flambagem térmica de chapas retangulares com degraus de

FLAMBAGEM TÉRMICA DE CHAPAS RETANGULARES COM DEGRAUS
DE ESPESSURA UNIFORMEMENTE AQUECIDAS
Caio de Oliveira Alves
Projeto Final de Graduação apresentado ao
Departamento de Engenharia Naval e Oceânica,
Escola de Engenharia, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do diploma de Engenheiro
Naval.
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Rio de Janeiro
Março de 2015
FLAMBAGEM TÉRMICA DE CHAPAS RETANGULARES COM DEGRAUS DE
ESPESSURA UNIFORMEMENTE AQUECIDAS
Caio de Oliveira Alves
PROJETO FINAL SUBMETIDO À BANCA APROVADA PELO COLEGIADO DO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA – ESCOLA POLITÉCNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE ENGENHEIRO NAVAL.
Aprovado por:
_____________________________________________
Murilo Augusto Vaz, Ph.D.
_____________________________________________
Júlio César Ramalho Cyrino, D.Sc.
_____________________________________________
Marcelo Igor Lourenço de Souza, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2015
1
Agradecimentos
Existe uma série de pessoas que, sem as quais, eu não estaria hoje onde estou,
realizando esse estudo e me tornando engenheiro naval. Esse agradecimento vai à essas pessoas.
Primeiramente, minha família, que sempre me apoiou e me proporcionou todas as
condições para que eu estudasse e me instruísse, visando sempre meu crescimento pessoal.
Reconheço que nada seria possível sem eles e sou muito grato por isso.
Em segundo, a todos os professores que já me passaram algum conhecimento. Em
especial ao meu orientador, Murilo, que sempre foi muito presente, desde o ínicio de nosso
trajeto, com muita paciência, vontade de ensinar e palavras de motivação. Ensinar não é uma
tarefa simples, principalmente quando o nível do conteúdo passado é elevado desta forma, e são
poucas as pessoas que o fazem com essa segurança e eficácia.
Por último, a todos os meus amigos que fiz na faculdade e contribuíram de alguma
forma para minha graduação. E um agradecimento em especial aos poucos e bons, que a vida
me deu, e que guardarei pra sempre comigo.
2
Resumo do Projeto Final apresentado ao Departamento de Engenharia Naval e Oceânica –
Escola Politécnica / UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Diploma de
Engenheiro Naval.
FLAMBAGEM TÉRMICA DE CHAPAS RETANGULARES COM DEGRAUS DE
ESPESSURA UNIFORMEMENTE AQUECIDAS
Caio de Oliveira Alves
Março/2015
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Departamento: Engenharia Naval e Oceânica
Na engenharia, desde que o aço começou a ser largamente utilizado, chapas metálicas se
tornaram componentes estruturais importantíssimos em equipamentos e sistemas mecânicos.
Existe uma grande preocupação com o projeto destes sistemas com relação a segurança e
redução de gastos, e isso está diretamente relacionado ao dimensionamento eficiente desses
elementos estruturais.
Chapas devem ser projetadas para resistir aos esforços solicitantes à estrutura sem que
haja nenhuma falha, comprometendo a integridade do sistema. Um modo comum de falha é a
flambagem, quando a estrutura perde sua estabilidade no plano quando a carga axial que ela
sustenta ultrapassa um certo valor crítico.
Além do problema mecânico, existe também a preocupação com a parte térmica.
Quando um elemento estrutural é aquecido, ele tende a expandir. Porém alguns apoios em suas
extremidades não permitem essa expansão, gerando tensões compressívas internas no elemento.
Se essas tensões internas forem suficientemente altas, pode gerar a falha da estrutura por
flambagem térmica
O objetivo deste trabalho é determinar a variação de temperatura crítica de flambagem
de chapas retangulares com degraus de espessura que sofrem variações uniformes de
temperatura, além de explicar detalhadamente a obtenção destas soluções analíticas.
3
Índice
1.
Introdução ............................................................................................................................. 5
2.
Revisão Histórica e Bibliográfica ......................................................................................... 9
3.
Vibração e Flambagem Mecânica ....................................................................................... 10
4.
Cargas Térmicas .................................................................................................................. 17
4.1.
Cargas Térmicas em Vigas .......................................................................................... 18
4.2.
Cargas Térmicas em Chapas ....................................................................................... 19
5.
Algorítimo Para Obtenção da Temperatura Crítica ............................................................. 22
6.
Resultados ........................................................................................................................... 24
6.1.
Comparação do Resultado Analítico com Soluções Simplificadas ............................. 27
7.
Conclusão ............................................................................................................................ 28
8.
Referências Bibliográficas .................................................................................................. 30
4
1. Introdução
Chapas de aço e outros materiais são utilizadas largamente em diversas áreas da engenharia,
seja na construção de equipamentos de alta tecnologia e precisão, ou em obras enormes como
estruturas navais e civis. O comportamento mecânico dessas chapas sob as mais diversas
condições é estudado de maneira a garantir um funcionamento seguro da estrutura ou
equipamento, assim como baratear custos de contrução, manutenção e reparo.
Na engenharia naval, o estudo de chapas reforçadas com perfis de viga é fundamental. Um
navio é construído a partir de uma grande coleção de painéis reforçados e grandes vigas
primárias, no fundo da embarcação, costado e em todos os convéses. Portanto, a compreensão
do comportamento mecânico de chapas é inerente à construção naval. A figura 1 mostra um
exemplo de porão de mineraleiro, onde pode-se ver a estrutura composta de painéis reforçados.
Figura 1. Modelo 3D de porão de carga de navio mineraleiro (Brotto e Carvalho, 2011 [1])
Recentemente, com o avanço da indústria offshore e, consequentemente, das
tecnologias envolvidas na fabricação das embarcações, unidades de produção e equipamentos
que compõem esses sistemas, uma preocupação cada vez maior com essas chapas é necessária.
Em obras de altíssimo custo, a redução de custos é fundamental, porém, sem comprometer a
integridade dos equipamentos, o que resultaria em gastos adicionais, e principalmente, sem
comprometer a segurança dos trabalhadores a bordo das unidades. Portanto, a motivação para
melhor entender o comportamento de chapas e para o desenvolvimento de modelos que
analisem com maior fidelidade à realidade está sempre presente.
Chapas podem falhar de diversas formas. Os modos mais comuns são: por escoamento,
quando a tensão interna na chapa ultrapassa a tensão de escoamento do material que ela é feita,
o que acontece, na maioria dos casos, devido a cargas axiais trativas ou a cargas laterais (como
por exemplo, comuns na engenharia naval, a pressão hidrostática exercida pela água nas chapas
submersas do navio); ou por instabilidade em algum plano, a flambagem, que acontece devido à
cargas axiais compressivas e torcionais, na maioria das vezes.
5
O estudo desse trabalho será feito sobre esse segundo modo de falha apresentado, a
flambagem, que é um modo muito estudado, mas ainda assim, existe muito o que se aprimorar
no entendimento e na confecção de modelos que representem com fidelidade esse problema,
devido aos inúmeros elementos que influenciam no fenômeno.
Navios estão sujeitos a extensas ondas em alto mar cujos comprimentos são da ordem
do comprimento da própria embarcação. Isso significa que o navio passa por situações onde sua
estrutura não está uniformemente apoiada pelas forças de empuxo. Quando sua meia nau passa
pela crista ou pelo cavado de uma dessas ondas, como ilustrado na figura 2, aparecem grandes
momentos fletores ao longo de seu comprimento, momentos de tosamento e alquebramento, o
que gera cargas significativas nos chapeamentos do fundo e do convés.
Figura 2. Navio nas condições de a) Alquebramento , b) Tosamento
Essas cargas na estrutura podem resultar na falha do chapeamento por flambagem
global do painel, por torção do reforçador, local do reforçador ou a flambagem do chapeamento
entre os reforçadores. A figura 3 ilustra tipos de flambagem do painel.
Figura 3. Flambagem de painéis [2]
O estudo desse tipo de falha é um tema complexo, quando incorporados nas relações
todos os elementos que influenciam o fenômeno. Porém, muitas aproximações e hipóteses
podem ser feitas para se ter uma idéia do resultado esperado. A resposta da chapa real nunca
será igual a resposta obtida pelo modelo devido a essas aproximações, mas é possivel se ter uma
boa noção do comportamento da estrutura.
6
Modelos que estão sendo desenvolvidos partem de definições onde a chapa tem uma
geometria ideal, seja ela retangular, circular ou alguma figura regular. Geralmente são
compostos de materiais uniformes, cujas propriedades não se alteram ao longo da chapa. Alguns
modelos consideram as propriedades do material como funções da temperatura, outros não.
Assim como o modo de flambagem, sendo traduzido como uma senóide. Uma série de
suposições podem ser feitas para tornar o problema mais simples de ser resolvido
analiticamente.
Quando a carga axial que a chapa está suportando ultrapassa um certo valor, a chapa
falha por flambagem. Portanto, chamamos esse valor de Carga Crítica de Flambagem e é esse o
resultado que procuramos achar em análises desse tipo. Esse valor crítico depende de uma série
de fatores como a geometria da placa, as propriedades do material e as condições de contorno,
onde uma chapa pode estar engastada em suas extremidades, simplesmente apoiada, livre ou
uma combinação destas.
Esse, porém, é apenas o problema mecânico. Temos também um problema térmico
muito comum, onde essas cargas axiais são resultado de expansões térmicas na chapa. Devido
às restrições nas extremidades, que não deixam a chapa se expandir livremente, tensões vão
sendo acumuladas e, dependendo das condições do equipamento e do aquecimento, essas
tensões podem se aproximar do valor crítico mencionado anteriormente. Por isso, encontram-se
diversos estudos abordando essa preocupação. A figura 4 mostra uma viga engastada nas duas
extremidades e sujeita a um aquecimento uniforme. As linhas sólidas mostram a viga antes do
aquecimento, sem tensões internas, já as linhas pontilhadas mostram a viga após o aquecimento
e a flambagem.
Figura 4. Flambagem térmica de viga
Em equipamentos que suportam altas temperaturas, estruturas que sofrem grandes
aquecimentos, seja na operação, no reparo ou até mesmo na construção, essa possibilidade deve
ser levada em consideração a fim de evitar indesejados danos. Exemplos comuns de projetos
que se preocupam com o fenômeno são estruturas aeroespaciais, que enfrentam altíssimas
temperaturas devido á reentrada na atmosfera. Estruturas de reatores nucleares também são
projetos onde os efeitos desse fenômeno são muito significativos.
7
Já na engenharia naval, temos muitas ocorrências desse tipo de falha. Tanto na
operação, em equipamentos que funcionam em altas temperaturas, como a saída dos
queimadores em unidades de produção de petróleo. No reparo de certas estruturas menos
robustas, onde o calor concentrado do procedimento de soldagem pode levar a essa falha de
alguns perfís. E até mesmo em situações fora do perfil operacional, como situações de incêndio
ou explosões, onde os projetistas devem prever e garantir a integridade da estrutura, e
consequentemente, a segurança da tripulação a bordo. Um exemplo de incêndio a bordo de um
navio é ilustrado na figura 5.
Figura 5. Incêndio a bordo de navio [3]
Lembrando que a maior parte dos estudos realizados são simplificados para geometrias
ideais de chapas, com larguras exatas e espessuras constantes, temos discrepâncias entre os
resultados obtidos pelos modelos analíticos e o caso real, onde é impossível termos uma chapa
com parâmetros geométricos perfeitamente definidos. Assim que são produzidas, elas têm certas
imperfeições, ligeiras curvaturas e variações de espessura ao longo de sua extensão, que são
reduzidas pelo controle de qualidade da usina mas nunca serão completamente eliminadas. E
essas imperfeições pioram drasticamente com o tempo devido a impactos, deformações na
construção e, principalmente na área naval, corrosão. Portanto, é importante um modelo que
consiga receber essas informações e entregar um resultado mais próximo da realidade.
A fim de aumentar o grau de refinamento do modelo analítico estudado nesse trabalho,
adotou-se a solução analítica para a flambagem térmica de chapas com a espessura variando de
forma discreta ao longo do comprimento da chapa, como degraus. Dessa forma, pode-se melhor
modelar a geometria de chapas reais, com imperfeições ou atacadas pela corrosão, e descobrir a
temperatura crítica que leva à falha por flambagem.
O material utilizado para o estudo de resultados é o aço comercial, porém, o modelo
desenvolvido pode ser aplicado para qualquer tipo de material, desde que suas propriedades não
se alterem significativamente com o aumento da temperatura, uma suposição adotada no estudo
deste modelo.
8
O trabalho foi elaborado da seguinte forma: primeiramente, foi levantada uma revisão
histórica sobre o assunto e as contribuições mais significativas até agora na literatura e os
principais estudos utilizados como referência. Em segundo, serão abordados os principais
conceitos sobre flambagem mecânica e o desenvolvimento detalhado da solução analítica para
chapas com degraus de espessura e as possíveis condições de contorno. A próxima etapa
consiste em um estudo do problema termomecânico, onde serão desenvolvidos os efeitos da
variação térmica nas cargas axiais sofridas pela placa e, por fim, foram gerados uma série de
resultados para diversas chapas diferentes a fim de se estudar o comportamento desse fenômeno
com a variação dos parâmetros envolvidos. Procurou-se deixar bem claro o desenvolvimento
das relações matemáticas ao longo do processo e a apresentação dos resultados para que a
conclusão seja o mais intuitiva possível.
2. Revisão Histórica e Bibliográfica
De modo a começar o estudo do assunto, é necessário uma revisão histórica e
bibliográfica abrangendo os mais importantes artigos e trabalhos literários que estão
disponíveis, principalmente para assuntos que não são cobertos no curso natural de uma
graduação. É necessário estar familiarizado com os termos, equações gorvernantes e referências
clássicas de modo que a compreensão do assunto se dê de uma forma mais natural e intuitiva.
Primeiramente, é fundamental o estudo de deformação lateral e vibração de membranas
e chapas. O livro “Ship Structural Design: A Rationally-based, Computer-aided, Optimization
Approach” (Hughes, 2005) [4] cobre diversos assuntos sobre o tema, como a teoria de pequenas
deflexões, a derivação da equação de governo e a teoria para grandes deflexões, incluindo os
efeitos de cargas axiais e cargas laterais. É um grande ponto de partida para se situar no assunto.
Para a solução exata da flambagem mecânica de chapas, temos algumas contribuições
importantíssimas para o estudo. Em 1823, Navier [5], utilizando uma série geométrica dupla
que satisfizesse as condições de contorno, obteve a solução exata para a deformação de uma
chapa rectangular com todas as bordas simplesmente apoiadas.
Já em 1899, Levy [6] desenvolveu um método para resolver o problema de deformação
de uma chapa retangular com duas extremidades opostas simplesmente apoiadas e as outras
duas com qualquer combinação de apoios, utilizando uma única série de Fourier. Esse método é
muito importante para o estudo pois é utilizado na parte mecânica do problema.
9
Ao longo dos anos, muitos autores vêm contribuindo com soluções analíticas para o
problema de chapas com variação de espessura. Wittrick e Ellen [7] desenvolveram em 1962
um método para solução de chapas com variação linear da espessura, ao longo de uma direção.
Já Pines e Gerard [8] levaram em consideração uma variação de espessura não-linear ao longo
de uma direção e, Olhoff [9], ao longo das duas direções.
Uma grande influência para esse estudo foi o artigo de Xiang e Wang [10], que aborda o
problema de vibração e flambagem de chapas com variação de espessura de forma discreta,
como degraus, utilizando o método de Levy.
De modo a agregar um maior conhecimento sobre deformações térmicas e tensões
internas, um autor muito estudado foi Jones [11, 12]. Em seus artigos publicados no AIAA, em
2004 e 2005 respectivamente, Jones cobre a flambagem térmica plástica de vigas e chapas
retangulares sob aquecimento uniforme. A teoria básica sobre as tensões geradas em estruturas
devido o aquecimento é muito bem explicada por ele e foi fundamental para o entendimento do
assunto como um todo.
3. Vibração e Flambagem Mecânica
O problema puramente mecânico, como estudado por Xiang e Wang (2008) [10], é dado
da seguinte forma. Considere a seguinte chapa isotrópica, elástica e retangular, com n degraus
de espessura. De largura L, comprimento aL, módulo de elasticidade E, coeficiente de Poisson
ν, e módulo de cisalhamento 𝐺 = 𝐸/[2(1 + 𝜈)]. A chapa tem espessura constante na direção y
e n degraus na direção x, com espessura ℎ𝑖 (i=1, 2, 3, ..., n) para o degrau i. Como vemos na
figura 8, a origem do sistema de coordenadas é definido no centro da extremidade BC. A chapa
é simplesmente apoiada nas extremidades BC e AD. As outras extremidades, paralelas ao eixo
y, AB e CD, podem ser livres, simplesmente apoiadas ou engastadas. A chapa pode estar sujeita
a cargas uni-axiais ou bi-axiais, compressivas ou trativas, no plano principal. Sua geometria
detalhada está ilustrada na figura 8.
10
Figura 6. Geometria e sistema de coordenadas da chapa
Como a geometria completa da chapa é conhecida, a posição de cada interface também
é. Como ilustrado na figura 6, vamos chamar a posição da interface genérica entre o degrau i e o
𝐼𝑛𝑡
degrau i+1 de 𝑥𝑖−𝑖+1
.
Segundo a teoria clássica de placas finas, a equação diferencial parcial governante para
o i-ésimo degrau em vibração harmônica estudada por é dada por [13]:
𝐷𝑖 (
𝜕 4 𝑤𝑖
𝜕 4 𝑤𝑖
𝜕 4 𝑤𝑖
𝜕 2 𝑤𝑖
𝜕 2 𝑤𝑖
+
2
+
+
𝛽𝑁
+
𝛾𝑁
− 𝜌ℎ𝑖 𝜔2 𝑤𝑖 = 0 ,
)
𝜕𝑥 4
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 4
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
(1)
Para i = 1, 2, 3, ... , n
Onde o índice i se refere ao i-ésimo degrau de espessura da placa, 𝑤𝑖 (𝑥, 𝑦) é a função
deslocamento transversal no ponto (x,y) do sistema de coordenadas adotado. 𝐷𝑖 = 𝐸ℎ𝑖3 /
[12(1 − 𝜈 2 )] é a rigidez flexional da chapa. βN e γN são as cargas por unidade de comprimento
11
que a chapa está suportando nas direções x e y respectivamente. ω é a frequência circular de
vibração e ρ é a densidade mássica da chapa.
Temos que as condições de contorno para as duas extremidades paralelas ao eixo x, que
foram fixadas como simplesmente apoiadas, em y = 0 e y = L, são dadas por:
𝑤𝑖 = 0 ,
(𝑀𝑦 )𝑖 = 0,
𝑒𝑚 𝑦 = 0 , 𝐿
(2a-b)
Onde (𝑀𝑦 )𝑖 é o momento fletor em y, definido como:
(𝑀𝑦 )𝑖 = 𝐷𝑖 (
𝜕 2 𝑤𝑖
𝜕 2 𝑤𝑖
+
𝜈
)
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2
(3)
Já para as outras duas extremidades, paralelas ao eixo y, em x = -aL/2 e x = aL/2, as
equações das condições de contorno vão depender de como está disposta a borda considerada.
Caso a extremidade seja simplesmente apoiada, as condições de contorno serão
𝑤𝑖 = 0 ,
𝜕 2 𝑤𝑖
𝜕 2 𝑤𝑖
(𝑀𝑥 )𝑖 = 𝐷𝑖 ( 2 + 𝜈
) = 0, 𝑒𝑚 𝑥 = ±𝑎𝐿/2
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
(4a-b)
Caso a extremidade esteja engastada, as condições de contorno serão
𝜕𝑤𝑖
= 0, 𝑒𝑚 𝑥 = ±𝑎𝐿/2
𝜕𝑥
𝑤𝑖 = 0 ,
(4c-d)
Caso a extremidade esteja livre, as condições de contorno serão
(𝑉𝑥 )𝑖 = 𝐷𝑖 (
𝜕 3 𝑤𝑖
𝜕 3 𝑤𝑖
+
(2
−
𝜈)
) = 0,
𝜕𝑥 3
𝜕𝑥𝜕𝑦 2
= 0,
(𝑀𝑥 )𝑖 = 𝐷𝑖 (
𝜕 2 𝑤𝑖
𝜕 2 𝑤𝑖
+
𝜈
)
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
(4e-f)
𝑒𝑚 𝑥 = ±𝑎𝐿/2
Onde (𝑉𝑥 )𝑖 é a força cortante efetiva.
Adotando-se o método de Levy (1899), uma variação do método clássico de Navier,
onde representa-se a função deslocamento por uma única série de Fourier, ao invés de duas, por
conta das duas condições de contorno das extremidades paralelas a x serem necessariamente
apoiadas, de modo que a convergência do resultado é mais rápida e eficiente. Portanto, tem-se
que a função deslocamento transversal será do tipo
𝑚𝜋
𝑤𝑖 (𝑥, 𝑦) = sin (
𝑦) 𝑋𝑖 (𝑥) ,
𝐿
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
(5)
12
Portanto, uma senóide na direção y, onde m será o número de meia-ondas, e 𝑋𝑖 é uma função
desconhecida de x que precisamos determinar.
Derivando a função deslocamento temos
𝜕𝑤𝑖
𝑚𝜋
= sin (
𝑦) 𝑋𝑖′ (𝑥)
𝜕𝑥
𝐿
(6a)
𝜕 2 𝑤𝑖
𝑚𝜋
= sin (
𝑦) 𝑋𝑖′′ (𝑥)
2
𝜕𝑥
𝐿
(6b)
𝜕 2 𝑤𝑖
𝑚𝜋 2
𝑚𝜋
=
−
(
) sin (
𝑦) 𝑋𝑖 (𝑥)
2
𝜕𝑦
𝐿
𝐿
(6c)
𝜕 3 𝑤𝑖
𝑚𝜋
= sin (
𝑦) 𝑋𝑖′′′ (𝑥)
3
𝜕𝑥
𝐿
(6d)
𝜕 3 𝑤𝑖
𝑚𝜋 2
𝑚𝜋
= − ( ) sin (
𝑦) 𝑋𝑖′ (𝑥)
2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝐿
𝐿
(6e)
𝜕 4 𝑤𝑖
𝑚𝜋
= sin (
𝑦) 𝑋𝑖′′′′ (𝑥)
4
𝜕𝑥
𝐿
(6f)
𝜕 4 𝑤𝑖
𝑚𝜋 2
𝑚𝜋
=
−
(
) sin (
𝑦) 𝑋𝑖′′ (𝑥)
2
2
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝐿
𝐿
(6g)
𝜕 4 𝑤𝑖
𝑚𝜋 4
𝑚𝜋
= ( ) sin (
𝑦) 𝑋𝑖 (𝑥)
4
𝜕𝑦
𝐿
𝐿
(6h)
Substituindo as derivadas da função deslocamento (6) na equação de governo (1) e
colocando o termo seno vezes a rigidez flexional em evidência e organizando os termos que
multiplicam 𝑋𝑖 (𝑥) e 𝑋𝑖′′ (𝑥) temos
𝑚𝜋
𝑚𝜋 2 𝛽𝑁 ′′
𝑠𝑒𝑛 (
𝑦) 𝐷𝑖 [𝑋𝑖′′′′ (𝑥) − (2 ( ) −
) 𝑋𝑖 (𝑥)
𝐿
𝐿
𝐷𝑖
𝑚𝜋 4
𝑚𝜋 2 𝛾𝑁 𝜌ℎ𝑖 𝜔2
− (− ( ) + ( )
+
) 𝑋𝑖 (𝑥)] = 0
𝐿
𝐿
𝐷𝑖
𝐷𝑖
(5)
13
Utilizando a técnica do espaço de estados, podemos utilizar (7) e representá-la na forma
de um sistema de equações
Ψ ′ 𝑖 (𝑥) − 𝐻𝑖 Ψ𝑖 (𝑥) = 0,
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
(6)
Onde
𝑋𝑖
𝑋𝑖′
′
𝑋𝑖
𝑋𝑖′′
Ψ𝑖 =
; Ψ′𝑖 =
′′
𝑋𝑖
𝑋𝑖′′′
′′′′
{𝑋𝑖′′′ }
{𝑋𝑖 }
(7)
E 𝐻𝑖 é uma matriz 4x4. Expandindo (8) com essas informações, podemos determinar 𝐻𝑖 . Temos
que o sistema na forma matricial é:
𝑋𝑖′
(𝐻11 )𝑖
′′
𝑋𝑖
(𝐻21 )𝑖
′′′ − (𝐻 )
𝑋𝑖
31 𝑖
′′′′
(𝐻
[
𝑋
41 )𝑖
{ 𝑖 }
(𝐻12 )𝑖
(𝐻22 )𝑖
(𝐻32 )𝑖
(𝐻42 )𝑖
(𝐻13 )𝑖
(𝐻23 )𝑖
(𝐻33 )𝑖
(𝐻43 )𝑖
𝑋𝑖
(𝐻14 )𝑖
𝑋𝑖′
(𝐻24 )𝑖
=0
(𝐻34 )𝑖 𝑋𝑖′′
(𝐻44 )𝑖 ] {𝑋𝑖′′′ }
(10)
Abrindo o sistema em 4 equações, temos
𝑋′𝑖 − (𝐻11 )𝑖 𝑋𝑖 − (𝐻12 )𝑖 𝑋′𝑖 − (𝐻13 )𝑖 𝑋𝑖′′ − (𝐻14 )𝑖 𝑋𝑖′′′ = 0
(11a)
𝑋𝑖′′ − (𝐻21 )𝑖 𝑋𝑖 − (𝐻22 )𝑖 𝑋′𝑖 − (𝐻23 )𝑖 𝑋𝑖′′ − (𝐻24 )𝑖 𝑋𝑖′′′ = 0
(11b)
𝑋𝑖′′′ − (𝐻31 )𝑖 𝑋𝑖 − (𝐻32 )𝑖 𝑋′𝑖 − (𝐻33 )𝑖 𝑋𝑖′′ − (𝐻34 )𝑖 𝑋𝑖′′′ = 0
(11c)
𝑋𝑖′′′′ − (𝐻41 )𝑖 𝑋𝑖 − (𝐻42 )𝑖 𝑋′𝑖 − (𝐻43 )𝑖 𝑋𝑖′′ − (𝐻44 )𝑖 𝑋𝑖′′′ = 0
(11d)
De (11a) temos que (𝐻11 )𝑖 = 0, (𝐻12 )𝑖 = 1, (𝐻13 )𝑖 = 0 e (𝐻14 )𝑖 = 0
De (11b) temos que (𝐻21 )𝑖 = 0, (𝐻22 )𝑖 = 0, (𝐻23 )𝑖 = 1 e (𝐻24 )𝑖 = 0
De (11c) temos que (𝐻31 )𝑖 = 0, (𝐻32 )𝑖 = 0, (𝐻33 )𝑖 = 0 e (𝐻34 )𝑖 = 1
Dado que para que a solução seja não-trivial, o termo seno e a rigidez flexional que
estão em evidência na equação inteira não serão nulos. Portanto, podemos reescrever (7) da
seguinte forma,
𝑚𝜋 4
𝑚𝜋 2 𝛾𝑁 𝜌ℎ𝑖 𝜔2
𝑋𝑖′′′′ (𝑥) − (− ( ) + ( )
+
) 𝑋𝑖 (𝑥) − (0)𝑋𝑖′ (𝑥)
𝐿
𝐿
𝐷𝑖
𝐷𝑖
𝑚𝜋 2 𝛽𝑁 ′′
− (2 ( ) −
) 𝑋𝑖 (𝑥) − (0)𝑋𝑖′′′ (𝑥) = 0
𝐿
𝐷𝑖
(12)
14
Logo, por analogia a equação (11d), temos que (os termos 𝑋𝑖′ (𝑥) e 𝑋𝑖′′′ (𝑥) aparecem nesta
equação para facilitar o entendimento desta analogia) (𝐻42 )𝑖 = 0, (𝐻44 )𝑖 = 0 e
𝑚𝜋 4
𝑚𝜋 2 𝛾𝑁 𝜌ℎ𝑖 𝜔2
(𝐻41 )𝑖 = − ( ) + ( )
+
𝐿
𝐿
𝐷𝑖
𝐷𝑖
(13a)
𝑚𝜋 2 𝛽𝑁
(𝐻43 )𝑖 = 2 ( ) −
𝐿
𝐷𝑖
(13b)
Portanto, temos definidos todos os elementos de 𝐻𝑖 . A solução de (8) pode ser expressa como:
Ψ𝑖 = 𝑒 𝐻𝑖𝑥 𝑐𝑖
(14)
Onde 𝑒 𝐻𝑖𝑥 é a matriz exponencial de 𝐻𝑖 𝑥 , 4x4 , e é a matriz geral de solução para (8), 𝑐𝑖 é um
vetor 4x1 de constantes que serão determinadas através das condições de contorno e/ou
interface entre os degraus.
Ao longo de toda a interface entre o degrau i e o degrau i+1, deve existir continuidade
entre a deformação, o ângulo da deformada (ou seja, a primeira derivada da função
deslocamento) e os esforços nos dois lados da interface. Ou seja, ao longo das interfaces,
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝑤𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
) = 𝑤𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
)
(15a)
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝜕𝑤𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
) 𝜕𝑤𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
)
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(15b)
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
(𝑀𝑥 )𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
) = (𝑀𝑥 )𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
)
(15c)
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
(𝑉𝑥 )𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
) = (𝑉𝑥 )𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
)
(15d)
Lembrando que (𝑀𝑥 )𝑖 e (𝑉𝑥 )𝑖 são respectivamente o momento fletor e a força cortante no
degrau considerado, já foram definidos anteriormente em (4e–f).
Substituindo a função deslocamento (5) e suas derivadas (6), e lembrando que o termo
seno não muda de um degrau para o outro (apenas o termo desconhecido 𝑋𝑖 muda para 𝑋𝑖+1 ) e
pode ser cortado em ambos os lados das equações, podemos reescrever as equações de contorno
(4) e as equações de interface (15) e igualá-las a zero. A primeira equação de contono (4a) se
torna
𝑚𝜋
sin (
𝑦) 𝑋𝑖 (±𝑎𝐿/2) = 0
𝐿
15
Ou seja,
𝑋𝑖 (±𝑎𝐿/2) = 0
(16a)
Usando a mesma idéia da equação anterior, temos que as equações de contorno podem ser
reescritas como
𝑋𝑖 ′(±𝑎𝐿/2) = 0
(16b)
𝑚𝜋 2
𝐷𝑖 [− ( ) 𝑋𝑖 (±𝑎𝐿/2) + 𝜐 𝑋𝑖′′ (±𝑎𝐿/2)] = 0
𝐿
(16c)
𝑚𝜋 2
𝐷𝑖 [𝑋𝑖′′′ (±𝑎𝐿/2) − (2 − 𝜐) ( ) 𝑋𝑖′ (±𝑎𝐿/2)] + 𝛽𝑁 𝑋𝑖′ (𝑥 ± 𝑎𝐿/2) = 0
𝐿
(16d)
Já as condições de interface (15) se tornam
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝑋𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
) − 𝑋𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
)=0
(17a)
𝐼𝑛𝑡
′
𝐼𝑛𝑡
𝑋𝑖 ′(𝑥𝑖−𝑖+1
) − 𝑋𝑖+1
(𝑥𝑖−𝑖+1
)=0
(17b)
𝑚𝜋 2
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝐷𝑖 [− ( ) 𝑋𝑖 (𝑥𝑖−𝑖+1
)]
) + 𝜐 𝑋𝑖′′ (𝑥𝑖−𝑖+1
𝐿
𝑚𝜋 2
𝐼𝑛𝑡
′′
𝐼𝑛𝑡
− {𝐷𝑖+1 [− ( ) 𝑋𝑖+1 (𝑥𝑖−𝑖+1
) + 𝜐 𝑋𝑖+1
(𝑥𝑖−𝑖+1
)]} = 0
𝐿
(17c)
𝑚𝜋 2
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
𝐷𝑖 [𝑋𝑖′′′ (𝑥𝑖−𝑖+1
) − (2 − 𝜐) ( ) 𝑋𝑖′ (𝑥𝑖−𝑖+1
)] + 𝛽𝑁 𝑋𝑖′ (𝑥𝑖−𝑖+1
)
𝐿
𝑚𝜋 2 ′
′′′
𝐼𝑛𝑡
𝐼𝑛𝑡
− {𝐷𝑖+1 [𝑋𝑖+1
(𝑥𝑖−𝑖+1
) − (2 − 𝜐) ( ) 𝑋𝑖+1
(𝑥𝑥𝑖−𝑖+1
)]
𝐿
(17d)
′
𝐼𝑛𝑡
+ 𝛽𝑁 𝑋𝑖+1
(𝑥𝑖−𝑖+1
)} = 0
𝐼𝑛𝑡
Lembrando que, como definido no início do capítulo, 𝑥𝑖−𝑖+1
é a posição da interface
genérica entre os degraus i e i+1.
Podemos então montar um sistema que consiste nas equações de contorno (dentre as
equações (16), as que se aplicam a placa estudada) e equações de interface (17). Teremos duas
equações de contorno para uma extremidade, duas equações de contorno para a outra
16
extremidade e quatro equações de interface para cada interface, portanto, esse sistema terá um
total de 4n equações, onde n é o número de degraus de espessura na chapa.
Pela definição da solução para Ψ𝑖 , equação (14), cada termo da função desconhecida 𝑋𝑖
e suas derivadas serão multiplicados por elementos do vetor de constantes 𝑐𝑖 . Quando
substituímos então os termos 𝑋𝑖 e suas derivadas pela solução dada, podemos reescrever o
sistema de 4n equações de contorno/interface da forma matricial
𝑐1
𝑐2
⋮
[𝐾]4𝑛 𝑥 4𝑛 𝑐 = {0}
𝑖
⋮
{𝑐𝑛 }
(18)
Onde cada 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 é um vetor 4x1 de constantes, definido anteriormente, e [𝐾] é uma
matriz 4n x 4n composta de todos os elementos que multiplicam cada uma dessas constantes.
Para determinarmos a frequência natural de vibração 𝜔 (setando N como sendo zero) ou
a carga crítica de flambagem N (setando 𝜔 como sendo zero), para que a solução seja não
trivial, calculamos o valor tal que o determinante de [𝐾] seja zero.
Temos solucionado assim, o problema mecânico de flamabagem de chapas com degrau
de espessura.
4. Cargas Térmicas
Materiais que se encontram sob variações de temperatura sofrem deformações térmicas.
Aquecimentos resultam em expansões térmicas e resfriamentos, em contrações. Na maioria dos
equipamentos e estruturas, essas variações de temperatura são pequenas e os elementos da
estrutura têm certa liberdade para expandir, resultando em pequenas deformações,
insignificantes para o projeto. Porém, quando essas variações são grandes, os projetistas
precisam de fato se preocupar com tais deformações que podem resultar em tensões indesejadas.
O problema é maior ainda pois alguns objetos podem se encontrar impedidos de se
expandir em alguma direção, por terem suas extremidades engastadas ou apoiadas em
configurações que não permitam o movimento lateral dessas extremidades. Vigas e chapas são
as ocorrências mais comuns desse tipo de situação. Nesses casos, o equipamento, impedido de
se expandir, acumula tensões internas que, se negligenciadas, podem resultar na falha da
estrutura.
17
4.1.
Cargas Térmicas em Vigas
Para entender o conceito por trás das tensões geradas no material de extremidades
restritas devido ao aquecimento, é mais intuitivo estudar o caso simples, unidimensional. Esse
conceito se aplica ao longo de todas as dimensões e pode ser usado para o estudo de chapas.
Para tratar o problema térmico, utiliza-se o princípio da superposição de dois diferentes
casos: o problema de expanção térmica livre e o problema da força de restrição térmica. Para
deduzir as forças que aparecem na viga de extremidades restritas que é aquecida, primeiro
consideramos que ela pode se expandir livremente uma certa quantidade ∆, que pode ser
calculada pelas formulações de expansão térmica, e depois, calculamos a força compressiva
necessária para trazer a viga de volta à posição inicial (restrita), ou seja, a força necessária para
fazer a extremidade da viga se deslocar ∆ novamente na outra direção. Essa superposição está
visualmente representada na figura 7 a fim de tornar o entendimento mais intuitivo.
Figura 7. Representação da barra restrita por superposição dos fenômenos
A viga que vamos estudar é conhecida, onde temos o comprimento inicial L, o material
que ela é feita e a variação de temperatura uniforme ∆𝑇 que será aplicada a ela. Ela encontra-se
bi-apoiada de maneira que seu movimento na direção longitudinal está restrito nas duas
extremidades. Portanto, tensões serão geradas na viga após seu aquecimento.
Pela superposição, dividimos o fenômeno em duas etapas, como mostra a figura 9.
Analisando o primeiro caso, de expansão térmica livre (ETL), podemos determinar ∆𝐸𝑇𝐿 como
sendo
∆𝐸𝑇𝐿 = 𝛼 𝐿 ∆𝑇
(19a)
Dado que a deformação térmica é
𝜀 𝑇 = 𝛼 ∆𝑇
(19b)
Na segunda etapa, calcula-se a força restritiva térmica (FRT) P. Podemos expressar
∆𝐹𝑅𝑇 pela lei de Hooke (Hooke, 1676) para compressão axial, onde a tensão 𝜎 = 𝑃/𝐴 (onde A é
a área da viga) e a deformação 𝜀 = ∆𝐹𝑅𝑇 /𝐿 , portanto, ficamos com
18
𝑃𝐿
𝐴𝐸
Como a viga não se expande de fato, temos que
∆𝐹𝑅𝑇 =
∆𝐸𝑇𝐿 = ∆𝐹𝑅𝑇
(19c)
(20)
Portanto, igualando os deslocamentos obtidos em (19a) e (19c) e dividindo os dois lados
da equação por L, temos
𝑃 = 𝐸 𝛼 ∆𝑇 𝐴
(21)
Comparando com a formulação clássica de Euler para a carga crítica de flambagem P*
𝑃∗ = 𝜋 2
𝐸𝐼
= 𝐸 𝛼 ∆𝑇 ∗ 𝐴
𝐿2
(22a)
Temos que a variação de temperatura crítica de flambagem para uma viga bi-apoiada é
dada por
1
𝐸𝐼
(22b)
𝜋2 2
𝐸∝𝐴 𝐿
A ideia por trás dessa dedução é importante pois pode-se aplicar o mesmo raciocínio
∆𝑇 ∗ =
para deduzir as cargas na direção do eixo x e do eixo y em uma chapa, o próximo passo desse
estudo.
4.2.
Cargas Térmicas em Chapas
Para chapas, o raciocínio é similar. Considere a geometria apresentada na figura 8, onde
a é a largura da chapa, b é o comprimento e h é a espessura.
Figura 8. Geometria de uma chapa uniforme
Temos que a deformação total sofrida pela placa será a soma da deformação elastica
mais a deformação térmica. Pela lei de Hooke (Hooke, 1676) em um material isotrópico, temos
que as deformações elasticas são funções das tensões, do coeficiente de Poisson e do módulo de
elasticidade do material. Portanto, temos que as deformações serão
19
1
[𝜎 − 𝜈𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑧 ] + 𝜀 𝑇
𝐸 𝑥
1
𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑧 ] + 𝜀 𝑇
𝐸
1
𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 ] + 𝜀 𝑇
𝐸
𝜀𝑥 =
(23a)
(23b)
(23c)
Como a chapa encontra-se livre para expandir na direção z, a tensão 𝜎𝑧 será zero. E
como a espessura da chapa é muito menor que as outras dimensões, podemos admitir que 𝜀𝑧
será aproximadamente zero. Portanto, podemos eliminar essas duas incógnitas das equações
(23). Multiplicando (23a) por 𝜈 e somando as equações, podemos obter 𝜎𝑥 . Fazendo o mesmo
procedimento com (23b), obtemos 𝜎𝑦 .
𝜎𝑥 =
𝐸
𝐸
(𝜀𝑥 + 𝜐𝜀𝑦 ) −
𝜀𝑇
2
(1 − 𝜐 )
(1 − 𝜐)
(24a)
𝜎𝑦 =
𝐸
𝐸
(𝜀 + 𝜐𝜀𝑥 ) −
𝜀𝑇
(1 − 𝜐 2 ) 𝑦
(1 − 𝜐)
(24b)
Uma chapa com diversos degraus de espessura pode ser modelada como diversas chapas
como a figura 11, uma ao lado da outra, com suas larguras iguais a 𝐿. Cada uma com seu 𝑎𝑖 e
ℎ𝑖 . Um exemplo é ilustrado na figura 12, para uma chapa com 3 degraus de espessura (n = 3).
Figura 9. Exemplo de chapa com 3 degraus de espessura
Portanto, teremos um par de equações (32) para cada degrau da chapa, ou seja 2n
equações para a chapa inteira. Como temos as restrições de movimentação nos bordos, por
simetria no eixo y, 𝜀𝑦 será igual a zero. Não pode se dizer a mesma coisa sobre o eixo x pois
cada degrau terá uma espessura diferente e um comprimento diferente, consequentemente, uma
deformação 𝜀𝑥𝑖 diferente para cada degrau. Fazendo 𝜀𝑦𝑖 = 0, ficamos com as seguintes
equações para cada degrau
𝜎𝑥𝑖 =
𝐸
𝐸
𝜀𝑥𝑖 −
𝜀𝑇
2
(1 − 𝜐 )
(1 − 𝜐)
(25a)
𝜎𝑦𝑖 =
𝐸
𝐸
𝜐𝜀𝑥𝑖 −
𝜀𝑇
2
(1 − 𝜐 )
(1 − 𝜐)
(25b)
20
Para que haja equilíbrio na chapa, temos que o somatório das forças na direção x e y
têm de ser igual a zero. Na direção y, por simetria, teremos simplesmente que a força distribuída
em um bordo do degrau será igual a força distribuída no outro bordo, em sentidos opostos, mas
na direção x, é importante pois temos espessuras diferentes e, consequentemente, tensões
diferentes que necessariamente irão produzir forças iguais ao longo da chapa, para que haja
continuidade. Por tanto, abrangindo todas as interfaces, temos a seguinte equação de equilíbrio
de força
𝜎𝑥1 ℎ1 = 𝜎𝑥2 ℎ2 = ⋯ = 𝜎𝑥𝑖 ℎ𝑖 = ⋯ = 𝜎𝑥𝑛 ℎ𝑛
(25c)
De modo a organizar a utilização dessas equações no sistema de maneira produtiva,
podemos igualar a força no primeiro degrau com a força em cada outro degrau (i.e. 𝜎𝑥1 ℎ1 =
𝜎𝑥2 ℎ2 ; 𝜎𝑥1 ℎ1 = 𝜎𝑥3 ℎ3 ; ... ; 𝜎𝑥1 ℎ1 = 𝜎𝑥𝑛 ℎ𝑛 ). Portanto, termos (n-1) equações.
E finalmente, a última equação que nos auxilia é a equação de restrição de movimento
longitudinal da placa. A restrição transversal e a simetria da chapa implicam em 𝜀𝑦𝑖 = 0, porém,
na direção x, isso se desdobra um pouco. Tem-se que o comprimento total da chapa será
constante, mas a posição das interfaces estão livres para movimentarem-se. Ou seja, o
deslocamento longitudinal de cada degrau pode ser diferente de zero, mas o somatório destes
deve resultar zero dado que o comprimento total da chapa não se altera
𝑎1 𝜀𝑥1 + 𝑎2 𝜀𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖 𝜀𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜀𝑥𝑛 = 0
Ou seja
𝑛
∑ 𝑎𝑗 𝜀𝑥𝑗 = 0
(25d)
𝑗=1
Dessa forma, temos um sistema bem definido com 3n equações e 3n incógnitas
(𝜎𝑥𝑖 , 𝜎𝑦𝑖 𝑒 𝜀𝑥𝑖 para cada degrau).
Substituindo (25a) nas equações (25c), pode-se simplificar o sistema. Dividindo os dois
lados das equações por E, tem-se que, para (i = 1, 2, 3, ... , n)
ℎ1 (
𝜀𝑥1
𝜀𝑇
𝜀𝑥𝑖
𝜀𝑇
−
=
ℎ
−
)
(
)
𝑖
(1 − 𝜐 2 ) (1 − 𝜐)
(1 − 𝜐 2 ) (1 − 𝜐)
(26)
Reorganizando a equação e explicitando o termo 𝜀𝑥𝑖 , pode-se definir de forma genérica,
para (i = 1, 2, 3... n)
𝜀𝑥𝑖 =
ℎ1
[𝜀 − (1 + 𝜐)𝜀 𝑇 ] + (1 + 𝜐)𝜀 𝑇
ℎ𝑖 𝑥1
(27)
Finalmente, substituindo (27) na equação (25d), colocando em evidência os
termos que multiplicam a deformação térmica e explicitando 𝜀𝑥1 temos
21
−(1 + 𝜈)𝜀 𝑇 ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑗 (1 −
𝜀𝑥1 =
∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑗
ℎ1
)
ℎ𝑗
ℎ1
ℎ𝑗
(28)
Tendo calculado o valor de 𝜀𝑥1 pela equação acima, podemos substitui-lo em (27) e
descobrir 𝜀𝑥𝑖 para cada degrau, substituindo o valor de ℎ𝑖 do degrau considerado.
E finalmente, tendo em mãos o valor da deformação de cada degrau no eixo x, podemos
então substituí-los nas equações (25) e resolvê-las para as tensões. Com as tensões, podemos
facilmente avaliar o valor de cada força distribuída ao longo das extremidades da chapa,
lembrando que elas serão o produto da tensão na direção considerada vezes a área do trecho
considerado sobre o comprimento do trecho, ou seja, simplesmente a tensão vezes a espessura.
Após os cálculos demonstrados, teremos mapeado as cargas ao longo das extremidades
da chapa, conforme ilustrado na figura 10.
Figura 10. Cargas térmicas em chapa com degraus de espessura
Combinando os cálculos das cargas térmicas apresentados anteriormente com o
precedimento para obtenção da carga de flambagem da chapa, podemos determinar, através de
um algorítimo, qual a temperatura crítica de flambagem para cada geometria de chapa.
5. Algorítimo Para Obtenção da Temperatura Crítica
Para obtenção dos resultados propostos no estudo, um algorítimo foi programado. O
software e a linguagem escolhidas para a programação foi o MATLAB, um software voltado
para solução de problemas com matrizes. Permite a rápida criação de variáveis na forma de
matrizes ou vetores e possui uma grande coleção de comandos imbutidos para operações com
22
matrizes. Portanto, para o problema em questão, o MATLAB foi uma ferramente incrivelmente
eficiente, tornando muito mais fácil a criação do algorítimo do que linguagens mais
convencionais, como Fortran ou Basic.
Foi gerado um algorítimo para cada problema, um para o cálculo das frequências de
vibração mecânica, um para o problema de flambagem mecânico e um para o de flambagem
térmico. Os problemas são muito similares, portanto, os códigos são similares. Sendo assim,
apenas será coberto o código referente ao problema de flambagem térmico.
Como todas as equações do problema são construídas com o valor da carga distribuída
(ou, para o caso da flambagem térmica, a variação de temperatura que causa essa carga) que a
chapa está sofrendo e é exatamente essa que queremos descobrir, o MATLAB oferece uma
ferramenta para construir o problema em função dessa incognita e, ao final da montagem do
problema, resolver analíticamente para a carga (ou temperatura) que zera o determinante de K.
Entretanto, existem muitas operações a serem feitas ao longo do problema, com valores altos e,
além disso, o número de equações aumenta muito com o número de degraus que existem na
chapa, portanto, computadores convencionais não tem capacidade de processamento para
aguentar esse método de solução, mais computacionalmente intenso. A solução adotada foi
utilizar um método mais simples de solução numérica, o método da bisseção, que embora seja
mais lento, conseguiu resolver o problema com boa precisão.
O algorítimo é bem direto. Primeiramente, o programa recebe as características do
material (coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade), da chapa (sua geometria completa,
como descrito na figura 6) e as condições de contorno das extremidadas x = aL/2 e x = –aL/2.
No próprio código, são escolhidos uma variação de temperatura inicial e um passo.
Ambos pequenos suficientes para que o programa não dê um salto grande demais e perca o
primeiro modo de flambagem, aquele com a variação de temperatura mais baixa, ou seja, o mais
crítico.
E então começa o loop do método da bisseção, que o programa vai rodar, adicionando e
refinando o passo, até a variação de temperatura chegar suficientemente próxima ao valor exato,
dentro de uma tolerância já estabelecida no código (para os resultados ilustrativos gerados, foi
utilizado uma tolerância de 0,5ºC).
Esse loop consiste em duas etapas. Primeiro, utilizar a variação de temperatura
considerada com as equações descritas no capítulo 4.2. para determinar as cargas na chapa e,
com a carga obtida, executar o procedimento descríto no capítulo 3 e checar a flambagem da
chapa.
23
Uma série de condicionais “ifs” selecionam as equações pertinentes para montar o
sistema final com base na escolha das condições de contorno alimentadas ao programa, no
bordo direito e no esquerdo, agregado com todas as equações de continuidade para cada posição
de interface escolhida pelo usuário. Tendo o sistema de equações todo montado, um rápido
procedimento identifica em cada equação quais os parâmetros que são multiplicados por cada
vetor de constantes 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑖 e monta assim a matriz 4n x 4n K.
O programa então calcula o valor do determinante de K e guarda esse valor. O passo é
adicionado à variável de variação de temperatura e o loop é executado novamente. Com o novo
valor de determinante de K, ele é comparado com o valor obtido na iteração anterior e então
pode-se definir se o passo escolhido foi suficiente para ultrapassar o valor crítico (quando o
valor do determinante passa pelo zero, ou seja, troca de sinal). Caso seja verdade, o passo é
refinado e seu sinal é invertido, caso contrário, o passo continua a ser adicionado.
O programa continua executando esse loop até que o passo seja refinado e seu módulo
seja menor que a tolerância. Isso sinaliza o programa para parar de executar o loop e mostrar os
resultados na tela.
6. Resultados
Devido à natureza do problema, existem muitos parâmetros envolvidos que influenciam
a sua solução. Portanto, é impossível cobrir todos os casos possíveis na apresentação de
resultados. A seguir, serão apresentados alguns exemplos de modo a ilustrar o problema.
Para o material das chapas, foram utilizadas características clássicas de aço
convencional. O coeficiênte de Poisson utilizado foi 𝜐 = 0,3, o módulo de elasticidade 𝐸 =
210 𝐺𝑃𝑎 e o coeficiente de expansão térmica 𝛼 = 14 𝑥 10−6 /°𝐶 .
Primeiramente, de modo a validar os valores obtidos com uma solução já proposta,
comparou-se os valores do gradiente crítico de temperatura obtidos pela solução analítica
proposta para uma chapa uniforme (entramos no programa com dois degraus de mesma
espessura) com a solução proposta por Thornton (1993) [10] para flambagem térmica de chapas
uniformes.
24
Tabela 1. Comparação da solução proposta com a solução de referência
a
1
1
1
2
2
2
h (mm)
20
25
35
20
25
35
Solução Proposta
36,12
56,51
110,70
22,60
35,34
69,16
Referência [10]
36,15
56,49
110,72
22,60
35,31
69,20
Erro Relativo (%)
0,090
0,039
0,015
0,021
0,099
0,055
Percebemos que a solução analítica proposta se encontra de acordo com soluções
clássicas propostas para chapas uniformes. Isso quer dizer que as cargas térmicas foram bem
calculadas e a formulação de flambagem, também.
Seguem abaixo duas “famílias” de chapas, uma com 2 degraus e uma com 3. Os
parâmetros variados em cada chapa estão ilustrados na figura 11 e 12, respectivamente. As
determinações SS e CC significam os apoios nas extremidades AB e CD. Onde S é
simplesmente apoiado (Simply Suported) e C é engastado (Clamped).
Figura 11. Chapa com dois degraus de espessura
A tabela 1 mostra a temperatura crítica de flambagem quando variamos alguns
parâmetros da chapa. Manteve-se constante o valor de L = 1m e ℎ1 = 10𝑚𝑚
25
Tabela 2. Gradientes de temperatura críticos (°C)
a
1,0
2,0
h2(mm)
10
15
20
10
15
20
0,3
9,01
15,10
19,55
5,65
9,40
12,13
Chapa S-S
b
0,5
9,01
12,68
16,43
5,65
7,52
8,38
0,7
9,01
11,30
13,70
5,65
6,43
6,74
a
1,0
2,0
h2(mm)
10
15
20
10
15
20
0,3
17,29
30,02
37,84
6,66
12,05
16,59
Chapa C-C
b
0,5
17,29
23,77
30,41
6,66
9,32
11,27
Com o próximo exemplo, foi utilizada uma chapa um pouco mais robusta,
aproximadamente 1 polegada, e um degrau de menor espessura no centro, simulando uma
corrosão.
Figura 12. Chapa com três degraus de mesmo comprimento
Já a tabela 2 mostra a variação de temperatura crítica de flambagem para a chapa
representada na figura 12, variando alguns parâmetros da geometria. Manteve-se constante 𝐿 =
1𝑚 e ℎ1 = ℎ3 = 25𝑚𝑚.
Tabela 3. Gradientes de temperatura críticos (°C)
a
1,0
2,0
3,0
h2(mm)
25
23
20
25
23
20
25
23
20
S-S
56,51
52,76
47,13
35,34
32,6
28,7
31,35
28,59
24,24
C-C
108,1
100,4
89,55
41,82
38,23
33,15
33,15
29,87
25,02
26
0,7
17,29
21,98
25,65
6,66
7,68
8,23
Vemos que a temperatura crítica de flambagem aumenta com a espessura da chapa. Isso
se dá pois a carga que a chapa sofre aumenta, mas sua rigidez flexional aumenta ainda mais,
com a terceira potência da espessura. Portanto, a chapa se torna mais resistente aos efeitos da
flambagem térmica. Da mesma forma, quando aumenta-se a região da chapa de menor
espessura, como era de se esperar, tem-se que a variação de temperatura crítica da chapa
diminui.
Assim como em soluções de flambagem para chapas com espessura constante, vemos
que o gradiente de temperatura de flambagem diminui com o aumento da razão de aspecto, ou
seja, a chapa fica menos resistênte a falha por flambagem. Também pode-se observar, pela
tabela 2, que quanto maior a razão de aspecto, menores são os efeitos do tipo de apoio que a
chapa está submetida.
6.1.
Comparação do Resultado Analítico com Soluções Simplificadas
A engenharia atua sempre fazendo um paralelo entre a ciência e a vida prática. Portanto,
é muito comum e de extrema importância estudos que simplifiquem soluções analíticas ricas e
complexas para uso em campo, ou em fases preliminares de projeto. Isso, com um baixo nível
de discrepância.
A fim de ilustrar essa tarefa, comparou-se o resultado analítico exato obtido neste
trabalho com uma comum de simplificação aplicada em campo: uma média das espessuras
ponderadas pelo comprimento de cada degrau, que possua uma área lateral igual a chapa em
questão. Considere a “família” de chapas ilustrada na figura 12 onde ℎ1 = ℎ3 e varia-se apenas
ℎ2 . Então, comparamos a solução exata obtida para essa chapa com a solução para uma chapa
de espessura constante igual a ℎ̅. Essa solução para chapa uniforme, simplesmente apoiada em
todos os bordos, pode ser obtida segundo [2].
Tabela 4. Comparação entre a solução proposta (°C) para a chapa real e a solução de
referência (°C) para a chapa simplificada
a
1
1
2
2
3
3
h1
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
h2
0,023
0,02
0,023
0,02
0,023
0,02
h3
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
h médio
0,0243333
0,0233333
0,0243333
0,0233333
0,0243333
0,0233333
Solução
Proposta
52,76
47,13
32,6
28,7
28,59
24,24
Referência
53,52
49,21
33,45
30,75
29,73
27,34
Erro Relativo (%)
1,43
4,41
2,60
7,16
3,99
12,78
27
Percebe-se que para chapas com razão de aspecto baixa, o erro relativo é bem baixo (em
torno de 5%), possibilitando que a simplificação para um chapa de espessura constante e igual a
média das espessuras seja uma boa estimativa inicial. Porém, quanto maior a discrepância entre
as espessuras e quanto maior a extensão dos degraus, maior esse erro relativo se torna, fazendo
com que essa estimativa seja cada vez menos eficaz para traduzir o problema. Nesses casos, há
uma necessidade de obter a solução analítica pelo modelo mais completo.
7. Conclusão
O objetivo do trabalho foi estudar o fenômeno de flambagem térmica de placas
retangulares uniformemente aquecidas e suportadas por uma combinação de apoios. Assim
como os efeitos da variação dos parâmetros físicos e geométricos sobre o fenômeno.
Na primeira parte do estudo, foi necessário um período de pesquisa de trabalhos
anteriores, pertinentes ao assunto, a fim de consolidar a compreensão e preparar a mente para
entender intuitivamente as investigações relacionadas à teoria de placas. Foram abordados
diversos temas como carregamento lateral, flexão pura de placas, etc. Como descrito, alguns
artigos em especial foram fundamentais para o entendimento do problema mecânico e também
das cargas térmicas decorrentes do aquecimento uniforme.
Em seguida, foi apresentado o passo-a-passo da solução analítica de Xiang para o
problema mecânico de flambagem e vibração. Esse é um passo importantíssimo para o estudo
pois serve de base para os resultados finais e, portanto, é descrito com todo o cuidado
necessário.
Então, associou-se o problema térmico ao estudo. A determinação analítica das tensões
internas decorrentes do aquecimento uniforme pode ser agregada à solução do problema
mecânico, gerando uma nova solução, um novo procedimento e um novo algorítmo para o
problema.
O estudo se mostrou positivo na determinação da temperatura crítica de flambagem de
chapas com degraus de espessura. O procedimento foi pensado, explicado em detalhe e então
executado. Exemplos de sua aplicação foram então apresentadas a fim de ilustrar a solução.
Estas soluções são importantes pois servem como elementos de análise de comportamento de
chapas em projetos de estruturas ou então para validação e desenvolvimento de novas técnicas
de análise, mais simplificadas ou não.
Após a comparação dos resultados da solução proposta com a simplificação sugerida, de
uma chapa uniforme de mesma área lateral que a chapa estudada, percebemos que a solução
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analítica é importante dado que, para grandes razões de aspecto, grandes degraus e diferenças de
espessura, a solução da chapa simplificada começa a diferir muito da solução analítica
desenvolvida. Isso mostra que essa simplificação pode ser utilizada como uma ferramenta
preliminar, para ter-se uma ideia do comportamento da chapa, porém apresenta discrepâncias
relativamente grandes com os valores da solução analítica proposta.
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8. Referências Bibliográficas
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Oceânicos II. Relatório 2.
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