Determinantes, Inversas e Sistemas Lineares

Determinantes, Inversas e
Sistemas Lineares
Aula 12 – Discussão de sistemas com
determinantes
Discussão de sistemas lineares
• Discutir um sistema significa dizer como é
o conjunto verdade dele em todos os
casos
• Ou seja, é necessário saber resolvê-lo em
todos os casos
Relembrando
• Se pA e pC são os postos das matrizes
incompleta e completa, respectivamente,
de um sistema de n variáveis:
pA pC
pA = pC < n
pA = pC = n
si
spi
spd
Então...
• Para discutir um sistema linear, basta
calcular os postos da matriz completa e da
matriz incompleta e comparar com o
número de variáveis.
Regra de Cramer
• Se |A| 0, é possível encontrar cada
variável da seguinte maneira:
– Na matriz incompleta, trocamos a coluna da
variável pelos termos independentes
– Dividimos o resultado por |A|
• Um sistema linear com n variáveis e n
equações é possível e determinado se, e
somente se, |A| 0
spd
|A|
0
Exemplo
• Discutir o sistema
x
mz 2
x y 2z m
x my 4z 3
Exemplo
1 0 m
1 1
2
1 m 4
A
A
m
0
m
1e m
m2
3m 4
1 ou m
4
spd
4
Para m = 1 ou m
= 4, basta
calcular os
postos!
Exemplo
• Para m = 1:
1 0
A 1 1
1 1
1
1
0
1
1
2
4
1 0
pA = 2
p A = pC = 2 < 3
1
1
1
C
1
1
1
0
1 2
1
2 1
1
4 3
0 2
1 1 0
1 3
pC = 2
spi
Exemplo
• Para m = –4:
1 0
4
A 1
1
2
1
4 4
1
1
0
1
C
1
1
1
1 0
1 0
1
2
1
1
2
4
1
4 4
3
0
2
1
4
25
4 3
pA = 2
pC = 3
pA
pC
si
Resumindo
• m 1 e m –4
• m=1
spi
• m = –4
si
spd
E se a quantidade de equações for
diferente do número de variáveis?
• Discutir o sistema
aw x y
w x ay
w 2x 3y
z 0
z 0
az a
Calculando postos
A
a
1
1
1
1
2
1
a
3
1
1
a
C
a
1
1
1
1
2
1
a
3
1 0
1 0
a a
Matriz incompleta
A
a
1
1
pA
a
1
1
1
1
2
1
a
3
1
1
a
1
1
2
1
a
3
2
2a 2 4a 0
2
a a 2 0
2a
2
1
a
4a 1
1
a
a
1
1
2
1
1
2
1
1
a
3
a
0 ou a 2
1 ou a 2
2
0
a 2
a
2
Matriz completa
• Se a 2, o posto de C é 3, pois A é
submatriz de C e o posto de A é 3
• Se a = 2:
2
1 1
1 0
C
1 1
2
1 0
1
2 3
2 2
2
1 0
1
3 32
1 1 0 2 ( 1)
6 0 pC = 3
1 1
1
2 2
Então?
• Matriz incompleta
 pA = 2
 pA = 3
a=2
a 2
• Matriz completa
 pC = 3
• Portanto:
a 2
a = 2
pA = pC = 3 < 4
o sistema é spi
pA pC
o sistema é si
Mais uma aplicação em GA
• Determine a para que as retas a seguir
sejam concorrentes:
2x 3y a
3x y 2
ax y 1
GA e sistemas: tudo a ver
• As retas são concorrentes quando têm um
ponto em comum, ou seja, o sistema a
seguir tem solução única:
2x 3y a
3x y 2
ax y 1
• Ou seja, pA = pC = 2.
A postos?
A
2
3
2
3
a
3
1
1
3
1
C
pC
11
a
pA = 2
2
3
a
a
2
2
2
3
a
9a 15
9
141
2
3 a
1 2
1 1
3 a
1 2
1 1
0
ou a
0
9
141
2
Tarefa
• Teoria: 17 a 20
• Escritos: 10, 12, 13
• Testes: 76, 77, 78, 79