Mecânica Quântica CE Aguiar, 2014 Lista de Exercícios 1
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Programa de Pós-Graduação em Ensino De Física Mestrado Profissional em Ensino de Física Mecânica Quântica C. E. Aguiar, 2014 Lista de Exercícios 1 Considere uma partícula que é encontrada em apenas duas posições, x = +a e x = a (veja a figura 1). A essas posições correspondem aos vetores de estado |+a e |a. a +a x Figura 1 A partícula possui dois estados de energia, E = 0 e E = , representados pelos níveis mostrados na figura 2 (os estados “fundamental” e “excitado”). E 0 Figura 2 Os vetores correspondentes a esses estados de energia, |0 e |, são dados por |0⟩ = |𝜀⟩ = 1 |+𝑎⟩ + 1 |−𝑎⟩ √2 1 √2 1 √2 √2 |+𝑎⟩ − |−𝑎⟩. 1. Desenhe um diagrama representando os vetores de estado de posição e energia. Essas duas grandezas são compatíveis? Existe algum estado quântico em que tanto a posição quanto a energia da partícula estejam bem definidos? Justifique sua resposta com o diagrama do item acima. 2. Esboce o gráfico da “função de onda” 𝜓𝐸 (𝑥) = ⟨𝑥|𝐸⟩ da partícula para cada um dos estados de energia. 3. Se a partícula está no estado fundamental, qual é a probabilidade de uma medida de posição resultar em x = +a? E x = a? Quais são essas probabilidades se a partícula está no estado excitado? 4. Se a partícula está no estado |+a, qual é a probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0? E a probabilidade de obter E = ? Quais são essas probabilidades se a partícula está no estado |a? 5. Suponha que o estado quântico da partícula é dado pelo vetor |Ψ⟩ = 1 |+𝑎⟩ − √23|−𝑎⟩ √3 a) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida encontrar a partícula na posição x = +a? E na posição x = a? Faça um gráfico dessa amplitude (a “função de onda” Ψ(𝑥) = ⟨𝑥|Ψ⟩) como função de x. b) Qual é a probabilidade de uma medida encontrar a partícula na posição x = +a? E na posição x = a? c) Qual é o valor médio de x no estado |Ψ⟩? E a incerteza x? d) Em um experimento são medidas as posições de 3106 partículas, todas no estado |Ψ⟩. Como seria um histograma com os resultados dessas medidas? e) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0 nesse estado? E E = ? f) Qual é a probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0? E E = ? g) Qual é o valor médio da energia E nesse estado? E a incerteza E? 6. Suponha agora que o estado da partícula seja |Φ⟩ = 𝑖 |+𝑎⟩ − √23|−𝑎⟩ √3 (note que é a diferença para o estado |Ψ⟩ da questão anterior é o i na amplitude do estado |+a). a) A estatística de medidas da posição (probabilidades, valor médio, etc.) é diferente nos estados |Φ⟩ e |Ψ⟩? b) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0 nesse estado? E E = ? c) Qual é a probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0? E E = ? d) Qual é o valor médio da energia E nesse estado? E a incerteza E? e) A estatística de medidas da energia (probabilidades, valor médio, etc.) é diferente nos estados |Φ⟩ e |Ψ⟩? 7. Considere que a partícula está no estado de energia E = 0 e que uma medida da sua posição é realizada, tendo como resultado x = +a. a) Qual é o estado da partícula logo após a medida da posição? b) Imediatamente após a medida da posição, a energia da partícula é medida e o resultado é E = . Qual era a probabilidade disso ocorrer? Qual é o estado da partícula após essa segunda medida? 8. Considere que no instante t = 0 o estado da partícula é dado por |𝜓(0)⟩ = |+𝑎⟩. a) Qual é o vetor de estado |𝜓(𝑡)⟩ em um instante t posterior? b) No instante t, qual é a probabilidade de uma medida da posição resultar em x = +a? E em x = a? c) Calcule o valor médio x e a incerteza x no instante t. Faça o gráfico dessas grandezas em função do tempo. d) Repita os itens a), b) e c) para o caso em que |𝜓(0)⟩ = |−𝑎⟩. 9. Suponha que no instante t = 0 o estado da partícula das questões anteriores é dado por |Ψ(0)⟩ = 1 √3 |+𝑎⟩ − √23| −𝑎⟩. a) Qual é o vetor de estado |Ψ(𝑡)⟩ em um instante t posterior? b) No instante t, qual é a probabilidade de uma medida da posição resultar em x = +a? E em x = a? c) Calcule o valor médio da posição no instante t. Trace o gráfico de x como função do tempo.
