e − j 2 k2 d τ 23τ 12e j (k3 − k2 )d = E0 − j 2k2d 1 + Γ12Γ23e = zz * 2Γ (1 + cos(2k 2 d )) F cos 2 δ = = 1 + Γ 4 + 2Γ 2 cos(2k 2 d ) 1 + F cos 2 δ 2 2 onde 2Γ F= 2 1− Γ π f δ = k2 d = 2 fp OpE 0708 OnEl 101 Adaptador de λ/4 – comprimentos de onda diferentes Faculdade de Engenharia x I ref F cos 2 δ = I inc 1 + F cos 2 δ 2Γ F= 2 1 − Γ onde 2 δ= e Γ=0 F =0 Γ →1 F →∞ π f 2 fp meio 1 f =0 δ =0 f →∞ δ →∞ meio 2 y z=0 I ref I inc 1 meio3 z z=d F = 100 0.9 F = 10 0.8 0.7 0.6 0.5 F =1 0.4 0.3 0.2 F = 0.1 0.1 0 0 1 π 2 2 3 4 3π 2 5 6 7 8 5π 2 9 10 δ OpE 0708 OnEl 102 Etalon de Fabry-Perot Faculdade de Engenharia η1 = η3 meio 1 = meio 3 Γ12 = −Γ23 = Γ meio 1 meio 2 meio3 τ 23τ 12 =1 − Γ 2 meio 1 meio 2 meio 1 ( ) E1− Γ 1 − e − j 2 k2d = E0 1 − Γ 2 e − j 2 k2 d ( ) E1− = zz * E3+ E3+ 1 − Γ 2 e j ( k 3 − k 2 )d = E0 1 − Γ 2e − j 2 k2 d d z E3+ E0 2 = (1 − Γ ) 2 2 2 1 + Γ 4 − 2Γ 2 cos(2k 2 d ) z=d z=0 Γ12 + Γ23 e − j 2 k 2d E0 = 1 + Γ12 Γ23 e − j 2 k 2 d τ 23τ 12e j (k3 − k2 )d = E0 − j 2k2d 1 + Γ12Γ23e I trans 1 = I inc 1 + F sin 2 (δ ) 2 onde 2Γ F= 2 1− Γ 2π f n2 d δ = k2 d = c OpE 0708 OnEl 103 z Etalon de Fabry-Perot I trans I inc Faculdade de Engenharia 1 meio 1 0.9 meio 1 meio 2 F = 0.1 0.8 0.7 F =1 0.6 d 0.5 I trans 1 = I inc 1 + F sin 2 (δ ) 0.4 0.3 0.2 2Γ F= 2 1− Γ F = 10 0.1 0 2 δ = 2π f n2 d c F = 100 0 1 2 3 π 4 5 6 2π 7 8 9 3π 10 δ • possível aplicação filtrar os modos das cavidade ópticas de lasers para obter oscilação a uma única frequência OpE 0708 OnEl 104 Difracção Faculdade de Engenharia Espectro angular Função de transferência associada à propagação Aproximação de Fresnel Aproximação de Fraunhofer Padrão de difracção de uma fenda Padrão de difracção de N fendas OpE 0708 OnEl 105 Objectivo Faculdade de Engenharia Consideremos uma onda que se propaga no plano xz, cujo campo é definido por r E = U (x, z ) pˆ x ân versor que indica polarização amplitude complexa (inclui fase adquirida durante propagação) z Consideremos agora o plano z = 0 e o plano paralelo a esse que está localizado em z U (x,0) à a amplitude complexa do campo no primeiro plano U (x, z ) à a amplitude complexa do campo no segundo plano objectivo: conhecido U (x,0) à calcular U (x, z ) OpE 0708 OnEl 106 Transformada de Fourier espacial Faculdade de Engenharia Transformada de Fourier temporal +∞ G(ω ) = g(t )e ∫ − jω t Transformada de Fourier espacial +∞ G(kx ) = g(x)e jkx x dx ∫ dt −∞ g(t ) = +∞ 1 G(ω)e jω t dω 2π −∞ ∫ g ( x) = decomposição em sinais com diferentes frequências nota: ondas harmónicas à { r r j ( ω t − k aˆn ⋅r ) v(r , t ) = Re V0 e −∞ +∞ 1 G(kx )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ decomposição em sinais com diferentes componentes do número de onda segundo x } OpE 0708 OnEl 107 Transformada de Fourier espacial – exemplos Faculdade de Engenharia amplitude complexa à U (x, z ) +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx A(kx , z ) = F{U (x, z )} ∫ −∞ +∞ 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ A(kx , z ) = F -1 {U (x, z )} Exemplo 1 U (x, z ) = e− jk z +∞ A(kx , z ) = e ∫ −∞ − jk z onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo +z e jkx x dx = e − jk z +∞ ∫ e jkx x dx − jk z = e− jk z F{} 1 = 2π δ (kx ) e −∞ OpE 0708 OnEl 108 Transformada de Fourier espacial – exemplos Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ Exemplo 2 A(kx , z ) = 2π δ (kx − kx0 )e− jkz z U (x, z ) = +∞ −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ +∞ 1 U (x, z ) = 2π δ (kx − kx0 )e− jkz z e− jkx x dkx = e− jkz z δ (kx − kx0 ) e− jkx x dkx = e− jkz z e− jkx 0 x = e− j (kx0 x+kz z ) 2π −∞ −∞ ∫ ∫ onda plana com amplitude unitária que k uˆ + k uˆ se propaga segundo: aˆn = x0 x z z k nota r k= k k = ω µε x k = kx2 + kz2 k sinθ = x k r k θ kz k x0 z OpE 0708 OnEl 109 Espectro angular Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ −∞ +∞ 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ decomposição em ondas planas de diferentes direcções e amplitudes A(k sinθ ,0) x x U (x,0) kx = k sinθ θ z z A(kx , z ) é conhecido como espectro angular OpE 0708 OnEl 110 Equação de Helmholtz no domínio das frequências espaciais Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ A propagação de uma onda electromagnética num meio LHI sem fontes é governada pela equação de Helmholtz: ∇ U +k U =0 2 2 U (x, z ) = onde k = ω µ ε ∂2U ∂ 2U ∇ U (x, z ) = 2 + 2 ∂x ∂z −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ 2 F{U} = A ∂U F = − jkx A ∂x − kx2 A + ∂2 A 2 +k A=0 2 ∂z ∂2U 2 F 2 = (− jkx ) A = −kx2 A ∂x k 2 = kx2 + kz2 ∂2 A 2 + kz A = 0 2 ∂z OpE 0708 OnEl 111 Função de transferência associada à propagação Faculdade de Engenharia +∞ ∂ A 2 + kz A = 0 ∂z 2 2 A(kx , z ) = A(kx ,0) e A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ − jkz z U (x, z ) = k 2 = kx2 + kz2 transformada após distância z A(kx , z ) = A(kx ,0) e − j k 2 −k x2 z transformada em z = 0 U (x,0) A(kx ,0) propagação ao longo de distância z H (kx ) −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ função de transferência da propagação H (kx ) = e − j k 2 −kx2 z U (x, z ) A(kx , z ) = A(kx ,0) ⋅ H (kx ) OpE 0708 OnEl 112 Função de transferência associada à propagação U (x,0) A(kx ,0) H (kx ) = e Faculdade de Engenharia − j k 2 −kx2 z U (x, z ) A(kx , z ) = A(kx ,0) ⋅ H (kx ) Notas: 1. H (kx ) é função à do meio e da frequência da onda através da dependência em k = ω µ ε à da distância z 2. − ∞ < k x < +∞ k = ω µε se kx ≤ k kz real onda em propagação se kx > k kz imaginário onda evanescente amplitude decresce exponencialmente com z kz = k 2 − kx2 necessário considerar apenas os kx tais que kx ≤ k para z suficientemente elevados OpE 0708 OnEl 113 Campo após propagação Faculdade de Engenharia +∞ U (x,0) A(kx ,0) H (kx ) = e −j k 2 −kx2 z A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ U (x, z ) A(kx , z ) = A(kx ,0) ⋅ H (kx ) U (x, z ) = −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ +∞ +∞ +∞ +∞ 1 1 1 − jkx x − jkx x jkx x' − jk x U (x, z ) = A(k x , z )e dkx = A(k x ,0) H (k x ) e dkx = U (x' ,0)e dx' H (kx ) e x dkx 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ +∞ 1 jkx ( x'− x ) 1 jkx ( x'− x ) = U (x' ,0) H (kx )e dx' dkx = U (x' ,0) H (kx )e dkx dx' 2π −∞ −∞ 2π −∞ −∞ ∫∫ ∫ ∫ H (kx ) = e +∞ +∞ j 1 U ( x, z ) = U (x' ,0) e 2π −∞ −∞ ∫ ∫ k 2 −k x2 z e − j k 2 −kx2 z jkx ( x'− x ) dkx dx' OpE 0708 OnEl 114 Aproximação de Fresnel Faculdade de Engenharia +∞ Admitamos que A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ kx << k U (x, z ) = k 2 − kx2 k = k 1− x k 2 1 k 2 1 2 ≅ k 1 − x = k − kx 2k 2 k HFRESNEL (kx ) = e− jk z e Nota: kx << k j −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ H (kx ) = e − j k 2 −k x2 z k x2 z 2k consideram-se apenas as ondas planas com componentes segundo x do vector de onda muito menores do que k x pequenos ângulos de difracção z aproximação de Fresnel é também conhecida como aproximação paraxial OpE 0708 OnEl 115 Aproximação de Fresnel Faculdade de Engenharia +∞ +∞ 1 U (x, z ) = U (x',0) H (kx )e jkx ( x'− x )dkx dx' 2π −∞ −∞ +∞ ∫ ∫ HFRESNEL (kx ) = e− jk z e j A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ U (x, z ) = −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ k x2 z 2k +∞ +∞ j z kx2 +( x'− x )kx 1 jk z U (x, z ) = e U (x' ,0) e 2k dkx dx' 2π −∞ −∞ ∫ +∞ ( ∫e −∞ − ax2 +bx ∫ 2 )dx = π exp b a +∞ 4a − j ( x− x' )2 j jk z U (x, z ) = e U (x' ,0)e 2 z dx' λz −∞ ∫ k OpE 0708 OnEl 116 Aproximação de Fresnel – difracção através de uma fenda Faculdade de Engenharia Seja 1, x ≤ X U (x,0) = 0, x > X corresponde a uma onda de amplitude unitária que se propaga segundo + z e que em z = 0 incide numa fenda de largura 2X U (x,0) 1 −X +∞ X x − j ( x− x' )2 j jk z U (x, z ) = e U (x',0)e 2 z dx' λz −∞ ∫ k X k k − j (x2 −2 xx'+ x'2 ) − j x2 − j (x'2 −2 xx') j jk z j jk z U (x, z ) = e e 2z dx' = e e 2z e 2z dx' = L λz λz −X −X X ∫ k ∫ OpE 0708 OnEl 117 Aproximação de Fraunhofer Faculdade de Engenharia +∞ Admitamos que kX z >> 2 2 onde j jk z U (x, z ) = e e λz kX <<1 2z −j k 2 +∞ x 2z U ∫ (x',0)e e −j kx'2 2z −∞ k ∫ X = max(x') 2 2z >>1 kX 2 A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx j jk z − j 2 z x2 kx U (x, z ) = e e A ,0 λz z e j −j U (x, z ) = kX 2 2z kxx' z ≅1 e −j kx'2 2z k − j x2 j jk z dx' ≅ e e 2z λz −∞ +∞ 1 A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ ≅1 +∞ ∫ U (x',0)e j kx x' z dx' −∞ kx A ,0 z OpE 0708 OnEl 118 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ Consideremos a difracção através de uma fenda de largura 2X localizada em z = 0: −∞ 1, x ≤ X U (x,0) = 0, x > X +∞ +∞ 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ +X +X e jkx x e jkx X − e− jkx X jkx x jkx x A(kx ,0) = U (x,0)e dx = e dx = = jkx jk x −X −X −∞ ∫ ∫ k j jk z − j 2z x2 kx U (x, z ) = e e A ,0 λz z = 2sin(kx X ) kx U (x, z ) 2 1 kx = A ,0 λz z 2 kXx sin2 4 2 z U (x, z ) = 2 λ z kx z OpE 0708 OnEl 119 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda Faculdade de Engenharia +∞ 2 kXx sin 4 2 z U (x, z ) = 2 λ z kx z (U(x, z) ) 2 = U (0, z ) MAX A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx 2 = ∫ −∞ 2 4X λz +∞ 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ 1 intensidade = normalizada U (x, z ) 2 U (x, z ) 2 MAX kX sin2 x z = 2 KX x z − 2π − π π 2π KX x z OpE 0708 OnEl 120 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda Faculdade de Engenharia intensidade normalizada no alvo fenda alvo 2X z − 2π − π π 2π kXx =π z KX x z x= zπ zλ = kX 2X W z W X W W = λz X OpE 0708 OnEl 121 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ Consideremos a difracção através de N fendas de largura 2X e separadas de uma distância a: +∞ U (x,0) 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ 2X 1 L U (x,0) = ∑ i =0 a U0 x − ia + (N −1) 2 +∞ A(kx ,0) = U (x,0)e ∫ −∞ importante: a > 2 X L a N −1 jkx x dx = −∞ N −1 ∑ i =0 2 sin(kx X ) − jkx ( N −1)a2 = e kx x onde a jkx x ia−( N −1) 2 + X N −1 e 2 sin(kx X ) = e dx = ∑ ∫ i =0 jkx ia−( N −1) a − X kx a ia ( N 1 ) X − − − 2 2 a ia−( N −1) 2 + X jkx x ∑ (e ) N −1 i =0 1, x ≤ X U0 ( x ) = 0, x > X jkx a i 2 sin(kx X ) − jkx ( N −1)a2 1 − e jkx Na = e kx 1− e jkxa = N −1 ∑ 2 sin(kx X ) kx e a jkx ia−( N −1) 2 i =0 k Na sin x 2 k a sin x 2 OpE 0708 OnEl 122 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas A(kx ,0) = 2 sin(kx X ) kx Faculdade de Engenharia +∞ A(kx , z ) = U (x, z )e jkx x dx ∫ k Na sin x 2 k a sin x 2 −∞ +∞ 1 U (x, z ) = A(kx , z )e− jkx x dkx 2π −∞ ∫ U (x, z ) kXx 2 kNax sin2 sin 4 2 z 2z U (x, z ) = λ z kx 2 2 kax sin z 2 z 2 1 kx = A ,0 λz z 2 (U (x, z) ) 2 MAX = U (0, z ) 2 4X 2 N 2 = λz OpE 0708 OnEl 123 Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas intensidade = normalizada U (x, z ) 2 U (x, z ) 2 MAX kXx sin2 z = 2 kXx z difracção Se a = 8X N = 25 Faculdade de Engenharia kNax sin2 2 z kax N 2 sin2 2z padrão de interferência 1 − 3π − 2π −π 0 π 2π 3π kax 2z OpE 0708 OnEl 124 Relação com o guião intensidade normalizada = U (x, z ) 2 U (x, z ) 2 MAX Faculdade de Engenharia kXx 2 kNax sin2 sin z 2 z = 2 2 2 kax kXx N sin 2 z z sin(u) = normalizada u intensidade 2 sin(Nv) ( ) sin N v 2 guião: sin(u ) I = I0 u 2 u= πs sinθ λ v= πa sinθ λ sinθ = sin(Nv) ( ) sin N v x x2 + z 2 2 s = 2X u= π sx ksx kXx = = λz 2z z v= sinθ ≅ tanθ = π az kax = λz 2z x z θ pequeno OpE 0708 OnEl 125
