P - Gran Cursos Presencial

Lógica Matemática
Professor Walter Sousa
1. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS DE PROPOSIÇÕES
Símbolo: 
Duas proposições compostas, formadas pelas mesmas sentenças básicas, são equivalentes
quando têm, para todas as valorações possíveis dessas proposições básicas, as mesmas avaliações V
ou F. Para verificar, testar ou comprovar a equivalência de proposições, pode-se proceder do seguinte
modo:
I. Constrói-se a tabela-verdade destacando uma coluna para cada proposição;
II. Após a construção da tabela-verdade, verifica-se, nas colunas das proposições compostas, se
os valores lógicos, em todas as linhas da tabela, são iguais. Em caso afirmativo, diz-se que as
proposições são equivalentes.
Exemplo: Verificar que P  Q  Q  P
Solução: Tabela-verdade
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P  Q Q P
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
Q  P
V
F
V
V
Comparando os valores lógicos da coluna
de P  Q com os da coluna Q  P ,
verificamos que são iguais.
Assim, a proposição “Se Paulo é paulista, então Paulo é brasileiro” pode ser reescrita, de
forma equivalente, como segue: “Se Paulo não é brasileiro, então Paulo não é Paulista”.
2.1 EQUIVALÊNCIAS FUNDAMENTAIS
Apresentamos, a seguir, algumas equivalências lógicas importantes, que merecem atenção por parte
do leitor, e que serão úteis, se memorizadas, à solução de diversas questões de equivalência. Vale lembrar
que cada uma delas poderá ser demonstrada através da construção das tabelas-verdade.
a) Dupla negação: (P)  P
A dupla negação de uma proposição equivale à sua afirmação.
P P (P)
V
F
F
V
V
F
Exemplo:
Sendo a proposição P: Paulo fala espanhol, teremos P : Paulo não fala espanhol. Portanto a
sentença: “Não é verdade que Paulo não fala espanhol” é a negação de P, sendo equivalente à
proposição “Paulo fala espanhol”.
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P  Q  Q  P
P  Q  Q  P
b) Comutativas: 
P  Q   P  Q
P  Q   P  Q
c) Leis de Augustus De Morgan: 
Podemos observar que a negação de uma conjunção (e), ( P  Q), equivale a uma
disjunção(ou) das negações das proposições, P  Q, enquanto que a negação de uma disjunção
equivale a uma conjunção das negações das proposições.
Demonstração: Negação da conjunção
P Q P  Q ( P  Q) P Q P  Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
Exemplos:
1. A negação da afirmação “Paulo é carioca e Matheus é francês” é do ponto de vista lógico,
equivalente a “Paulo não é carioca ou Matheus não é francês.
2. A negação da afirmação “Paulo é carioca ou Matheus é francês” é equivalente a dizer que: Paulo
não é carioca e Matheus não é francês.
d) Condicionais:
Q  P

P  Q  ( P  Q)
P  Q

A equivalência P  Q  Q  P já fora demonstrada anteriormente. Veja na tabela-verdade
abaixo as demais equivalências da condicional.
P Q P Q P  Q ( P  Q) P  Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
Exemplos:
A proposição composta: Se O réu roubou um carro então o réu será condenado equivale a:
Solução: Seja a proposição P: O réu roubou um carro; seja a proposição Q: O réu será condenado,
assim, as equivalências serão:
1. ( P  Q) : Não é verdade que: o réu roubou um carro e não será condenado
2. P  Q : O réu não roubou um carro ou será condenado.
3. Q  P : Se o réu não foi condenado, então o réu não roubou um carro.
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Negação de uma condicional
( P  Q)  P  Q.
A negação de uma proposição condicional, ( P  Q), é dada pela sentença P  Q .
Veja o exemplo de uma questão proposta pela ESAF: “A negação da afirmação condicional: Se
estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva”.
Solução
Representando por P: está chovendo, e por Q: eu levo o guarda-chuva
P  Q : Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
e) Bicondicionais: P  Q  P  Q  Q  P 
A bicondicional é equivalente à conjunção da condicional P  Q com a condicional Q  P. Veja
tabela-verdade abaixo. A bicondicional equivale também à negação de uma disjunção excludente.
P Q P Q
V
V V
F
V F
F
F V
V
F F
P  Q Q  P ( P  Q)  (Q  P)
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
A bicondicional é equivalente à negação da disjunção excludente.
2) DIAGRAMAS LÓGICOS
Algumas expressões lógicas, enunciados categóricos, darão origem a argumentos conhecidos
como silogismos categóricos, cuja validade depende da análise da estrutura interna de enunciados
simples. A fim de preparar o caminho para o estudo mais aprofundado da argumentação lógica,
passaremos a explicar o que se entende por enunciado categórico. Há quatro formas de enunciados
categóricos:
a)
b)
c)
d)
Todo A é B. (universal afirmativa)
Algum A não é B. (existencial ou particular negativa)
Algum A é B. (existencial ou particular afirmativa)
Nenhum A é B. (universal negativa)
Cada enunciado categórico envolve dois termos, um sujeito e um predicado, que se relacionam. Nas
formas básicas acima, A é o sujeito e B é o predicado.
A teoria de conjuntos fornece idéias que podem ser utilizadas para justificar a natureza lógica dos
enunciados categóricos, os quais podem ser associados aos conectivos lógicos já estudados. Passemos à
análise lógica dos enunciados categóricos (quantificadores lógicos).
a) Todo A é B
Está associado à operação de inclusão entre conjuntos, indicando que todos os elementos que
cumprem a condição A, cumprirão a condição B (𝐴 ⊂ 𝐵). Portanto, trata-se de uma condicional lógica, do tipo
Se A, então é B.
Forma lógica: ∀𝑥 (𝐴 𝑥 → 𝐵 𝑥 ), onde o símbolo ∀ significa “para todo”.
Diagrama lógico
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A
B
b) Algum A não é B
Indica que pelo menos um elemento do conjunto A, não pertence ao conjunto B. É a negação do
quantificador “Todo A é B”.
Forma lógica: ∃𝑥 (𝐴 𝑥 ∧  B(x)), o símbolo ∃𝑥 significa “existe x”
Diagrama lógico
c) Algum A é B
Os conjuntos A e B possuem pelo menos um elemento comum.
Forma lógica: ∃𝑥 (𝐴 𝑥 ∧ B(x))
Diagrama lógico
d) Nenhum A é B
Os conjuntos A e B não possuem elementos comuns. É a negação de “Algum A é B”.
Forma lógica:  (∃𝑥)(𝐴 𝑥 ∧ B(x)).
Diagrama lógico
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) (Cesgranrio/2009) A negação da
proposição “Mário é brasileiro ou Maria não
é boliviana” é
(A) Mário não é brasileiro e Maria é
boliviana.
(B) Mário não é brasileiro ou Maria é
boliviana.
(C) Mário não é brasileiro e Maria não é
boliviana.
(D) Mário é brasileiro e Maria não é
boliviana.
(E) Mário é brasileiro ou Maria é boliviana.
2) (Cesgranrio/2009) Considere verdadeira a
seguinte proposição:
“Se x = 3, então x é primo”.
Pode-se concluir que
(A) se x é primo, então x = 3
(B) se x não é primo, então x≠ 3
(C) se x não é primo, então x = 3
(D) se x≠ 3, então x é primo
(E) se x ≠3, então x não é primo
(Cesgranrio) Enunciado para as questões 3 a 5
Proposição é uma sentença declarativa que pode ser
classificada como verdadeira ou falsa. Proposições
simples podem ser associadas por conectivos
formando proposições compostas.
conectivo
∧
∨
→
significado
e
ou
Se ... então
Considere as proposições simples abaixo.
p: “Janaína é irmã de Mariana.”
q: “Mariana é filha única.”
Simbolizam-se por ~p e ~q, respectivamente, as
negações de p e de q.
3) (Cesgranrio/2009) A proposição composta ~ p
∧q corresponde a:
(A) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha
única.
(B) Janaína não é irmã de Mariana e Mariana é
filha única.
(C) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é
filha única.
(D) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana não
é filha única.
(E) Se Janaína não é irmã de Mariana, então
Mariana é filha única.
4) (Cesgranrio) A negação da proposição composta
“Janaína é irmã de Mariana e Mariana não é filha
única” é
(A) se Janaína é irmã de Mariana, então Mariana é
filha única.
(B) se Janaína não é irmã de Mariana, então
Mariana não é filha única.
(C) se Janaína não é irmã de Mariana, então
Mariana é filha única.
(D) Janaína é irmã de Mariana e Mariana é filha
única.
(E) Janaína não é irmã de Mariana ou Mariana é
filha única.
5) (cesgranrio) A proposição composta “Se Janaína é
irmã de Mariana, então Mariana não é filha única” é
equivalente a
(A) q →~ p
(B) q → p
(C) ~ p →q
(D) ~ p →~ q
(E) p →q
6) (Esaf) Maria foi informada por João que Ana é
prima de Beatriz e Carina é prima de Denise.
Como Maria sabe que João sempre mente,
Maria tem certeza que a afirmação é falsa.
Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria
pode concluir que é verdade que:
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é
prima de Denise.
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é
prima de Denise.
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é
prima de Denise.
d) se Ana não é prima de Beatriz, então
Carina é prima de Denise.
e) se Ana não é prima de Beatriz, então
Carina não é prima de Denise.
7) (Esaf Adaptada) Dois colegas estão
tentando resolver um problema de
matemática. Pedro afirma para Paulo que X
= B ou Y = D. Como Paulo sabe que Pedro
sempre mente, então, do ponto de vista
lógico, Paulo pode afirmar corretamente
que:
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a) X ≠ B e Y ≠ D
b) X = B ou Y ≠ D
c) X ≠ B ou Y ≠ D
d) se X ≠ B, então Y ≠ D
e) se X ≠ B, então Y = D
8) (Cespe) Considere a assertiva seguinte,
adaptada da revista comemorativa dos 50
anos da PETROBRÁS.
Se
o governo
brasileiro tivesse
instituído, em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo no território
nacional, a PETROBRÁS teria atingido,
nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir
apresenta uma proposição logicamente
equivalente à assertiva acima.
(1) Se a PETROBRÁS não atingiu a produção
de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio
da importação de petróleo e derivados não
foi instituído pelo governo brasileiro nesse
mesmo ano.
(2) Se o governo brasileiro não instituiu, em
1962, o monopólio da importação de
petróleo e derivados, então a PETROBRÁS
não atingiu, nesse mesmo ano, a produção
de 100 mil barris/dia.
9) (Cespe) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir
são notícias acerca da bacia de CamposRJ, extraídas e adaptadas da revista
comemorativa
dos
50
anos
da
PETROBRÁS.



S1: Foi descoberto óleo no campo de
Garoupa, em 1974.
S2: Foi batido o recorde mundial em
perfuração horizontal, em profundidade de
905 m, no campo de Marlim, em 1995.
S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi
iniciado o Programa de Desenvolvimento
Tecnológico
em
Águas
Profundas
(PROCAP), em 1986.
Quanto às informações das sentenças acima,
julgue os itens subseqüentes.
(1) A negação da união de S1 e S2 pode ser
expressa por: Se não foi descoberto óleo no
campo de Garoupa, em 1974, então não foi
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batido o recorde mundial em perfuração
horizontal, em profundidade de 905 m, no
campo de Marlim, em 1995.
(2) A negação de S3 pode ser expressa por: Não
foi iniciada a produção em Moréia ou não foi
iniciado o Programa de Desenvolvimento
Tecnológico em Águas Profundas (PROCAP),
em 1986.
10) (Cespe) O Teorema
Aritmética afirma que:
Fundamental
da
Se n for um número natural diferente de 1,
então n pode ser decomposto como um
produto de fatores primos, de modo único,
a menos da ordem dos fatores.
Julgue se cada um dos itens subseqüentes
reescreve, de modo correto e equivalente, o
enunciado acima.
(1) É condição suficiente que n seja um número
natural para que n possa ser decomposto
como um produto de fatores primos, de modo
único, a menos da ordem dos fatores.
(2) É condição necessária que n seja um número
natural para que n possa ser decomposto
como um produto de fatores primos, de modo
único, a menos da ordem dos fatores.
(3) Se n não possuir decomposição como um
produto de fatores primos, que seja única, a
menos da ordem dos fatores, então n não é
um número natural diferente de 1.
(4) Ou n não é um número natural diferente de 1,
ou n tem uma decomposição como um produto
de fatores primos, que é única, a menos da
ordem dos fatores.
(5) n é um número natural diferente de 1 se puder
ser decomposto como um produto de fatores
primos, de modo único, a menos da ordem dos
fatores.
11) (Cespe) Proposições das formas A  B ,
A  B
e
são
sempre
B  A
equivalentes. A partir dessa informação e das
definições incluídas no texto, julgue os itens a
seguir.
(1) As proposições “Se Hélio é conselheiro do
TCE/AC, então Hélio é formado em
Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do
TCE/AC ou Hélio é formado em contabilidade”
são equivalentes.
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(2) Considere a seguinte proposição: “Se Antônio
resolver corretamente esta prova, então ele
passará no concurso”. Nessa situação, é
correto concluir que “Se Antônio não resolver
corretamente esta prova, então ele não
passará no concurso”.
(3) Considere a seguinte proposição: “Alice não foi
ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol”.
Dessa proposição, é correto concluir que “Se
Bernardo não foi jogar futebol, então Alice não
foi ao cinema”.
12) (Esaf) “André é artista ou Bernardo não é
engenheiro” é logicamente equivalente a
dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo
não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é
engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é
engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é
artista.
e) André não é artista e Bernardo é
engenheiro
13) (Esaf) A negação da afirmação condicional
“se estiver chovendo, eu levo o guardachuva” é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o
chuva.
b) Não está chovendo e eu levo o
chuva.
c) Não está chovendo e eu não levo o
chuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o
chuva.
e) está chovendo e eu não levo o
chuva.
guardaguardaguardaguardaguarda-
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo
não é paulista.
15) (Cesgranrio/2009) Admita como verdadeiras as
seguintes declarações:
• todo matemático sabe física;
• há médicos que não sabem física.
Com base nestas declarações, é correto concluir
que há
(A) médicos que não são matemáticos.
(B) médicos que são matemáticos.
(C) médicos que sabem física.
(D) físicos que são matemáticos.
(E) físicos que são médicos
16) (Cespe) Pedro, candidato ao cargo de
Escrivão de Polícia Federal, necessitando
adquirir livros para se preparar para o
concurso, utilizou um site de busca da Internet
e pesquisou em uma livraria virtual,
especializada
nas
áreas
de
direito,
administração e economia, que vende livros
nacionais e importados. Nessa livraria, alguns
livros de direito e todos os de administração
fazem parte dos produtos nacionais. Além
disso, não há livro nacional disponível de capa
dura.
Com base nas informações acima, é
possível que Pedro, em sua pesquisa,
tenha
(1) encontrado um livro de administração
de capa dura.
(2) Adquirido dessa livraria um livro de
economia de capa flexível.
(3) Selecionado para compra um livro
nacional de direito de capa dura.
(4) Comprado um livro importado de
direito de capa flexível.
14) (Esaf) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou
Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,
o mesmo que dizer que:
17) (Esaf) A negação da sentença “Nenhuma
pessoa lenta em aprender freqüenta a escola”
é
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é
paulista.
b) Se Paulo é paulista então Pedro é
pedreiro.
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo
não é paulista.
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é
paulista.
a) “Todas as pessoas lentas em aprender
freqüentam esta escola”.
b) “Todas as pessoas lentas em aprender não
freqüentam esta escola”.
c) “Algumas pessoas lentas em aprender
freqüentam esta escola”.
d) “Algumas pessoas lentas em aprender não
freqüentam esta escola”.
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e) “Nenhuma pessoa lenta
freqüenta esta escola.”
em
aprender
18) (Esaf) Em uma comunidade todo trabalhador é
responsável. Todo artista, se não for filósofo,
ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há
filósofo e não há poeta que não seja
responsável.
Portanto,
tem-se
que,
necessariamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Todo responsável é artista.
Todo responsável é filósofo ou poeta.
Todo artista é responsável.
Algum filósofo é poeta.
Algum trabalhador é filósofo.
19) (Esaf) Em uma pequena comunidade, sabese que: “nenhum filósofo é rico” e que
“alguns professores são ricos”. Assim,
pode-se afirmar, corretamente, que nesta
comunidade
a) alguns filósofos são professores
b) alguns professores são filósofos
c) nenhum filósofo é professor
d) alguns professores não são filósofos
e) nenhum professor é filósofo
20) (Esaf) Todas as amigas de Beto são,
também, amigas de Berenice, mas
nenhuma amiga de Berenice é amiga de
Bruna. Todas as amigas de Bia são
também amigas de Bela, e algumas amigas
de Bela são também amigas de Bruna.
Como nenhuma amiga de Bela é amiga de
Berenice, e como Bela, Bia e Bruna não
têm nenhuma amiga em comum, então:
a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga
de Bruna.
b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga
de Bruna.
c) Todas as amigas de Bela são amigas de
Beto.
d) Todas as amigas de Bela são amigas de
Bia.
e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto.
21) (Esaf) Dizer que a afirmação “todos os
economistas são médicos” é falsa, do
ponto de vista lógico, equivale a dizer que a
seguinte afirmação é verdadeira:
a) Pelo menos um economista não é
médico.
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b) Nenhum economista é médico.
c) Nenhum médico é economista.
d) Pelo menos um médico não é
economista.
e) Todos os não médicos são não
economistas.
22) Sabe-se que existe pelo menos um A que é
B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
23) (Esaf) Todos os alunos de matemática são,
também, aluno de inglês, mas nenhum aluno de
inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e
alguns alunos de informática são também
alunos de história. Como nenhum aluno de
informática é aluno de inglês, e como nenhum
aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno
de inglês.
b) Pelo menos um aluno de matemática é
aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de
matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos
de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos
de português.
(Cesgranrio/2009) Considere o enunciado abaixo
para responder às questões de nos 24 e 25.
Uma urna contém 4 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2
bolas azuis. N bolas serão retiradas simultaneamente
dessa urna.
24) (Cesgranrio/2009) Qual o menor valor de N para que
se possa garantir que, entre as retiradas, haja bolas
de cores diferentes?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
8
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25) (Cesgranrio/2009) Qual o menor valor de N para que
se possa garantir que, entre as bolas retiradas, haja
2 de uma mesma cor?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Considere as informações abaixo para responder às
questões de nos 26 e 27.
26) Quantos caminhos diferentes começam no ponto A
e terminam no ponto B?
de canetas e que há pelo menos um objeto de
cada. A quantidade de lápis nesse estojo é igual a
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
30) (Cesgranrio/2009) Tautologias são proposições
compostas cuja tabela-verdade dá sempre
verdadeiro, não importando se as proposições
simples p e q são verdadeiras ou falsas. Na
proposição composta
31) (Cesgranrio/2009)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) mais de 4
27) O maior caminho ligando os pontos B e K tem
quantos segmentos?
(A) 9
(B) 13
(C) 15
(D) 19
(E) 21
28) (Cesgranrio/2009) Uma dada semana terminou em
um sábado, dia 19. É correto afirmar que
certamente esse mês
(A) começou em uma segunda-feira.
(B) começou em uma quarta-feira.
(C) terminou em uma quarta-feira.
(D) terminou em uma quinta-feira.
(E) não terminou em uma sexta-feira.
29) (cesgranrio/2009) Em um estojo, há 8 objetos.
Cada um desses objetos ou é um lápis, ou uma
borracha, ou uma caneta. Sabe-se que a
quantidade de borrachas é o triplo da quantidade
9
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GABARITO
1) A
2) B
3) B
4) E
5) A
6) C
7) A
8) E E
9) E C
10) E E C C E
11) C E C
12) D
13) E
14) A
15) A
16) E C E C
17) C
18) C
19) D
20) E
21) A
22) C
23) C
24) C
25) B
26) D
27) B
28) E
29) C
30) A
31) A
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