Aritmética 0.5cmTeorema Chinês do Resto

Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina.
O material completo a ser estudado encontra-se no Capı́tulo 11 Seções 11.1 e 11.2 do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desse resumo a professora Liane Mendes
Feitosa Soares.
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Aritmética
Teorema Chinês do Resto
Carlos Humberto Soares Júnior
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Determinar qual número deixa restos 2, 3 e 2 quando dividido,
respectivamente, por 3, 5 e 7.
O problema acima foi proposto, no século 1, pelo matemático
Chinês Sun-Tsu.
Observe que, em linguagem moderna, esse problema é equivalente
a resolver o sistema de congruências:

 X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5

X ≡ 2 mod 7
Objetivo: Resolver sistemas de congruências lineares.
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Redução de Congruências Lineares
Proposição
Toda congruência do tipo aX ≡ b mod m que tem solução é
equivalente a uma congruência do tipo
X ≡c
mod n.
Demonstração:
aX ≡ b mod m tem solução ⇔ d = (a, m) divide b
Faça
a0 =
a
b
m
, b0 =
e n=
d
d
d
Então, temos a congruência equivalente
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a0 X Aritmética
≡ b 0 ,mod
n, com (a0 , n) = 1.
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Redução
O qual é equivalente a
X ≡c
mod n, onde c = a00 b 0 ,
sendo a00 o inverso multiplicativo de a0 módulo m.
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Sistema de Congruências Lineares
Queremos agora resolver sistemas de congruências lineares do tipo
ai X ≡ b i
mod ni , i = 1, · · · , r .
Vimos que tal sistema é solúvel quando (ai , ni )|bi , ∀i = 1, · · · , r .
Neste caso, pela proposição anterior, esse sistema é equivalente a
um sistema da forma
X ≡ ci mod mi , i = 1, · · · , r .
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(1)
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Teorema Chinês do Resto
Teorema (Teorema Chinês do Resto)
Se os números m1 , · · · , mr são primos dois a dois, então o sistema
(1) possui uma única solução módulo M = m1 m2 · · · mr . Além
disso, as soluções são
x = M1 y1 c1 + · · · + Mr yr cr + tM,
onde t ∈ Z, Mi =
∀i = 1, · · · , r .
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M
mi
e yi é solução de Mi Y ≡ 1 mod mi ,
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Demonstração:
x é solução do sistema (1).
De fato, como mi |Mj , ∀i 6= j, e Mi yi ≡ 1 mod mi , temos
x = M1 y1 c1 + · · · + Mr yr cr + tM ≡ Mi yi ci ≡ ci
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mod mi .
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Demonstração:
Seja x 0 outra solução de (1).
Então,
x ≡ x0
mod mi , ∀i = 1, · · · , r .
Como (mi , mj ) = 1, se i 6= j, temos que [m1 , · · · , mr ] =
m1 . · · · .mr = M.
Logo, x ≡ x 0 mod M
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(proposição 9.13, ı́tem (ii))
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.
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Solução do Problema de Sun-Tsu
Exercı́cio
Determinar qual número deixa restos 2, 3 e 2 quando dividido,
respectivamente, por 3, 5 e 7.
Solução:
Inicialmente, observamos que o problema é equivalente ao sistema

 X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5

X ≡ 2 mod 7
Temos que M = 3 × 5 × 7 = 105;
M1 = 35, M2 = 21 e M3 = 15;
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Por outro lado, as soluções das congruências
35Y
≡ 1 mod 3,
21Y
≡ 1 mod 5 e
15Y
≡ 1 mod 7
são, respectivamente, y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 1.
Portanto, uma solução módulo M = 105 é dada por
x = M1 y1 c1 + M2 y2 c2 + M3 y3 c3 = 233.
Como 233 ≡ 23 mod 105, segue que 23 é uma solução e
qualquer outra solução é do tipo 23 + 105t, t ∈ Z.
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