Fundamentos de Física Moderna

Fundamentos de Física Moderna
Ano lectivo 2007-08
Relatividade Restrita
1. O tempo de vida médio de um muão (no seu referencial próprio) é de 2.2 µs.
Esta partícula pode ser detectada na Terra, ao nível do mar, provindo de
decaímentos de outras partículas que atingem a alta atmosfera. Após serem
criados, os muões viajam em direcção à Terra com velocidade da ordem de
0.998c. Calcule a distância que estas partículas percorrem na atmosfera terrestre
antes de decaírem.
2. As trajectórias de partículas de alta energia podem ser visualizadas em
detectores. Numa experiência observa-se que uma partícula, entre ser criada e
decair, deixa um traço aproximadamente rectílinio no detector. O traço tem 1.25
mm de comprimento. A velocidade da partícula é constante e igual a 0.995c.
Calcule o tempo próprio da partícula.
3. Um cubo tem volume próprio de 1 dm3. Determinar o volume desse cubo
medido por um observador O’ que se move em relação ao cubo com velocidade
de 0.8c, segundo a direcção paralela a uma aresta do cubo.
4. Numa base espacial encontra-se estacionada uma nave com 20 m de
comprimento. A nave é lançada e quando atinge a velocidade de cruzeiro, o seu
comprimento medido a partir da base espacial é de 10 m.
a. Calcular a velocidade da nave relativamente à base.
b. Qual o comprimento da nave medido pelos seus tripulantes.
5. Uma barra de 1 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o eixo O’x’ do
referencial S’. Calcular qual deverá ser a velocidade de S´ em relação a S
(segundo x⎯x’) para que a barra faça um ângulo de 45º relativamente ao eixo
Ox, no referencial S.
6. Calcule o diâmetro da Terra medido por um observador estacionário em relação
ao Sol. O raio da terra é de cerca de 6370 km e a velocidade da Terra no seu
movimento de translacção é de 30 km/s.
7. Dois observadores, O e O’, aproximam-se um do outro com velocidade igual a
0.6c. O determina que a sua distância inicial a O´é igual a 20m. Calcule quanto
tempo decorrerá até que os dois observadores se encontrem.
8. Uma partícula tem uma vida média de 200 ns. Durante a sua existência a
partícula percorre 1340 m no referencial da Terra com uma velocidade de
0.999c. Interprete este resultado, analisando-o do ponto de vista de um
observador no referencial do laboratório e de um outro no referencial próprio da
partícula.
9. A luz proveniente dos pontos da nossa galáxia que mais distam de nós demora
cerca de 105 anos a chegar à Terra. A que velocidade constante teria um ser
humano de viajar para lá chegar em 50 anos da sua vida.
10. A estrela Vega (α Lyr) está localizada a 26.4 anos-luz da Terra. Prepara-se uma
expedição a essa estrela utilizando veículos que se podem deslocar à velocidade
de 0.7 c. Se essa expedição fosse realizável, calcule a duração da viagem e a
distância Terra-Vega do ponto de vista dos astronautas que se deslocassem no
veículo.
11. Num feixe de partículas que se deslocam com velocidade constante igual a
0.992c, calcule a fracção de partículas que sobrevive após um percurso de
1920 m sabendo que a vida média das partículas é igual 2.2 µs.
12. Um neutrão livre tem um tempo médio de vida de 11 min, desintegrando-se num
electrão, num protão e num neutrino. Considere um feixe de neutrões produzido
num dos muitos tipos de reacções de fusão nuclear que têm lugar no Sol.
a. Quanto tempo deve decorrer no referencial próprio dos neutrões para que
o seu número se reduza a 1% do número inicial.
b. Suponha que os neutrões se deslocam a uma velocidade média de
106 m/s (na realidade a sua velocidade é menor) e considere que a
distância Terra-Sol é igual a 1.49×1011 m. Quanto tempo demoraria um
neutrão a chegar à Terar para um observador na Terra?
c. A partir das alíneas anteriores diga se os neutrões solares atingem ou não
a Terra.
13. Mostre que a quantidade
s 2 = c 2t 2 − x 2 − y 2 − z 2
fica invariante sob transformações de Lorentz.
14. Mostre que para dois acontecimentos A e B observados num mesmo referencial,
a quantidade
∆s 2 = c 2 (t A − t B ) 2 − ( x A − xB ) 2 − ( y A − yB ) 2 − ( z A − z B ) 2
é invariante em relação a transformações de Lorentz.
15. Mostre que a equação da onda electromagnética
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 1 ∂ 2φ
+
+
−
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
fica invariante sob transformações de Lorentz.