Estatıstica I Edézio 1 ▶ Probabilidade Condicional: Chama

Estatı́stica I
Edézio 1
I Probabilidade Condicional: Chama-se Probabilidade condicional de A dado B ou probabilidade de A se B e representa-se por P (A/B), com P (B) > 0 a
P (A/B) =
P (A ∩ B)
n(A ∩ B)
=
P (B)
n(B)
Da definição anterior tem-se Teorema das probabilidades compostas. Se P (A) > 0, P (B) > 0,
tem-se
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B).
Exemplo: Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem retiradas dessa urna 2 bolas
sucessivamente, sem reposição, depois de retiradas, qual a probabilidade de que ambas sejam brancas?
Solução: Sejam os eventos:
A = {a primeira bola é branca} e B = {a segunda bola é branca}
Queremos a ocorrência dos dois eventos, isto é,
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) =
5 4
5
·
=
13 12
39
Definição: Dois eventos A e B dizem-se mutuamente independentes se e so se
P (A ∩ B) = P (A)P (B),
ou seja, se A e B são independentes então P (A/B) = P (A) se P (B) > 0 e P (B/A) = P (B) se
P (A) > 0.
Exemplo: Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraı́da de um baralho completo
(52 cartas). Qual será a probabilidade de que O dado mostre um número par e a carta seja de um
naipe vermelho?
Solução: Sejam os eventos independentes:
A = {o número é par} e B = {a carta é de naipe vermelho}
Então:
P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0, 5 · 0, 5 = 0, 25
Teorema: Se A e B são independentes A e B, A e B e A e B, também são independentes.
I Partição do Espaço Amostral
Dizemos que os eventos B1 , B2 , . . . , Bn , representam uma partição do espaço amostral S, quando:
(a) Bi ∩ Bj = ∅, para todo i 6= j;
(b) ∪ni=1 Bi = S;
(c) P (Bi ) > 0 para todo i.
Estatı́stica I
Edézio 2
B Quando um experimento E é realizado um, e somente um, dos eventos Bi ocorre.
Exemplo: Na jogada de um dado, B1 = {1, 2}, B2 = {3, 4, 5} e B3 = {6} representam uma partição
do espaço amostral, enquanto que C1 = {1, 2, 3, 4} e C2 = {4, 5, 6} não o representam.
Seja A um evento qualquer referente a S, e B1 , B2 , . . . , Bn uma partição de S
B1
A
B5
B2
B3
B4
A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn ). Como todos os eventos A ∩ B1 , . . . , A ∩ Bn , são dois a dois
mutuamente excludentes temos:
P (A) = P [(A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn )]
= P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 ) + . . . + P (A ∩ Bn )
= P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 ) + . . . + P (Bn )P (A/Bn )
B Usada para calcular P (A) quando sabemos que Bi ocorreu e podemos calcular P (A/Bi ).
I Teorema da Probabilidade Total: Sejam B1 , B2 , . . . , Bn eventos definindo uma partição sobre
S, i.e.,
B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn = S e Bi ∩ Bj = ∅ (i 6= j).
Se P (Bi ) > 0, então para qualquer evento A tem-se
P (A) =
n
X
P (Bi )P (A/Bi ).
i=1
Exemplo 1: Consideremos o lote de 20 peças defeituosas e 80 não defeituosas, do qual extrairemos
2 peças sem reposição. Qual é a probabilidade da segunda peça extraı́da ser defeituosa?
Solução: Sejam os eventos:
B = {a primeira peça é defeituosa} e A = {a segunda peça é defeituosa}
Temos que A = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A), ou seja,
Estatı́stica I
Edézio 3
P (A) = P [(B ∩ A) ∪ (B ∩ A)]
= P (B ∩ A) + P (B ∩ A)
= P (B)P (A/B) + P (B)P (A/B)
=
20 19
80 20
1
·
+
·
=
100 99 100 99
5
Exemplo 2: Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas, digamos, I, II e III. Sabe-se
que I produz o dobro de peças de II, e as fábricas II e III produziram o mesmo número de peças
(durante um perı́odo de produção especificado). Sabe-se também que 2% das peças produzidas por
I e por II são defeituosas, enquanto que 4% daquelas produzidas por III são defeituosas. Todas as
peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraı́da ao acaso. Qual é a
probabilidade de que essa peça seja defeituosa?
Solução: Sejam os eventos:
A
B1
B2
B3
=
=
=
=
{a
{a
{a
{a
peça
peça
peça
peça
é defeituosa}
provém de I} ⇒ P (B1 ) = 0, 5, P (A/B1 ) = 0, 02
provém de II} ⇒ P (B2 ) = 0, 25, P (A/B2 ) = 0, 04
provém de III} ⇒ P (B3 ) = 0, 25, P (A/B3 ) = 0, 04
Temos que os Bi formam uma partição do conjunto de peças produzidas e
A
= (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ (A ∩ B3 )
P (A) = P [(A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ (A ∩ B3 )]
P (A) = P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 ) + P (A ∩ B3 )
P (A) = P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 ) + P (B3 )P (A/B3 )
P (A) = 0, 5 · 0, 02 + 0, 25 · 0, 02 + 0, 25 · 0, 04 = 0, 025
Problema: No exemplo anterior, suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se verifique
ser defeituosa. Qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica I?
I Teorema de Bayes
Sejam B1 , B2 , . . . , Bn eventos definindo uma partição do espaço amostral S e A um evento associado
a S. Também são conhecidos P (Bi ) e P (A/Bi ) para i = 1, 2, . . . , n. A probabilidade de ocorrência
de um dos eventos Bi , dado que ocorreu o evento A é dado por:
T
P (Bi )P (A/Bi )
P (A Bi )
= Pn
i = 1, 2, . . . , n
P (Bi /A) =
P (A)
j=1 P (Bj )P (A/Bj )
Voltando ao problema proposto temos:
P (B1 /A) =
=
P (B1 )P (A/B1 )
P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 ) + P (B3 )P (A/B3 )
0, 5 · 0, 02
= 0, 4
0, 5 · 0, 02 + 0, 25 · 0, 04 + 0, 25 · 0, 04