Projeto de Pesquisa Programa de Iniciação Científica Física

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Projeto de Pesquisa
Programa de Iniciação Científica
Física Aplicada e Modelagem Matemática:
Modelagem de exemplos de Eletromagnetismo
Aluno: Evandro de Souza Pereira
RA: 05660 - FAENG
Orientador: Prof. Dr. Maurício Bernardino Magro
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1. Resumo
Pretendemos desenvolver um estudo sobre métodos numéricos e
modelagem de sistemas físicos ligados a conceitos fundamentais de tópicos da
Física Clássica. A partir deste estudo procuraremos identificar as dificuldades
encontradas para então desenvolver e aplicar ferramentas extracurriculares
para o ensino e divulgação dos elementos fundamentais de Física e
Matemática para Engenheiros. Realizaremos um estudo minucioso destes
assuntos e buscaremos identificar as principais dificuldades e interesses
encontrados por alunos de cursos de Engenharia. A partir destas observações,
buscaremos desenvolver mecanismos de aprendizado e novas ferramentas
para o ensino destas disciplinas tendo em vista a realidade do aluno de
Engenharia.
2. Introdução
As últimas décadas testemunharam a modernização tecnológica da
sociedade com características aparentemente contraditórias: (i) a falta de
investimentos em ciência e tecnologia e (ii) política industrial burocratizante
[Lezana etal]. O mercado brasileiro começou a abertura para a incorporação de
elementos externos nos anos 90, com uma indústria marcada pela falta de
preparo para a competição mundial. Desse modo, é necessário capacitar os
profissionais para vencerem este período de transição entre um mundo de alta
tecnologia e um país em desenvolvimento. É nesse contexto que se faz
necessário repensar as atividades ligadas aos cursos de engenharia e de
física. Portanto, é fundamental que o profissional tenha e desenvolva alguns
atributos necessários para dar respostas rápidas e eficientes no decorrer de
sua atuação profissional, dentre os quais podemos citar [Lezana etal]:
a) Conhecimento científico-tecnológico para vencer desafios e a rápida
evolução do conhecimento;
b) Conhecimento de informática como instrumento do exercício da
engenharia;
c) Capacidade para a solução de problemas.
Um dos desafios da Física e Engenharia, a nosso ver, é a de modelar
um problema de forma precisa. Este trabalho é freqüente no estudo da Física e
Matemática, e de fundamental importância para o profissional quanto à
aplicação da matemática a problemas práticos, assim como a discussão dos
limites de modelos criados ou já estabelecidos.
Ausente no ensino tradicional, a modelagem de problemas [García-Raffi,
Sánchez-Pérez], é uma ferramenta indispensável na formação do profissional e
cientista de hoje. As possibilidades que o computador nos oferece justificam
um enfoque direcionado à aplicação e ampliação de conhecimentos
matemáticos que ultrapassam os programas das disciplinas tradicionais. O uso
generalizado da informática faz com que o aluno possa entender e manipular
conceitos que estão ao seu alcance, embora requeiram muitas vezes uma
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capacidade de cálculo mais ampla, reservada a cursos especializados. A
proposta deste trabalho é explorar um problema de interesse à comunidade
local, utilizando conceitos básicos de Física e Matemática, proporcionando ao
aluno autonomia necessária para a sua solução, utilizando, quando necessário,
técnicas de programação. Para isto é necessário interligar conceitos físicos e
técnicas matemáticas, onde aqueles são fundamentais, criando condições para
a fixação de tais conteúdos e introduzindo o aluno no universo científico. Desse
modo, a utilização da modelagem em caráter interdisciplinar pretende atingir
três objetivos fundamentais:
a) Introdução a técnicas de modelagem;
b) Melhoria da aquisição de conhecimento em Física e Matemática;
c) Introdução às técnicas experimentais de aquisição de dados.
Para tal dividiremos o trabalho em dois estágios:
I. Introduzir e revisar noções de cálculo diferencial e integral assim como
métodos numéricos e experimentais, exercícios de eletromagnetismo (física
V3.) e a utilização do programa algébrico Matlab®.
II. Buscar solução modelando um problema específico de oscilações na
pesagem de laranjas em uma balança, onde o valor medido varia com o tempo.
Para obter o peso correto das laranjas deveríamos esperar a estabilização da
balança.
3. Objetivos
Queremos desenvolver atividades extracurriculares para serem
desenvolvidas pelos alunos de um curso de Engenharia, proporcionando-lhes
uma forma alternativa e mais eficiente para o aprendizado dos conceitos
fundamentais de Física e Matemática.
Pretendemos estudar o modelo de uma balança de uma indústria para a
pesagem de materiais agrícolas. Desde o ponto de vista estritamente
matemático, pretende-se que o aluno familiarize-se com os seguintes
conceitos:
− Método de modelagem utilizando equações diferenciais de 1ª ordem;
− Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem;
− Métodos numéricos para encontrar soluções para equações diferenciais;
− E por último, estudo da dependência da modelagem com respeito a alguns
parâmetros introduzidos nela.
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A estrutura do trabalho está planejada de forma que se possa captar a
natureza do problema, e tentar, em primeiro lugar, escolher um conjunto de
equações simples que podem conduzir à descrição do sistema dinâmico, e em
segundo lugar, que se utilizem as ferramentas matemáticas necessárias para a
resolução do mesmo. O objetivo final é, não somente compreender o manejo e
alcance das fórmulas matemáticas, mas também desenvolver certa intuição,
com respeito a que situações reais podem ser modeladas com uma precisão
aceitável utilizando as mesmas.
As atividades citadas nesta seção estão em inglês, uma vez que
acreditamos que a interdisciplinaridade é um estímulo importante no
aprendizado do aluno de engenharia. Dessa forma, pretendemos incluir nos
estudos não somente as disciplinas básicas da área de exatas, como também
o desenvolvimento da linguagem como ferramenta importante no
desenvolvimento do aluno.
O primeiro passo, portanto, consiste na compreensão de projetos, cujos
dados são descritos na seqüência:
I.
The Coulomb´s Law
Coulomb´s Law. It is well know that two electric charged bodies interact
at distance through attraction or repulsion forces. If two electric charged bodies

with charges q1 and q2, separated by a distance r , are taken to be very small
the interaction force between them are said to obey the Coulomb´s Law

F
q1 q 2
rˆ
4 o r 2
1
Where
1
4 o
 8,99  10 9 Nm 2 / C 2
Is the Coulomb´s Constant, determined experimentally.
In situations with several charges interacting with each other, the
superposition principle says that the resulting interaction among a given charge
qo and the others has to be summed up over all contributions as follows
n 

FR   Fi
i 1

where they Fi are the forces that each other charge makes over qo.
Equilibrium. In situations with several charges interacting, an interesting
issue is finding the equilibrium state, i.e., the correct position of all electric

charges that leads to FR  0 on a specific charge q. When that happens it is
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said that q is in a equilibrium state, since with no resulting force, there is no
acceleration applied on q.
The exercise. Consider three small electric charges with same
magnitude q which are fixed in the vertices of an triangle as the figure shows. A
forth small charge Q is free to move over the positive x-axis under the influence
of the forces provoked by the other three fixed charges.
1) Based on the Coulomb´s Law, find algebric expressions for the forces
of each of the charges q over Q.
2) Based on the Superposition Principle, find an algebric expression for
the resulting force that all three fixed chargeds make over Q.
3) Find a value for s in which Q is in an equilibrium state. You may need
to solve an transcendental equation (ask your math teacher on how to
solve it).
+q
y

a
-q
a/2
r


s
3a / 2
x
+Q
a/2
a
 +q
II.
Electric Fields
Electric field. One way to understand the interaction among charged
particles is using the idea of electric fields. Electric fields may be understood as
a signal emitted to all directions by a particle of electric charge q which carries
the information of the intensity and localization of q. Consider a small electric


charge of intensity q, the electric field E measured at a distance r of q is taken
to be

E
1
q
rˆ
4 o r 2
6
where
1
4 o
 8,99  10 9 Nm 2 / C 2
is the Coulomb´s Constant, determined
experimentally.
In situations with several charges coexisting in a region, the
superposition principle says that the resulting electric field due to all charges q i
has to be summed up over all contributions as follows
n 

E R   Ei
i 1

where the E i are the electric fields of each charge qi.
Electric dipole. An electric dipole is formed by two small charges of
same intensity q that differs only by the signal (one is positive and the other is

negative) separated by a distance d , as shown in the figure below.

d
-q 
 +q
The electric field of such distribution of charges at a distance z along the axial
axis is given by

E

p
2 o z 3
for
z  d


with p  qd being the electric dipole momentum.
Polar molecules. One important application of electric dipoles is polar
molecules. A diatomic ionic molecule can be modeled as the previous figure
where –q is the negative ion and +q being the positive ion respectively.
The exercise. The most important polar molecule for life is water (H2O)
where an negative oxygen atom, with charge -2e, connects with two positive
hydrogen
atoms,
with
charge
+e,
as
the
figure
7
below.
+e

a
-2e

104.5
o
z
a
 +e
with a = 0.0315 nm.
Find in the literature the experimental value of the electric dipole momentum of
water. Calculate it assuming that the total electric dipole of water is a vector
sum of two electric dipole, each one in the axis connecting the O and the H.
1) Show mathematically the expression of Eq. (1).
2) Write a computer program that evaluates the resulting electric field of
the water molecule over the z-axis.
3) Draw a graph of Ez.
4) In the region where z >> a, find an algebraic expression for E(z). Use
a fitting algorithm in the graph of item 4).
5) Compare the expression obtained in item 5) with the expression of
Eq. (1).
III.
Projeto Prático
Em uma indústria armazena-se parte da produção de laranjas de uma zona
agrícola importante e se realiza seu empacotamento em embalagens que são
distribuídas diretamente aos supermercados para posterior venda ao
consumidor. A indústria contém uma série de esteiras transportadoras por onde
circulam as laranjas e onde, primeiramente, são classificadas por seu diâmetro.
Uma vez agrupadas pelo tamanho, inicia-se o processo de pesagem para
poder embalá-las em sacolas de aproximadamente 5 kg de peso. Das diversas
operações, a mais crítica é a pesagem. A medida do diâmetro é uma operação
relativamente simples e rápida que se realiza com um scanner durante o
trânsito das laranjas pela esteira principal. As frutas são selecionadas e
levadas a esteiras transportadoras de pesagem. Através delas, as laranjas
chegam rolando e caem em um prato de uma balança. Como conseqüência do
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golpe, produz-se uma oscilação no prato da balança que acarreta a uma série
de medidas que variam com o tempo. Para obter o peso correto das laranjas
deveríamos esperar a estabilização da balança. Podemos modelar a balança
como uma mola que, como conseqüência do golpe provocado pela queda das
laranjas, começa a oscilar. Suponhamos uma balança com uma constante de
amortecimento relativamente pequena. Como conseqüência disto, a pesagem
oscilará durante um longo período de tempo ao redor do valor médio do peso.
Em resumo, o processo de estabilização da pesagem, até que possamos
afirmar que a leitura vale certo valor constante, é um processo muito longo que
tornaria a pesagem uma atividade altamente ineficiente. Pretendemos modelar
matematicamente o sinal de leitura da balança a partir de um modelo de filtros
de passa-baixa e passa - alta que surgem em circuitos elétricos do tipo RC que
possuem fórmulas matemáticas idênticas a um sistema mecânico molaamortecedor como o apresentado pela balança.
4. Resultado e Discussão
Todos os resultados encontrados ao longo do desenvolvimento desse
projeto estão descritos abaixo:
Projeto ǀ.
1)
2)
9
Projeto ǀǀ.

E
-q 

p
2 o z 3
for
z  d

d
 +q
for z  d
Atráves do programa Matlab@ foi possível demonstrar graficamente e afimar que
existe equivalençia entre as equações quando z  d

, E
Gráficos ( z>>d )
Projeto ǀǀǀ.

p
2 o z 3
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Nesse projeto foram pesquisados na literatura assuntos relacionados ao
problema com: Circuitos Elétricos RC, RL, LC e RLC; Filtros Passa-Alta,
Passa-Baixa; Método de Euller, Método de Runge Kutta.
Circuito RC
Circuito
é circuito elétrico contendo apenas uma bateria, uma
resistência e um capacitor. Podemos pensar então nesses três componentes
ligados através de seus terminais e uma chave que pode permitir ou não a
passagem de corrente no circuito. Admitindo inicialmente que a chave está
aberta e não há passagem de corrente e o capacitor está carregado com uma
determinada carga
. Vamos analisar o que vai acontecer quando a chave for
fechada e possibilitar a passagem de corrente. Sabemos que a diferença de
potencial entre os terminais do capacitor é dada por
carga inicial do capacitor e
sua capacitância. No instante
onde
é a
fechamos a
chave e a corrente começa a fluir através do resistor. A corrente inicial que
passa pela resistência é igual a
À medida que a corrente flui pelo
circuito, a carga no capacitor decresce numa taxa igual a
, onde
éa
corrente do circuito, e o sinal negativo aparece por se tratar de um caso de
descarga do capacitor. Através da utilização da
Lei de Kirchhoff, sabemos
que o potencial no resistor é igual ao potencial no capacitor, obtemos então
Onde:
é a corrente no instante t, e
nesse instante
a carga armazenada no capacitor
a força eletromotriz da bateria. Logo derivando a relação em
função do tempo
, e Integrando entre
.
E
corresponde ao valor de 2,71828...; Ao analisarmos nossa
equação vemos que
corrente de carga do capacitor e decai
exponencialmente com o tempo, e o produto
é a chamada constante de
tempo, e é este produto que determina qual é o tempo total de descarga do
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capacitor. Analisando esta constante percebemos que quanto maior for o
produto
maior será o tempo necessário para a descarga do capacitor e
quanto menor o produto, menor será o tempo de descarga. Portanto para o
instante
ele é
a carga no capacitor é igual a zero e a corrente que passa por
medida que o tempo passa, a carga no capacitor começa a aumentar
e o fluxo e a corrente começa a diminuir. Isto pode ser compreendido se
pensarmos que o capacitor começa a funcionar como uma anti-bateria, já que
ele começa a acumular cargas entre suas placas, e estas cargas estão
dispostas no sentido contrário do sentido da bateria. O que acontece então é
que quando o capacitor está completamente carregado, ele tem a mesma
carga da bateria, só que a corrente por ele gerada está no sentido contrário, de
forma que as correntes se cancelam.
Circuito RL
Podemos considerar analogamente ao caso do circuito RC . Quando
estudamos a Lei de Ohm, podemos perceber que a função de um resistor é
dissipar a corrente elétrica, transformando parte dela em energia térmica. A
função de um indutor é analisada quando se estuda a Lei de Faraday. Vemos
então que o indutor funciona como uma inércia de um circuito, o que impede
quedas ou aumentos bruscos de corrente. Dentro de um circuito, a resistência
consiste geralmente de um determinado material que dificulta a passagem de
corrente e o indutor é um solenóide ou uma bobina, que consistem em um fio
condutor enrolado muitas vezes. Vamos considerar agora um circuito
, que
possui uma bateria, uma chave que permite a passagem de corrente ou não,
uma resistência e um indutor. Ao estudar os efeitos da auto-indutância de um
sistema, vemos que a função de um indutor é de brecar a corrente que passa
por ele gerando uma corrente de sentido oposto, então consideramos que a
chave do circuito está aberta e é fechada no instante
, quando se inicia a
passagem de corrente pelo sistema. Quando a corrente chega ao indutor, um
potencial aparece dificultando a passagem de corrente, e este potencial são
onde L é a indutância do indutor, e
é a forma diferencial de se
expressar a variação da corrente no tempo. Temos que lembrar ainda que este
potencial sempre esta contrário à corrente que o atravessa de acordo com a
Lei de
Lei de
. Sabemos também que a queda de potencial
, igual a
no resistor
é, pela
. Utilizando a 1ª lei de Kirchhoff para este circuito,
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podemos afirmar que o potencial
da bateria é
instante muito próximo do instante inicial
. Para um
, sabemos que a corrente é zero
em todo o circuito, então a taxa de variação de corrente pelo tempo é dada por
. Após a passagem de um pequeno intervalo de tempo, a corrente
já flui pelo circuito e a variação temporal da corrente torna-se
. Quando a taxa de variação de corrente é igual a zero, sabemos então
que a corrente no circuito atingiu seu valor máximo:
. Vamos
analisar a equação anteriormente citada do circuito e descobrir qual é o tempo
necessário para que a corrente atinja seu valor final. Integrando a equação
diferencial
em relacão ao tentpo temos
. Nesta equação, chamamos a constante
tempo do capacitor, de forma que ela seja igual a
de constante de
, esta razão é que
determina o intervalo de tempo necessário para que o circuito atinja sua
corrente máxima. Com
obtemos a equação
Obs.: Os dois circuitos
são típicos efeitos transientes
(transitórios), que tendem a desaparecer um tempo característico do sistema,
que é a constante de tempo.
Circuito LC
Neste texto entenderemos como funciona um circuito
que contém de
acordo com o que foi mencionado anteriormente um indutor e um capacitor.
Vamos supor inicialmente que exista uma chave no circuito que permita ou não
a passagem de corrente e que o capacitor está carregado inicialmente com
uma carga
. Em um instante inicial
, a chave é fechada, permitindo
então a passagem de corrente através do circuito e a carga do capacitor
começa então a fluir pelo circuito. Temos no circuito então uma corrente
. Temos então que a queda de potencial no indutor é igual a
e no capacitor é igual a
que
sabemos que
,
. Através da 1ª Lei de Kirchhoff, podemos afirmar
. Derivando a equação com relação ao tempo
onde
que dá freqüência
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angular das oscilações livres neste circuito
A equação para
de um oscilador harmônico com freqüência angular
complexa
obtemos
é a equação
. Usando a notação
onde
(
carga, que é o valor máximo que a carga pode atingir e
da
(
que
são duas constantes reais necessárias para satisfazer às duas condições
iniciais(a equação é de 2ª ordem), por exemplo, as especificações da carga
inicial
no capacitor e da corrente inicial
através do indutor. Podemos
perceber então que este circuito difere dos circuitos
decai ou cresce exponencialmente, mas sim
já que ele não
. Isto acontece pois à
medida que a carga no capacitor diminui, a energia armazenada no campo
elétrico do capacitor se reduz. Esta energia não se perde, mas se transforma
em energia magnética dentro do indutor, já que em torno deste circula uma
corrente
que induz nele um campo magnético. Em um dado instante, toda
energia elétrica do capacitor se esgota juntamente com sua carga. Temos
então que a corrente no indutor agora é máxima e todo a energia do circuito
está armazenada dentro do indutor sob forma de energia magnética.
Assim integrando a relação
escrever
em relação a , basta
sem constante de integração adicional, pois já
temos duas constantes arbitrárias,
Que determina
em função dos valores iniciais
exemplo, se inicialmente não há corrente,
concentrada no capacitor, temos
. Poe
, e a carga esta toda
.
A energia armazenada no capacitor no instante t é (usando
)
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Podemos pensar nela como inteiramente contida no campo elétrico entre
asa placas do capacitor.
A energia armazenada no indutor no instante t é
Que é a energia magnética contida no campo B dentro do indutor.
A energia total é
ausência de dissipação
Como
+
=
=
, e se conserva dada a
.
vemos que a corrente
está adiantada de
, na fase, em relação a carga (em quadratura), tanto a corrente como a
carga troca de sinal (sentido) a hemiciclo. A energia oscila entre energia
elétrica e energia magnética, mantendo constante a energia eletromagnética
total
Há uma analogia completa entre as oscilações elétricas desse circuito e
as oscilações mecânicas livres de uma partícula de massa M presa a uma mola
de constante de mola K, sendo x o deslocamento da massa a partir do
equilíbrio. (tabela 1)
Circuito RLC
Vamos ver agora o estudo de um circuito RLC, que é basicamente um
circuito que contém um resistor, um indutor e um capacitor. Vamos supor então
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que haja uma chave neste circuito que permita a passagem ou não de corrente
e vamos supor também que o capacitor esteja carregado com uma carga inicial
q0. Inicialmente a chave está aberta e não há passagem de corrente pelo
circuito, no instante t=0 a chave é fechada e o capacitor começa o seu
processo de descarga devido à diferença de potencial entre suas placas. Pela
1ª Lei de Kirchhoff, sabemos que a soma de todas as quedas de potencial em
todos os elementos do circuito deve ser igual a zero, logo:
.
Sabemos que
e substituindo este valor na equação obtemos
.
Esta equação é idêntica a uma equação de um oscilador amortecido
estudado em ondas. Um oscilador amortecido pode ser imaginado como um
sistema massa mola mergulhado em uma substância viscosa como um óleo.
Quando consideramos um sistema massa-mola, ele oscila indefinidamente se
considerarmos desprezíveis todos os atritos, no entanto se colocarmos este
sistema dentro do óleo, o atrito viscoso entre o sistema e o óleo, produzirá
calor e diminuirá a energia cinética do sistema, que oscilará cada vez com
amplitudes menores. Antes de se estudar o circuito
separado os circuitos
, estudamos em
e percebemos que nos circuitos
,
ocorre ou uma queda ou uma subida exponencial na corrente enquanto em um
circuito
, a corrente oscila de um lado para o outro. Vemos então que a
mistura
resulta em um circuito oscilante que cai exponencialmente. Vamos
agora analisar este circuito energeticamente: Multiplicando todos os termos
desta equação por , temos:
.
O primeiro termo desta equação nos indica qual é a quantidade de
energia magnética que é injetada ou retirada do indutor, de forma que podemos
obter um valor positivo ou um negativo, dependendo do sentido do fluxo de
energia. No segundo termos da equação, temos o valor da energia elétrica do
capacitor, cujo sinal também depende do sentido do fluxo de energia. Já para o
terceiro termo, temos a energia dissipada no resistor por efeito Joule, e este
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valor é sempre positivo. Como já vimos em um circuito
, a soma das
energias elétrica e magnética é sempre constante, porém no caso
, há uma
dissipação da energia no resistor, então a quantidade oscilante de energia
entre o indutor e o capacitor tem sua amplitude sempre reduzida com o passar
do tempo. O modo que a corrente cai com o tempo depende das relações entre
os termos
pois são estes termos que definem a curva na equação
diferencial.
O caso em que
, ocorre um fenômeno denominado
amortecimento subcrítico, e a corrente vai oscilando e diminui lentamente. Para
o caso em que
temos o amortecimento crítico, e para este caso não
há oscilação e a carga no capacitor decai continuamente e tende à zero em
tempos grandes. Para o caso em que
, temos o amortecimento super-
crítico, e como a dissipação no resistor é muito grande, a carga no capacitor cai
exponencialmente e rapidamente.
Métodos Runge-Kutta
(1.10)
Consideremos novamente um sistema de equações diferenciais de
primeira ordem, eq.(1.10), que escrevemos na forma vetorial
(1.20)
Sob o nome métodos Runge-Kutta de ordem n incluímos todos os
métodos de solução numérica de sistemas representados pela eq.(1.20) que
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para calcular
usam apenas o conhecimento de
. Isto exclui, por
exemplo, o algoritmo de Verlet, eq.(1.15), que necessita de
calcular
ordem.
e
para
. O método de Euller, por exemplo, é um Runge-Kutta de
Consideremos novamente o método de Euller,
(1.21)
Por simetria, é claro que igualmente válido seria escolher para
argumento da
o extremo à direita do interval
, isto é, escrever
(1.22)
Naturalmente, pode se esperar que soluções melhores se obtêm com
uma forma intermediária entre as das equações , eq.(1.21) e eq.(1.22), ou seja,
(1.23)
A dificuldade que se apresenta é que não conhecemos
argumento da
para por no
. Um procedimento possível é usar a eq.(1.21) para obter uma
primeira aproximação par
a ser usado no argumento da
, ou seja
Método de Euler
A melhor forma de entender o funcionamento dos métodos numéricos
para solução de EDOs - e de conhecer suas armadilhas - é aplicar um método
qualquer a equações simples. O método de Euler será deduzido mais adiante,
e consiste basicamente em aproximar a derivada em t=ti pela relação:
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dy/dt ~ (yi+1 - yi)/h
A equação diferencial dy/dt=f(y,t) passa a ser representada por uma equação
algébrica:
(yi+1 - yi)/h = f(yi;ti)
yi+1 = yi+h.f(yi;ti)
Método de Euler
Comece com a condição inicial
(t0; y0)
Use o método para i=0,1,2,3,...
yi+1 = yi+h.f(yi;ti)
ti+1 = ti + h
Exemplo: aplicação do Método de Euler à equação do decaimento,
dy/dt=-ky. Esta equação aparece em diversos sistemas de Engenharia Química
tais como decaimento radioativo e consumo de certos reagentes em um meio
reacional
mantido
a
temperatura
constante.
O método de Euler é um método explícito: a equação utiliza apenas
valores conhecidos para determinar novos pontos. Outros métodos são
denominados implícitos porque as equações expressam os pontos a serem
calculados em função de valores conhecidos e de valores a calcular.
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5. Conclusão e Atividades Futuras
Acreditamos que o desenvolvimento desses projetos será de grande
utilidade para a aprendizagem de física em curso de engenharia, pois, os
mesmo abrangem uma gama de disciplinas envolvidas. Com nos resultados
obtidos em exercícios de eletromagnetismo procuramos aplicar esses projetos
práticos em uma sala real de Engenharia. Como é esboçado nos gráficos
temos uma boa aproximação comparando as equações, mas teremos que
melhorá-las, pois, existe um fator de dois que implica na aproximação das
mesmas, todos os cálculos serão revisados para resolver essa divergência,
onde foi constatado um erro de cálculo. O projeto prático terá andamento ao
longo de 2012.
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6. Bibliografia
-Moysés Nussenzveig, H., Curso de Física Básica, volume 2, Ed. Edgard Blücher
Ltda. (2002).
-Moysés Nussenzveig, H., Curso de Física Básica, volume 3, Ed. Edgard Blücher
Ltda. (2002).
-H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol. 1, Ed. LTC (2001).H. L. Guidorizzi, Um
Curso de Cálculo, Vol. 2, Ed. LTC (2001).