Termodinâmica I

Termodinâmica I - FMT 159
Segunda prova: 30/11/2009
Noturno
ATENÇÃO: JUSTIFIQUE todas as suas respostas. Não destaque a folha de rascunho.
Tempo de prova: 100 minutos.
NOME:
1. (3,0) Em uma máquina térmica o agente é um gás ideal de coeciente adiabático γ , que executa
o ciclo da gura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA é uma isoterma.
(a) (0,25) Em que etapas do ciclo o gás recebe calor? Em que etapas cede calor? Em que
etapas realiza trabalho? em que etapas trabalho é realizado sobre o sistema? Justique suas
respostas!
(b) (0,75) Calcule o calor trocado e o trabalho realizado/recebido em cada uma das etapas.
Lembre que: ∆U = Q − W ;
∆U = n cv ∆T .
• Etapa AB:
Nessa etapa W = 0 (pois V = constante) =⇒
temos Q > 0; o sistema recebe calor.
∆U = Q = n cv ∆T ; Como ∆T > 0
• Etapa BC:
Nessa etapa Q = 0 (adiabática) =⇒ ∆U = −W
temos W > 0; o sistema realiza trabalho.
=⇒ = W = −n cv ∆T ; Como ∆T < 0
• Etapa CA:
Nessa etapa T = constante =⇒ ∆U = 0 e portanto Q = W ; como o volume diminui,
W < 0 (o sistema recebe trabalho) e Q < 0 (o sistema cede calor).
Z Vf
Z Vf
dV
N R TA
p(V ) dV =
Nesse caso W =
= N RTA ln(Vf /Vi ) = Q.
V
Vi
Vi
1
(c) (1,00) Calcule o rendimento, em função das variáveis cp , cv , γ , r, R, TA ou TB (nem todas
podem ser necessárias.)
³
η=
nRTA ln
VA
VC
´
W
W
QCA
=
=1−
=1−
,
Q1
QAB
QAB
n cv (TB − TA )
Em uma adiabática, T V γ−1 = constante; portanto
TB
=
TC
µ
VB
VC
¶γ−1
,
sabemos também que VA = VB e que TA = TC portanto
VA
=
VC
η =1−
µ
TB
TA
¶1/(γ−1)
=
1
r
(1)
R ln (TB /TA )1/(γ−1)
,
cv (TB /TA − 1)
(2)
(d) (1,00) Exprima o resultado primeiro em função de γ e r, e depois apenas em função da
razão ρ = TA /TB entre as temperaturas extremas. (Lembre-se que a log(x) = log(xa ).)
Usando o resultado do item anterior, podemos escrever cv e cp em função de R e γ , com
R/cv = (γ − 1). Substituindo na expressão anterior temos
η = 1 − (γ − 1)
η =1−
ln (TB /TA )1/(γ−1)
.
TB /TA − 1
(3)
ln (TB /TA )
.
TB /TA − 1
(4)
substituindo VA = VB = V e VC = rV na equação (1) teremos
TB
=
TA
µ ¶(γ−1)
1
,
r
1
TB
= ,
TA
ρ
(5)
substituindo as expressões acima na equação (4) teremos respectivamente
η =1+
(γ − 1) ln r
,
r(1−γ) − 1
2
η =1+
ρ ln ρ
.
1−ρ
(6)
2. (2,0) Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: suponha que isso fosse
possí vel, complete o ciclo com uma isoterma e mostre que a segunda lei da termodinâmica
seria violada se um tal ciclo existisse.
Solução:
p
A
Q=0
B
T
Q=0
Q=0
C
V
Note que no processo isotérmico AB temos ∆UAB = 0, então o calor é absorvido, tal que
QAB = WAB > 0.
Além disso, nos outros dois processos BC e CA, ambos adiabáticos, temos que
QBC = QCA = 0.
Portanto, tal ciclo constituiria uma máquina térmica miraculosa, onde o único efeito seria absorver uma quantidade de calor QAB > 0 de uma fonte quente e realizar uma certa quantidade
de trabalho (correspondente à área dentro do ciclo) também > 0, violando a segunda lei da
termodinâmica (enunciado de Kelvin).
3
3. (2,0) Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 ` de água a 30 o C. Coloca-se nele um bloco
de 500 g de gelo.
(a) (0,5) Calcule a temperatura nal do sistema. Considere 80 cal/g para o calor latente de
fusão do gelo.
(b) (1,5) Calcule a variação de entropia do sistema.
Solução:
(a) Como a energia é conservada ∆Utotal = 0 e como nenhum trabalho é realizado no processo
Wtotal = 0, portanto Qtotal = 0. Dessa forma, o calor absorvido pelo gelo é igual em modulo
pelo calor cedido pela água líguida portanto
Qg + Ql = 0,
(7)
mg Lf usão + mg c (Tf − Tig ) + ml c (Tf − Til ) = 0,
(8)
Tf =
mg Lf usão − c (mg Tig + ml Til )
c (ml + mg )
(9)
o
onde c é o calor especíco da água = 1,0 cal/g C , mg é a massa do gelo, ml é a massa da água
na fase líguida, Tig é a temperatura inicial do gelo, Til é a temperatura inicial da água na fase
líguida. Fazendo as contas teremos
o
(10)
Tf = 281, 23 K ' 8 C
(b) A variação de entropia do sistema é dada por
mg Lf usão
∆S =
+ mg c
T
ZTf
dT
+ ml c
T
Tig
mg Lf usão
∆S =
+ mg c ln
T
µ
Tf
Tig
ZTf
dT
,
T
(11)
Til
¶
µ
+ ml c ln
Tf
Til
¶
,
(12)
substituindo os dados do problemas obtemos
∆S = 10, 9 cal/K.
4
(13)
4. (3,0) Dois litros de ar (γ = 1, 4), inicialmente à pressão de 1,0 atm e à temperatura de -73 o C
sofrem uma expansão isobárica até chegar a um volume 50% maior que o inicial, seguido de
um resfriamento, a volume constante, até chegar à pressão de 3/4 atm. Suponha que o ar se
comporte como um gás ideal.
(a) (0,5) Desenhe a transformação em um diagrama P-V; Calcule o número de moles de ar
contidos nos 2 `, a temperatura depois da expansão isobárica, bem como a temperatura nal
do ar.
(b) (0,5) Calcule a capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (cp e cv ), para
esse gás. Deixe o resultado na forma de fração.
(c) (1,0) De quanto varia a entropia do sistema? (Não se esqueça de especicar em que unidades
essa variação foi calculada.)
(c) (1,0) Suponha que a expansão se dê através do contato com um reservatório térmico a 300
K e que o resfriamento se dê através do contato com um outro reservatório térmico a 200 K.
Qual a variação de entropia dos reservatórios? O que é possí vel falar sobre a reversibilidade
ou irreversibilidade do processo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA!
Solução:
p(atm)
1,00
TA
TB
0,75
TC
V
1,5V
(a) o número de moles de ar contidos nos 2 `, pode ser obtido através dos dados iniciais do gás
n=
(1, 0 atm) (2 `)
pV
=
= 0, 1249 mols
−2
RT
(8 × 10 atm.`/mol.K) (200, 15 K)
(14)
As temperaturas são calculadas usando a lei dos gases ideais tal que
pV
VA
=⇒ TA =
= 200, 15 K
nR
nR
µ
¶
µ
¶
3
1
3
3 3
1
9
TB =
VA
= TA e TC =
VA
= TA
2
nR
2
4 2
nR
8
T =
(15)
(16)
(b) A capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (cp e cv ), para esse gás.
γ=
cp
7
7
= 1, 4 = =⇒ cp = cv ,
cv
5
5
5
(17)
usando
(18)
cp − cv = R,
obtemos
5
7
cv = R, e cp = R
2
2
(c) A variação de entropia no sistema é dada por
(19)
∆Stotal = ∆Sisob + ∆Sisov
µ ¶
µ ¶
VB
TC
∆Stotal = ncp ln
+ ncv ln
VA
TB
¶ µ ¶
µ
µ ¶
7
3
3
∆Stotal = n
cv ln
+ ncv ln
5
2
4
·
µ ¶
µ ¶¸
7
3
3
∆Stotal = ncv
ln
+ ln
5
2
4
∆Stotal ' 0, 52
J
K
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(d) A variação de entropia dos reservatórios é, em modulo, igual ao calor trocado com o sistema
dividido pela temperatura do respectivo reservatório.
¯
¯ ¯
¯
¯ Qisob ¯ ¯ Qisov ¯
¯−¯
¯,
∆Sviz = − ¯¯
T300K ¯ ¯ T200K ¯
(25)
o sinal negativo representa o fato da quantidade do calor absorvido(cedido) pelo reservatório é
a quantidade contrária ao calor cedido(absorvido) pelo sistema.
¸
·
ncp (TB − TA ) ncv (TC − TB )
+
,
(26)
∆Sviz = −
T300K
T200K
"
¡
¡
¢
¢#
n 57 cv 32 TA − TA
ncv 98 TA − 32 TA
∆Sviz = −
+
,
(27)
T300K
T200K
·
¸
7
1
3 1
∆Sviz = −ncv TA
−
,
(28)
10 300 K
8 200 K
∆Sviz ≈ −0, 23
J
,
K
(29)
A entropia do universo é então
∆Suniv = ∆Stotal + ∆Sviz = 0.29
mostrando que o processo é irreversível!
6
J
>0
K
(30)
FORMULÁRIO
R = 8 × 10−2 atm.`/mol.K = 8 J/mol.K = 2 cal/mol.K ;
1 cal = 4 J ;
1 atm.` = 100 J = 24 cal
1 atm = 105 P a;
1`=
10−3
1 mmHg = 133 P a.
m3 ;
1 mol ocupa 22,4 ` nas condições normais de temperatura e pressão.
γ = cp /cv , e cp − cv = R.
Para um gás ideal: P V = nRT , ∆U = n Cv ∆T ;
em uma adiabática, as expressões P V γ , T V γ−1 , e T /P (γ−1)/γ são constantes;
Para a água: calor latente de fusão = 80 cal/g; calor latente de vaporização = 540 cal/g; calor
o
especíco da água = 1,0 cal/g C .
Z
Vf
Vi
C
Z
Vf
Vf
dV
=
γ
V
(1−γ)
− Vi
(1−γ)
1−γ
(1−γ)
1−γ
Vf
Vi
− Vi
=
(1−γ)
;
Se o processo é adiabático (PVγ = C), então
Pf Vf − Pi Vi
1−γ
Vf
dV
= ln
V
Vi
RASCUNHO - devolva esta folha GRAMPEADA junto com sua prova.
7