Electrostática

Faculdade de Engenharia
Electrostática
OpE - MIB 2007/2008
Programa de Óptica e Electromagnetismo
Faculdade de Engenharia
Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas
Electrostática e Magnetostática à 7 aulas
Campos e Ondas Electromagnéticas à 7 aulas
Óptica Geométrica à 3 aulas
Fibras Ópticas à 3 aulas
Lasers à 3 aulas
OpE 0708
Elec 2
1
Electrostática (4 aulas)
Faculdade de Engenharia
Campo eléctrico criado por distribuições discretas e contínuas de cargas
lei de Coulomb
princípio da sobreposição
Lei de Gauss
Potencial eléctrico
Electrostática na matéria
Correntes eléctricas estacionárias
OpE 0708
Elec 3
Lei de Coulomb
Faculdade de Engenharia
r
R
Q e q
R
R̂
r
F
1
4π ε 0
ε0 =
à cargas pontuais
R
à distância entre as cargas
à versor que aponta de Q para q
à força que Q exerce em q
à constante de proporcionalidade
r
R
Rˆ = r
R
q
Q
r
F=
R̂
1 Qq ˆ
R
4π ε 0 R 2
1
× 10 −9 F/m à permitividade eléctrica do vazio
36 π
nota
se Q q > 0
r
F segundo R̂
se Q q < 0
r
F segundo − R̂
força repulsiva
cargas de sinal igual repelem-se
força atractiva
cargas de sinal oposto atraem-se
OpE 0708
Elec 4
2
Campo eléctrico
Faculdade de Engenharia
O campo eléctrico é definido como a força por unidade de carga que uma carga pontual muito
pequena sofre quando colocada numa região do espaço onde um campo eléctrico existe:
r
E = lim
q →0
r
F
q
notas
r
E
r
E
r
E
r
à é proporcional a F
r
à tem direcção de F
à tem unidades de N/C = V/m
desde que q seja suficientemente pequena para não alterar a distribuição de carga da fonte,
r
E é dado por
r
r F
E=
q
r
r
F =qE
q
força exercida na carga
r
pelo campo eléctrico E
OpE 0708
Elec 5
Campo eléctrico criado por uma carga pontual
r
F=
1 Qq ˆ
R
4π ε 0 R 2
r r
E=F q
r
E=
Faculdade de Engenharia
R
1
Q ˆ
R
4π ε 0 R 2
(V/m )
Q
q
R̂
notas
1.
campo eléctrico criado por uma carga pontual positiva tem a direcção
radial que aponta para fora da carga
2.
intensidade do campo eléctrico é proporcional ao valor da carga
3.
intensidade do campo eléctrico é inversamente proporcional ao
quadrado da distância à carga
OpE 0708
Elec 6
3
Carga pontual – linhas de campo eléctrico
linhas de campo eléctrico
à
Faculdade de Engenharia
r
E=
tangentes em cada ponto
ao campo eléctrico nesse
ponto
Q ˆ
1
R
4π ε 0 R 2
(V/m )
Q<0
Q>0
OpE 0708
Elec 7
Carga pontual em posição genérica
Faculdade de Engenharia
z
seja:
P
r
Q à carga pontual (fonte de E )
r
r
r
P à ponto onde se quer calcular E
r
r à vector de posição de P
r
r ' à vector de posição de Q
r
r'
r r r
R = r − r'
Q
y
r
r ' à coordenadas da fonte
r
r à coordenadas do campo
r
E=
1
Q ˆ
R
4π ε 0 R 2
r
R
Rˆ = r
R
r
E=
1
Q r
R
4π ε 0 R 3
x
r
E=
r r r
R = r − r'
1
Q ˆ
R
4π ε 0 R 2
r
E=
(V/m )
r r
Q
r −r'
r
4π ε 0 r − rr ' 3
OpE 0708
Elec 8
4
Exemplo
Faculdade de Engenharia
Uma carga de 10 nC está localizada no ponto de coordenadas cartesianas (1, 2, 2). Calcule o campo eléctrico
criado por essa carga no ponto de coordenadas (-3, -1, 2)
r
r ' = uˆ x + 2uˆ y + 2uˆ z
r
r = −3uˆ x − uˆ y + 2uˆ z
r
E=
1
Q ˆ
R =
4π ε 0 R 2
r
R = −4uˆ x − 3uˆ y
R = 16 + 9 = 5 m
r
R
Rˆ = r = −0.8uˆ x − 0.6uˆ y
R
r r r
R = r − r'
1
10 × 10 −9
− 0.8uˆ x − 0.6uˆ y
10 −9
52
4π ×
36π
(
)
= −0.0356uˆ x − 0.0267uˆ y
(V/m )
OpE 0708
Elec 9
Princípio da sobreposição
Faculdade de Engenharia
O campo eléctrico criado por várias fontes é dado pela soma vectorial dos campos eléctricos
criados individualmente por cada fonte
r
EN
r
E1
r
ETotal =
r
∑E
i
i
r
E2
OpE 0708
Elec 10
5
Campo eléctrico criado por distribuições discretas de cargas
Faculdade de Engenharia
Considere-se uma distribuição de N cargas pontuais:
r
Q1 , localizada em r '1
r
Q2 , localizada em r '2
r
Q3 , localizada em r '3
M
r
QN , localizada em r ' N
r
ETotal =
N
r
∑E
i =1
i
=
N
∑ 4π ε
i =1
1
0
Qi ˆ
Ri
Ri2
=
1
4π ε 0
N
∑R
i =1
Qi ˆ
R
2 i
onde
r r r
Ri = r − r 'i
i
princípio da sobreposição
OpE 0708
Elec 11
Exercício
Faculdade de Engenharia
Duas cargas pontuais, Q1 e Q2 , estão localizadas em (1, 2, 0) e (2, 0, 0) (coordenadas cartesianas).
Qual é a relação entre Q1 e Q2 para que a força exercida numa carga de teste localizada em (-1, 1, 0)
não tenha
a) componente segundo x;
b) componente segundo y.
OpE 0708
Elec 12
6
Distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição linear de carga
- distribuição de carga ao longo de uma linha
∆Q
∆Q à carga existente em ∆L
∆L
seja ρ l a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento)
ρ l = lim ∆L →0
∆Q
∆L
(C/m )
OpE 0708
Elec 13
Distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição superficial de carga
- distribuição de carga ao longo de uma superfície
∆Q
∆Q à carga existente em ∆S
∆S
seja ρ s a densidade superficial de carga (carga por unidade de área)
ρ s = lim ∆S →0
∆Q
∆S
(C/m )
2
OpE 0708
Elec 14
7
Distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição volumétrica de carga
- distribuição de carga ao longo de um volume
∆Q
∆V
∆Q à carga existente em ∆V
seja ρ v a densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume)
ρ v = lim ∆V →0
∆Q
∆V
(C/m )
3
OpE 0708
Elec 15
Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição linear de carga
P
campo criado pelo elemento dl
r
dE =
1 dq ˆ
R
4π ε 0 R 2
dq = ρ l dl
r r r
R = r − r'
onde
r
R
r
r
r
r'
L, ρ l
dl, dq
princípio da sobreposição
r
r
E = dE
∫
L
=
1
4π ε 0
dq ˆ
R
2
∫R
L
=
1
4π ε 0
∫
L
ρ l dl r r
r r 3 (r − r ')
r − r'
OpE 0708
Elec 16
8
Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição superficial de carga
P
campo criado pelo elemento ds
r
dE =
1 dq ˆ
R
4π ε 0 R 2
dq = ρ s ds
r r r
R = r − r'
onde
r
R
r
r
r
r'
ds, dq
A, ρ s
princípio da sobreposição
r
r
E = dE
∫
=
A
1
4π ε 0
dq ˆ
R
2
∫R
=
A
1
4π ε 0
∫
A
ρ s ds r r
r r 3 (r − r ')
r − r'
OpE 0708
Elec 17
Campo eléctrico criado por distribuições contínuas de carga
Faculdade de Engenharia
Distribuição volumétrica de carga
P
campo criado pelo elemento dv
r
dE =
1 dq ˆ
R
4π ε 0 R 2
dq = ρ v dv
r r r
R = r − r'
onde
r
R
r
r
r
r'
dv, dq
V , ρv
princípio da sobreposição
r
r
E = dE
∫
V
=
1
4π ε 0
dq ˆ
R
2
∫R
V
=
1
4π ε 0
∫
V
ρ v dv r r
r r 3 (r − r ')
r − r'
OpE 0708
Elec 18
9
Exercícios
1.
2.
Faculdade de Engenharia
Determine o campo eléctrico criado pelas seguintes distribuições uniformes de carga
a)
distribuição linear de carga ao longo de uma linha recta de comprimento infinito
b)
distribuição superficial de carga ao longo de uma superfície plana de área infinita
Um anel de raio 5 m possui uma densidade linear de carga dada por ρ l = 10 sin (φ ) (C/m )
Determine o campo eléctrico no centro do anel.
3.
Uma casca hemisférica fina de raio a possui uma densidade superficial de carga ρ s uniforme.
Determine o campo eléctrico no centro da casca.
OpE 0708
Elec 19
Próximas aulas
Faculdade de Engenharia
3ª feira
Divergência e rotacional do campo eléctrico
Lei de Gauss
Potencial eléctrico.
4ª feira
Electrostática na matéria
Vector deslocamento eléctrico
Condições fronteira para campos electrostáticos
Capacidade
Energia electrostática.
OpE 0708
Elec 20
10