F - Estruturas.UFPR

Objetivos
MECÂNICA - DINÂMICA
Cinética Plana de uma
Partícula: Força e Aceleração
Cap. 13
Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e
Atração Gravitacional e definir massa e peso
Analisar o movimento acelerado de uma partícula
utilizando a equação de movimento escrita em
diferentes sistemas de coordenadas
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial
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13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial
Seja uma partícula movendo-se ao longo de uma
trajetória curva conhecida
∑Fu + ∑F u + ∑F u
t
Direção binormal: não há movimento
do ponto material na direção
binormal, pois o movimento se
restringe à trajetória.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
t
n
∑ F = ma
∑ F = ma
∑ F = ma
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13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial
Obs.: Quando o movimento do ponto material é restrito
a uma trajetória circular com velocidade escalar
constante, há uma força normal sobre ele causada
pela restrição a fim de alterar a direção da velocidade
(mas não o seu módulo). Por ser sempre voltada para
o centro da trajetória circular, essa força é
denominada força centrípeta.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
at = v
∑ F = ma
∑ F = ma
t
t
n
n
b
b
n
b
b
an =
v2
ρ
= m ( at ut + anu n )
= m ( 0) = 0
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 13.3
O carrinho de bagagem A de peso 900 lb reboca dois reboques B
de 550 lb, e C de 325 lb. A força de atrito na roda do carrinho é
FA=(40t) lb, onde t é dado em segundos. Considere que a força
de atrito é a força que comunica uma aceleração ao carrinho. Se
o carrinho parte do repouso, determine sua velocidade em 2
segundos. Qual o valor da força atuante no acoplamento entre o
carrinho e o reboque B nesse instante. Despreze o tamanho do
carrinho e reboques.
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 13.3 - Solução
Exemplo 13.3 - Solução
A força de atrito é a que comunica uma aceleração ao
carrinho e os reboques.
Equações de movimento do conjunto (há apenas movimento na
direção horizontal)
Diagrama de corpo livre
∑F
x
= max
 900 + 550 + 325 
40t = 
a
32, 2


a = 0, 7256t
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 13.3 - Solução
∫
v
0
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 13.3 - Solução
Diagrama de corpo livre para o carrinho, de modo que
podemos expor a força de acoplamento T
Cinemática do conjunto – Velocidade em 2 s
a=
a
dv
∴ dv = adt
dt
dv =
∫
2
0
0, 72563tdt
2
v =  0 , 362 82 t 2  ∴ v = 1, 45 ft /s
0
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Exemplo 13.3 - Solução
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Problema 13.11
O bote de 800lb parte do repouso e escorrega pela calha inclinada
Equações de movimento do carrinho
a
entrando na piscina. Se a força de atrito na calha é FR = 30lb e na
piscina, FRP = 80lb, determine a velocidade do bote quando s = 5 pés.
∑F
x
= max
 900 
40 t − T = 
 (0, 72563t )
 32, 2 
40(2) − T = 27, 950(0, 72563(2))
T = 39, 4 lb
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Problema 13.11 - Solução
Problema 13.11 - Solução
Na piscina:
∑ F = ma
Velocidade na piscina:
v22 = v12 + 2 as
 800 
− FRP = 
a
 32, 2 
80
a=−
24, 845
v2 =
v12 + 2 ( − 3, 22 ) 5
FRP
FRP
a = -3, 22 ∴ a = − 3, 22 pés/s 2
S
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Problema 13.11 - Solução
Problema 13.11 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinemático
a = 21, 561 pés/s 2
 100 
 = 45 °
 100 
α = tg − 1 
Aceleração na calha:
Velocidade no final da calha:
∑ F = ma
v12 = v02 + 2 a ∆ x
P cos 45° − FR = ma
 800 
800 cos 45° − 30 = 
a
 32, 2  v
a = 21, 561 pés/s 2
v12 = 0 2 + 2 ( 21, 561) 100 2 + 100 2
a
v1 =
45o
α
N
v1 = 78, 092
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Problema 13.11 - Solução
v22 = v12 + 2 as
78, 092 2 + 2 ( − 3, 2200 ) 5
v2 =
6066, 2
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O disco D de 3 kg é fixo na extremidade da corda. A outra extremidade é fixa
no centro da plataforma. A plataforma gira rapidamente e o disco é colocado
sobre ela em repouso. Determine o tempo necessário para romper a corda.
A tração máxima suportada pela corda é 100 N e o coeficiente de atrito cinético
entre o disco e a plataforma é 0,1.
Velocidade na piscina:
v2 =
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
Exemplo 13.7
v = 78, 092 pés/s
v12 + 2 ( − 3, 22 ) 5
6098, 4
800lb
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
v2 =
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FRP
S
v2 = 77, 9 pés/s
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Exemplo 13.7 - Solução
Exemplo 13.7 - Solução
Equações de equilíbrio dinâmico do disco:
Diagrama de corpo livre do disco
∑ F = ma ∴ 0,1N
t
Peso do disco:
W = 3(9,81) = 29, 430 N
t
∑F
b
D
= 3at ∴ at =
0,1N D
3
= mab = m ( 0 ) = 0 ∴ N D − 29, 430 = 0
N D = 29, 430 N
at =
0,1( 29, 43)
3
∴ at = 0,981 m/s
2
3 kg
v 
= man ∴ T = 3  
1
para T = 100 N:
∑F
2
n
v 2 
100 = 3  cr  ∴ v cr = 5, 7735 m/s
 1 
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 13.7 - Solução
Equações da cinemática do disco (a = constante)
v cr = v0 + at t
5, 7735 = 0 + (0, 981)t
t = 5,89 s
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