Aula 17

Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Hotel de Hibert
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
IME, UFF
Dezembro de 2013
Hotel de
Hibert
Sumário
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– Hotel de Hilbert.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
– Problemas
n, ω, 2ω, Z,
ω 2 , Q, R.
Problema Q
Problema R
David Hilbert (1862 - 1943)
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de Hilbert
Longe, muito longe,
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
em um ponto infinitamente distante no universo,
existe um lugar onde as pessoas convivem com o infinito.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Elas não se espantam com ele, mas o compreendem e
tiram proveito desta convivência. Dentre as muitas coisas
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
diferentes que existem por lá, se
destaca um hotel infinito, chamado
Hotel de Hilbert (HH).
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Hotel de Hilbert
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Hotel de Hilbert
Como é de se esperar, a tecnologia e a engenharia utilizadas na
construção do HH são muito avançadas.
O HH é chiquérrimo . . .
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– HH não tem elevador, mas teletransporte instantâneo;
Problema mω
Problema ω 2
– HH possui exatamente um quarto por andar;
Problema Z
Problema Q
Problema R
– HH possui infinitos quartos,
numerados por números naturais não-nulos
(exatamente um quarto para cada elemento de N∗ ).
Assim, HH não tem cobertura!
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Congresso Intergalático de
Matemática
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Um congresso intergalático de matemática vai acontecer nas
imediações do HH.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
De todos os infinitos cantos do universo, chegam infinitos
matemáticos para se hospedar no HH.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Todos os matemáticos chegam ao mesmo tempo, em um
ônibus espacial com infinitos lugares, exatamente um para cada
elemento de N∗ , fretado pela organização do congresso.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema 1
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Como é de esperar, o matemático terrestre (brasileiro?) perde
o ônibus e chega atrasado. Quando ele chega, após todos os
outros matemáticos já estarem hospedados, o HH está lotado.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema (1)
O HH está lotado, com um
hóspede em cada quarto.
Chega mais 1 hóspede ao HH.
Como o gerente poderá
hospedá-lo?
Problema Z
Problema Q
Problema R
Observe que, como o HH é chiquérrimo, só é permitido
hospedar um hóspede em cada quarto.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Solução 1
Para cada k ∈ N∗ ,
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
o gerente teletransporta o hóspede que ocupa o quarto k para
o quarto k + 1.
Desta maneira, o quarto 1 fica desocupado.
Problema ω 2
Problema Z
Assim, o novo hóspede ocupa o quarto 1.
Problema Q
Problema R
Observe que os infinitos teletransportes acima foram feitos
simultaneamente, isto é, no mesmo instante, todos os hóspedes
mudaram de quarto, cada hóspede indo para o quarto seguinte
ao que ocupava anteriormente.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Solução 1
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
hóspedes
..
.
quartos
..
.
n+1
n
..
.
n+2
n+1
..
.
3
2
1
b
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção
s : N∗ ∪ {b} → N∗
x + 1 se x ∈ N∗
s(x) =
1 se x = b
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema 2
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Alguns minutos depois, chegam mais dois matemáticos
terrestres (argentinos?) que também perderam o ônibus
fretado do congresso. Quando eles chegam, o matemático
brasileiro já está instalado e o HH está novamente lotado.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (2)
O HH está lotado, com um
hóspede em cada quarto.
Chegam mais 2 hóspedes ao
HH. Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Solução 2
Para cada k ∈ N∗ ,
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
o gerente teletransporta, simultaneamente para todos os
hóspedes, o hóspede que ocupa o quarto k para o quarto k + 2.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Desta maneira, os quartos 1 e 2 ficam desocupados.
Problema R
Assim, os novos hóspedes ocupam os quartos 1 e 2.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Solução 2
hóspedes
..
.
quartos
..
.
n+1
n
..
.
n+3
n+2
..
.
3
2
1
a2
a1
5
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção
s : N∗ ∪ {a1 , a2 } → N∗

 x + 2 se x ∈ N∗
1 se x = a1
s(x) =

2 se x = a2
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema 3
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Mais alguns minutos e chegam três matemáticos portugueses.
Eles ficaram esperando o ônibus fretado do congresso no lugar
errado e também acabaram perdendo o ônibus.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema (3)
Problema n
Chegam mais 3 hóspedes ao
HH lotado.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Solução 3
Para cada k ∈ N∗ ,
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
o gerente teletransporta, simultaneamente para todos os
hóspedes, o hóspede que ocupa o quarto k para o quarto k + 3.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Os 3 primeiros quartos ficam desocupados.
Problema R
Os novos hóspedes ocupam os 3 primeiros quartos.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Solução 3
hóspedes
..
.
quartos
..
.
n+1
n
..
.
n+4
n+3
..
.
2
1
p3
p2
p1
5
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção
s : N∗ ∪ {p1 , p2 , p3 } → N∗
x + 3 se x ∈ N∗
s(x) =
i se x = pi
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema n
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Ainda de manhã chegam alguns matemáticos chineses
atrasados. São muitos, não se sabe exatamente quantos,
mas é uma quantidade finita que podemos denotar por n.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (n)
Chegam mais n hóspedes ao
HH lotado.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Solução n
Para cada k ∈ N∗ ,
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
o gerente teletransporta, simultaneamente para todos os
hóspedes, o hóspede que ocupa o quarto k para o quarto k + n.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Os n primeiros quartos ficam desocupados.
Problema R
Os novos hóspedes ocupam os n primeiros quartos.
Hotel de
Hibert
Solução n
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
hóspedes
..
.
quartos
..
.
m+1
m
..
.
m+1+n
m+n
..
.
2
1
cn
..
.
2+n
1+n
n
..
.
c2
c1
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção
s : N∗ ∪ {c1 , c2 , . . . , cn } → N∗
x + n se x ∈ N∗
s(x) =
i se x = ci
Hotel de
Hibert
Notação
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Vamos denotar por
ω
uma quantidade de objetos que cabe exatamente no HH, sendo
– exatamente um objeto em cada quarto e
– exatamente um quarto para cada objeto.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Assim, por exemplo, a quantidade de números naturais não
nulos é denotada por ω.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema ω
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Na rua do HH existem muitos hotéis infinitos.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
O hotel infinito bem em frente ao HH também está lotado e
sofre um incêndio.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Os bombeiros intergaláticos são muito eficientes.
Problema R
E graças ao trabalho deles, todos os hóspedes do hotel que
pegou fogo foram salvos.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Mas o hotel ficou destruı́do.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (ω)
Chegam mais infinitos hóspedes
ao HH lotado, um novo
hóspede para cada número
natural não-nulo.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Par-ou-ı́mpar
Pensando neste problema, o gerente se lembra do jogo de
par-ou-ı́mpar.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Ele separa os quartos em dois grupos:
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
(P) quartos cujo número dá a vitória a quem pediu par e
Problema R
(I) quartos cujo número dá a vitória a quem pediu ı́mpar.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Enquanto, do ponto de vista usual, vemos a numeração dos
quartos do HH desta maneira:
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
n+1
n
..
.
4
3
2
1
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
O gerente, pensando no jogo de par-ou-ı́mpar, visualiza a
numeração dos quartos do HH do seguinte modo:
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
2(n+1)
..
.
2(n+1)-1
2n
..
.
2n-1
..
.
8
6
4
2
7
5
3
1
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Solução ω
Para cada k ∈ N∗ ,
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
o gerente teletransporta simultaneamente o hóspede que ocupa
o quarto k para o quarto 2k.
Problema mω
Problema ω 2
Apenas os quartos pares ficam ocupados.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Todos os quartos ı́mpares ficam desocupados.
Os novos hóspedes ocupam os quartos ı́mpares.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Solução ω
Hotel de
Hilbert
quartos
..
.
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
hóspedes
..
.
qn
..
.
..
.
n
..
.
q3
q2
q1
3
2
1
2n
2n-1
..
.
5
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção
s : N∗ ∪ {qi : i ∈ N∗ } → N∗
2x se x ∈ N∗
s(x) =
2i − 1 se x = qi
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema 2ω
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
No dia seguinte, dois hotéis infinitos lotados na mesma rua vão
à falência. Dois grupos infinitos de hóspedes ficam desalojados.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (2ω)
Chegam mais 2 grupos infinitos
de hóspedes ao HH lotado,
2 novos hóspedes para cada
número natural não-nulo.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Par-ou-ı́mpar-de-três
Pensando neste problema, o gerente se lembra do jogo de
par-ou-ı́mpar-de-três. Naquele ponto distante do universo,
quando três crianças precisam decidir quem começa uma
brincadeira, elas não tiram zerinho-ou-um. Elas jogam
par-ou-ı́mpar-de-três.
Neste jogo, cada criança, ao invés de escolher par ou ı́mpar,
escolhe um resto na divisão por três: zero, um ou dois.
Depois fazem a dedanha, somam os números e
(0) se o valor obtido for um múltiplo de três (resto 0 na
divisão por três), ganha quem escolheu zero,
(1) se o valor obtido der resto 1 na divisão por três, ganha
quem escolheu um,
(2) se o valor obtido der resto 2 na divisão por três, ganha
quem escolheu dois.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
O gerente, pensando no jogo de par-ou-ı́mpar-de-três, visualiza
a numeração dos quartos do HH assim:
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
3(n+1)
..
.
3(n+1)-1
..
.
3(n+1)-2
3n
..
.
3n-1
..
.
3n-2
..
.
12
9
6
3
11
8
5
2
10
7
4
1
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Solução 2ω
Para cada k ∈ N∗ ,
o gerente teletransporta simultaneamente o hóspede que ocupa
o quarto k para o quarto 3k.
Apenas os quartos numerados por múltiplos de 3 ficam
ocupados.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Todos os quartos numerados por números das formas 3k − 1 e
3k − 2 ficam desocupados.
Problema Q
Problema R
Os novos hóspedes do grupo 1 ocupam os quartos numerados
por naturais da forma 3k − 1.
Os novos hóspedes do grupo 2 ocupam os quartos numerados
por naturais da forma 3k − 2.
Hotel de
Hibert
Solução 2ω
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
quartos
..
.
Problemas 1,
2e3
Problema n
hóspedes
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
..
.
fn1
..
.
fn2
..
.
..
.
n
..
.
f31
f21
f11
f32
f22
f12
3
2
1
3n
3n-1
3n-2
..
.
5
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção s de
N∗ ∪{fi 1 : i ∈ N∗ }∪{fi 2 : i ∈ N∗ }
em N∗ tal que

 3x se x ∈ N∗
3i − 1 se x = fi 1
s(x) =

3i − 2 se x = fi 2
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema 3ω
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Por volta de meio-dia, é deflagrada uma greve de funcionários
em três hotéis infinitos, de uma mesma rede, que estavam
lotados. Três grupos infinitos de hóspedes ficam desalojados.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (3ω)
Chegam mais 3 grupos infinitos
de hóspedes ao HH lotado,
3 novos hóspedes para cada
número natural não-nulo.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Par-ou-ı́mpar-de-quatro
O gerente, pensando no jogo de par-ou-ı́mpar-de-quatro,
visualiza a numeração dos quartos do HH assim:
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
4(n+1)
..
.
4(n+1)-1
..
.
4(n+1)-2
..
.
4(n+1)-3
4n
..
.
4n-1
..
.
4n-2
..
.
4n-3
..
.
16
12
8
4
15
11
7
3
14
10
6
2
13
9
5
1
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Solução (3ω)
Para cada k ∈ N∗ ,
o gerente teletransporta simultaneamente o hóspede que ocupa
o quarto k para o quarto 4k.
Apenas os quartos numerados por múltiplos de 4 ficam
ocupados.
Os quartos numerados por números das formas 4k − 1, 4k − 2
e 4k − 3 ficam desocupados.
Os novos hóspedes do grupo 1 ocupam os quartos numerados
por números da forma 4k − 1.
Problema R
Os novos hóspedes do grupo 2 ocupam os quartos numerados
por números da forma 4k − 2.
Os novos hóspedes do grupo 3 ocupam os quartos numerados
por números da forma 4k − 3.
Hotel de
Hibert
Solução (3ω)
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
..
.
.
1
gn gn2
..
..
.
.
g31 g32
g21 g22
g11 g12
.. ..
. .
gn3 n
.. ..
. .
g33 3
g23 2
g13 1
..
.
4n
4n-1
4n-2
4n-3
..
.
5
4
3
2
1
A solução apresentada pelo
gerente pode ser representada
pela bijeção s de
N∗ ∪ {gi1 : i ∈ N∗ }
∪{gi2 : i ∈ N∗ }
∪{gi3 : i ∈ N∗ }
em N∗ tal que
4x se x ∈ N∗
s(x) =
4i − j se x = gij
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema mω
As coisas não andam bem naquela parte remota da galáxia . . .
Logo depois, um terremoto destrói alguns hotéis infinitos,
lotados, de uma das infinitas ruas paralelas.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
A defesa civil é muito eficiente e, graças ao trabalho deles,
todos os hóspedes foram resgatados ilesos.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Mas ainda não foi divulgado o número exato de hotéis
atingidos.
Problema R
Sabe-se apenas que foi um número finito de hotéis, que
podemos denotar por m.
Assim, m grupos infinitos de hóspedes ficam desalojados.
Hotel de
Hibert
Notação
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Vamos denotar por
mω
a quantidade de objetos em um grupo de objetos que está
dividido em exatamente m categorias, de maneira que em cada
uma destas categorias existem exatamente ω objetos.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Assim, por exemplo, a quantidade de hóspedes desalojados pelo
terremoto é mω.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (mω)
Chegam mais m grupos
infinitos de hóspedes ao HH
lotado,
m novos hóspedes para cada
número natural não-nulo.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Par-ou-ı́mpar-de-muitos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
O gerente, pensando no jogo de par-ou-ı́mpar-de-muitos,
visualiza a numeração dos quartos do HH assim:
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema Q
..
.
nm+n
..
.
4m+4
..
.
nm+n-1
..
.
4m+3
..
.
···
..
.
···
..
.
nm-m+n+2
..
.
3m+6
..
.
nm-m+n+1
..
.
3m+5
..
.
nm-m+n
..
.
3m+4
Problema R
3m+3
3m+2
···
2m+5
2m+4
2m+3
2m+2
2m+1
···
m+4
m+3
m+2
m+1
m
···
3
2
1
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Solução mω
Para cada k ∈ N∗ ,
o gerente teletransporta, simultaneamente para todos os
hóspedes, o hóspede que ocupa o quarto k para o quarto
(m + 1)k.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Apenas os quartos numerados por múltiplos de m + 1 ficam
ocupados.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Os quartos numerados por naturais das formas
(m + 1)k − 1, (m + 1)k − 2, (m + 1)k − 3, . . . , (m + 1)k − m
{z
}
|
m formas
ficam desocupados.
Para cada i ∈ {1, 2, 3, . . . , m}, os novos hóspedes do grupo i
ocupam os quartos numerados por naturais da forma
(m + 1)k − i.
Solução mω
Hotel de
Hibert
..
.
(m+1)n
..
.
(m+1)n-(m-1)
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
n
tm
..
.
..
.
n
..
.
(m+1)n-m
..
.
m
..
.
2
tm
1
tm
2
1
2
1
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
t1n
..
.
..
.
t2n
..
.
..
.
t3n
..
.
t12
t11
t22
t21
t32
t31
..
.
···
A solução apresentada pelo gerente pode ser representada pela
bijeção
j
s : N∗ ∪{t1j : j ∈ N∗ }∪{t2j : j ∈ N∗ }∪{t3j : j ∈ N∗ }∪· · ·∪{tm
: j ∈ N∗ } → N∗
(m + 1)x se x ∈ N∗
tal que s(x) =
(m + 1)j − i se x = tij (1 ≤ i ≤ m, j ∈ N∗ )
Hotel de
Hibert
Problema ω 2
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Para piorar a situação. . .
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
à tarde, um maremoto destrói todos os infinitos hotéis infinitos
da infinita beira-mar da infinita avenida de hotéis.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Assim, infinitos grupos infinitos de hóspedes ficam desalojados.
Hotel de
Hibert
Notação
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Vamos denotar por
ω × ω = ω2
a quantidade de objetos em um grupo de objetos que está
dividido em exatamente ω categorias, de maneira que em cada
uma destas categorias existem exatamente ω objetos.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Assim, por exemplo, a quantidade de hóspedes desalojados pelo
maremoto é ω 2 .
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (ω 2 )
Chegam mais infinitos grupos
infinitos de hóspedes ao HH
lotado, um grupo para cada
número natural não-nulo,
cada grupo contendo um novo
hóspede para cada número
natural não-nulo.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
É aqui que o gerente se lembra do que aprendeu na escola
sobre os números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Ele aprendeu que:
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– Um número natural é primo se, e somente se, ele possui
exatamente dois divisores.
Problema mω
Problema ω 2
– Assim, o número 1 não é primo.
Problema Z
Problema Q
Problema R
– Existem infinitos números primos.
– Para cada natural n ≥ 1, existe um primo pn que lhe
corresponde.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
– Cada natural maior do que 1 pode ser escrito como um
produto de fatores primos.
– Se ordenamos os fatores em ordem não decrescente, este
produto é univocamente determinado.
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Para cada natural n ≥ 1 existem únicos
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
k, p1 , p2 , . . . , pk , α1 , α2 , . . . , αk
tais que k, α1 , α2 , . . . , αk são números naturais,
p1 , p2 , . . . , pk são números primos, p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pk
e
n = p1α1 p2α2 · · · pkαk
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Como o gerente do HH gosta muito de aritmética, seu
conhecimento sobre números naturais não se resume apenas
aos números primos. Ele também estudou a relação de
divisibilidade e aprendeu que:
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– Sobre os números naturais, está definida uma relação de
divisibilidade, denotada por |.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
– m|n significa que quando dividimos n por m, encontramos
resto igual a zero.
Problema R
– Dados m e n, números naturais, temos que:
m|n se, e somente se, existe k tal que n = mk.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
A relação de divisibilidade tem as seguintes propriedades:
– | é reflexiva, isto é, para todo n ∈ N, temos n|n.
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– | é antissimétrica, isto é, para todos m, n ∈ N, se m|n e
n|m, então m = n.
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
– | é transitiva, isto é, para todos m, n, k ∈ N, se m|n e n|k,
então m|k.
Problema R
A relação ≤ de ordem sobre números naturais tem propriedades
análogas a estas.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Outra semelhança entre ≤ e |:
– Se m ≤ n, então existe apenas uma quantidade finita de
números k tais que m ≤ k e k ≤ n.
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
– Se m|n, então existe apenas uma quantidade finita de
números k tais que m|k e k|n.
Problema mω
Problema ω 2
Uma grande diferença entre ≤ e |:
Problema Z
Problema Q
Problema R
– Para todos m, n ∈ N, ou m ≤ n ou n ≤ m.
– Mas existem m, n ∈ N, tais que m não divide n e n não
divide m. Por exemplo, 2 e 3.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Assim, enquanto, do ponto de vista usual, vemos a numeração
dos quartos do HH desta maneira:
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
..
.
n+1
n
..
.
4
3
2
1
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
O gerente, pensando na relação de divisibilidade e nos números
primos, visualiza a numeração dos quartos do HH assim:
..
.
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
2i
2i−1 31
p1α1 p2α2 ... pkαk
···
(α1 +α2 +···+αk =i)
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
···
16
8
4
2
24
12
6
3
36
18
9
5
40
20
10
7
54
27
14
11
1
56
28
15
13
60
30
21
17
80
42
22
19
81
44
25
23
···
···
···
···
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
···
No i-ésimo nı́vel (i ≥ 2), temos produtos p1α1 p2α2 · · · pkαk de i
primos, com repetição, ou seja, i = α1 + α2 + · · · + αk .
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Solução ω 2
Para cada k ∈ N∗ ,
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
o gerente teletransporta, simultaneamente para todos os
hóspedes, o hóspede que ocupa o quarto k para o quarto
identificado pelo k-ésimo número primo.
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Apenas os quartos identificados por números primos ficam
ocupados.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Os quartos identificados por números compostos ficam
desocupados.
Para cada j ∈ N∗ , os novos hóspedes do grupo j ocupam os
quartos identificados por produtos de j + 1 números primos.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Solução ω 2
..
.
mn1
..
.
..
.
mn2
..
.
..
.
mn3
..
.
m61
m51
m41
m31
m21
m11
m62
m52
m42
m32
m22
m12
m63
m53
m43
m33
m23
m13
···
..
.
mnj
..
.
m6j
m5j
m4j
m3j
m2j
m1j
···
..
.
n
..
.
6
5
4
3
2
1
..
.
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Problema R
A solução apresentada pelo gerente pode ser representada pela função
s : N∗ ∪ {mi1 : i ∈ N∗ } ∪ {mi2 : i ∈ N∗ } ∪ · · · ∪ {mij : i ∈ N∗ } ∪ · · · → N∗
x-ésimo número primo, se x ∈ N∗
tal que s(x) =
i-ésimo produto de j + 1 números primos se x = mij
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Exercı́cio 1
Esta solução apresentada pelo gerente não é muito eficiente,
pois um dos quartos fica desocupado.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
(a) Identifique qual quarto ficou desocupado.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
(b) Encontre uma solução mais eficiente, ou seja, uma cujo
resultado corresponda a 100% de ocupação do HH.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Aplicações no armazenamento de
conjuntos numéricos
Vamos ver, agora, como estas ideias podem ser aplicadas aos
conjuntos numéricos.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Neste caso, vamos pensar no HH como uma idealização da
memória virtual de um computador, MV.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Podemos considerar que, por definição, o conjunto N cabe em
MV.
E a questão principal é, dado um dos conjuntos Z, Q ou R, ele
cabe ou não em MV?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Problema Z
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
O metrô espacial daquela parte da galáxia possui trens
infinitos, com um assento para cada número inteiro. Naquele
mesmo dia, ainda pela manhã, um trem de metrô espacial
infinito, lotado de novos hóspedes, chega ao HH.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (Z)
Chega mais um grupo infinito
de hóspedes ao HH lotado, um
novo hóspede para cada
número inteiro.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Solução (Z)
Para cada k ∈ N∗ , o gerente teletransporta simultaneamente o
hóspede que ocupa o quarto k para o quarto 3k + 3.
Apenas os quartos numerados por múltiplos de 3 maiores que 3
ficam ocupados.
O quarto de número 3 e os quartos identificados por números
das formas 3k − 1 e 3k − 2 ficam desocupados.
O novo hóspede identificado pelo zero ocupa o quarto de
número 3.
Os novos hóspedes identificados por números inteiros positivos
ocupam os quartos identificados por números da forma 3k − 1.
Os novos hóspedes identificados por números inteiros negativos
ocupam os quartos identificados por números da forma 3k − 2.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Exercı́cio 2
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Defina a bijeção que representa a solução apresentada pelo
gerente para o Problema Z.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema Q
Os engenheiros que desenvolvem a tecnologia avançadı́ssima
daquela parte da galáxia sabem que é preciso se antecipar aos
problemas.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Prevendo os problemas de trânsito que podem surgir no futuro,
estão desenvolvendo um novo trem para o metrô.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Esta nova tecnologia utiliza um processo de miniaturização,
que permite construir trens que possuem um assento entre
cada par de assentos dados.
Está em fase de teses um desses trens, com um assento para
cada número racional.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Um destes trens em teste, lotado, apresenta um defeito ao
parar na estação bem em frente ao HH.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Problema (Q)
Chega mais um grupo infinito
de hóspedes ao HH lotado,
contendo um novo hóspede
para cada número racional.
Como o gerente poderá
hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Solução (Q)
Para cada k ∈ N∗ , o gerente teletransporta simultaneamente o
hóspede que ocupa o quarto k para o quarto identificado pelo
k-ésimo número primo.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Apenas os quartos identificados por números primos ficam
ocupados.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Os quartos identificados por números compostos e por 1 ficam
desocupados.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
• O hóspede que viajou no assento zero ocupa o quarto 1.
p
Podemos considerar que cada racional não-nulo é da forma ,
q
p
onde é uma fração irredutı́vel (p 6= 0 e q > 0).
q
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Assim, para cada racional não-nulo
p
∈ Q:
q
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
• se p > 0, então o novo hóspede que viajou no assento
p
q
ocupa o quarto identificado pelo 2p-ésimo produto de
q + 1 números primos;
p
q
ocupa o quarto identificado pelo (−2p − 1)-ésimo produto
de q + 1 números primos.
• se p < 0, então o novo hóspede que viajou no assento
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Exercı́cio 3
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Defina a função que representa a solução apresentada pelo
gerente para o Problema Q.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Exercı́cio 4
Observe que, novamente, o gerente do HH não foi muito
eficiente. Alguns quartos ficaram desocupados.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
(a) Identifique quais quartos ficaram desocupados.
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
(b) Encontre uma solução mais eficiente, ou seja, uma cujo
resultado corresponda a 100% de ocupação do HH.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problema R
O projeto de pesquisa de um conceituado grupo de cientistas
propõe desenvolver um trem de metrô com um assento para
cada número real.
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
O objetivo é minimizar o custo com matéria prima,
maximizando o aproveitamento do espaço, já que os trens com
um assento para cada número racional possuem espaços vagos,
correspondentes aos números irracionais.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Questão (R)
Se chegasse um grupo infinito de hóspedes ao HH,
contendo um novo hóspede para cada número real,
o gerente poderia hospedá-los?
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Resposta (R)
Não!
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Justificativa (R)
Argumento da Diagonal,
de Cantor.
Problema Z
Problema Q
Problema R
Georg Cantor (1845 - 1918)
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Antes de apresentar o argumento da diagonal e resolver
(negativamente) o Problema R, vamos fazer algumas
considerações sobre os conjuntos numéricos.
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
N
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Um número é natural se, e somente se, ele pode ser
representado por uma sequência finita de dı́gitos que não
começa com 0.
Hotel de
Hibert
Z
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Um número é inteiro se, e somente se, ele pode ser
representado por uma sequência finita que consiste de duas
partes:
Problema mω
Problema ω 2
• um dos sinais + ou −
Problema Z
• uma sequência finita de dı́gitos que não começa com 0
Problema Q
Problema R
Hotel de
Hibert
Q
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Um número é racional se, e somente se, ele pode ser
representado por uma sequência finita que consiste de quatro
partes:
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
• um dos sinais + ou −
• 0 ou uma sequência finita de dı́gitos que não começa por 0
• uma vı́rgula ,
• uma sequência infinita de dı́gitos formada de um dos dois
modos seguintes:
• uma sequência finita de dı́gitos seguida de 0’s
• uma sequência finita de dı́gitos que se repete
indefinidamente
Hotel de
Hibert
R
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Um número é real se, e somente se, ele pode ser representado
por uma sequência infinita que consiste de quatro partes:
Problemas ω,
2ω e 3ω
• um dos sinais + ou −
Problema mω
• 0 ou uma sequência finita de dı́gitos que não começa por 0
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
• uma vı́rgula ,
• uma sequência infinita de dı́gitos que não termina em uma
sequência infinita de 0’s
Hotel de
Hibert
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
O intervalo (0, 1) ⊆ R
Hotel de
Hilbert
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Um número real está entre 0 e 1 se, e somente se, ele é uma
sequência infinita de dı́gitos que
• começa com um sinal +
Problema ω 2
• seguido de uma ocorrência de 0
Problema Z
• seguida de uma vı́rgula ,
Problema Q
Problema R
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A estratégia do argumento da diagonal que vamos apresentar
se baseia também no seguinte fato:
Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
se A ⊆ B e não há quartos no HH suficientes para
alojar todos os hóspedes do conjunto A, então o
também não há quartos suficientes no HH para alojar
os hóspedes do conjunto B.
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Problemas 1,
2e3
A estratégia do gerente é provar que, se temos tantos hóspedes
quantos números reais no intervalo (0, 1), então não há quartos
no HH suficientes para alojar todos estes hóspedes.
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Assim, como (0, 1) ⊆ R, o gerente pode concluir que, se temos
tantos hóspedes quantos números reais, não é possı́vel
hospedar no HH todos estes hóspedes.
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Problemas 1,
2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Solução (negativa) R
Considere um grupo de potenciais novos hóspedes identificado
pelos números reais no intervalo (0, 1). Imagine que o gerente
pensou ter hospedado a todos no HH, como segue:
..
..
.
.
Quarto k − Hóspede
..
..
.
.
Quarto 4 − Hóspede
Quarto 3 − Hóspede
Quarto 2 − Hóspede
Quarto 1 − Hóspede
..
.
0, dk1 dk2 dk3 dk4 · · · dkk dk(k+1) · · ·
..
.
0, d41
0, d31
0, d21
0, d11
d42
d32
d22
d12
d43
d33
d23
d13
d44 · · · d4k
d34 · · · d3k
d24 · · · d2k
d14 · · · d1k
d4(k+1) · · ·
d3(k+1) · · ·
d2(k+1) · · ·
d1(k+1) · · ·
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Problemas 1,
2e3
Problema n
Podemos mostrar que o gerente se enganou, pois podemos
identificar um novo hóspede
0
0
0
0
0
0, d11
d22
d33
d44
· · · dkk
···
que não está em nenhum dos quartos.
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
Basta definir o dı́gito d 0 como segue:
0
se d = 9
0
d =
d + 1 se d =
6 9
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2e3
Problema n
Problemas ω,
2ω e 3ω
Problema mω
Problema ω 2
Problema Z
Problema Q
Problema R
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