Notação Científica

Notação Científica
Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles são uma forma de se escrever números reais
positivoscomo potências de 10. Por exemplo,
, pois
. O logaritmo
decimal é o expoente da base 10.
A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.
Mantissa e Ordem de Grandeza
Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:
Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor
que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.
Exemplos de Números Escritos em Notação
Científica
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número
real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições
deslocadas.
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de
posições deslocadas, será portanto negativa.
Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:
2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.
Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 10 3 como
compensação.
Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:
Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10 -3. Veja que
neste caso a ordem de grandeza é negativa.
Veja o número 1 escrito em notação científica:
Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é
igual a0.
Outros Exemplos de Números Escritos em Notação
Científica
Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e menor
que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro.
Observe que 12,5
notação científica.
.
10 -1 e 4,7
.
10 2,5 são exemplos de números que não estão escritos corretamente em
No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10.
No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro.
Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o
Expoente
Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do
primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte:
Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.
Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.
Como visto acima, 12,5 . 10 -1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a
vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta
em 1,25 . 10 0.
No caso
do número 0,0078
.
10 5 precisamos deslocar a vírgula 3 posições
subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8
.
10 2.
para
a
direita
e
Operações Envolvendo Notação Científica
Adição
Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a
mesma ordem de grandeza.
Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.
Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.
A primeira parcela permanece inalterada:
No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será
deslocada uma posição para direita:
Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.
A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o
mesmo número de posições para a esquerda:
Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 10 3 e multiplicar a potência pelo mesmo valor.
Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza:
Somamos as mantissas:
Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda,
acrescentando também uma unidade ao expoente:
Portanto:
Subtração
Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo possuam a
mesma ordem de grandeza.
Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:
Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração:
Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a
esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente:
Logo:
Multiplicação
A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos:
Então:
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos:
Portanto:
Potenciação
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e
multiplicar a ordem de grandeza também por n.
Realizando os procedimentos indicados temos:
Logo:
Radiciação
Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim
podermos realizar a retirada do radical.
Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos
adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação:
Então:
Comparação de Números em Notação
Científica
Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior:
1,5 . 10 4 é maior que 3,2 . 10 2, mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua
ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2.
8,7 . 10 -3 é menor que 5,3 . 10 -2, ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque
a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2.
Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa:
Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 2,45
possui a menor mantissa.
.
10 5 é o menor deles, pois é o que
Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 4,5456 . 10 3 é o maior dos dois, pois é o que
tem a maior mantissa.
Nem é preciso dizer que quando tanto a mantissa, quanto a ordem de grandeza forem iguais, os números
também serão iguais:
Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais.
Conversão da Notação Científica para a
Notação Decimal
Realizamos tal conversão simplesmente deslocando a vírgula da mantissa para a direita ou para esquerda,
em função da ordem de grandeza ser respectivamente positiva ou negativa.
Como neste exemplo a ordem de grandeza é positiva, devemos deslocar a vírgula 3 posições para
a direita e eliminar a potência:
Neste outro exemplo a ordem de grandeza é negativa, devemos então deslocar a vírgula 2 posições para
aesquerda eliminando a potência: