Segunda Lista de Exercícios de Relatividade – 2015.1 Prof. Vicente

Segunda Lista de Exercícios de Relatividade – 2015.1
Prof. Vicente Barros
Obs.: Exercícios com demonstrações não apresentam respostas, procure fazer e no desespero,
procure o professor para tirar as dúvidas do que você fez.
1-) Usando a discussão sobre a explicação dos paradoxos da relatividade, procure encontrar as
principais dificuldades filosóficas para o ensino deste tema no Ensino Médio. O paradoxo dos
gêmeos pode ser entendido apenas como uma questão interpretacional? Discuta. (PA)
6
4,80×10 m/s em relação à Terra e a
seguir volta com a mesma velocidade. A espaçonave transporta num relógio atômico que foi
cuidadosamente sincronizado com outro relógio que idêntico que permaneceu na Terra. A
espaçonave retorna ao seu ponto de partida 365 dias (um ano) mais tarde, conforme medido pelo
relógio que ficou na Terra. Qual a diferença entre os intervalos de tempo, em horas, medidos pelos
dois relógios? Qual dos dois relógios indica o menor intervalo de tempo?
2-) Uma espaçonave se afasta da Terra com velocidade de
3-) Em relação a um observador na Terra, a pista de lançamento de uma espaçonave possui
comprimento de 3600 m. a) Qual é o comprimento da pista medido pelo piloto de uma espaçonave
4,0×107 m/s em relação à Terra? b) Uma observadora
em repouso na Terra mede o intervalo de tempo desde o momento em que a espaçonave está
diretamente sobre o início da pista até o instante em que a espaçonave está diretamente sobre o final
da pista. Que resultado ela obtém? c) O piloto da espaçonave mede o intervalo de tempo desde o
momento em que a espaçonave passa diretamente sobre o início da pista até o instante em que ela
passa diretamente sobre o final da pista. Que resultado obtém?
que se desloca com velocidade igual a
4-) Dois fótons viajam ao longo do eixo
L
constante
x
do referencial inercia
S'
entre eles. Prove que em
S
mantendo uma distância
a distância entre esses fótons é dada por
1/ 2
L(c+v )
(c−v)1 /2
.
5-) .Uma observadora em uma sistema
+x ) com
S´
move-se da esquerda para a direita (no sentido
u=0,6 c , afastando-se de um observador em repouso no sistema
observadora no sistema
S'
mede a velocidade
esquerda para direita. Qual é a velocidade
velocidade da partícula quando a)
v
v'
de uma partícula que se afasta dela da
que o observador no sistema
v '=0,4 c ? b)
S . A
v '=0,9 c ? c)
S
mede para a
v ' =0,99 c ?
6-) a-) Mostre que as transformações de Lorentz em coordenadas cartesianas podem ser escritas na
forma
x '=x cosh (θ) – ct senh(θ) , ct ' =−x senh(θ)+ct cosh (θ)
onde
tanh (θ)=v / c , sendo
v
a velocidade do referencial em movimento. (Lembre-se que as
relações
cosh (θ)=cos(i θ)
e
isenh=sen(i θ)
permitem converter qualquer identidade
trigonométrica numa identidade hiperbólica). Note que, matematicamente, isto é uma “rotação” em
x
ict
e
de um “ângulo”
iθ ; como tal ela preserva
x 2+(ict )2 .
b-) Deduza as seguintes formas úteis das transformações de Lorentz:
−θ
,
ct ´ +x ´=e ( ct+x)
S''
c-) Se
θ
ct '−x '=e ( ct−x) .
é um referencial que se move com velocidade
u
ao longo da direção
S ' , use esta forma da transformação de Lorentz para provar que a velocidade de
S
relação a
x'
de
S''
em
(u+v )
.
1+uv /c 2
é
7-) Uma nave do planeta Tatooine está tentando alcançar um cruzador da Federação do Comércio.
Em relação a um observador em Tatooine, o cruzador está se afastando do planeta com velocidade
0,6 c . A nave está se deslocando com uma velocidade de 0,8 c em relação a Tatooine, no
mesmo sentido do cruzador. a) Para a nave alcançar o cruzador, a velocidade do cruzador em
relação a ela deve ser positiva ou negativa? b) Qual é a velocidade do cruzador em relação à nave?
8-) Se
v´
é a velocidade de uma partícula vista do referencial inercial
S
relação ao referencial
a
S
com velocidade
S ´ que se move em
u , prove que a velocidade da partícula em relação
é:
2
v ´ +( γ−1)(uv ´ /u )u+γ u
v=
γ (1+uv ' /c2 )
.
Note que, em geral, esta expressão não é simétrica em
quando
u
e
v´
u
e
v ´ . A que se reduz esta equação
são paralelas?
9-) a) Qual deve ser a velocidade com a qual você tem de se aproximar de um sinal de trânsito
vermelho ( λ=675 nm ) para que ele aparente uma cor amarela ( λ=575 nm )? Expresse sua
resposta em termos da velocidade da luz. b) Se você usou isto como desculpa para não pagar a
multa pelo avanço do sinal vermelho, quanto você teria de pagar de multa pelo excesso de
velocidade? Suponha que seja cobrado uma multa de R$ 1,00 para cada km/h de excesso de
velocidade acima da velocidade permitida de 90 km/h.
10-) Dois eventos A e B têm uma separação do tipo tempo. Considere uma linha de universo reta e
linhas de universo curvas conectando A e B. Mostre que o tempo próprio entre A e B
B
B
μ
Δ τ=∫A d τ=∫A √ dx dx μ
é máxima quando calculado ao longo da linha de universo reta. Assim, a linha de universo de uma
partícula livre pode ser caracterizada como a curva no espaço tempo de máximo tempo próprio.
dx μ
O significado da notação
é dado pela notação da métrica de Minkowski
ds 2=c 2 dt 2−dx 2−dy 2−dz 2=gμ ν dxμ dx ν . Dica: use um sistema de referência em que a partícula
movendo-se ao longo da linha de universo reta permanece em repouso, lembre-se do problema do
macaco da primeira lista.
Respostas
2-) 1,12 h, relógio da espaçonave.
3-) a)
3,57
5-) a)
0,806 c , b)
km; b)
7-)
0,385 c
9-)
0,159 c , b-) R$
9,00×10−5 s , c)
0,974 c , c)
1,72×108
9,08×10−5 s
0,997 c
m