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Física I 1.º Semestre – 2010/2011 Aula 02 Movimento em Duas e Três Dimensões Sumário Movimento a duas e três dimensões • • • • Posição e deslocamento Velocidade média e velocidade instantânea Aceleração média e aceleração instantânea Movimento do projéctil Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 2 Movimento a duas e três dimensões Estamos ainda interessados no deslocamento, na velocidade e na aceleração. A utilização dos sinais + ou – não é suficiente para descrever completamente estas grandezas no movimento em mais do que uma dimensão. Temos de recorrer aos vectores para descrever o movimento de forma completa. Na cinemática do movimento a duas ou três dimensões, as coisas passam-se como no movimento unidimensional, excepto no facto de termos de utilizar notação vectorial Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 3 Componentes de um vector Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 4 Componentes de um vector Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 5 Componentes de um vector Vectores unitários Componentes escalares dos vectores ax ax i ay ay j bx bx i by by j Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 6 Posição e Deslocamento A posição de um objecto é descrita pelo seu vector de posição, r (2 m) j (5 m)k r = xi + yj zk (3 m)i (5 m)k r = 3 m i + 2 m j 5 m k Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 7 Posição e Deslocamento O deslocamento do objecto (partícula) é definido como a variação da sua posição r = r r 2 1 Posição inicial Posição mais tarde Trajectória da partícula r = x2i + y2 j z2k x1i + y1 j z1k r = x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k r = xi + yj zk Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 8 Problema O vector posição de uma partícula é, inicialmente, r1 = 3.0 m i 2.0 m j 5.0 m k e, 2 s mais tarde Posição inicial Posição mais tarde Trajectória da partícula r2 = 9.0 m i 2.0 m j 8.0 m k Qual é o deslocamento da partícula neste intervalo de tempo? r r2 r1 = 9.0 m 3.0 m i 2.0 m 2.0 m j 8.0 m 5.0 m k 12.0 m i 0.0 m j 3.0 m k Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 9 Velocidade média A velocidade média num determinado intervalo de tempo é a razão do deslocamento pelo intervalo de tempo r vmed Direcção de r1 r2 r3 t A direcção e o sentido da velocidade média são os do vector deslocamento, Δr r Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 10 no ponto A Velocidade média Em termos de vectores unitários, a velocidade média é vmed xi + yj zk x y z = i + j k t t t t No problema anterior, a velocidade média entre os dois pontos é vmed = 12 m i 3.0 m k 2.0 s Posição inicial Trajectória da partícula vmed r t Posição mais tarde 6.0 m/s i + 1.5 m/s k Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 11 Velocidade média. A velocidade média entre dois pontos, no mesmo intervalo de tempo, é independente da trajectória seguida Posição inicial Posição mais tarde Trajectória da partícula Resulta do facto de depender apenas do deslocamento, que é independente da trajectória Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 12 A Velocidade Instantânea A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando Δt tende para zero A direcção da velocidade instantânea é a da tangente à trajectória da partícula e o sentido é o do movimento tangente trajectória r dr v lim dt t 0 t Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 13 A Velocidade Instantânea A velocidade instantânea pode ser escrita na forma d dx dy dz v xi yj zk i j j dt dt dt dt ou v vx i v y j v z k tangente De onde dx dy dz vx = ; v y = ; v z = dt dt dt Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 trajectória 14 A Aceleração Média A aceleração média de uma partícula em movimento é definida como a variação da velocidade instantânea dividida pelo intervalo de tempo em que essa variação teve lugar. amed v f vi v t f ti t Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 15 A Aceleração Média Ao longo do movimento da partícula, v pode ser obtido por vários processos A aceleração média é uma grandeza vectorial com a direcção e sentido de v Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 16 A Aceleração Instantânea A Aceleração Instantânea é o limite da aceleração média, v / t , quando Δt tende para zero v dv a lim dt t 0 t Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 17 A Aceleração Instantânea Em termos dos vectores unitários, a aceleração escreve-se dv y dvx dvz d a vx i v y j v z k i j k dt dt dt dt ou a ax i ay j az k de onde dv y dvx dvz ax ; ay ; az dt dt dt Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 trajectória 18 Origem da Aceleração Uma aceleração pode surgir devido a diferentes processos de variação da velocidade • Pode variar o módulo do vector velocidade • Pode variar a direcção e/ou o sentido do vector velocidade Mesmo que o módulo não varie Todas estas características podem variar simultaneamente Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 19 Equações da Cinemática do Movimento Bi- e Tridimensional Quando existe aceleração constante no movimento bi- ou tridimensional, pode ser desenvolvido um conjunto de equações para descrever o movimento Estas equações são análogas às da cinemática unidimensional Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 20 Equações da Cinemática Como a aceleração é constante, podemos obter uma expressão para a velocidade em função do tempo: vf vi at O vector velocidade pode ser representado pelas suas componentes Em geral, não tem a direcção e o sentido de vi ou at Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 21 Equações da Cinemática O vector posição pode também ser expresso como função do tempo: 1 2 rf ri vi t at 2 Indica que o vector posição é a soma de três outros vectores: O vector posição inicial ri O deslocamento resultante de vi t O deslocamento resultante de 1 2 at 2 Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 22 Equações da Cinemática, Componentes As equações da velocidade final e da posição final são equações vectoriais, podendo portanto ser escritas em termos das componentes Isto mostra que o movimento bi- ou tri-dimensional é equivalente a dois ou três movimentos independentes Um movimento na direcção do eixo dos x, outro na direcção do eixo dos y e, eventualmente, outro na direcção do eixo dos z Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 23 Equações da Cinemática, Componentes A equação vectorial vf vi at é equivalente às duas equações escalares vxf vxi axt v yf v yi a y t A equação vectorial 1 2 rf ri vit at 2 é equivalente às duas equações escalares Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 1 2 x x v t axt i xi f 2 y y v t 1 a t2 i yi y f 2 24 Movimento de um Projéctil Ao movimento bidimensional em que a componente da aceleração segundo o eixo horizontal (em geral, o eixo dos x) é nula e a componente da aceleração segundo o eixo vertical (em geral, o eixo dos y) é constante, dá-se o nome de movimento de um projéctil A aceleração de queda livre, g ,é constante durante todo o movimento, tem a direcção vertical e aponta para baixo Despreza-se a resistência do ar Nestas condições, um objecto com movimento de projéctil seguirá uma trajectória parabólica Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 25 Problema As personagens principais do filme “Speed”, que em Portugal teve o nome “Terror na Auto-estrada”, viajam num autocarro em que existe uma bomba, que rebentará se a velocidade do autocarro se tornar inferior a 80 km/h. O autocarro viaja na direcção de um viaduto, cujo tabuleiro está interrompido numa extensão de 15 m. Os ocupantes decidem fazer o autocarro saltar de um lado para o outro do viaduto, “voando” através do espaço. A rampa que conduz ao viaduto tem uma inclinação de 5º em relação à horizontal e o autocarro viajava a 110 km/h quando entrou no viaduto. Conseguirá o autocarro saltar com sucesso? Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 26 Problema O problema que nos pomos é o seguinte: A cena apresentada no filme é realista, isto é, naquelas condições um autocarro real conseguiria saltar ou é tudo ficção de cinema? Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 27 Problema Dados: Módulo da velocidade inicial: v0 110 km/h Ângulo que a velocidade inicial faz com a horizontal: Distância horizontal a transpor: 0 5º 15 m Pretende-se determinar se, nestas condições a trajectória de voo do autocarro irá passar no outro lado do viaduto ou na zona em que o tabuleiro está interrompido Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 28 Problema Modelo utilizado: - Vamos considerar o autocarro como pontual - Vamos desprezar a resistência do ar Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 29 Obtenção da Equação da Trajectória Vamos escolher o sistema de referência O eixo dos x é horizontal O eixo dos y é vertical e aponta para cima Colocamos a origem no ponto em que o autocarro deixa o tabuleiro Fazemos t =0 no instante em que o autocarro deixa o tabuleiro y Componentes da aceleração neste sistema de referência ay = -g e ax = 0 v0 Componentes da velocidade inicial 0 o 5 x 15 m vx0= v0 cos 0 e vy0 = v0 sin 0 Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 30 Obtenção da Equação da Trajectória Componentes do deslocamento, a partir da origem do referencial, no instante de tempo t x = vx0 t = (v0cos 0 t y = vy0t + ½ay t2 = (v0sin 0t - ½ gt2 Combinando estas equações : 2 g y tan 0 x 2 x 2 2v0 cos 0 Esta equação é da forma parábola y = ax – bx2, que é a equação de uma Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 31 Análise do Movimento de um Projéctil Pode considerar-se este movimento como a sobreposição dos movimentos nas direcções dos eixos dos x e dos y Na direcção do eixo dos x a velocidade é constante porque ax = 0 Na direcção do eixo dos y o movimento é de queda livre ay = -g (porque o eixo dos y aponta para cima) A posição num determinado instante de tempo é dada por: 1 2 r r0 v0t gt 2 Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 32 Vectores no Movimento de um Projéctil 1 2 r r0 v0t gt 2 A posição final é o vector soma de: - posição inicial - deslocamento resultante da velocidade inicial - deslocamento resultante da aceleração Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 1 2 gt 2 v0 t r 33 Diagrama do Movimento de um Projéctil Durante todo o movimento, a aceleração é constante ag Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 34 Características do Movimento de um Projéctil A componente da velocidade segundo o eixo dos x é constante em todos os pontos da trajectória A componente da velocidade segundo o eixo dos y é nula na altura máxima da trajectória A aceleração é a mesma em todos os pontos da trajectória Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 35 Características do Movimento de um Projéctil Na imagem vemos o vector variação da velocidade média do projéctil em instantes de tempo sucessivos. Concluímos que a aceleração mantém-se constante no movimento. Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 36 Alcance e Altura Máxima de um Projéctil Na análise do movimento de um projéctil há duas grandezas com interesse especial h max O alcance, L, é a distância horizontal alcançada pelo projéctil A altura máxima atingida pelo projéctil é hmax Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 L 37 Equação da Altura Máxima de um Projéctil A altura máxima do projéctil ocorre no instante em que a componente vertical da velocidade é nula. Fazemos vy = 0 na equação v y v0 y gt para obtermos o tempo de subida tsub v0 y g A altura máxima de um projéctil é obtida substituindo este instante de tempo na expressão da coordenada vertical 1 2 y v0 y t gt 2 conduzindo a hmax v02y v02 sin 2 0 2g 2g Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 38 Equação do Alcance de um Projéctil O alcance de um projéctil obtém-se fazendo yf = 0 na expressão 1 2 yf v0 y t gt 2 para obter o tempo de voo, tvoo 2v0 y Substituindo t = tvoo na expressão obtemos o alcance L 2v0x v0 y g g x v0 x t v02 sin 20 g Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 39 Problema y O que pretendemos saber é se o alcance é superior ou inferior a 15 m. Substituímos os dados do problema na expressão do alcance v0 0 o 5 x 15 m Obtemos v sin 20 30.6 m/s sin10º L 16.5 m 2 g 9.8 m/s 2 0 2 Efectivamente, o autocarro transpõe o obstáculo!!! Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 40 Alcance de um Projéctil O valor máximo do alcance ocorre para i = 45o Ângulos complementares dão origem ao mesmo valor do alcance A altura máxima é diferente para os dois valores do ângulo da velocidade inicial Os tempos de voo serão diferentes para os dois ângulos Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 41 Movimento de um Projéctil – Técnicas para resolução de Problemas 1. Seleccionar um sistema de coordenadas 2. Obter as componentes da velocidade inicial segundo os eixos dos x e dos y 3. Analisar a componente horizontal do movimento utilizando as técnicas do movimento com velocidade constante 4. Analisar a componente vertical do movimento utilizando as técnicas do movimento com aceleração constante 5. Recordar que o tempo é comum a ambas as componentes Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 42 Movimento um Projéctil - Problema Um avião de socorro voa com velocidade de módulo 198 km/h, a uma altitude constante de 500 m, para um ponto directamente acima de um náufrago na água. O piloto quer largar uma cápsula de socorro de modo a que atinja a água muito próximo do náufrago. a) Qual deverá ser o ângulo da linha de mira para a vítima quando é efectuada a largada? b) Qual é a velocidade da cápsula quando atinge a água Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 43 Sumário No movimento a duas e três dimensões o deslocamento a velocidade e a aceleração são vectores Esses vectores são, em geral, representados pelas suas componentes segundo os eixos dos x, y, z. r xi yj zk dx dy dz v vx i v y j vz k i j k dt dt dt dv dv y dv d 2 x d 2 y d 2 z a ax i a y j az k x i j z k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt As equações do movimento com aceleração constante são 1 rf ri vi t at 2 2 vf vi at Física I 2010-2011 - 1.º S - Aula02 44
