A Mecânica no Computador

A Mecânica no Computador
Carlos Eduardo Aguiar
IF - UFRJ
Mecânica de uma Partícula
m
F
F(x,v,t) = m a
t = t0
x = x 0

v = v 0
⇒
 x( t ) = ?

v ( t ) = ?
Velocidade e Aceleração Médias
∆t = t 2 − t1
amed
v 2 − v1
=
t 2 − t1
v med
x 2 − x1
=
t 2 − t1
v 2 = v1 + amed ∆t
x 2 = x1 + v med ∆t
Pequenos intervalos de tempo...
Vamos supor que ∆t = t2 - t1 é muito pequeno:
t2 ≈ t1 ⇒ quase nada muda durante ∆t
a 2 ≈ a1 ≈ amed
t 2 ≈ t1 ⇒ 
v 2 ≈ v 1 ≈ v med
v 2 ≈ v1 + a1 ∆t
x 2 ≈ x1 + v 1 ∆t
a1 = F( x1, v1, t1 ) / m
Grandes intervalos de tempo...
∆t
t0
t1
t2
....
v n+1 ≈ v n + an ∆t
x n+1 ≈ x n + v n ∆t
tn
tn+1 . . .
t
an = F( x n , v n , t n ) / m
A Mecânica no Computador
t = t0 , x = x0 , v = v0
repita enquanto (t < tmax)
{
a = f(x,v,t) / m
v = v + a * delta_t
x = x + v * delta_t
t = t + delta_t
escreva t, x, v
}
O Oscilador Harmônico
F(x,v,t) = - k x
Unidades: massa = m
tempo = (m / k)1/2
m=1
k=1
O Oscilador Harmônico
Período independente da amplitude
≈15,9 oscilações em tmax = 100
período ≈ 100/15,9 ≈ 6,29 (m / k)1/2
O Oscilador Harmônico Amortecido
F(x,v,t) = - k x - b v
b = 0,2
O Oscilador Harmônico Forçado
F(x,v,t) = - k x - b v - F0 sen(w t)
transiente
permanente
freqüência angular = w
b = 0,2
F0 = 1
w = 1,5
O Oscilador Harmônico Forçado
O regime permanente independe da condição inicial
b = 0,2
F0 = 1
w = 1,5
Ressonância
A amplitude do regime permanente depende da
freqüência da força externa
w=1
w = 1,5
b = 0,2
F0 = 1
Ressonância
Amplitude como função da freqüência
0.5 < w < 1.5
b = 0,1
F0 = 1
O Oscilador Anarmônico
F(x,v,t) = - k x - q x3 - b v - F0 sen(w t)
1.1 < w < 1.6
b = 0,1
F0 = 1 q=0,1
O Oscilador Anarmônico
Mais de um regime permanente possível
x0 = 1 v0 = 0
x0 =--2 v0 = 0
b = 0,1
F0 = 1 q=0,1