Matemática

Questão 1
Questão 2
Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam disputar a posse de um objeto num jogo de “cara
ou coroa”. Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2
moedas, simultaneamente.
Vence o jogo e, conseqüentemente, fica com o
objeto, aquele que conseguir o maior número
de caras. Ocorrendo empate, a experiência
será repetida, tantas vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor.
Calcule:
a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na primeira experiência.
b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa.
Seja r a reta 4x + 7y − 56 = 0 que intercepta
o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das
abscissas no ponto B.
Considere uma reta s, que passa pela origem
O (0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de
modo que a área do triângulo OCB seja igual
à metade da área do triângulo OAC.
a) Encontre a equação da reta s.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
Resposta
A reta r intercepta o eixo das ordenadas em A =
= (0; 8) e o eixo das abscissas em B = (14; 0),
conforme a figura a seguir:
Resposta
a) Podemos verificar que Alfredo consegue mais
caras do que Bruno se, e somente se, Alfredo
consegue uma quantidade de coroas menor ou
igual à de Bruno. Logo, supondo que em cada
moeda saiu a outra face, ou seja, foram obtidas
coroas nas que saíram caras e vice-versa, temos
que para cada resultado no qual Alfredo vence
corresponde um resultado (com as faces trocadas) no qual Alfredo não vence.
Portanto, sendo E o evento: "Alfredo vence na primei1
ra experiência", n(E) = n(E) e p(E) = p(E) =
.
2
b) A probabilidade de ocorrer empate em uma experiência é
⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +
⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝0 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝0 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
5
e, portanto, a pro+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
16
babilidade de que Alfredo vença após n empates,
n
⎛ 5 ⎞
⎛1 ⎞
n ∈ Z +∗ , é ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ .
⎝ 16 ⎠
⎝2 ⎠
Assim, a probabilidade de que Alfredo vença a
1
disputa é a soma da PG de primeiro termo
e
2
1
8
5
2
razão
.
, isto é,
=
5
11
16
1−
16
a) Seja C = (a; b). A área do ∆OCB é
OB ⋅ | b | 14 ⋅ | b |
=
= 7 ⋅ | b | e a área do ∆OAC é
2
2
OA ⋅ | a |
1
= 4 ⋅ | a |. Assim, 7 ⋅ | b | =
⋅ 4 ⋅ |a | ⇔
2
2
2
2
⇔ b = a ou b = − a.
7
7
Há, então, duas retas s que satisfazem o enuncia2
2
do: y = x e y = − x .
7
7
2
⎛ 2 ⎞
b) Para s: y = x , C = ⎜ a; a⎟ .
⎝ 7 ⎠
7
2
Como C pertence a r, 4 ⋅ a + 7 ⋅ a − 56 = 0 ⇔
7
28
⎛ 28 8 ⎞
e, portanto, C = ⎜
⇔a=
; ⎟.
⎝ 3 3⎠
3
2
2 ⎞
⎛
Para s: y = − x, C = ⎜ a; − a⎟ e
⎝
7
7 ⎠
⎛ 2 ⎞
4 ⋅ a + 7 ⋅ ⎜ − a⎟ − 56 = 0 ⇔ a = 28 e, assim,
⎝ 7 ⎠
C = (28; −8).
matemática 2
Resposta
Questão 3
Considere o sistema linear nas incógnitas x,
y e z:
⎧x − 2y − z = 8
⎪
⎨2x + y + 3z = −2
⎪ax + y + 2z = 8
⎩
a) Encontre o valor de a que torna o sistema
impossível ou indeterminado.
b) Utilize o valor de a encontrado no item anterior para verificar se o sistema dado é impossível ou indeterminado.
Resposta
x − 2y − z = 8
x − 2y − z = 8
2x + y + 3z = −2 ⇔ 5x − 5y = 22
⇔
ax + y + 2z = 8
(2 + a)x − 3y = 24
x − 2y − z = 8
22
⇔ x −y =
5
54
( −1 + a)x =
5
Assim:
a) Para que o sistema seja impossível ou indeterminado devemos ter −1 + a = 0 ⇔ a = 1.
b) Para a = 1 o sistema é impossível.
Questão 4
Na figura a seguir, ABCD é quadrado de
área 80 cm 2; EF é diâmetro da circunferência de centro O e a medida do ângulo
$
é 30º.
α (FEG)
Seja l o lado do quadrado ABCD. Temos:
AC = BD
$
$
m (ACO)
= m (BDO)
= 90 o ⇒ ∆ACO ≅ ∆BDO ⇒
AO = OB
l
CD
. No ∆BDO, OB 2 =
=
2
2
l2
80
+ l2 =
+ 80 ⇔
= OD 2 + BD 2 ⇔ OB 2 =
4
4
⇔ OB = 10 cm.
O segmento EF é diâmetro da circunferência, com
medida EF = 2 ⋅ OB = 20 cm. Portanto o triângulo
EGF é retângulo em G, tendo o cateto EG medida
3
EF ⋅ cos 30o = 20 ⋅
= 10 3 cm. Assim, a área
2
1
do triângulo EGF é igual a
⋅ EF ⋅ EG ⋅ sen 30o =
2
1
1
=
⋅ 10 3 ⋅ 20 ⋅
= 50 3 cm 2 .
2
2
⇒ OC = OD =
Questão 5
a) A equação 2x 3 − 8x2 + mx + 16 = 0, sendo m um número real, tem raízes a, b e c,
tais que: a = b + c .
1
Determine o valor de S, tal que S =
+
a
1
b
.
+
+
b
ac
b)
O
polinômio
P(x) = 3x 4 − 22x 3 +
1
+ 64x2 − 58x + 13 é divisível por ⎛⎜ x − ⎞⎟ .
⎝
3⎠
Encontre as raízes da equação P(x) = 0 no
conjunto dos números complexos.
Resposta
a) Como a = b + c , temos:
S =
1
1
b
bc + ac + b 2
+
+
=
=
a
b
ac
abc
b(c + b) + ac
a(b + c)
b ⋅ a + ac
a2
=
=
=
abc
abc
abc
abc
Pelas relações entre coeficientes e raízes, temos:
( −8)
a +b +c = −
2a = 4
a=2
2
⇔
⇔
−16
abc = −8
abc = −8
abc =
2
=
(OA = OB = OE = OF = OG)
Determine a área do triângulo EFG.
Logo S =
22
−1
.
=
−8
2
matemática 3
1 1
,
é raiz de
3 3
P(x). Além disso, a soma dos coeficientes de P(x)
é 3 − 22 + 64 − 58 + 13 = 0, ou seja, 1 também
é raiz de P(x).
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
A = 300
b) Como P(x) é divisível por x −
3
3
−22
64
−58
13
1
3
−21
57
−39
0
3
−18
39
0
1
1
⎛1 ⎞6
e −k = ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
.
t
⎛1 ⎞6
Logo Q(t) = 500 − 300 ⋅ (e −k ) t = 500 − 300 ⋅ ⎜ ⎟ .
⎝2 ⎠
a) Sendo t o número de meses de experiência necessários para que os operários possam produzir
425 unidades por hora,
t
⎛1 ⎞6
Q(t) = 425 ⇔ 500 − 300 ⋅ ⎜ ⎟ = 425 ⇔
⎝2 ⎠
Portanto P(x) = 0 ⇔
1⎞
⎛
⇔ ⎜ x − ⎟ (x − 1)(3x 2 − 18x + 39) = 0 ⇔
⎝
3⎠
x=
⇔
t
1
t
⎛1 ⎞6
⇔⎜ ⎟ =
⇔
= 2 ⇔ t = 12 meses.
⎝2 ⎠
4
6
1
3
t
⎛1 ⎞
b) Para t ≥ 0, 0 < ⎜ ⎟ ≤ 1, logo
⎝2 ⎠
ou
⇔ x =1
ou
(x = 3 + 2i ou x = 3 − 2i)
Assim, as raízes de P(x) = 0 são
3 − 2i.
t
1
, 1, 3 + 2i e
3
Questão 6
⎛1 ⎞6
200 ≤ 500 − 300 ⋅ ⎜ ⎟ < 500 ⇔
⎝2 ⎠
⇔ 200 ≤ Q(t) < 500.
Assim, Q(t) é sempre menor que 500, embora
possa ser arbitrariamente próximo de 500. Supondo que a produção por hora é um número inteiro,
seu valor máximo é 499.
Questão 7
O gerente de produção de uma indústria
construiu a tabela abaixo, relacionando a
produção dos operários com sua experiência.
Experiência (meses)
0
6
Produção (unidades por hora) 200 350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função
Q(t) = 500 − A ⋅ e − k ⋅ t , sendo e = 2,72 e k um
número real, positivo.
a) Considerando que as projeções do gerente
de produção dessa indústria estejam corretas,
quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir
425 unidades por hora?
b) Desse modo, qual será a máxima produção
possível dos operários dessa empresa?
Resposta
a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o
lugar geométrico dos números complexos z representados pela equação:
z ⋅ z − w ⋅ z − w ⋅ z + 25 = 0, sendo
w = −2 + 5i.
b) De todos os números complexos z de módulo 3, determine aqueles que satisfazem a
igualdade|z − 2i| = 3 ⋅ |i − 2|
Resposta
a) Lembrando que, para todo α ∈ C, α ⋅ α = | α|2 e
sendo |w |2 = ( −2) 2 + 5 2 = 29,
z ⋅ z − w ⋅ z − w ⋅ z + 25 = 0 ⇔
⇔ z (z − w) − w (z − w) = w w − 25 ⇔
⇔ ( z − w )(z − w) = 29 − 25 ⇔
⇔ (z − w )(z − w) = 4 ⇔ | z − w |2 = 4 ⇔
Da tabela,
⇔ |z − w | = 2.
Q(0) = 200
500 − A ⋅ e −k ⋅ 0 = 200
⇔
⇔
Q(6) = 350
500 − A ⋅ e −k ⋅ 6 = 350
Logo os números complexos z que satisfazem a
equação representam, no plano de Argand-Gauss,
uma circunferência de centro w = ( −2; 5) e raio 2.
matemática 4
b) Seja z = a + bi , a, b reais. Assim:
|z − 2i | = 3 |i − 2|
⇔
|z | = 3
⇔
⇔
⇔
| a + (b − 2 )i | = 3 ⋅ ( −2) 2 + 12
a2 + b 2 = 3
a2 + (b − 2) 2 = 15
a2 + b 2 = 9
⇔
⇔
9 − b 2 + b 2 − 4b + 4 = 15
a2 = 9 − b 2
⇔
⎛
1⎞
35
⎜a = −
eb =− ⎟
2⎠
2
⎝
⇔
Questão 9
ou
⎛
⎜a =
⎝
35
1⎞
eb =− ⎟
2
2⎠
Logo z = −
35
1
−
i ou z =
2
2
de aplicação, restarão 670 ⋅ 1,02 − 350 =
= 333,40 reais. Finalmente, após o 3º mês ele terá
333,40 ⋅ 1,02 = 340,07 reais, insuficientes para pagar a última parcela do financiamento. Logo João
Augusto não raciocinou corretamente.
b) O saldo devedor corresponde a 80% do valor
à vista da mercadoria, e será acrescido de 10%
do valor à vista, correspondendo a 90% do valor
à vista da mercadoria a ser liquidado no final de
3 meses. Portanto a taxa de juros praticada nesse
90 − 80
1
período é
= 12,5% ao trimestre, ou
=
80
8
seja, 4 ⋅ 12,5% = 50% ao ano.
35
1
−
i.
2
2
Questão 8
a) Um televisor, cujo preço à vista é
R$1.000,00, está sendo vendido, a prazo, em
3 parcelas mensais, sucessivas e iguais a
R$350,00, sem entrada.
João Augusto tem R$1.000,00 aplicados à
taxa de 2% ao mês, pelo critério de juros compostos, mas preferiu comprar o televisor a
prazo. “Levo o televisor sem gastar nada agora e, ainda, mantenho o dinheiro aplicado.
Pagarei as parcelas com retiradas mensais da
aplicação”, pensou ele.
João Augusto raciocinou corretamente? Haverá dinheiro suficiente na aplicação para
saldar a última parcela do financiamento?
b) Certa loja tem como política de vendas a
crédito exigir, como entrada, 20% do valor à
vista da mercadoria e o restante a ser liquidado no final de 3 meses. Neste caso, o saldo
devedor é acrescido de 10% do valor à vista
da mercadoria, a título de “despesas administrativas”.
Qual é a taxa anual de juros simples cobrada
por esta loja?
Resposta
a) Ao final do 1º mês de aplicação, ele terá
1 000 ⋅ 1,02 = 1 020 reais e, pagando a 1ª parcela,
restarão 1 020 − 350 = 670 reais. Após o 2º mês
Denomina-se “desconto na fonte” o Imposto de
Renda (IR) pago pelos empregados brasileiros
com registro em carteira de trabalho, mediante desconto diretamente da sua remuneração
mensal.
Para valores de salário-referência maiores
que R$2.115,00, o cálculo do desconto de IR
na fonte é feito através da seguinte equação:
IR = (salário-referência) ⋅ (0,275) − 423,08
Obtém-se o salário-referência (SR), deduzindo-se do salário bruto os valores referentes ao
gasto com dependentes (R$106,00 para cada
um) e à contribuição ao INSS (11% sobre o
valor teto de R$1.869,39), conforme a expressão seguinte:
SR = (salário bruto) − (1.869,39) ⋅
⋅ (0,11) − (nº de dependentes) ⋅ (106,00)
a) Considere que João da Silva, analista de
marketing de uma grande empresa do setor
alimentício, foi contratado e registrado com
um salário bruto de R$3.523,63 e tem três dependentes. Quanto é descontado do seu salário, mensalmente, a título de Imposto de Renda na fonte?
b) Entende-se por salário líquido (SL) o valor
efetivamente recebido pelo assalariado, isto
é, deduzindo-se do salário bruto a contribuição ao INSS (11% sobre R$1.869,39) e o desconto do IR na fonte.
Considerando que em um ano de trabalho são
efetuados 12 descontos de IR na fonte, calcule
o número aproximado de meses de salário líquido do João da Silva que são devorados
pelo “leão” da receita federal brasileira?
matemática 5
Resposta
a) O salário-referência de João da Silva é igual a
3 523,63 − 1 869,39 ⋅ 0,11 − 3 ⋅ 106 = R$ 3.000,00.
Portanto, o desconto mensal de seu salário devido ao Imposto de Renda é igual a:
3 000 ⋅ 0,275 − 423,08 = R$ 401,92
b) O salário líquido mensal de João da Silva é
igual a 3 523,63 − 1 869,39 ⋅ 0,11 − 401,92 =
= R$ 2.916,08.
Como a sua contribuição anual ao Imposto de
Renda é igual a 12 ⋅ 401,92 = R$ 4.823,04, o número de meses do salário líquido correspondente
4 823,04
é
≅ 1,65 meses.
2 916,08
Questão 10
⎡1 6 2⎤
É dada a matriz A = ⎢−1 4 −3 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 −1 −2 ⎥⎦
3
a) Se B = A t −
A , onde A t é a matriz
2
⎤
⎡ y
⎢ x −10 5x + 7y ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢ 15
x
7
transposta de A e B = ⎢
⎥,
y
2
⎥
⎢ 2
⎥
⎢
3y
⎢ 2
3x + 7y ⎥
⎥⎦
⎢⎣
x
determine o número real w, tal que
w = | x ⋅ y|
3 t
b) Considere a matriz C, tal que C = −
A .
2
Encontre o valor do número real p, sendo p o
determinante da matriz C ⋅ A −1 , isto é,
p = det(C ⋅ A −1) e A −1 é a matriz inversa da
matriz A.
Resposta
3
A =
2
⎡ 3
9
⎢ 2
−1 0 ⎤
⎢
3
4 −1 ⎥ − ⎢ −
6
⎥
2
⎢
−3 −2 ⎥⎦
3
⎢ 0
−
⎢⎣
2
a) Temos B = At −
⎡1
= ⎢6
⎢
⎢⎣2
⎡ 1
⎢− 2
⎢ 15
=⎢
⎢ 2
⎢ 2
⎢⎣
−10
−2
−
y
x
5x
x
Assim,
y
3y
x
3x
3
2
⎤ ⎡ y
−3 ⎥ ⎢
x
7 ⎥ ⎢ 15
⎢
=
⎥
2 ⎥ ⎢2
1 ⎥ ⎢2
⎥⎦ ⎢⎣
⎤
3 ⎥
9⎥
− ⎥ =
2⎥
−3 ⎥
⎥⎦
⎤
−10 5x + 7y ⎥
⎥
x
7
⎥.
y
2
⎥
3y
⎥
3x + 7y ⎥
x
⎦
1
2
+ 7y = −3
=−
= −2
⇔
x = −2
y =1
3
2
+ 7y = 1
=−
Logo w = | xy | = |−2 ⋅ 1| = 2 .
b) p = det(C ⋅ A −1 ) = det C ⋅ det(A −1 ) =
⎛ 3
⎞
= det ⎜ −
⋅ At ⎟ ⋅ det(A −1 ) =
⎝ 2
⎠
3
27
1
⎛ 3⎞
= ⎜ − ⎟ ⋅det(At ) ⋅det(A −1) = −
⋅det A ⋅
=
⎝ 2⎠
8
det A
=−
27
.
8