UFRGS - PAG2 Cálculo - MAT01353 - 2013/1 Lista 8

UFRGS - PAG2 Cálculo - MAT01353 - 2013/1
Lista 8 - 08/06/2013 - Soluções
1.a
3
x3 5x2 1 5
32
45
x − 5x dx =
−
− − −
= −
= 9−
3
2 −1
2
3 2
3
−1
3
Z
2
1.b
Z
2
√
0
2
p
√
(4x + 1)3
+2 x+2 6
0
√
√
1
25 − 6 2
9
+4 −
+2 2 =
=
2
6
3
1
dx =
4x + 1 + √
x+2
1.c
Z
0
3
1
x2 e
x3
ex
dx =
3
1
e 1
e−1
−
=
=
3 3
3
0
1.d
Z
0
6
√
p
(x2 + 64)3
x x2 + 64 dx =
3
6
1000 512
488
−
=
=
3
3
3
0
1.e
ln(5e) 1
ln|4x + e| e
ln5
1
=
dx =
−
=
4x + e
4
4
4
4
0
e
Z
0
1.f
π/3
Z
π/4
sec2 x
dx = ln| tan x|
tan x
π/3
√
√
= ln 3 − ln1 = ln 3
π/4
√
A Figura 1 mostra a região englobada pelas curvas 2y = x2 e y = 2x. Como podemos
observar, as curvas se interceptam em x = 0 e x = 2. Estes pontos de intersecção podem ser
2
x2
obtidos analiticamente resolvendo a equação
=
2
pode ser obtida como segue:
Z
A(R) =
0
2
√
√
√
x2
2 2x3 x3
2x −
dx =
−
2
3
6
1
2x. Portanto a área da região R, A(R),
2
8 4
4
−
−0 =
u.a.
=
3 3
3
0
Figura 1: Região englobada pelas curvas 2y = x2 e y =
√
2x.
A Figura 2 mostra a região englobada pelas curvas y = e2x , y = −ex , x = 0 e x = ln4.
Portanto a área da região R, A(R), pode ser obtida como segue:
3
Z ln4
A(R) =
2x
e
0
ln4
1
21
e2x
x +e = (8 + 4) −
+1 =
u.a.
+ e dx =
2
2
2
0
x
Figura 2: Região englobada pelas curvas y = e2x , y = −ex , x = 0 e x = ln4.
2
A Figura 3 mostra a região englobada pelas curvas y = x + 2 sin x, y = 0, x = 0 e
4π
. Como não é solicitado o esboço da região, a área pode ser calculada observando que
x=
3
x + 2 sin x > 0 sempre que x > 0, logo limitar a região da forma como foi solicitado implica
que a área da região R, A(R), pode ser obtida como segue:
4
Z
4π/3
A(R) =
0
4π/3
2
x2
8π
8π 2 + 27
x + 2 sin x dx =
− 2 cos x =
+ 1 − (0 − 2) =
u.a.
2
9
9
0
Portanto A(R) > 5
Figura 3: Região englobada pelas curvas y = x + 2 sin x, y = 0, x = 0 e x =
4π
.
3
5.a
2
x3
x2 x + 1 − x dx =
+x−
3
2 −1
−1
1
1
9
8
=
+2−2 − − −1−
=
u.a.
3
3
2
2
Z
A(R1 ) =
2
2
Repare que a intersecção das curvas no primeiro quadrante parece acontecer em x = 2.
Como a gura não indica isso explicitamente, o ponto de intersecção deve ser conrmado
5.b
x2
resolvendo a equação
= 4 − x, que conrma que x = 2 é de fato um ponto de intersecção
2
das curvas. Portanto a área da região R2 , A(R2 ), pode ser obtida como segue:
Z
A(R2 ) =
0
2
2
x2
x2 x3 4
14
4−x−
dx = 4x −
−
= 8−2−
−0 =
u.a.
2
2
6 0
3
3
3