Lista 04 - Pontos notáveis de um triângulo e polígonos convexos

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Professor • Valdir
Aluno (a): _______________________________________________
01. (CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo
qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior,
conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os
mesmos são citados.
a) O baricentro e o ortocentro.
b) O baricentro e o incentro.
c) O circuncentro e o incentro.
d) O circuncentro e o ortocentro.
e) O incentro e o ortocentro.
02. (UEM) Considere ABC um triângulo inscrito em uma
semicircunferência de diâmetro BC cuja medida do ângulo C é 20°.
Determine a medida, em graus, do ângulo formado pela altura e pela
mediana relativas ao lado BC.
03. (Unesp) Sejam A, B, C pontos distintos no interior de um círculo,
sendo C o centro dele. Se construirmos um triângulo inscrito no
círculo com um lado passando por A, outro por B e outro por C,
podemos afirmar que este triângulo:
a) é acutângulo.
b) é retângulo.
c) é obtusângulo.
d) é não isósceles.
e) pode ser equilátero.
e) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio 1
cm.
10. Na figura, ABCD é um quadrado de 6 cm de lado, M é o ponto
médio do lado DC e A é o ponto médio de PC. A medida, em
centímetros, do segmento AN é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. Na figura a seguir, a circunferência tangencia o lado BC no ponto
P, o lado AC no ponto Q e o lado AB no ponto S. O segmento de reta
CR é bissetriz do ângulo A Ĉ B. Sabe-se que AR = 7 cm, AQ = 6 cm, CP
= 3 cm. Determine o comprimento do segmento de reta BP.
C
P
04. Considere um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC
medindo 12 cm. Determine a distância entre o baricentro e o
ortocentro do triângulo ABC.
05. (FUVEST) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5,
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a
ˆ e CN é a altura relativa ao lado AB.
bissetriz relativa ao ângulo ACB
Determinar o comprimento de MN.
06. (Valdir) Seja ABC um triângulo retângulo em B. BH a altura
relativa ao lado AC e BS a bissetriz do ângulo HBC sendo S um ponto
do segmento HC. Se os lados AB e BC medem, respectivamente, 6 cm
e 8 cm, calcule o comprimento de BS.
a)
8 5
5
b)
10 5
5
c)
12 5
5
d)
12 3
3
e)
10 5
3
07. (UFPI) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC
medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de
encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e
MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
a) 10/9
b) 9/8
c) 7/6
d) 4/3
e) 7/5
08. (UEFS BA) Na figura em evidência, ABC é um triângulo equilátero
de 12 cm de lado. Além disso, M é o ponto médio de AC e BE = 12cm.
A
Assim, a medida do segmento BN, em cm, é igual a
a) 2
b) 3
M
N
c) 4
d) 5
e) 6
E
B
C
09. (FGV-SP) A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A e
B, e dista 10 km da cidade C. Em um mapa rodoviário de escala
1:100.000, a localização das cidades A, B, C e D mostra que as cidades
A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a cidade D está localizada
na intersecção entre:
a) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 10 cm.
b) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 1 cm.
c) as circunferências de raio 10 cm e centros A, B e C.
d) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio
10 cm.
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23/08/2013
Matemática
Q
A
S
B
R
12. (FGV) Analise as instruções a seguir:
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a construção de um
pentágono regular, então o menor valor positivo de x.y é igual a:
a) 144
b) 162
c) 216
d) 288
e) 324
13. O polígono regular ABCDE... da figura a seguir mostra que duas
diagonais BD e BE formam um ângulo de 20°. Determine o número
A
B
de diagonais do polígono.
C
20°
D
E
14. (UEL) Em um heptágono convexo, seis de seus ângulos internos
medem 120°, 150°, 130°, 140°, 100° e 140°. A medida do sétimo
ângulo é
a) 110°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
15. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a
soma de n-1 ângulos internos do polígono é 2004°, determine o
número n de lados do polígono.
16. (UDESC) Considere um polígono convexo de seis lados. Sabendo
que as medidas dos ângulos internos desse polígono formam uma
P.A., e que a proporção entre o menor ângulo e a razão desta
progressão é igual a 15/2, é correto afirmar que:
a) o menor ângulo mede aproximadamente 34°.
b) o menor ângulo mede 90°.
c) o menor ângulo mede aproximadamente 6°.
d) este polígono é regular.
e) não é possível construir um polígono convexo de 6 lados com
estas características.
17. (UESPI) Um decágono tem vértices em uma circunferência. Se
não existem três diagonais do decágono que se interceptam no
1
mesmo ponto, determine quantos são os pontos de interseção das
diagonais deste decágono.
a) 205
b) 210
c) 215
d) 220
e) 225
18. (UFMT) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja
eqüidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos
não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno.
Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o
a) centro da circunferência que passa por A, B e C.
b) baricentro do triângulo ABC.
c) ponto médio do segmento BC.
d) ponto médio do segmento AB.
e) ponto médio do segmento AC.
19. (Valdir) Em um polígono convexo regular de n lados, chamamos
de corda qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices. Se
o polígono regular tem número par de vértices, a probabilidade de
que uma corda, escolhida ao acaso, seja uma diagonal que não passa
pelo seu centro é:
n-6
n- 5
n- 4
a) 1/2
b)
c)
d)
e) 1
n-1
n-1
n-1
20. (UEPB) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um
polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígono é o:
a) heptágono
b) pentágono
c) hexágono
d) octógono
e) eneágono
21. (UEM PR) Seja k ∈ N * . Se o número de diagonais de um
polígono convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto
afirmar que o número de lados do polígono é
a) 3k + 2 .
b) 2k – 3 .
c) k.
d) 3k – 2 .
e) 2k + 3.
22. (Valdir) Selecionando-se aleatoriamente três vértices de um
decágono regular, a probabilidade de que eles sejam vértices de um
triângulo retângulo é igual a:
a) 1/3
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/7
e) 3/7
23.(UEL PR/2010) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura
seguinte, onde seis de seus ângulos internos medem 120°, 150°,
T
130°, 140°, 100° e 140°. A medida
do sétimo ângulo é
a) 110°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
24. (UEPG) Considere três polígonos regulares A, B e C tais que os
números que expressam a quantidade de lados de cada um deles
constituam uma progressão aritmética. Considerando que a soma
desses três números é igual a 24 e que a soma dos ângulos internos
do polígono A, que tem o maior número de lados, é 1620°, assinale o
que for correto.
a) Cada ângulo externo do polígono C mede 108°.
b) Cada ângulo externo do polígono B mede 45°.
c) O polígono A tem 20 diagonais.
d) O polígono C é um hexágono.
e) Cada ângulo interno do polígono A mede mais que 150°.
25. (UNIFOR) Os lados de um octógono regular são prolongados até
que se obtenha uma estrela. A soma das medidas dos ângulos
internos dos vértices dessa estrela é
a) 180.
b) 360.
c) 540.
d) 720.
e) 900.
26. (ESPM) Se o número de lados de um polígono convexo fosse
acrescido de 3 unidades, seu número de diagonais triplicaria. Então, a
soma dos ângulos internos desse polígono é igual a:
a) 720°
b) 900°
c) 1080°
d) 1200°
27. Dado o triângulo ABC cujos lados medem AB = 10 cm e AC = 8 cm.
Seja AS o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência
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inscrita no triângulo ABC, sendo S ponto do lado BC. Se a área do
2
2
triângulo ACS mede 20 cm , então a área do triângulo ABC, em cm ,
mede:
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
28. (UFMS) Um ângulo interno de um polígono regular mede 160°.
Determine o número de diagonais desse polígono.
29. Cerâmicas pentagonais regulares foram usadas para compor o
piso de uma sala, como mostra a figura a seguir. Observa-se que, ao
compor o piso, entre as peças justapostas aparece um espaço vazio
na forma de um estrela de cinco pontas chamada pentagrama.
Considerando a figura e as informações do texto, determine:
a) A medida do ângulo θ de cada ponta da estrela.
b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela sabendo-se
que o lado da cerâmica pentagonal é 10 cm e cos 108°= - 0,3.
θθ
30. (UEPG) Três polígonos regulares A, B, e C, tem números de lados,
respectivamente, a, b, c, onde a > b > c. Sabendo-se que a, b e c estão
em progressão aritmética de razão 2 e que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é 3.240°, é incorreto afirmar que:
a) O polígono A tem 35 diagonais.
b) O número de diagonais do polígono C é maior que 10.
c) A soma dos ângulos internos do polígono C é 720°.
d) Cada ângulo externo do polígono A mede 36°.
e) Cada ângulo interno do polígono B mede 135°.
31. (UNIFESP) A soma de n–1 ângulos internos de um polígono
convexo de n lados é 1900°. O ângulo remanescente mede
a) 120°.
b) 105°.
c) 95°.
d) 80°.
e) 60°.
32. (UNIOESTE PR) Um pentagrama é uma figura que pode ser
construída por uma linha fechada única entrelaçada, sendo
considerado símbolo da perfeição. O nome pentagrama se dá em
virtude da formação de um pentágono regular no seu interior,
conforme ilustra a figura a seguir. Com base nestas informações
pode-se afirmar que a medida do ângulo α é
a) 18°.
b) 30°.
c) 36°.
d) 54°.
e) 72°.
33) (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E do
pentagrama da figura é igual a:
a) 90°
b) 120°
c) 150°
d) 180°
d) 240°
ˆ mede
34. (Valdir) ABCDE... é um polígono regular e o ângulo BCE
153°. Traçando todas as diagonais do polígono e escolhendo uma
delas ao acaso, determine a probabilidade de que a diagonal passe
pelo centro do polígono.
01. D
02. 50
03. B
04. 4 cm
05.11/30
06. 12 5/5
11. 15 cm
16. B
21. E
07. D
12. C
17. B
22. C
08. C
13. 27
18. A
23. B
09. A
14. B
19. D
24. B
10. B
15. 14
20. A
25. D
26. A
30. B
27. B
31. D
28. 135
32. C
33. D
29. A) 36°; b) 2 65
34. 1/17
35. 36°
2