MA14 - Aritmética eserved@d = *@let@token Unidade 21 Resumo

MA14 - Aritmética
Unidade 21
Resumo
Resolução de Congruências e
Teorema Chinês dos Restos
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 11 - Seções 11.1 e 11.2
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
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Resolução de Congruências Lineares
Nesta Unidade, mostraremos como resolver congruências e
sistemas de congruências lineares.
Na resolução de sistema, ocupa lugar de destaque o Teorema
Chinês dos Restos, que possui inúmeras aplicações, tanto teóricas
quanto práticas.
Começamos com a resolução de congruências do seguinte tipo:
aX ≡ b mod m, onde a, b, m ∈ Z, m > 1,
ou seja, o problema de determinar, se existirem, os números
inteiros x tais que ax ≡ b mod m.
Vamos, inicialmente, dar um critério para determinar se tais
congruências admitem solução.
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Critério para existência de solução e descrição das soluções
Proposição
Dados a, b, m ∈ Z, com m > 1, a congruência
aX ≡ b mod m
possui solução se, e somente se, (a, m)|b.
O próximo resultado descreve as soluções, quando existem, da
congruência aX ≡ b mod m.
Teorema
Sejam a, b, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m)|b. Se x0 é uma solução da
congruência aX ≡ b mod m, então
x0 , x0 +
m
m
m
, x0 + 2 , . . . , x0 + (d − 1) ,
d
d
d
onde d = (a, m), formam um sistema completo de soluções da
congruência, duas a duas incongruentes módulo m.
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Exemplo 1. Resolvamos a congruência 8X ≡ 4 mod 12.
Como d = (8, 12) = 4 divide b = 4, temos que a congruência tem
d = 4 soluções módulo 12.
Por tentativa e erro, obtemos a solução x0 = 2.
Portanto, as soluções módulo 12 são
2, 2 + 3, 2 + 6, 2 + 9.
Todas as soluções inteiras são dadas
2 + 12t, 5 + 12t, 8 + 12t, 11 + 12t
onde, t ∈ Z.
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Corolário
Se (a, m) = 1, então a congruência aX ≡ b mod m possui uma
única solução módulo m.
A congruência aX ≡ 1 mod m, com (a, m) = 1, admite uma única
solução módulo m. Esta solução será chamada de inverso
multiplicativo módulo m.
Exemplo 2. Resolvamos a congruência 5X ≡ 1 mod 7.
Como d = (5, 7) = 1, temos que a congruência tem d = 1 solução
módulo 7.
É fácil ver que x0 = 3 é solução.
A única solução é 3 mod 7, o inverso multiplicativo de 5 mod 7.
Todas as soluções são dadas por 3 + 7t, com t ∈ Z.
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Observação: Redução de Congruências
Note que, se a congruência
aX ≡ b mod m
possui solução, então d = (a, m) divide b.
b
m
a
, b0 =
e n= ,
d
d
d
temos que a congruência acima é equivalente a
Pondo a0 =
a0 X ≡ b 0 mod n, com (a0 , n) = 1,
que, por sua vez, é equivalente à congruência
X ≡ c mod n,
onde c = a00 b 0 , sendo a00 o inverso multiplicativo de a0 mod n.
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Via de regra, as congruências aX ≡ b mod m são mais fáceis de
resolver por inspeção quando o módulo m é pequeno.
Podemos tirar partido das propriedades das congruências para
baixar o módulo, como mostramos no exemplo a seguir.
Exemplo 3. Resolvamos a congruência 13X ≡ 4 mod 42.
Como (13, 42) = 1, temos que a congruência tem apenas uma
solução módulo 42.
Note que, como 42 = 2 × 3 × 7, e [2, 3, 7] = 42, temos, pela
Proposição 9.13(ii), que x0 é solução da congruência acima se, e
somente se, x0 é solução simultânea das congruências:
13X ≡ 4 mod 2, 13X ≡ 4 mod 3, 13X ≡ 4 mod 7.
É fácil ver por inspeção que x0 = 10 é solução simultânea do
sistema acima. Portanto, todas as soluções são dadas por
10 + 42t, onde t ∈ Z.
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Teorema Chinês dos Restos
No primeiro século da nossa era, o matemático chinês Sun-Tsu
propôs o seguinte problema:
Qual é o número que deixa restos
2, 3 e 2
quando dividido, respectivamente, por
3, 5 e 7?
A resposta dada por Sun-Tsu para este problema foi 23.
Traduzido em linguagem matemática, o problema de Sun-Tsu
equivale a procurar as soluções do seguinte sistema de
congruências:
X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5
X ≡ 2 mod 7.
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Mais geralmente, estudaremos sistemas de congruências da forma:
ai X ≡ bi mod ni i = 1, . . . , r .
Para que tal sistema possua solução, é necessário que (ai , ni )|bi ,
para todo i = 1, . . . , r .
Neste caso, pela Observação (Redução de Congruências), o
sistema acima é equivalente a um da forma
X ≡ ci mod mi i = 1, . . . , r .
(1)
Teorema (Teorema Chinês dos Restos)
Se (mi , mj ) = 1, para todo par mi , mj com i 6= j, então o sistema
(1) possui uma única solução módulo M = m1 m2 · · · mr .
As soluções são
x = M1 y1 c1 + · · · + Mr yr cr + tM,
onde t ∈ Z, Mi = M/mi e yi é solução de Mi Y ≡ 1 mod mi ,
i = 1, . . . , r .
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Solução do problema de Sun-Tsu
Vamos resolver o sistema
X ≡ 2 = c1 mod 3, X ≡ 3 = c2 mod 5, X ≡ 2 = c3 mod 7.
Neste caso, temos que
M = 3 × 5 × 7 = 105, M1 = 35, M2 = 21
e M3 = 15.
Por outro lado, as congruências
35Y ≡ 1 mod 3, 21Y ≡ 1 mod 5 e 15Y ≡ 1 mod 7.
têm como soluções, respectivamente,
y1 = 2, y2 = 1
e y3 = 1.
Portanto, uma solução módulo M = 105 é dada por
x = M1 y1 c1 + M2 y2 c2 + M3 y3 c3 = 233.
Como 233 ≡ 23 mod 105, segue-se que 23 é uma solução, única
módulo 105, do Problema de Sun-Tsu e qualquer outra solução é
da forma 23 + 105t, com t ∈ Z.
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