Segunda Lista de Exercícios de Relatividade – 2014.1 Prof. Vicente

Segunda Lista de Exercícios de Relatividade – 2014.1
Prof. Vicente Barros
Obs.: Exercícios com demonstrações não apresentam respostas, procure fazer e no desespero,
procure o professor para tirar as dúvidas do que você fez.
1-) Uma espaçonave se afasta da Terra com velocidade de 4,80×106 m/ s em relação à Terra e a
seguir volta com a mesma velocidade. A espaçonave transporta num relógio atômico que foi
cuidadosamente sincronizado com outro relógio que idêntico que permaneceu na Terra. A
espaçonave retorna ao seu ponto de partida 365 dias (um ano) mais tarde, conforme medido pelo
relógio que ficou na Terra. Qual a diferença entre os intervalos de tempo, em horas, medidos pelos
dois relógios? Qual dos dois relógios indica o menor intervalo de tempo?
2-) Em relação a um observador na Terra, a pista de lançamento de uma espaçonave possui
comprimento de 3600 m. a) Qual é o comprimento da pista medido pelo piloto de uma espaçonave
que se desloca com velocidade igual a 4,0×107 m/ s em relação à Terra? b) Uma observadora em
repouso na Terra mede o intervalo de tempo desde o momento em que a espaçonave está
diretamente sobre o início da pista até o instante em que a espaçonave está diretamente sobre o final
da pista. Que resultado ela obtém? c) O piloto da espaçonave mede o intervalo de tempo desde o
momento em que a espaçonave passa diretamente sobre o início da pista até o instante em que ela
passa diretamente sobre o final da pista. Que resultado obtém?
3-) Dois fótons viajam ao longo do eixo x do referencial inercia S mantendo uma distância
Lcv 1 /2
constante L entre eles. Prove que em S ' a distância entre esses fótons é dada por
.
c−v 1 /2
4-) .Uma observadora em uma sistema S ´ move-se da esquerda para a direita (no sentido x )
com u=0,6 c , afastando-se de um observador em repouso no sistema S . A observadora no sistema
S ' mede a velocidade v ' de uma partícula que se afasta dela da esquerda para direita. Qual é a
velocidade v que o observador no sistema S mede para a velocidade da partícula quando a)
v ' =0,4 c ? b) v ´ =0,9 c ? c) v ´ =0,99 c ?
5-) a-) Mostre que as transformações de Lorentz em coordenadas cartesianas podem ser escritas na
forma
x ' =x cosh  – ct senh  , ct '=−x senh ct cosh 
onde tanh =v /c , sendo v a velocidade do referencial em movimento. (Lembre-se que as
relações cosh =cos i  e isenh=sen i  permitem converter qualquer identidade
trigonométrica numa identidade hiperbólica). Note que, matematicamente, isto é uma “rotação” em
x e ict de um “ângulo” i  ; como tal ela preserva x 2ict 2 .
b-) Deduza as seguintes formas úteis das transformações de Lorentz:
ct ´ ´ x ´ =e− ctx  , ct ' −x '=e   ct−x  .
c-) Se S ' ' é um referencial que se move com velocidade u ao longo da direção x ' de S ' , use
esta forma da transformação de Lorentz para provar que a velocidade de S ' ' em relação a S é
uv
.
1uv / c 2
6-) Uma nave do planeta Tatooine está tentando alcançar um cruzador da Federação do Comércio.
Em relação a um observador em Tatooine, o cruzador está se afastando do planeta com velocidade
0,6 c . A nave está se deslocando com uma velocidade de 0,8 c em relação a Tatooine, no mesmo
sentido do cruzador. a) Para a nave alcançar o cruzador, a velocidade do cruzador em relação a ela
deve ser positiva ou negativa? b) Qual é a velocidade do cruzador em relação à nave?
7-) Se v ´ é a velocidade de uma partícula vista do referencial inercial S ´ que se move em relação
ao referencial S com velocidade u , prove que a velocidade da partícula em relação a S é:
v ´ −1uv ´ /u 2 u u
v=
.
1uv ' /c 2 
Note que, em geral, esta expressão não é simétrica em u e v ´ . A que se reduz esta equação quando
u e v ´ são paralelas?
8-) a) Qual deve ser a velocidade com a qual você tem de se aproximar de um sinal de trânsito
vermelho ( =675 nm ) para que ele aparente uma cor amarela ( =575 nm )? Expresse sua resposta
em termos da velocidade da luz. b) Se você usou isto como desculpa para não pagar a multa pelo
avanço do sinal vermelho, quanto você teria de pagar de multa pelo excesso de velocidade?
Suponha que seja cobrado uma multa de R$ 1,00 para cada km/h de excesso de velocidade acima da
velocidade permitida de 90 km/h.
9-) Dois eventos A e B têm uma separação do tipo tempo. Considere uma linha de universo reta e
linhas de universo curvas conectando A e B. Mostre que o tempo próprio entre A e B
B
B
 =∫A d =∫A  dx  dx 
é máxima quando calculado ao longo da linha de universo reta. Assim, a linha de universo de uma
partícula livre pode ser caracterizada como a curva no espaço tempo de máximo tempo próprio.
O significado da notação dx  é dado pela notação da métrica de Minkowski
2
2
2
2
2
2


ds =c dt −dx −dy −dz =g  dx dx . Dica: use um sistema de referência em que a partícula
movendo-se ao longo da linha de universo reta permanece em repouso, lembre-se do problema do
macaco da primeira lista.
Respostas
1-) 1,12 h, relógio da espaçonave.
2-) a) 3,57 km; b) 9,00×10−5 s , c) 9,08×10−5 s m
4-) a) 0,806 c , b) 0,974 c , c) 0,997 c
6-) 0,385 c
8-) 0,159 c , b-) R$ 1,72×10 8